Aplikasi atau penggunaan turunan dalam matematika salah satunya dipakai dalam memilih gradien dan persamaan garis singgung pada sebuah kurva. Sebelumnya kalau ingin mendalami ini materi, anda harus benar benar paham bagaimana cara menurunkan sebuah persamaan. Cara ini sanggup dipakai untuk memilih gradien dan persamaan garis singgung baik itu fungsi aljabar ataupun fungsi trigonometri.
Langkah Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva pada Suatu Titik
Jika dimisalkan x yaitu absis pada sebuah kurva f(x). Maka koordinat titiknya yaitu (x,f(x)). Sedangkan gradien garis singgung pada titik x tersebut sanggup didefenisikan sebagai m dimana m=f’(x). Atau kita sanggup menulis langkah untuk memilih gradien dan persamaan garis singgung ini sebagai berikut,- Cari gradien garis m dimana m= f’(x)
- Temukan $(x_1, y_1)$. Untuk $y_1$ sanggup didapat dari $f(x_1)$
- Gunakan rumus persamaan garis, $$y-y_1= m(x-x_1) \\ \text {dimana } y_1 = f(x_1)$$
#Soal 1. Menentukan Garis Singgung Kurva, Diketahui titik dan persamaan kurva
Persamaan garis singgung kurva $ f(x) = x^3 -3x + 4 $ di titik (2,6) adalah…
Pembahasan: $$ f(x)= y = x^3 -3x + 4 \\ f^\prime (x) = 3x^2 – 3 \\ \text { titik (2,6)} \\ x=2 \\ m=f^ \prime (2) \\ m =3.2^2-3 \\ m= 9$$
Gradien gari singgun tersebut yaitu 9, selanjutnya kita gunakan rumus mencari persamaan garis $y-y_1= m(x-x_1)$ sehingga sanggup kita tulis, $$ m= 9 , (x_1,y_1)=(2,6) \\ y-y_1= m(x-x_1) \\ y-6=9(x-2) \\ y-6=9x-18 \\ y-9x+12 =0 $$
Makara persamaan garis singgung di titik (2,6) pada kurva $ f(x) = x^3 -3x + 4 $ yaitu $y-9x+12 =0 $
#Soal 2. Menentukan Garis Singgung Kurva, Diketahui absis (x) dan Persamaan Kurva
Pada kurva $ y = x^2 - x + 2 , $, tentukan persamaan garis singgung di titik ber-absis 1.
Pembahasan: $$ f(x)=y= x^2 - x + 2 \\ f \prime (x) = 2x-1 \\ \text { absis =x=1} \\ m=f \prime (1) =2.1-1 \\ m = 1$$
Sementara itu kita belum mengetahui nilai $y_1$. Di atas telah disebutkan sebetulnya $y_1=f(x_1)$ Dengan demikian kita harus mencari nilainya terlebih dahulu $$ x_1 =1 \\ y_1=f(x_1) \\ y_1 =f(1) \\ y_1= 1^2-1+2 \\ y_1 = 2 \\ \text {lanjutkan dengan pers.garis} \\ y-y_1=m(x-x_1) \\ y-2 = 1(x-1) \\ y-3=x-1 \\ y =x+1 $$
#Soal 3. Menentukan Persamaan Garis Singgung Diketahui Gradien dan Persamaan Kurva
Persamaan garis singgung kurva $ y = x^2 - 2x + 3 $ dengan gradien 2 adalah…
Pembahasan: $$ f(x)=y= x^2 - 2x + 3 \\ m=f \prime (x) = 2x-2$$ pada soal ini diketahui gradien, artinya kita belum mempunyai nilai $(x_1, y_1)$. Kita akan cari terlebih dahulu nilai ini, $$ m=f \prime (x_1) \\ 2 = 2.x_1-2 \\ x_1 = 2 \\ \text {lanjut kita cari} y_1 \\ y_1 =f(x_1) \\ y_1 =2^2-2.2+3 \\ y_1 =3 \\ \text {lanjutkan cari pers.garis} \\ y-y_1 = m(x-x_1) \\ y-3= 2(x-2) \\ y-3=2x-4 \\ y=2x-1 $$
#Soal 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung diketahui Garis lain dan pers. Kurva
Tentukan persamaan garis singgung kurva $ y = x^2 + x -1 , $ yang sejajar dengan garis y=7x+4.
Pembahasan:
Note: Untuk jenis soal menyerupai ini kita harus mengetahui hubungan gradien antara dua garis. Ingat kembali,
2 garis yang sejajar gradiennya sama, $m_1=m_2$
2 garis saling tegak lurus, $m_1.m_2 = -1$
Karena pada soal ini garisnya sejajar, maka kita gunakan $m_1=m_2$. Yang akan kita gunakan dalam hitungan nanti yaitu $m_2$.
$$g_1 = y=7x+4 \\ m_1 = 7 \\ \text {karena sejajar berlaku} m_1=m_2 \\ m_2= 7$$
Jika telah menerima gradien garis ini, silakan lanjutkan sesuai langkah nomor soal nomor 3 di atas. Jika anda mengikutinya dengan benar akan di sanggup $(x_1,y_1)= (3,11)$. Persamaan garis, y=7x-10.
EmoticonEmoticon