Contoh Soal Stasioner, Fungsi Naik-Turun, Nilai Maksimum-Minimum

Sebagai pengantar awal kembali diingatkan bahan dan rumus mengenai titik stasioner, kapan fungsi naik dan kapan fungsi turun serta nilai minimum dan nilai maksimum. Kaidah yang dipakai ibarat di bawah ini,
$f'(x) =0 \, \, \, titik stasioner$
$f'(x) <0 \, \, \, fungsi turun$
$f'(x)>0 \, \, \, fungsi naik$
Untuk nilai maksimum/minimum ibarat berikut,

Contoh Soal dan Pembahasan:

Soal 1. Fungsi $f(x)=x^4-2x^2$ merupakan fungsi naik pada interval...

Pembahasan:
Syarat fungsi naik f'(x)>0, maka
$f(x)=x^4-2x^2 \\ f'(x) = 4x^3-4x > 0 \\ 4x(x-1)(x+1) >0  \\ x=-1 \, \, x=0 \, \, x=1$
Kemudian buat garis bilangan untuk memilih daerah f'(x)>0 seperti berikut,

Terlihat dari pengujian di atas, fungsi naik pada interval -1<x<0 atau x>1.

Soal 2. Grafik $f(x)=x^3-2x^2+1$ pada kawasan asal domain $ 0 \leq x \leq 2$ mempunyai ciri...

Pembahasan:
Hampir sama dengan soal di atas, akan dicari pembagian kawasan naik-turun.
$f(x)=x^3-2x^2+1 \\ f'(x) = 3x^2 -4x =0 \\ x (3x-4)=0 \\ x=0 \, \, x= \frac {4}{3}$
Kemudian diujikan pada sebuah garis bilangan.

Bisa dilihat pada gambar di atas sehabis dilakukan pengujian kawasan dimana pada interval [0,2] atau bab yang di beri warna abu-abu grafik turun-kemudian naik. Kaprikornus sifat grafik pada interval tersebut turun -naik.

Soal 3. Titik balik maksimum  grafik $y=x^3-6x^2+9x+4$ adalah...

Pembahasan:
Masih dengan langkah yang sama,
$y=x^3-6x^2+9x+4  \\ y' = 3x^2-12x+9 = 0 \\ (x-1) (x-3) =0 \\ x=1 \, \, x=3$

Yang diminta nilai max, terlihat terang nilai maksimum terjadi ketika x=1. Dimana nilai tersebut = f(1) =$y=1^3-6.1^2+9.1+4=8$
Artinya titik maksimum tersebut (x,y)=(1,8).

Soal 4. Jika fungsi $f(x) = x^4-2x^2+ax+a$ mempunyai nilai minimum b ketika x=1. Maka nilai a+b adalah...

Pembahasan
Nilai minimun x=1 yaitu b maka
$ f(1) = b \\ f(1) = 1^4-2.1^2+a.1+a  =0 \\ 2a-b=1$

Sementara itu
$f(x) = x^4-2x^2+ax+a \\ f'(x) =4x^3-4x+a = 0  \\ \text {salah satu titik stasioner x=1} \\ f'(1) =4.1^3-4.1+a = 0 \\a =0 $

Kembali ke persamaan 2a-b=1, alasannya a=0 maka -b=1 dan b=1.

Soal 5. Misalkan $f(x)=3x^4-4x^3+2$. Jika nilai Minimum dan maksimum pada selang $ -2 \leq x \leq 2 berturut turut m dan M. Maka nilai m+M=...

Pembahasan:
$f(x)=3x^4-4x^3+2 \\ f'(x) = 12x^3-12x^2 =0 \\ 12x^2 (x-1) =0 \\ x=1 \, \, x=1$
Karena diberikan interval, maka ujung interval/selang juga turut diuji untuk memilih nilai maks/min bersama dengan x, stasioner. Silakan diuji
f(-2) , f(0) , f(1) dan f(2). Dimana masing masing  akan didapat berturut turut 82. 2, 1 dan 34. Terlihat nilai maksimum 82 dan nilai minimum 1. Akibatnya M= 82 dan m=1 sehingga M+m=83.
Sumber http://www.marthamatika.com/