Deret Taylor merupakan bentuk presentatif dari fungsi. Dalam hal ini deret tersebut merupakan jumlah tak sampai dari suku pada deret. Untuk menghitungnya dipakai dengan prinsip turunan pada sebuah titik. Lalu apa itu deret Maclaurin. Deret Maclaurin ialah bila pada deret Taylor tersebut berpusat pada titik nol. Kaprikornus dapat disimpulkan bergotong-royong deret Maclaurin ialah bab deret Taylor, dengan kata lain, deret Taylor yang berpusat di nol disebut dengan deret Maclaurin.
Bentuk umum deret Taylor ini dapat ditulis dalam formulasi :
$f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...+\frac {f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n$
Penulisan tersebut dapat disederhanakan dalam bentuk notasi sigma :
$\sum_{n=0}^{\infty }$ $\frac {f^{n}(a)}{1!}(x-a)^n$
n! Adalah n faktorial. Sementara $f^{n}$ ialah turunan ke-n dari fungsi. Pada rumusan di atas jikadan hanya jikalau a=0, maka inilah yang menjadi deret Maclaurin.
Contoh Penggunaan Deret Taylor
Kegunaan deret Taylor dan deret Maclaurin ini salah satunya dalam metode numerik. Digunakan dalam perhitungan atau pendekatan nilai fungsi yang tidak dapat dihitung dengan manual. Berikut beberapa pola soal dan penggunaan deret Taylor dan deret Maclaurin.
Contoh 1 : $f(x) = e^{x}$. Digunakan pendekatan a= 0.
$f(x) = e^{x}$ ... $f(0) = e^{0} = 1$
$f' (x) = e^{x}$ ... $f' (0) = e^{0} = 1$
$f'' (x) = e^{x}$ ... $f''(0) = e^{0}= 1$
$f'''(x) = e^{x}$ ... $f''' (0) = e^{0}=1$
$f^{n}(x) = e^{x}$ ... $f^{n}(0) = e^{0}=1$
Dengan demikian dapat ditulis berdasarkan formulasi di atas :
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ = $f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2+\frac{f'''(0)}{3!}(x-0)^3+...+\frac {f^{n}(0)}{n!}(x-0)^n$
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ = $1+\frac{1}{1!}(x-0)+\frac{1}{2!}(x-0)^2+\frac{1}{3!}(x-0)^3+...+\frac {1}{n!}(x-0)^n$
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ =$1+\frac{(x)}{1!}+\frac{(x)^2}{2!}+\frac{(x)^3}{3!}+...+\frac {(x)^n}{n!}$
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ =$\sum_{n=0}^{\infty }$ $\frac {1}{n!}(x)^n$.
Contoh 2 : f(x) = cos x. Kita gunakan pendekatan a=0.
f(x)=cos x ... f(0) = cos 0 = 1
f’(x)= -sin x ... f’(0)= -sin 0 = 0
f’’(x)= -cos x ... f’’(0)= -cos 0 = -1
f”’(x) = sin x ... f”’(0) = sin 0 = 0.
f””(x)= cos x ... f””(0)= cos 0 = 1.
f”’”(x) = sin x ... f””’(0) = sin 0 = 0. dst.
Kita tulis dalam bentuk formulasi umum deret Taylor.
$\triangleright $f(x) = cos x = $f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2+\frac{f'''(0)}{3!}(x-0)^3+\frac{f'''' (0)}{4!}(x-0)^4+\frac{f''''' (0)}{5!}(x-0)^5+... $.
$\triangleright $f(x) = cos x = $1+\frac{0}{1!}(x)+\frac{-1}{2!}(x)^2+\frac{0}{3!}(x)^3+\frac{1}{4!}(x)^4+\frac{1}{5!}(x)^5+... $.
$\triangleright $f(x) = cos x = $1+0+\frac{-1}{2!}(x)^2+0+\frac{1}{4!}(x)^4+0+... $
$\triangleright $f(x) = cos x = $1+\frac{-1}{2!}(x)^2+\frac{1}{4!}(x)^4+... $ = $\sum_{n=0}^{\infty }$ $\frac {-1^{n+1}}{(2n-2)!}(x)^{2n-2}$.
Contoh 3 : f(x) = ln (x+1) dengan pendekatan a=0.
f(x)=ln(x+1) ... f(0)=ln 1 = 0.
f’(x)=$\frac{1}{x+1}$ .... f’(0) $\frac{1}{(1)}$ = 1
f’’(x)=$\frac{-1}{(x+1)^{2}}$ .... f’(0) $\frac{1}{(1)^{2}}$ = -1
f’’’(x)=$\frac{2}{(x+1)^{3}}$ .... f’’(0) $\frac{1}{(1)^{3}}$ = 2 = 2!
f’’’’(x)=$\frac{-6}{(x+1)^{4}}$ .... f”’(0) $\frac{1}{(1)^{4}}$ = -6 =-3!
f’’’’(x)=$\frac{24}{(x+1)^{5}}$ .... f’’”(0) $\frac{1}{(1)^{5}}$ = 24 = 4! Dst.
Selanjutnya disusun dalam bentuk umum deret taylor.
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) = $f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2+\frac{f'''(0)}{3!}(x-0)^3+\frac{f'''' (0)}{4!}(x-0)^4+\frac{f''''' (0)}{5!}(x-0)^5+... $.
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) = $0+\frac{1)}{1!}(x)+\frac{-1!}{2!}(x)^2+\frac{2!}{3!}(x)^3+\frac{-3!)}{4!}(x)^4+\frac{4!}{5!}(x)^5+... $ .
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) = $0+\frac{1)}{1}(x)+\frac{-1}{2}(x)^2+\frac{1}{3!}(x)^3+\frac{-1)}{3}(x)^4+\frac{1}{4}(x)^5+... $ . ( angka faktorial disederhanakan)
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) =$\sum_{n=0}^{\infty }$ $\frac {-1^{n+1}}{n}(x)^{n}$.
