Pada kesempatan kali ini, aku akan memperlihatkan beberapa pola soal mengenai barisan tak sampai dalam kalkulus.
Bagi yang kurang mengerti materinya, Gengs sanggup mempelajarinya dengan mengklik link berikut ini: Ringkasan Materi Barisan Tak Hingga dalam Kalkulus
Langsung saja yaaaa
Berikut ini merupakan pola soal dan pembahasannya
Nomor 1
Buktikan bahwa barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ dengan $a_{n}=\frac{2n+3}{n}$ untuk $n\geq 1$ ialah barisan yang konvergen ke 2.
Jawab:
Akan dibuktikan :
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2n+3}{n}=2$ $\Leftrightarrow n> N\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$
misal: $\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{2n+3-2n}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$n> \frac{3}{\epsilon } \Rightarrow N=\frac{3}{\epsilon }$
akan dibuktikan: kalau $n> \frac{3}{\epsilon }$ maka $\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$
misalkan:
$n> \frac{3}{\epsilon }$
akan dibuktikan:
$\begin{vmatrix} \frac{2n+3}{n}-2 \end{vmatrix}< \epsilon$
Bukti:
$n> \frac{3}{\epsilon }$
$\epsilon > \frac{3}{n }$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3}{n} \end{vmatrix}$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n-2n}{n} \end{vmatrix}$
$\epsilon > \begin{vmatrix} \frac{3+2n}{n}-2 \end{vmatrix}$
maka TERBUKTI bahwa barisan tersebut konvergen ke 2.
Nomor 2
$\begin{Bmatrix} \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)} \end{Bmatrix}$
Dengan memakai teorema apit, periksa kekonvergenan barisan di atas.
$\frac{n}{2n+3}\leq \frac{(n+\sin ^{2}n)}{(2n+3)}\leq \frac{n+1}{2n+3}$
$a_{n}=\frac{n}{2n+3}$
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n}{2n+3}=\frac{1}{2}$
$c_{n}=\frac{n+1}{2n+3}$
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n+1}{2n+3}=\frac{1}{2}$
Karena $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}\textrm{dan} \begin{Bmatrix} c_{n} \end{Bmatrix}$ ialah barisan-barisan yang konvergen ke 1/2 maka menurut teorema apit barisan tersebut konvergen ke 1/2.
Nomor 3
Periksa kekonvergenen barisan berikut ini:
$\begin{Bmatrix} \frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n} \end{Bmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 3, yang perlu diingat yaitu apabila di soal perintahnya ialah periksa kekonvergenan maka hanya cukup mencari limitnya saja.
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{4n^{2}+5}{2n^{2}+7n}=2$Sehingga dengan gampang sanggup diperoleh hasilnya, dimana barisan tersebut konvergen ke 2.
Nomor 4
Periksa kekonvergenan barisan di bawah ini:
$\begin{Bmatrix} (-1)^{n}(\ln n^{2})/(n) \end{Bmatrix}$
Jawab:
Untuk menjawab soal nomor 4 pun sama menyerupai cara menjawab soal nomor 3 yaitu dengan mencari nilai limitnya saja.
$\lim_{n\rightarrow \infty }\begin{vmatrix} \frac{(-1)^n(\ln n^{2})}{n} \end{vmatrix}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{|\ln n^{2}|}{|n|}$
$=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\ln n^{2}}{n}$
$=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{n^{2}}2n}{1}$
$=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{n}=0$
Sehingga barisan diatas konvergen ke 0.
Nomor 5
$a_{n}=\frac{3n+5}{n}$
Gunakan definisi limit untuk menandakan bahwa barisan $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ konvergen ke 3 kalau $n\rightarrow \infty$
Jawab:
Diketahui:
$\forall \epsilon > 0,\exists N\ni n> N$
maka $|a_{n}-3|< \epsilon$
Misal:
$|a_{n}-3|< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{3n+5-3n}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$\begin{vmatrix} \frac{5}{n} \end{vmatrix}< \epsilon$
$\Rightarrow \frac{5}{\epsilon }< n$
$\Rightarrow N=\frac{5}{\epsilon }$
akan dibuktikan: kalau $n> \frac{5}{\epsilon }\Rightarrow \begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}< \epsilon$
misal : $n> \frac{5}{\epsilon }$
adb: $n> \frac{5}{\epsilon }$
Bukti:
$n> \frac{5}{\epsilon }$
$\Leftrightarrow\epsilon > \frac{5}{n}$
$\epsilon >| \frac{5}{n}|$
$\epsilon >\begin{vmatrix} \frac{5+3n-3n}{n} \end{vmatrix}$
$\epsilon >\begin{vmatrix} \frac{3n+5}{n}-3 \end{vmatrix}$
Maka terbukti $\begin{Bmatrix} a_{n} \end{Bmatrix}$ konvergen ke 3.
Demikian contoh-contoh soal dari Barisan Tak Hingga.
Bagi Gengs yang mau bertanya atau kritik, sokk ditulis di kolom komentar.
Semoga Bermanfaat
EmoticonEmoticon