Matriks Dan Ruang Vektor : Basis, Koordinat, Dimensi, Null Space, Row Space, Dan Solution Space

Matriks dan Ruang Vektor : Basis, Koordinat, Dimensi, Null Space, Row Space, dan Solution Space

Basis 

Definisi : Generalisasi ruang vektor suatu sistem koordinat pada ruang berdimensi 2 dan 3. 

Koordinat : Koefisien-koefisien pada basis V. 

Jika V ialah suatu ruang vektor sebarang dan S = {v1 ,v2 , . . . ,vn } ialah himpunan vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V bila dua syarat berikut berlaku: 

• S bebas linear 
• S merentang V 

Basis dari ruang vektor itu tidak harus tunggal tetapi sanggup lebih dari satu basis. S itu termasuk bebas linear atau linear independent”. Maksudnya ialah bilangan – bilangan yang termasuk di dalam A harus bebas linier atau dengan kata lain dihentikan berkelipatan dengan himpunan yang lain. 

Tetapi ada kalanya bagaimana bila kita menemukan dua himpunan vektor atau lebih yang berkelipatan.Kondisi ibarat ini disebut bergantung linier. 

Tetapi suatu himpunan sanggup juga disebut bergantung linier bila terdapat himpunan vektor yang anggotanya mengandung nol.Jika ini terjadi berarti kedua himpunan tersebut bukan bersifat bebas linier dan berarti tidak sanggup disebut basis. 

Contoh 

Selidiki dan tentukan apakah himpunan vektor – vektor dibawah ini bebas linier atau bergantung linier ? 

• A = {2,2,3} dan B = {3,1,2} 
• B = {2,3,4} dan C = {4,6,8} 
• U = {1,2,3} V = {2,3,7} dan W = {0,0,0} 

Jawab

a. Himpunan vektor ini termasuk bebas linier alasannya ialah semua anggota himpunannya tidak berkelipatan. 

b. Himpunan vektor ini disebut bergantung linier alasannya ialah semua anggota himpunannya berkelipatan satu sama lain yaitu C=2B. 

c. Jika ada himpunan yang mengandung nol berarti disebut bergantung linier walaupun himpunan lain bebas linier tetapi bila ada himpunan yang mengandung nol tetap disebut bergantung linier. 

Selain itu juga, untuk pertanda apakah vektor-vektor tersebut ialah bebas linier dan membangun, anda cukup dengan melaksanakan OBE--Operasi Baris Elementer--dengan ketentuan:

• Membangun bila mempunyai setidaknya satu solusi--solusi banyak masih membangun
• Bebas Linier apabila mempunyai solusi tunggal.

Contoh 2

Himpunan vektor-vektor , dimana v1= (2, -1, 0, 3), v2 = (1, 2, 5, -1), dan v3 = (7, -1, 5, 8) ialah himpunan tak bebas linier, alasannya ialah 3v1 + v2 – v3 = 0. 

Contoh 3

Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) pada R3. Ruas komponen persamaan vector 

K1 i + k2 j + k3 k = 0 

K1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) = 0 

Kaprikornus , K1 = 0, k2 = 0 dan k3 = 0; sehingga himpunan S = (i, j, k) bebas linier. Uraian serupa sanggup dipakai untuk mengatakan bahwa vector-vector e1 = (0, 0, 0, … , 1), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), … ,en = (0, 0, 0, …,0) membentuk himpunan bebas linier pada Rn 

Teorema : 

Jika S = { v1, v2 , . . . , vn } ialah suatu basis dari ruang vektor V, maka setiap vektor v pada V sanggup dinyatakan dalam bentuk v = c1v1+c2v2 + . . . +cnvn dengan sempurna satu cara.

Dimensi

Definisi: Jumlah vektor pada suatu basis. 

Dimensi Terhingga : Suatu ruang vektor taknol V terdiri dari himpunan terhingga vektor-vekor {v1 , v2 , . . . , vn } yang membentuk suatu basis. 

Kita sanggup mengetahui nilai dari suatu dimensi pada suatu himpunan atau basis dari jumlah vektor – vektor tersebut. Dengan kata lain misalkan V ialah suatu ruang vektor A = {v1,v2,v3,…vn} basis dari V. Dimensi dari V itu = n (banyaknya vektor – vektor di A). 

Contoh : 

Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibuat oleh : 

1. A={1,2,3} B={2,2,3} C={2,1,2} 
2. A={1,2,3} B={2,4,6} C={2,3,5} 
3.  A={2,3,4} B={4,6,8} C={6,9,12} 

Jawab : 

a. Ketiga himpunan diatas termasuk vektor yang bersifat bebas linier.Oleh alasannya ialah itu dimensinya ialah 3 dan basis ialah {A,B,C}.Ketiganya termasuk basis alasannya ialah bebas linier. 

b. Dari himpunan – himpunan di atas,dua vektor yaitu {A,B} bergantung linier alasannya ialah berkelipatan.Karena lebih lebih banyak didominasi bergantung linier sehingga {A,B,C} bergantung linier.Tetapi alasannya ialah yang sanggup dikatakan sebagai basis harus bersifat bebas linier sehingga kita sanggup mengambil dua vektor yang bebas linier yaitu {A,C}.Berarti dimensi adlah 2 alasannya ialah vektor yang termasuk basis ada 2.Jadi basisnya ialah {A,C}. 

c. Ketiga vektor – vektor diatas berkelipatan sehingga bergantung linier.Karena dari itu,kita hanya sanggup mengambil satu vektor yang bebas linier yaitu {C}.Jadi dimensi ialah 1 dan basisnya ialah {C}.

Koordinat

S={v_1,v_2,…,v_n} is a basis for a vector space V, and v = c_1 v_1+c_2 v_2+…+c_n v_n

Coordinate is the expression for a vector v in terms of the basis S. The scalars c_1, c_2,…,c_n are called the coordinates of v relative to the basis S 

(v)_s=(c_1,c_2,…,c_n) 

Special case: where V=R^n and S is the standard basis → v=(v)_s

Contoh

• We showed before that the vectors v_1 = (1, 2, 1), v_2 = (2, 9, 0), v_3 = (3, 3, 4) form a basis for R^3. Find the coordinate vector of v = (5, -1, 9) relative to the basis S = {v_1,v_2,v_3} 
• Find the vector v in R^3 whose coordinate vector relative to S in (v)_s = (-1,3,2)

Reduce and Enlarge Basis

Let S be a finite set of vectors in a finite-dimensional vector space V 

1. If S spans V but is not a basis for V, then S can be reduced to a basis for V by removing appropriate vectors from S 
2. If S is a linearly independent set that is not already a basis for V, then S can be enlarged to a basis for V by inserting appropriate vectors into S

Example

1. The vectors v_1 = (1, -2, 3) and v_2 = (0, 5, -3) are linearly independent. Enlarge {v_1,v_2} to a basis for R^3 
2. Find a basis for the subspace of R^3 that is spanned by the vectors v_1 = (1, 0, 0), v_2 = (1, 0, 1), v_3 = (2, 0, 1), v_4 = (0, 0, -1)

Row Space, Column Space, and Null Space

Definition

A is an m×n matrix

 

Row space: the subspace of R^n spanned by the row vectors of A 

Column space: the subspace of R^m spanned by the column vectors of A 

Null space: the solution space of the homogeneous system of equations Ax=0, which is a subspace of R^n

Solution Space

The solution set of a homogeneous linear system Ax=0 of m equations in n unknowns is a subspace of R^n . The solution set → solution space of the system.

Determine the solution space of the system:

Example

Find the solution space and basis for the solution space of the linear systems: 

Find a basis for the row space and column space of the coefficient matrix for the linear system above

Rank, Nullity, and the Fundamental Matrix Spaces

Rank of A is denoted by rank(A): the common dimension of the row space and column space of a matrix A

Theorem: the row space and the column space of a matrix A have the same dimension 

Nullity of A is denoted by nullity(A): the dimension of the null space of A

Example 

Find the rank and nullity of the matrix : 

If A is a matrix with n columns, then rank(A)+nullity(A)=n 

Sumber

Slide MRV : Dimensi, Koordinat, dan Basis

https://www.academia.edu/28706092/ALJABAR_LINEAR_RUANG_VEKTOR_UMUM?auto=d0wnl0ad

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com

Matriks Dan Ruang Vektor : Nilai Eigen Dan Vektor Eigen, Diagonalisasi, Dan Geometric Algebraic Mutiplicity

Matriks dan Ruang Vektor : Nilai Eigen dan Vektor Eigen, Diagonalisasi, dan Geometric Algebraic Mutiplicity

Eigen values and Eigen vectors

Jika terdapat suatu matrik A berukuran n x n dan vektor tak nol x berukuran , x elemen Rn, maka sanggup dituliskan : 

Ax : vektor berukuran n x n 

λ : skalar elemen riil yang memenuhi persamaan, disebut nilai eigen (karekteristik) 

x : vektor eigen

Apabila sebuah matriks A yang berukuran n x n dan vektor x ialah sebuah vektor pada Rn, maka Ax juga merupakan sebuah vektor pada Rn­­, namun biasanya secara umum tidak terdapat kekerabatan geometris antara vektor x dengan vektor Ax. Namun, di dalam kasus-kasus tertentu diperoleh beberapa vektor x tak nol sehingga x dan Ax merupakan penggandaan atau kelipatan skalar satu sama lainnya.

Cara memilih nilai eigen dari A

Untuk mencari nilai eigen dari matrik A yang berukuran n x n yang memenuhi persamaan : 

Ax = λx sanggup ditulis sebagai : 

IAx = IλX , Ax = λIx atau ekivalen : (λI – A)x = 0 

Sistem persamaan tersebut mempunyai jawab bukan nol (singular), kalau dan hanya kalau : 

Det (A) = 

Ini disebut sebagai persamaan karakteristik ( polinomial dalam λ )

Contoh soal :

1. Buktikan vektor x = (2, -1) ialah vektor eigen dari A = [(1,4),(2,3)] dan tentukan nilai eigennya!

Jawab :

Untuk membuktikannya dilakukan dengan cara mengalikan matrik dengan vektor, sehingga diperoleh hasil kelipatan dari vektor itu sendiri.

2. Carilah nilai eigen dari A = [(0,3),(2,1)] : 

Jawab :

Nilai eigen ditentukan dari persamaan

Cara memilih vektor eigen dari A

Banyaknya nilai eigen maksimal n buah. Untuk setiap nilai eigen sanggup dicari ruang solusi untuk x dengan memasukkan nilai eigen ke dalam persamaan : (λI – A)x =0 

Ruang solusi yang diperoleh disebut : ruang eigen. Dari ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tertentu sanggup dicari minimal sebuah basis ruang eigen yang saling bebas linier. 

Vektor eigen yang bekerjasama dengan λ ialah vektor-vektor tidak nol dalam ruang eigen.

Basis dari ruang eigen yang bekerjasama dengan λ = 1 ialah : ( -2 ,1 ,1 )

Untuk λ = 2 : 

Basis dari ruang eigen yang bekerjasama dengan λ = 2 ialah : ( 0, 1, 0 ) dan ( -2, 0, 1 ) 

2. Carilah nilai-nilai eigen dan basis-basis untuk ruang eigen dari A = [(3,2),(-1,0)] : 

Jawab : 

det (λI – A) = 0 

(λ-3)(λ) – (1)(-2) = 0 

λ^2- 3λ + 2 = 0 

Nilai eigen : λ1 = 2, λ2 = 1 

Tentukan basis dari ruang eigen :

Jawab : 

Dari hasil perhitungan sebelumnya diperoleh nilai eigen A ialah 1 dan 2. Dengan substitusi λ=1 ke persamaan : ( λI-A )x = 0 diperoleh :

Perhitungan Vektor Eigen

Kita tinjau kembali persamaan dimana A ialah matriks bujur kandang dan X ialah vektor bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam subbab sebelumnya telah dibahas perihal perhitungan nilai eigen dari matriks A(λ ), pada subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor eigen (vektor karakteristik) yang sesuai untuk nilai eigennya.

Kita tinjau sebuah matriks bujur kandang orde 2 x 2 berikut:

Persamaan diatas ialah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang Rn yang tidak nol didapatkan kalau dan hanya kalau persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.

Diagonalization

A and B are square matrices. B is similar to A if there is an invertible matrix P such that B=P^(-1) AP. 

A square matrix A is said to be diagonalizable if it is similar to some diagonal matrix. 

• If there exists an invertible matrix P such that P^(-1) AP is diagonal. 
• The matrix P is said to diagonalize A

A is an n×n matrix, the following statements are equivalent 

• A is diagonalizable 
• A has n linearly independent eigen vectors

Example

Geometric and Algebraic Multiplicity

λ_0 is an eigenvalue of an n×n matrix A. The dimension of the eigenspace corresponding to λ_0: geometric multiplicity of λ_0. The number of times that λ-λ_0 appears as a factor in the characteristic polynomial of A: algebraic multiplicity of λ_0

Theorem : 

1. For every eigenvalue of A, the geometric multiplicity is less than or equal to the algebraic multiplicity 
2. A is diagonalizable if and only if the geometric multiplicity of every eigenvalue is equal to the algebraic multiplicity

Example

• Find the eigenvalues of A 
• For each eigenvalue λ, find the eigenvector 
• Find P that diagonalize A 
• Compute A^5

Sumber

https://www.academia.edu/17308691/Nilai_eigen_dan_Vektor_eigen

Slide MRV : Nilai Eigen Vektor dan Eigen Vektor

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com

Matriks Dan Ruang Vektor : Inner Product Spaces, Sudut, Orthogonalitas, Gram-Schmidt Processes, Dan Dekomposisi Qr

Matriks dan Ruang Vektor : Inner Product Spaces, Sudut, Orthogonalitas, Gram-Schmidt Processes, dan Dekomposisi QR

Hasil kali dalam

Definisi : yaitu fungsi yang mengkaitkan setiap pasangan vektor di ruang vektor V ( misalkan vektor u dan v dengan notasi <u,v> )dengan bilangan riel, dan memenuhi 4 aksioma berikut ini :

• Simetris : <u,v> = <v,u>
• Aditivitas : <u+v, w> = <u,w> + <v,w>
• Homogenitas : <ku,v> = k<u,v> , k : scalar
• Positivitas : <u,v> ≥ 0 dan( <u,u> = u = 0)

Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam disebut : Ruang hasil kali dalam yang disingkat RHD

Contoh soal :

Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik standar di R3 merupakan hasil kali dalam !

Jawab :

Misalkan : a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3) dan c(c1, c2, c3) berada dalam R3.

Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi 4 aksioma hasil kali dalam yaitu :

1. Simetri

<a, b> = (a.b)

= (a1b1 + a2b2 + a3b3)

= (b1a1 + b2a2 + b3a3)

= <b,a> (terpenuhi)

2. Aditivitas

<a+b, c> = ((a + b) . c)

= ((a1+b1, a2 + b2, a3 + b3) . (c1, c2, c3))

= ((a1c1 + b1c1) + (a2c2 + b2c2) + (a3c3 + b3c3))

= (a1c1 + a2c2 + a3c3) + (b1c1 + b2c2 + b3c3)

= <a,c> + <b,c> (terpenuhi)

3. Homogenitas

<ka, b> = (ka.b)

= (ka1b1 + ka2b2 + ka3b3)

= k(a1b1 + a2b2 + a3b3)

= k(a.b)

= k< a,b > (terpenuhi)

4. Positivitas

<a, a> = (a.a)

= (a12 + a22 + a32)≥ 0 terpenuhi) dan <u,u> = (a12 + a22 + a32)= u 

= (0,0,0) = 0 (terpenuhi)

Euclidean Inner Product

Euclidean inner product (the standard inner product) on R^n define as 

⟨u,v⟩ = u⋅v = u_1 v_1+u_2 v_2+…+u_n v_n 

Inner products can be used to define notions of norm and distance. If u and v are vectors in Euclidean n- space, the norm and distance can be expressed as

Example: 

Let u=(1,0) and v=(0,1) are vectors in R^2 

Compute the norms and distances between vectors with the Euclidean inner product

Norm and Distance

V is a real inner products space

The norm (or length) of a vector v in V is denoted by 

The distance between two vectors is denoted by

A vector of norm 1 is called a unit vector

Theorem : 

If u and v are vectors in a real inner product space V, and k is a scalar, then: 

1. ‖v‖≥0 with equality if and only if v=0 
2. ‖kv‖ = |k|‖v‖ 
3. d(u,v) = d(v,u) 
4. d(u,v) ≥ 0 with equality if and only if u=v

Example

Let u = (u_1,u_2) and v = (v_1,v_2) be vectors in R^2 

Verify that the inner product define by 

⟨u,v⟩ = 3u_1 v_1 + 2u_2 v_2 

Satisfies the four inner product axioms ! 

If u = (1,2) and v = (0,2) be vectors in R^2, compute the norms and distance between vectors with the given inner product!

Standard Inner Product on M_nn

Let u = U and v = V are matrices in the vector space M_nn 

⟨u,v⟩ = tr(U^T V) 

Defines an inner product on M_nn called the standard inner product on that space

Example:

Angle and Orthogonality in Inner Product Spaces

Angle Between Two Vectors

“Angle” between vectors in a real inner product space can be found by:

Example: Let M_22 have the standard inner product. Find the cosine of the angle between the vectors

Properties of Length and Distance in General Inner Product Spaces

If u,v, and w are vectors in a real inner product space V, then 

1. ‖u+v‖ ≤ ‖u‖+‖v‖ ( Triangle Inequality for Vectors ) 
2. d(u,v) ≤ d(u,w)+d(w,v) ( Triangle Inequality for distances )

Orthogonality

If u and v are nonzero vectors, then the angle between them is θ = π/2 if and only if ⟨u,v⟩ = 0 

Two vectors u and v in an inner product space V called orthogonal if ⟨u,v⟩ = 0

Example :

1. Two vectors u=(1,1) and v=(1,-2) are orthogonal with respect to the Euclidean inner product on R^2 
2. If M_22 has standard inner product, then the matrices

Orthogonal Complements

W is a subspace of a real inner product space V. The set of all vectors in V that are orthogonal to every vector in W is called the orthogonal complement of W (denoted by W^⊥)

Theorem 1: If W is a subspace of a real inner product space V, then: 

1. W^⊥ is a subspace of V 
2. W∩W^⊥={0} 

Theorem 2: If W is a subspace of a real finite-dimensional inner product space V, then (W^⊥ )^⊥=W

Example: 

Let W be the subspace of R^6 spanned by the vectors 

Find a basis for the orthogonal complement of W 

Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition

Orthogonal and Orthonormal Set

Definition:

A set of two or more vectors in a real inner product space is said to be orthogonal if all pairs of distinct vectors in the set are orthogonal 

An orthogonal set in which each vector has norm 1 is said to be orthonormal 

Example: 

Let v_1=(0,1,0), v_2=(1,0,1), v_3=(1,0,-1) and assume that R^3 has the Euclidean inner product.

• Show that the set S={v_1,v_2,v_3} is orthogonal! 
• Is S orthonormal?

Constructing an Orthonormal Set

To convert an orthogonal set of nonzero vectors into an orthonormal set is: 

• multiply each vector v in the orthogonal set by the reciprocal of its length to create a unit vector 

Unit vector: a vector of norm 1. Process of multiplying a vector v by the reciprocal of its length is called normalizing v 

Example :

Normalize v_1 = (0,1,0), v_2 = (1,0,1), v_3 = (1,0,-1) 

Orthonormal Basis

If S={v_1,v_2,…,v_n} is an orthogonal set of nonzero vectors in an inner product space, then S is linearly independent. In an inner product space, a basis consisting of orthonormal vectors is called an orthonormal basis. A basis consisting of orthogonal vectors is called an orthogonal basis 

Example: 

S = {u_1,u_2,u_3 } form an orthonormal basis for R^3

If S ={v_1,v_2,…,v_n} is an orthogonal basis for an inner product space V, and if u is any vector in V, then

If S={v_1,v_2,…,v_n} is an orthonormal basis for an inner product space V, and if u is any vector in V, then

Example: 

Show that the vectors 

w_1 = (0,2,0), w_2 = (3,0,3), w_3 = (-4,0,4) 

Form an orthogonal basis for R^3 with the Euclidean inner product, and use that basis to find an orthonormal basis by normalizing each vector

Express the vector u=(1,2,4) as a linear combination of the orthonormal basis vectors obtained in previous part.

Projection Theorem

W is a finite-dimensional subspace of an inner product space V. Every vector u in V can be expressed in exactly one way as 

u = w_1+w_2

Where w_1 is in W and w_2 is in W^⊥ 

• w_1 = proj_W u 
• w_2 = proj_(W^⊥ ) u=u-proj_w u

Calculating Orthogonal Projection

W is a finite-dimensional subspace of an inner product space V

1.If {v_1,v_2,…,v_r} is an orthogonal basis for W, and u is any vector in V, then 

2. If {v_1,v_2,…,v_r} is an orthonormal basis for W, and u is any vector in V, then

Example:

Let R^3 have the Euclidean inner product, and let W be the subspace spanned by the orthonormal vectors v_1 = (0,1,0) and v_2 = (-4/5,0, 3/5). Compute the orthogonal projection of u = (1,1,1) on W and the component of u orthogonal to W !

Gram-Schmidt Process

Theorem: Every nonzero finite-dimensional inner product space has an orthonormal basis. The step-by-step construction of an orthogonal (or orthonormal) basis is called the Gram-Schmidt process. 

Example: 

Assume that the vector space R^3 has the Euclidean inner product. Apply the Gram-Schmidt process to transform the basis vectors 

u_1 = (1,1,1), u_2 = (0,1,1), u_3 = (0,0,1)

Into an orthogonal basis {v_1,v_2,v_3}, and then normalize the orthogonal basis vectors to obtain an orthonormal basis {q_1,q_2,q_3} 

Extending Orthonormal Sets to Orthonormal Basis

If W is a finite-dimensional inner product space, then: 

1. Every orthogonal set of nonzero vectors in W can be enlarged to an orthogonal basis for W 
2. Every orthonormal set in W can be enlarged to an orthonormal basis for W

QR-Decomposition

If A is an m×n matrix with linearly independent column vectors, then A can be factored as 

A = QR 

Where Q is an m×n matrix with orthonormal column vectors, and R is an n×n invertible upper triangular matrix

Example: 

Find a QR- decomposition of

Sumber

Slide MRV : Inner Product Spaces

https://slideplayer.info/slide/2594425/

http://informatika.unpar.ac.id/

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com