Bank Soal Matematika Dasar Persamaan Kuadrat (*Soal Dan Pembahasan)

• $x^{2}+5x+6 = 0$ [$a=1$, $b=5$, $c=6$]
• $x^2-2x-3 = 0$ [$a=1$, $b=-2$, $c=-3$]
• $5x^2-9x = 0$ [$a=5$, $b=-9$, $c=0$]
• $4x^2-25 = 0$ [$a=4$, $b=0$, $c=-25$]

Ada tiga cara yang sanggup digunakan untuk menuntaskan persamaan kuadrat atau sering disebut dengan istilah "mencari himpunan penyelesaian persamaan kuadrat" atau "mencari akar-akar persamaan kuadrat".

1. Memfaktorkan
2. Rumus abc [Rumus Al-Kharizmi]
3. Kuadrat Sempurna

Hasil Jumlah, Selisih dan Perkalian akar-akar persamaan kuadrat

Jika kita misalkan penyelesaian persamaan kuadrat atau akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ ialah $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku;

• $ax_{1}^{2}+bx_{1}+c = 0$
• $ax_{2}^{2}+bx_{2}+c = 0$
• $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$
• $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
• $|x_{1} - x_{2}| = |\dfrac{\sqrt{D}}{a}|$

Jenis akar-akar persamaan kuadrat

Diskriminan persamaan kuadrat disimbolkan dengan $D$, dimana $D=b^{2}-4ac$. Ditinjau dari nilai diskriminan persamaan kuadrat, akar-akar persamaan kuadrat sanggup dikategorikan menjadi beberapa bagian, antara lain;

• Jika $D \geq 0$ maka persamaan kuadrat memiliki akar-akar real [persamaan kuadrat memiliki penyelesaian di himpunan bilangan real]
• Jika $D \gt 0$ maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berbeda [persamaan kuadrat memiliki dua penyelesaian di himpunan bilangan real]
• Jika $D=0$ maka persamaan kuadrat memiliki satu akar real [persamaan kuadrat memiliki satu penyelesaian di himpunan bilangan real]
• Jika $D \lt 0$ maka persamaan kuadrat memiliki akar-akar imajiner [Tidak ada penyelesaian di himpunan bilangan real]

Menyusun persamaan kuadrat Baru

Jika kita diminta untuk menyusun atau membentuk persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka persamaan kuadrat sanggup kita susun dengan dua cara;

1. $\left (x-x_{1}\right )\left (x-x_{2}\right )=0$
2. $x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right )=0$

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, sudah banyak yang menerapkan cara-cara pembangkang atau cara kreatif dalam menyusun persamaan kuadrat gres tanpa melalui proses yang disebutkan diatas.

Misalnya: Jika akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ ialah $x_{1}$ dan $x_{2}$ Maka

• persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya $\left (x_{1}+p\right )$ dan $\left (x_{2}+q\right )$ ialah $a(x-p)^2+b(x-p)+c = 0$
• persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya $\left (x_{1}-p\right )$ dan $\left (x_{2}-q\right )$ ialah $a(x+p)^2+b(x+p)+c = 0$
• persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya $\left (\dfrac{x_{1}}{p}\right )$ dan $\left (\dfrac{x_{2}}{q}\right )$ ialah $a(px)^2+b(px)+c = 0$
• persamaan kuadrat gres yang akar-akarnya $\left (\dfrac{1}{x_{1}}\right )$ dan $\left (\dfrac{1}{x_{2}}\right )$ ialah $cx^2+bx+a = 0$

Beberapa hukum dasar diatas mungkin sudah cukup sebagai info dasar untuk kita mulai dalam membahas problem yang berkembang. Seperti disebutkan diawal bahwa persamaan kuadrat ialah bahan paling gampang diterapkan ke bahan lainnya sehingga satu soal Persamaan Kuadrat sanggup saja diterapkan ke Trigonometri, Logaritma, barisan dan deret, atau topik lainnya.

Mari kita coba diskusikan soal-soal yang sudah pernah diujikan sebelumnya;

1. Soal UM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

Jika penyelesaian dari persamaan $2^{x^{2}+5x+11}=32^{2x+1}$ ialah $A$ dan $B$, maka $A+B=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 7
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk meyelesaikan soal diatas kita perlu sedikit embel-embel hukum dari bilangan berpangkat yaitu jikalau $a^{m}=a^{n}$ maka $m=n$.
$\begin{align}
2^{x^{2}+5x+11} &= 32^{2x+1} \\
&= 2^{5(2x+1)} \\
&= 2^{10x+5}
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}+5x+11 &= 10x+5 \\
x^{2}+5x-10x+11-5 &= 0 \\
x^{2}-5x+6 &= 0
\end{align}$

Nilai dari $A+B$ ialah $A+B = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 5$

2. Soal SBMPTN 2017 Kode 138 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah solusi dari $sec\ x - 2 - 15\ cos\ x=0$ dengan $0\leq x\leq \pi$, $x\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $\dfrac{1}{cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -20 \\
(B)\ & -15 \\
(C)\ & -10 \\
(D)\ & -5 \\
(E)\ & 0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Bentuk $sec\ x - 2 - 15\ cos\ x=0$ coba kita lakukan manipulasi aljabar dengan aturan aljabar dan identitas trigonometri yang berlaku;
$\begin{align}
sec\ x - 2 - 15\ cos\ x &= 0 \\
\dfrac{1}{cos\ x}- 2 - 15\ cos\ x &= 0 \\
\left(\text{*dikalikan dengan}\ cos\ x \right) \\
1- 2\ cos\ x - 15\ cos^{2}x &= 0 \\
15\ cos^{2}x+2\ cos\ x-1 &= 0
\end{align}$

Disampaikan pada soal bahwa $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah solusi dari PK $15\ cos^{2}x+2\ cos\ x-1=0$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2} &= \dfrac{c}{a} \\
cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}&= -\dfrac{1}{15} \\
dfrac{1}{cos\ x_{1} \cdot cos\ x_{2}} &= -15
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ -15$

3. Soal UM UGM 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)

Selisih akar-akar persamaan $x^{2}+2ax+\dfrac{4}{3}a=0$ ialah $1$. Selisih $a$ dan $\dfrac{4}{6}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & \dfrac{5}{6} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{5}{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Akar-akar PK $x^{2}+2ax+\dfrac{4}{3}a=0$ kita misalkan dengan $m$ dan $n$.
$\begin{align}
|m - n| &= |\dfrac{\sqrt{D}}{a}| \\
1 &= \dfrac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{a} \\
1 &= \dfrac{\sqrt{(2a)^{2}-4(1)(\dfrac{4}{3}a)}}{1} \\
1 &= \sqrt{4a^{2}-\dfrac{16a}{3}}\ [*dikuadratkan] \\
1 &= 4a^{2}-\dfrac{16a}{3}\ [*dikalikan\ dengan\ 3] \\
3 &= 12a^{2}-16a \\
0 &= 12a^{2}-16a-3 \\
0 &= \dfrac{1}{12}(12a-18)(12a+2) \\
12a-18 &= 0 \\
12a &= 18 \\
a &= \dfrac{18}{12}=\dfrac{9}{6} \\
12a+2 &= 0 \\
12a &= -2 \\
a &= -\dfrac{2}{12}=-\dfrac{1}{6}
\end{align}$

Selisih $a$ dan $\dfrac{4}{6}$ yang memenuhi ialah $\dfrac{5}{6}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ \dfrac{5}{6}$

4. Soal SIMAK UI 2017 Kode 723 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah akar-akar $2x^{2}-(2c-1)x-c^{3}+4=0$, maka nilai maksimum $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -4\dfrac{3}{4} \\
(B)\ & -3\dfrac{3}{4} \\
(C)\ & -2\dfrac{3}{4} \\
(D)\ & 2\dfrac{3}{4} \\
(E)\ & 3\dfrac{3}{4}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Jika kita misalkan $M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
M &= x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \\
&= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\
&= \left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\
&= \left (\dfrac{2c-1}{2} \right )^{2}-2\left (\dfrac{-c^{3}+4}{2} \right ) \\
&= \dfrac{4c^{2}-4c+1}{4}+c^{3}-4 \\
&= c^{2}-c+\dfrac{1}{4}+c^{3}-4 \\
&= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}
\end{align}$

Sampai pada tahap ini konsep PK yang digunakan belum cukup, kita perlu hukum embel-embel dari materi turunan.
Untuk mendapat pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $M'=0$.
$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4} \\
M' &= 3c^{2}+2c-1 \\
3c^{2}+2c-1 &= 0 \\
\dfrac{1}{3}(3c+3)(3c-1) &= 0 \\
\end{align}$
Kita peroleh nilai $c=-1$ dan $c=\dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow\ c=-1$ ialah pembuat maksimum dengan memakai uji turunan kedua atau sanggup eksklusif mensubstitusi ke $M=c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}$ dan membandingkan kesudahannya dengan $c=\dfrac{1}{3}$.

Nilai maksimum $M=c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}=1+1-1-3\dfrac{3}{4}=-2\dfrac{3}{4}$

$\begin{align}
M &= c^{3}+c^{2}-c-3\dfrac{3}{4}
&= 1+1-1-3\dfrac{3}{4} \\
&= -2\dfrac{3}{4}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ -2 \dfrac{3}{4}$

5. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 (*Soal Lengkap)

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah akar-akar dari persamaan $x^{2}+5ax+a^{3}-4a+1=0$. Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -\sqrt{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \sqrt{3} \\
(E)\ & 3
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Jika kita misalkan $N=x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ dan kita lakukan manipulasi aljabar sedikit maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
N &= x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2} \\
&= x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2} \\
&= -\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a} \\
&= -\dfrac{5a}{1}+\dfrac{a^{3}-4a+1}{1} \\
amp;= a^{3}-9a+1
\end{align}$
Sampai pada tahap ini konsep PK yang digunakan belum cukup, kita perlu hukum embel-embel dari bahan turunan. Untuk mendapat pembuat nilai maksimum atau minimum kita cari dari turunan pertama $N'=0$.
$\begin{align}
N &= a^{3}-9a+1 \\
N' &= 3a^{2}-9 \\
3a^{2}-9 &= 0 \\
a^{2}-3 &= 0 \\
(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) &= 0
\end{align}$

Kita peroleh nilai $a=-\sqrt{3}$ dan $a=\sqrt{3}$

$\Rightarrow\ a=-\sqrt{3}$ ialah pembuat maksimum dengan memakai uji turunan kedua atau sanggup eksklusif mensubstitusi ke $N=a^{3}-9a+1$ dan membandingkan kesudahannya dengan $a=\sqrt{3}$.

Nilai $a$ sehingga $x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}$ maksimum ialah $-\sqrt{3}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ -\sqrt{3}$

6. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Jika semua akar-akar persamaan $x^{2}-6x+q=0$ merupakan bilangan lingkaran positif, maka jumlah semua nilai $q$ yang mungkin adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 9 \\
(D)\ & 17 \\
(E)\ & 22
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Persamaan $x^{2}-6x+q=0$ dikatakan akar-akarnya ialah bilangan lingkaran positif. Dari PK kita ketahui bahwa jumlah akar-akarnya ialah $x_{1}+x_{2}=6$ dan $x_{1} \cdot x_{2}=q$.

Pasangan bilangan lingkaran yang memungkinkan jikalau dijumlahkan $=6$ ialah $1$ dan $5$ atau $2$ dan $4$ atau $3$ dan $3$.
Nilai $q$ yang mungkin ialah $5 [1 \cdot 5]$, $8 [2 \cdot 4]$ dan $[3 \cdot 3]$.
Jumlah nilai $q$ yang mungkin ialah $22$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 22$

7. Soal SBMPTN 2015 Kode 634 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah akar-akar $9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$ dimana $x_{1}x_{2}=2 \cdot\ ^{3}log\ 2 +1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 27 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 18 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

PK $9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a=0$ coba kita lakukan manipulasi aljabar 😊
$\begin{align}
9^{x}-4 \cdot 3^{x+1}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{2})^{x}-4 \cdot 3^{x} \cdot 3^{1}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{2})^{x}-12 \cdot 3^{x}-2 \cdot 3^{x}+a &= 0 \\
(3^{x})^{2}-14 \cdot 3^{x}+a &= 0
\end{align}$

PK $(3^{x})^{2}-14 \cdot 3^{x}+a=0$ ialah PK dengan variabel $3^{x}$ sehingga berlaku:
$\begin{align}
3^{x_{1}} \cdot 3^{x_{2}} &= \dfrac{c}{a} \\
3^{x_{1}} \cdot 3^{x_{2}} &= \dfrac{a}{1} \\
3^{x_{1}+x_{2}} &= a
\end{align}$

Pada soal disampaikan bahwa;
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} &= 2 \cdot\ ^{3}log\ 2 +1 \\
&=\ ^{3}log\ 2^{2} +1 \\
&=\ ^{3}log\ 4 +^{3}log\ 3 \\
&=\ ^{3}log\ 12
\end{align}$

Dengan mensubstitusi ke persamaan sebelumnya, maka akan kita peroleh;
$\begin{align}
3^{x_{1}+x_{2}}&= a \\
3^{^{3}log\ 12} &= a \\
12 &= a
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 12$

8. Soal SIMAK UI 2015 (*Soal Lengkap)

Perkalian akar-akar real dari persamaan $\dfrac{1}{x^{2}-10x-29}+\dfrac{1}{x^{2}-10x-45}-\dfrac{2}{x^{2}-10x-69}=0$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -39 \\
(B)\ & -10 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 39
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pada soal yang ditanyakan ialah perkalian akar-akar real, sebetulnya sangat sederhana yang ditanyakan, tetapi bentuk persamaan belum ibarat yang kita harapkan yaitu $ax^2+bx+c = 0$. Makara kiprah pertama kita ialah memanipulasi aljabar bentuk soal hingga kepada bentuk $ax^2+bx+c = 0$.

$\dfrac{1}{x^{2}-10x-29}+\dfrac{1}{x^{2}-10x-45}-\dfrac{2}{x^{2}-10x-69}=0$
Untuk mempermudah penulisan kita gunakan pemisalan, kita pilih $x^{2}-10x-45=m$.
$\begin{align}
\dfrac{1}{m+16}+\dfrac{1}{m}-\dfrac{2}{m-24} &= 0 \\
\dfrac{m+m+16}{m(m+16)}-\dfrac{2}{m-24} &= 0 \\
\dfrac{2m+16}{m(m+16)}-\dfrac{2}{m-24} &=0 \\
\dfrac{(2m+16)(m-24)-2(m(m+16))}{m(m+16)(m-24)} &=0 \\
\dfrac{2m^{2}-48m+16m-384-2m^{2}-32m}{m(m+16)(m-24)}&=0 \\
\dfrac{-64m-384}{m(m+16)(m-24)}&=0 \\
[*dikali\ m(m+16)(m-24)] \\
-64m-384 &= 0 \\
-64(m+6) &= 0 \\
m+6 &= 0
\end{align}$

Sampai pada tahap ini, nilai $m=x^{2}-10x-45$ sebetulnya kita kembalikan, sehingga kita peroleh;
$\begin{align}
m+6 &= 0 \\
x^{2}-10x-45+6 &= 0 \\
x^{2}-10x-39 &= 0
\end{align}$
Perkalian akar-akar real dari persamaan ialah $\dfrac{c}{a}= \dfrac{-39}{1}=-39$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ -39$

9. Soal SIMAK UI 2014 (*Soal Lengkap)

Misalkan $m$ dan $n$ ialah akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2}-5x+1=0$. Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar $\dfrac{1}{m^{2}}+1$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-21x-29=0 \\
(B)\ & x^{2}-21x+29=0 \\
(C)\ & x^{2}+21x+29=0 \\
(D)\ & x^{2}-29x+21=0 \\
(E)\ & x^{2}+29x+21=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

PK $3x^{2}-5x+1=0$ akar-akarnya ialah $m$ dan $n$ sehingga kita peroleh $m+n=\dfrac{5}{3}$ dan $mn=\dfrac{1}{3}$.

Akar-akar PK gres ialah $\dfrac{1}{m^{2}}+1$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1$ kita misalkan $\dfrac{1}{m^{2}}+1=x_{1}$ dan $\dfrac{1}{n^{2}}+1=x_{2}$.

Untuk menyusun PK gres yang akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ dibutuhkan $x_{1}+x_{2}$ dan $x_{1} \cdot x_{2}$.
$\begin{align}
x_{1}+x_{2} &= \dfrac{1}{m^{2}}+1+\dfrac{1}{n^{2}}+1 \\
&= \dfrac{1}{m^{2}}+\dfrac{1}{n^{2}}+2 \\
&= \dfrac{m^{2}+n^{2}}{m^{2} \cdot n^{2}}+2 \\
&= \dfrac{(m+n)^{2}-2mn}{(mn)^{2}}+2 \\
&= \dfrac{(\dfrac{25}{9}-2(\dfrac{1}{3})}{\dfrac{1}{9}}+2 \\
&= \dfrac{(\dfrac{25}{9}-\dfrac{6}{9}}{\dfrac{1}{9}}+2 \\
&= 25-6+2=21
\end{align}$

$\begin{align}
$x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{1}{m^{2}}+1 \cdot \dfrac{1}{n^{2}}+1 \\
&= \dfrac{m^{2}+1}{m^{2}} \cdot \dfrac{n^{2}+1}{n^{2}} \\
&= \dfrac{m^{2} \cdot n^{2}+m^{2}+n^{2}+1}{m^{2} \cdot n^{2}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}+-2(\dfrac{1}{3})+1}{\dfrac{1}{9}} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{9}+\dfrac{25}{9}+-\dfrac{6}{9}+\dfrac{1}{9}}{\dfrac{1}{9}} \\
&= 1+25-6+9=29
\end{align}$

PK gres ialah $x^{2}-\left (x_{1}+x_{2}\right )x+\left (x_{1}\cdot x_{2}\right )=0$ atau $x^{2}-21x+29=0$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ x^{2}-21x+29=0$

10. Soal SIMAK UI 2013 (*Soal Lengkap)

Jika $r$ dan $s$ ialah akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dan $D$ ialah diskriminan dari persamaan tersebut, nilai dari $\dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{1}{s^{2}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c} \\
(B)\ & \dfrac{D}{2a}+c \\
(C)\ & \dfrac{D}{c^{2}} \\
(D)\ & \dfrac{D}{2a} \\
(E)\ & D
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Pada soal disampaikan $r$ dan $s$ ialah akar-akar dari persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ sehingga berlaku $r+s=-\dfrac{b}{a}$ dan $r \cdot s = \dfrac{c}{a}$
$\begin{align}
r s &= \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{r^{2}}+\dfrac{1}{s^{2}} \\
&= \dfrac{s^{2}+r^{2}}{r^{2} \cdot s^{2}} = \dfrac{(s+r)^{2}-2sr}{(rs)^{2}} \\
&= \dfrac{(-\dfrac{b}{a})^{2}-2(\dfrac{c}{a})}{(\dfrac{c}{a})^{2}} = \dfrac{\dfrac{b^{2}}{a^{2}}-\dfrac{2c}{a}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} \\
&= \dfrac{\dfrac{b^{2}}{a^{2}}-\dfrac{2ac}{a^{2}}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} = \dfrac{\dfrac{b^{2}-2ac}{a^{2}}}{\dfrac{c^{2}}{a^{2}}} \\
&= \dfrac{b^{2}-2ac}{c^{2}} = \dfrac{b^{2}-4ac+2ac}{c^{2}} \\
&= \dfrac{D+2ac}{c^{2}} = \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c} \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ \dfrac{D}{c^{2}}+\dfrac{2a}{c}$

11. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui $x_{1}$ dan $x_{2}$ merupakan akar-akar $x^{2}+2ax+b^{2}=0$. Jika $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$, maka nilai $b^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4a^{2}+10 \\
(B)\ & 4a^{2}-10 \\
(C)\ & 2a^{2}+5 \\
(D)\ & 2a^{2}-5 \\
(E)\ & -2a^{2}+5
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} & =(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1} \cdot x_{2} \\
10 & =\left (-\dfrac{b}{a} \right )^{2}-2\left (\dfrac{c}{a} \right ) \\
10 & =\left (-\dfrac{2a}{1} \right )^{2}-2\left (\dfrac{b^{2}}{1} \right ) \\
10 & =4a^{2}-2 b^{2} \\
2 b^{2} & =4a^{2}-10 \\
b^{2} & =2a^{2}-5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 2a^{2}-5$

12. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui $p \gt 0$, serta $p$ dan $p^{2}-2$ merupakan akar $x^{2}-10x+c=0$. Jika $c$ merupakan salah satu akar $x^{2}+ax+42=0$, maka nilai $a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -23 \\
(B)\ & -21 \\
(C)\ & -12 \\
(D)\ & 21 \\
(E)\ & 23
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Karena $p$ dan $p^{2}-2$ merupakan akar $x^{2}-10x+c=0$ maka berlaku:

Hasil jumlah akar-akar,
$\begin{align}
(p^{2}-2)+p & = -\dfrac{b}{a} \\
p^{2}-2 +p & = -\dfrac{-10}{1} \\
p^{2}-2 +p -10 & = 0 \\
p^{2} +p -12 & = 0 \\
(p+4)(p-3) & = 0 \\
p=-4\ (TM) & \vee \ p=3
\end{align}$

Hasil kali akar-akar,
$\begin{align}
\dfrac{c}{a} & = (p^{2}-2) \times p \\
\dfrac{c}{1} & = (3^{2}-2) \times 3 \\
c & = 21
\end{align}$

Karena $c=21$ merupakan salah satu akar $x^{2}+ax+42=0$, maka:
$\begin{align}
x^{2}+ax+42 & = 0 \\
21^{2}+21a +42 & = 0 \\
441+21a +42 & = 0 \\
483+21a & = 0 \\
21a & = -483 \\
a & = \dfrac{-483}{21} \\
a & = -23
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ -23$

13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)

Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $\sqrt[3]{x}=\dfrac{2}{1+\sqrt[3]{x}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -8 \\
(B)\ & -6 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 8
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
\sqrt[3]{x} & = \dfrac{2}{1+\sqrt[3]{x}} \\
\sqrt[3]{x} \left( 1+\sqrt[3]{x} \right) & = 2 \\
\sqrt[3]{x} +\sqrt[3]{x^{2}} & = 2 \\
\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} -2 & = 0 \\
\left ( \sqrt[3]{x} +2 \right )\left (\sqrt[3]{x} -1 \right ) & = 0 \\
\sqrt[3]{x} =-2\ &\text{atau}\ \sqrt[3]{x} =1 \\
\sqrt[3]{x} & =-2 \\
\bigstar \ x & =(-2)^{3}=-8 \\
\sqrt[3]{x} & =1 \\
\bigstar \ x & = (1)^{3}=1
\end{align}$
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $(-8)(1)=-8$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ -8$

14. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2sin^{2}x-cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\pi}{3} \\
(B)\ & \dfrac{2\pi}{3} \\
(C)\ & \pi \\
(D)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\
(E)\ & 2\pi
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$2sin^{2}x-cos\ x=1$ dengan proteksi identitas trigonometri $sin^{2}x=1-cos^{2}$ sehingga pertidaksamaan sanggup kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-cos^{2})-cos\ x & =1 \\
2-2cos^{2}-cos\ x & =1 \\
2cos^{2}+cos\ x-2+1 & = 0 \\
2cos^{2}+cos\ x-1 & = 0 \\
(2cos\ x -1)(cos\ x +1) & = 0 \\
2cos\ x -1 & = 0 \\
cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\
x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\
cos\ x +1 & = 0 \\
cos\ x & = -1 \\
x_{2} & = \pi \\
x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $

15. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-x-3 =0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan $2x_{1} +2x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-x+9 =0 \\
(B)\ & x^{2}+x+9 =0 \\
(C)\ & x^{2}-9x+14 =0 \\
(D)\ & x^{2}+9x+14 =0 \\
(E)\ & x^{2}-9x+14 =0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-x-3 =0$ kita peroleh;

• $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-1}{1}=1$
• $2x_{1}+2x_{2}=2\left(x_{1}+x_{2} \right)=2(1)=2$
• $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{-3}{1}=-3 $
• $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1} \cdot x_{2}$
  $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left( 1 \right)^{2}-2 (-3)=7 $

Persamaan kudrat gres yang akar-akarnya $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ dan $2x_{1} +2x_{2}$ ialah persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2$ dan $7$

$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left (2+7 \right )x+\left (2 \cdot 7 \right ) & =0 \\
x^{2}-9x+14 & =0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ x^{2}-9x+14=0$

16. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)

Dua siswa mencoba menuntaskan persamaan $ax^{2}+bx+c =0$. kedua siswa mengerjakannya dengan mekanisme yang benar. Namun, satu siswa salah menyalin suku tengahnya sehingga mendapat akar-akarnya $-2$ dan $4$, sedangkan siswa yang lain salah menyalin suku konstannya sehingga mendapat akar-akarnya $2$ dan $5$. Akar-akar yang benar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -1\ \text{dan}\ 8 \\
(B)\ & 1\ \text{dan}\ -8 \\
(C)\ & -1\ \text{dan}\ -7 \\
(D)\ & -1\ \text{dan}\ 7 \\
(E)\ & 7\ \text{dan}\ 8
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $-2$ dan $4$
$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left (-2+4 \right )x+\left (-2 \cdot 4 \right ) & =0 \\
x^{2}+2x-8 & =0
\end{align}$
Karena pada proses ini PK $ax^{2}+bx+c =0$ yang salah ialah $b$ maka $a=1$ dan $c=-8$

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ 2$ dan $5$
$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & =0 \\
x^{2}-\left ( 2+5 \right )x+\left ( 2 \cdot 5 \right ) & =0 \\
x^{2}-7x+10 & =0
\end{align}$
Karena pada proses ini PK $ax^{2}+bx+c =0$ yang salah ialah $c$ maka $a=1$ dan $b=-7$

Dari dua kesimpulan yang kita peroleh $a=1$, $b=-7$ dan $c=-8$,maka:
$\begin{align}
ax^{2}+bx+c &= 0 \\
x^{2}-7x-8 &= 0 \\
(x-8)(x+1) &= 0 \\
x=8\ \text{dan}\ x=-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ -1\ \text{dan}\ 8$

17. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)

Persamaan kuadrat $2x^{2}-px+1 =0$ dengan $p \gt 0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$. Jika $x^{2}-5x+q =0$ memiliki akar-akar $\dfrac{1}{\alpha^{2}}$ dan $\dfrac{1}{\beta^{2}}$, maka $p-q=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari persamaan kuadrat $2x^{2}-px+1 =0$ kita peroleh;

• $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-p}{2}=\dfrac{1}{2}p$
• $ \alpha \cdot \beta= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{2} $
• $\alpha^{2}+\beta^{2}=\left( \alpha+\beta \right)^{2}-2\alpha \cdot \beta$
  $\alpha^{2}+\beta^{2}=\left( \dfrac{1}{2}p \right)^{2}-2\left( \dfrac{1}{2} \right)= \dfrac{1}{4}p^{2}-1$

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-5x+q =0$ kita peroleh;

• $\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-5}{1}=5$
  $\dfrac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\left( \alpha \beta \right) ^{2}}=5$
  $\dfrac{\dfrac{1}{4}p^{2}-1}{\left( \dfrac{1}{2} \right) ^{2}}=5$
  $ \dfrac{1}{4}p^{2}-1=\dfrac{5}{4}$
  $ p^{2}-4=5$
  $ p^{2}-9=0$
  $ (p+3)(p-3)=0$
  $p=-3$ atau $p=3$
• $\dfrac{1}{\alpha^{2}} \cdot \dfrac{1}{\beta^{2}}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{q}{1}=q $
  $\dfrac{1}{\left(\alpha \cdot \beta \right)^{2}}=q $
  $\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2} \right)^{2}}=q $
  $ 4 =q $

Nilai $q-p= 4-3= 1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 1$

18. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+x-3 =0$ maka $2a^{2}+b^{2}+a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 7 \\
(D)\ & 6 \\
(E)\ & 4 \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Persamaan kuadrat $x^{2}+x-3 =0$ akar-akarnya ialah $a$ dan $b$, sehingga sanggup kita peroleh;

• $a+b=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1$
• $a \cdot b= \dfrac{c}{a}= \dfrac{-3}{1}=-3 $
• $a^{2}+a-3=0$ atau $a^{2}=3-a$
• $b^{2}+b-3=0$ atau $b^{2}=3-b$

$\begin{align}
2a^{2}+b^{2}+a & = 2 \left(3-a \right)+3-b+a \\
& = 6-2a+3-b+a \\
& = 9-a-b \\
& = 9-(a+b) \\
& = 9-(-1)=10
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 10$

19. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Diketahui $m$ dan $n$ akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c =0$. Jika $m+2$ dan $n+2$ akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+qx+r=0$, maka $q+r=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & c+3b \\
(B)\ & c-b+4a \\
(C)\ & c-b \\
(D)\ & c-b+8a \\
(E)\ & c+3b+8a
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c =0$ akar-akarnya ialah $m$ dan $n$, sehingga sanggup kita peroleh;

• $m+n=-\dfrac{b}{a}$
• $m \cdot n= \dfrac{c}{a}$

Persamaan kuadrat $ax^{2}+qx+r=0$ akar-akarnya ialah $m+2$ dan $n+2$, sehingga sanggup kita peroleh;

• $m+2+n+2=-\dfrac{q}{a}$
  $m+n+4=-\dfrac{q}{a}$
  $-\dfrac{b}{a}+4=-\dfrac{q}{a}$
  $-b+4a=-q$
  $ b-4a= q$
• $(m+2) \cdot(n+2)= \dfrac{r}{a}$
  $mn+2(m+n)+4= \dfrac{r}{a}$
  $\dfrac{c}{a} +2 \left( -\dfrac{b}{a} \right)+4= \dfrac{r}{a}$
  $c -2b+4a=r$

$\begin{array}{c|c|cc}
r= c -2b+4a & \\
q= b-4a & (+) \\
\hline
r+q = c-b
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ c-b$

20. Soal SBMPTN 2014 Kode 614 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah akar-akar $ x^{2}+3x+1=0$, maka persamaan kuadrat dengan akar-akar $2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ dan $2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x^{2}-11x+19=0 \\
(B)\ & x^{2}+11x+19=0 \\
(C)\ & x^{2}-11x-19=0 \\
(D)\ & x^{2}-19x+11=0 \\
(E)\ & x^{2}+19x+11=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari persamaan kuadrat $ x^{2}+3x+1=0$ kita peroleh;

• $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3}{1}=-3$
• $ x_{1} \cdot x_{2}= \dfrac{c}{a}= \dfrac{1}{1}=1 $

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\alpha=2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$ dan $\beta=2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}$ ialah $x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) =0$.

$\begin{align}
\alpha+\beta & = 2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}}+2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{\left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1} x_{2}}{x_{1} x_{2}} \\
& = 4+\dfrac{\left( -3 \right)^{2}-2(1)}{1} \\
& = 4+9-2=11
\end{align}$

$\begin{align}
\alpha \cdot \beta & = \left( 2+\dfrac{x_{2}}{x_{1}} \right) \left( 2+\dfrac{x_{1}}{x_{2}} \right) \\
& = 4+ \dfrac{2x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{2x_{2}}{x_{1}}+1 \\
& = 5+ 2 \left( \dfrac{ x_{1}}{x_{2}}+\dfrac{ x_{2}}{x_{1}} \right) \\
& = 5+ 2 \left( \dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1} x_{2}} \right) \\
& = 5+ 2 \left( 9-2 \right) \\
& = 5+14=19
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}-\left (\alpha+\beta\right )x+\left (\alpha \cdot \beta \right ) & = 0 \\
x^{2}-11x+19 & = 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ x^{2}-11x+19=0$

21. Soal UM UGM 2014 Kode 521 (*Soal Lengkap)

Jika $\alpha$ dan $\beta$ ialah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$, maka nilai minimum $\alpha^{2}+\beta^{2}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 18 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 25
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(a+5)x+5a=0$ kita peroleh;

• $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-(a+5)}{1}=a+5$
• $ \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a}= \dfrac{5a}{1}=5a $

$\begin{align}
\alpha^{2}+\beta^{2} &= \left( \alpha+\beta \right)^{2}-2\alpha \cdot \beta \\
&= \left( a+5 \right)^{2}-2(5a) \\
&= a^{2}+10a+25-10a \\
&= a^{2}+25
\end{align}$
Sampai pada tahap ini konsep PK yang digunakan belum cukup, kita perlu hukum embel-embel dari materi turunan.

Untuk mendapat nilai minimum $a^{2}+25$ kita cari dengan memakai turunan pertama ialah nol.
$\begin{align}
2a &= 0 \\
a &= 0
\end{align}$

$\alpha^{2}+\beta^{2}$ minimum ketika $a=0$, maka nilai minimumnya ialah $a^{2}+25=0^{2}+25=25$

Alternatif untuk mencari nilai minimum atau maksimum fungsi kuadrat (fungsi berpangkat dua) sanggup memakai rumus untuk mendapat $y_{p}$, yaitu:
$\begin{align}
y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
&= -\dfrac{0^{2}-4(1)(25)}{4(1)} \\
&= -\dfrac{-100}{4}=25
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 25$

22. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)

Persamaan kuadrat $px^{2}-qx+4=0$ memiliki akar kasatmata $\alpha$ dan $\alpha=4\beta$. Jika grafik fungsi $f(x)=px^{2-qx+4}$ memiliki sumbu simetri $x=\dfrac{5}{2}$, maka nilai $p$ dan $q$ masing-masing adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \text{dan}\ \dfrac{5}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2}\ \text{dan}\ \dfrac{5}{2} \\
(C)\ & 1\ \text{dan}\ 5 \\
(D)\ & \sqrt{2}\ \text{dan}\ 10 \\
(E)\ & 2\ \text{dan}\ 10
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari fungsi kuadrat $f(x)=px^{2}-qx+4$ sumbu simetrinya ialah $x_{p}=-\dfrac{b}{2a}$ maka $ \dfrac{q}{2p}= \dfrac{5}{2}$ atau $5p=q$.

Dari persamaan kuadrat $px^{2}-qx+4=0$ kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} & \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a} \\
4\beta + \beta = -\dfrac{-q}{p} & 4\beta \cdot \beta = \dfrac{4}{p} \\
5\beta = \dfrac{q}{p} & 4 = \dfrac{4}{p} \\
5\beta = \dfrac{5p}{p} & p = 1 \\
5\beta = 5 & q = 5p \\
\beta = 1 & q =5(1)=5
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 1\ \text{dan}\ 5$

23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan $x^{2}-3x+n=0$ sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan $x^{2}+x-n=0$, maka nilai $n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & -8 \\
(E)\ & -10
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru wacana persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;

• Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
• Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $p$ dan $q$ maka berlaku $p+q=-\dfrac{b}{a}$ atau $p \cdot q=\dfrac{c}{a}$
• Jumlah kuadrat $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
• Jumlah pangkat tiga $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$
• $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
• $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1} +x_{2} \right )$

$\begin{align}
x^{2}-3x+n &= 0 \\
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-3}{1}=3 \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{n}{1}=n \\
\hline
x^{2}+x-n &= 0 \\
p+q &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{1}=-1 \\
p \cdot q &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{-n}{1}=-n \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= p^{3}+q^{3} \\
\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} &= \left ( p +q \right )^{3}-3pq\left ( p +q \right ) \\
\left ( 3 \right )^{2}-2(n) &= \left ( -1 \right )^{3}-3(-n)\left ( -1 \right ) \\
9-2n &= -1-n \\
9+1 &= 2n-n \\
10 &= n
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 10$

24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah akar-akar persamaan $x^{2}+px+q=0$ maka $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & p^{4}-4p^{2}q+2q^{2} \\
(B)\ & p^{4}-2q^{2} \\
(C)\ & p^{4}-p^{2}q+q^{2} \\
(D)\ & p^{4}+p^{2}q+q^{2} \\
(E)\ & p^{4}+2q^{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru wacana persamaan kuadrat yang mungkin membantu yaitu;

• Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c = 0$ akar-akarnya $x_{1}$ dan $x_{2}$ maka berlaku $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}$ atau $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a}$
• $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2}$
• $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left ( x_{1} +x_{2} \right )^{3}-3x_{1}x_{2}\left ( x_{1} +x_{2} \right )$
• $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}$

$\begin{align}
x^{2}+px+q &= 0 \\
x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a}=-\dfrac{p}{1}=-p \\
x_{1} \cdot x_{2} &= \dfrac{c}{a}=\dfrac{q}{1}=q \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2} &= \left ( x_{1} +x_{2} \right )^{2}-2x_{1}x_{2} \\
&= \left ( -p \right )^{2}-2q \\
&= p^{2}-2q \\
\hline
x_{1}^{4}+x_{2}^{4} &= \left ( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right )^{2}-2\left( x_{1}x_{2} \right)^{2} \\
&= \left ( p^{2}-2q \right )^{2}-2 \left(q \right)^{2} \\
&= p^{4}-2 \cdot p^{2} \cdot 2q +4q^{2}-2q^{2} \\
&= p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Persamaan Kuadrat (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas ialah coretan kreatif siswa pada

• lembar balasan evaluasi harian matematika,
• lembar balasan evaluasi final semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait problem alternatif penyelesaian soal Persamaan Kuadrat sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Sumber http://www.defantri.com