Olimpiade Sains Nasional (OSN) untuk tingkat kabupaten yang diperlombakan ada tiga bidang study, yaitu Matematika, IPA (Ilmu Pengetahuan Alam) dan IPS (Ilmu Pengetahuan Sosial). Kegiatan seleksi penerima OSN tahun 2019 untuk tingkat kabupaten (OSK) telah selesai dilaksanakan dengan baik pada hari ini.
Seperti apa soal OSN tingkat kabupaten bidang study matematika pada tahun 2019 ini, mari kita coba diskusikan. Setidaknya ini akan menjadi catatan atau sebagai materi persiapan menghadapi OSK tahun 2020.
Sebelumnya kita sudah pernah diskusikan beberapa soal latihan terkait OSK Matematika diantaranya:
- Soal dan pembahasan Pra OSK matematika tahun 2019 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 1 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 2 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 3 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2018 Type 4 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2017 lihat disini
- Soal dan pembahasan OSK matematika tahun 2016 lihat disini
Berikut mari kita diskusikan soal dan pembahasan OSN 2019 tingkat kabupaten mata pelajaran matematika untuk tingkat SMP😉
(1). Diketahui $A= \left \{ 0,1,2,3,4 \right \}$; $a,b,c$ yaitu tiga anggota yang berbeda dari $A$, dan $\left( a^{b} \right)^{c}=n$. Nilai maksimum dari $n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4096 \\
(B)\ & 6561 \\
(C)\ & 9561 \\
(D)\ & 9651
\end{align}$
Untuk mendapat nilai $n$ maksimum dari bentuk bilangan berpangkat $\left( a^{b} \right)^{c}=n$, kita coba mulai dari $a^{b}$ yang terbesar yaitu $3^{4}$. Sehingga selanjutnya kita tinggal menentukan dari angka $0,1,2$ untuk menjadi pangkat, dan kita pilih juga bilangan terbesar yaitu $2$
Nilai $n=\left( a^{b} \right)^{c}$ maksimum yaitu $\left( 3^{4} \right)^{2}=81^{2}=6561$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 6561$
(2). Dua akuarium $A$ dan $B$ diisi air sehingga volumnya sama yaitu $64.000\ cm^{3}$. Anto mempunyai $30$ kelereng kecil dan $20$ kelereng besar yang akan dimasukkan ke dalam akuarium tersebut. Ke dalam akuarium $A$ dimasukkan $7$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar sehingga volum akuarium yang terisi menjadi $64821\dfrac{1}{3}\ cm^{3}$. Sedangkan, ke dalam akuarium $B$ dimasukkan $21$ kelereng kecil dan $7$ kelereng besar sehingga volum akuarium yang terisi menjadi $64880\ cm^{3}$. Volum seluruh kelereng Anto yang tidak dimasukkan ke akuarium adalah...$cm^{3}$.
$\begin{align}
(A)\ & 113\dfrac{3}{21} \\
(B)\ & 226\dfrac{6}{21} \\
(C)\ & 251\dfrac{9}{21} \\
(D)\ & 687\dfrac{5}{21}
\end{align}$
Dua akuarium yang masing-masing volumnya sama yaitu $64.000$
Pada akuarium $A$ dimasukkan $7k+7b \equiv 64821\dfrac{1}{3}$ dan pada akuarium $B$ dimasukkan $21k+7b \equiv 64880$.
Dari kedua keadaan akuarium, volume kelereng yang ditambahkan sanggup kita ketahui dengan mengurangkan dengan volume akuarium mula-mula, sehingga kita peroleh;
$\begin{array}{c|c|cc}
7k+7b = 821\dfrac{1}{3} & \\
21k+7b = 880 & (-) \\
\hline
14k = 58\dfrac{2}{3} & 21k+7b = 880 \\
14k =\dfrac{176}{3} & 21 \left( \dfrac{88}{21} \right) +7b = 880 \\
k = \dfrac{176}{42} & 7b = 880-88 \\
k = \dfrac{88}{21} & b = \dfrac{792}{7}
\end{array} $
Kelereng yang sisa yaitu $2$ kereng kecil $(k)$ dan $6$ kelereng besar $(b)$, total volume kelereng yang sisa adalah;
$\begin{align}
& 2 \times \dfrac{88}{21} + 6 \times \dfrac{792}{7} \\
& = \dfrac{176}{21} + \dfrac{4752}{7} \\
& = \dfrac{176}{21} + \dfrac{14256}{21} \\
& = \dfrac{14432}{21} \\
& = 687\dfrac{5}{21}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 687\dfrac{5}{21}$
(3). Hasil Ikan Tangkapan (HIT) seorang nelayan selama bulan januari 2019 turun $25\%$ dibanding bulan sebelumnya HIT selama bulan Februari 2019 turun $20\%$ dibanding bulan sebelumnya. HIT selama bulan maret 2019 turun $10\%$ dibanding bulan sebelumnya sehingga menjadi $108\ kg$. Pernyataan berikut yang benar adalah...
$(A)\ $ HIT bulan Desember 2018 sebanyak 200 kg.
$(B)\ $ HIT bulan Januari 2019 sebanyak 120 kg.
$(C)\ $ HIT bulan Februari 2019 sebanyak 130 kg.
$(D)\ $ HIT bulan Februari 2019 sebanyak 150 kg.
Data-data yang disampaikan pada soal jikalau kita jabarkan kurang lebih menyerupai berikut;
- HIT Maret turun $10\%$ dibanding Februari menjadi $108\ kg$ atau dengan kata lain $108=90\% \times F$
- Berdasarkan data di Maret, HIT Februari yaitu $F=108 \times \dfrac{100}{90}=120$. HIT Februari turun $20\%$ dibanding Januari sehingga $120=80\% \times F$
- Berdasarkan data di Februari, HIT Januari yaitu $J=120 \times \dfrac{100}{80}=150$. HIT Januari turun $20\%$ dibanding Desember sehingga $150=75\% \times D$
- Berdasarkan data di Januari, HIT Desember yaitu $D=150 \times \dfrac{100}{75}=200$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ $ HIT bulan Desember 2018 sebanyak 200 kg
(4). Jika $x=2p-4q$ dan $y=-p+2q$, maka nilai $\dfrac{2x^{2}-3xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{1}{3} \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 5
\end{align}$
Untuk $x=2p-4q$ dan $y=-p+2q$, maka $x+y=p-2q$ dan $x-y=3p-6q$
$\begin{align}
& \dfrac{2x^{2}-3xy+y^{2}}{x^{2}-y^{2}} \\
& = \dfrac{x^{2}+x^{2}+y^{2}-3xy}{(x+y)(x-y)} \\
& = \dfrac{(x+y)^{2}-2xy+x^{2}-3xy}{(x+y)(x-y)} \\
& = \dfrac{(x+y)^{2}+x^{2}-5xy}{(x+y)(x-y)} \\
& = \dfrac{(x+y)^{2}+x(x-5y)}{(x+y)(x-y)} \\
& = \dfrac{(p-2q)^{2}+(2p-4q)(2p-4q-5(-p+2q))}{(p-2q)(3p-6q)} \\
& = \dfrac{(p-2q)^{2}+(2p-4q)(7p-14q)}{(p-2q)(3p-6q)} \\
& = \dfrac{p^{2}-4pq+4q^{2}+14p^{2}-56pq+56q^{2}}{3p^2-12pq+12q^{2}} \\
& = \dfrac{15p^{2}-60pq+60q^{2}}{3p^2-12pq+12q^{2}} \\
& = \dfrac{5 \left(3p^{2}-12pq+12q^{2} \right)}{3p^2-12pq+12q^{2}} \\
& = 5
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 5$
(5). Diketahui $xy+2x+y=10$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bundar positif. Nilai minimum dari $x+y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 8 \\
(D)\ & 10
\end{align}$
Untuk $xy+2x+y=10$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bundar positif, maka nilai minimum dari $x+y$ terjadi untuk $x$ atau $y$ bilangan bundar terkecil.
Untuk $x=1$ maka:
$\begin{align}
xy+2x+y & = 10 \\
y+2 +y & = 10 \\
y & = 4 \\
x+y & = 5
\end{align}$
Untuk $y=1$ maka:
$\begin{align}
xy+2x+y & = 10 \\
x+2x +1 & = 10 \\
x & = 3 \\
x+y & = 4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 4$
(6). Akar-akar dari $x^{2}-5bx+b=0$ yaitu kuadrat kebalikan akar-akar persamaan $x^{2}-ax+a-1=0$. Nilai terbesar yang mungkin dari hasil perkalian $a$ dan $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{3}{4} \\
(C)\ & \dfrac{4}{3} \\
(D)\ & \dfrac{8}{3}
\end{align}$
Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-ax+a-1=0$ yaitu $\alpha$ dan $\beta$ maka $\alpha + \beta =a$ dan $\alpha \cdot \beta=a-1$.
Karena akar-akarnya berhubungan, maka akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5bx+b=0$ yaitu $\dfrac{1}{\alpha^{2}}$ dan $\dfrac{1}{\beta^{2}}$ maka $\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}}=5b$ dan $\dfrac{1}{\alpha^{2}} \cdot \dfrac{1}{\beta^{2}}=b$ atau $\dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}}=b$.
Dari beberapa data yang kita peroleh di atas, sanggup kita simpulkan:
$\begin{align}
\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}} & = 5b \\
\dfrac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} & = 5b \\
\left(\alpha^{2}+\beta^{2} \right) \dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} & = 5b \\
\left( \left(\alpha +\beta \right)^{2}-2\alpha \beta \right) b & = 5b \\
a^{2}-2(a-1) & = 5 \\
a^{2}-2a+2-5 & = 0 \\
a^{2}-2a-3 & = 0 \\
(a-3)(a+1) & = 0 \\
a = 3\ \text{atau} \ a = -1
\end{align}$
$\begin{array}{c|c|cc}
\text{untuk}\ a=3 & \text{untuk}\ a=-1 \\
b = \dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} & b = \dfrac{1}{\left( \alpha \beta \right)^{2}} \\
b = \dfrac{1}{\left( a-1 \right)^{2}} & b = \dfrac{1}{\left( a-1 \right)^{2}} \\
b = \dfrac{1}{\left( 3-1 \right)^{2}} & b = \dfrac{1}{\left( -1-1 \right)^{2}} \\
b = \dfrac{1}{4} & b = \dfrac{1}{4} \\
ab =\dfrac{3}{4} & ab = -\dfrac{1}{4}
\end{array} $
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{3}{4}$
(7). Didefenisikan $\left \lfloor a \right \rfloor =$ bilangan bundar terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $a$. Sebagai pola $\left \lfloor 2 \right \rfloor=2$; $\left \lfloor \dfrac{3}{4} \right \rfloor=0$; $\left \lfloor \dfrac{5}{4} \right \rfloor=1$. Jika $x=7$ maka nilai $\left \lfloor \dfrac{3x+1}{4-x} \right \rfloor$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & -7 \\
(D)\ & -8
\end{align}$
Untuk $x=7$ maka
$\begin{align}
\left \lfloor \dfrac{3x+1}{4-x} \right \rfloor & = \left \lfloor \dfrac{3(7)+1}{4-7} \right \rfloor \\
& = \left \lfloor \dfrac{21+1}{-3} \right \rfloor \\
& = \left \lfloor \dfrac{22}{-3} \right \rfloor \\
& = \left \lfloor -7\dfrac{1}{3} \right \rfloor \\
& = -8
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ -8$
(8). Disediakan empat bilangan $2,3,4,-2$ yang akan ditempatkan pada empat persegi paling bawah, sehingga tidak ada bilangan yang tersisa. Untuk enam persegi yang lain dibentuk hukum sebagai berikut. Nilai persegi yang bertuliskan aksara $K$ yaitu hasil perkalian dari nilai dua persegi yang tepat berada di bawahnya dan Nilai persegi yang bertuliskan aksara $J$ yaitu hasil penjumlahan dari nilai dua persegi yang tepat berada di bawahnya (lihat gambar di bawah). Nilai paling besar yang mungkin diperoleh pada persegi paling atas adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 400 \\
(B)\ & 74 \\
(C)\ & 61 \\
(D)\ & 57
\end{align}$
Untuk mendapat nilai maskismum pada persegi $J$ terakhir kita usahakan angka yang paling besar yaitu $3$ dan $4$ harus kita kalikan dan $4$ kita gunakan lebih sering dari $3$.
(9). Jika $f[n]$ menyatakan banyak faktor positif dari bilangan bundar $n$ yang lebih dari $\sqrt{n}$, selisih nilai dari $f\left[ \left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2} \right]$ dan $f\left[ \left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2} \right]$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 24 \\
(C)\ & 27 \\
(D)\ & 54
\end{align}$
Untuk $f\left[ \left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2} \right]$
$n=\left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2}$
$n= 3^{8} \cdot 4^{6} $
$n= 3^{8} \cdot 2^{12} $
Banyak faktor positif dari $n$ yaitu $(8+1)(12+1)=117$
Banyak faktor positif dari bilangan bundar $n$ yang lebih dari $\sqrt{n}$ yaitu
$f[n]=\left \lfloor \frac{117}{2} \right \rfloor=58$
Untuk $f\left[ \left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2} \right]$
$n=\left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2}$
$n= 3^{6} \cdot 4^{4} $
$n= 3^{6} \cdot 2^{8} $
Banyak faktor positif dari $n$ yaitu $(6+1)(8+1)=63$
Banyak faktor positif dari bilangan bundar $n$ yang lebih dari $\sqrt{n}$ yaitu
$f[n]=\left \lfloor \frac{63}{2} \right \rfloor=31$
Selisih nilai dari $f\left[ \left(3^{4} \cdot 4^{3} \right)^{2} \right]$ dan $f\left[ \left(3^{3} \cdot 4^{2} \right)^{2} \right]$ yaitu $58-31=27$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 27$
(10). Bilangan tadutima yaitu bilangan bundar positif yang bukan kelipatan $2,3, \text{atau}\ 5$. Banyak bilangan bundar positif kurang dari $1001$ yang merupakan bilangan tadutima adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 333 \\
(B)\ & 266 \\
(C)\ & 233 \\
(D)\ & 167
\end{align}$
Total banyak bilangan bundar positif kurang dari $1001$ yaitu $1000$
- Banyak bilangan kelipatan $2 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 500 \right)$ ada sebanyak 500 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $3 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 333 \right)$ ada sebanyak 333 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $5 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 200 \right)$ ada sebanyak 200 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $6 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 166 \right)$ ada sebanyak 166 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $10 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 100 \right)$ ada sebanyak 100 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $15 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 66 \right)$ ada sebanyak 66 bilangan
- Banyak bilangan kelipatan $30 \times \left(1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,\ 33 \right)$ ada sebanyak 33 bilangan
Banyak bilangan bundar positif kurang dari $1001$ yang merupakan bilangan tadutima yaitu $1000-(500+333+200)+(166+100+66)-33$ yaitu $266$
Perhitungan terakhir di atas untuk mendapat $266$ sanggup juga pakai konsep himpunan yaitu $n\left ( A\cup B\cup C \right )$$=n(A)+n(B)+n(C)$$-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)$$+n(A\cap B\cap C)$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 266$
(11). Di antara bilangan bundar berikut, yang bernilai ganjil untuk setiap bilangan bundar $n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2019-3n \\
(B)\ & 2019+n \\
(C)\ & 2019+2n \\
(D)\ & 2019+n^{2}
\end{align}$
Dari keempat pilihan di atas untuk setiap bilangan bundar $n$ maka kesimpulan yang sanggup kita ambil adalah.
- $2019-3n$, sanggup bernilai genap ketika $n$ ganjil
- $2019+n$ sanggup bernilai genap ketika $n$ ganjil
- $2019+2n$ selalu bernilai ganjil untuk $n$ bilangan bulat
- $2019+n^{2}$ sanggup bernilai genap ketika $n$ ganjil
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 2019+2n$
(12). Diketahui $A$ yaitu himpunan yang mempunyai tepat tiga anggota. Hasil penjumlahan setiap dua bilangan anggota $A$ yaitu $1209, 1690$ dan $2019$. Selisih bilangan terbesar dan terkecil dari anggota $A$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 329 \\
(B)\ & 481 \\
(C)\ & 769 \\
(D)\ & 810
\end{align}$
Kita misalkan $A=\{a,b,c\}$ sehingga
$\begin{array}{c|c|cc}
a+b = 1209 & \\
a+c = 1690 & \\
b+c = 2019 & (+) \\
\hline
2a+2b+2c = 4918 & \\
a+b+c = 2459
\end{array} $
Dari yang kta peroleh di atas sanggup kita simpulkan;
- $c=2459-1209=1250$
- $b=2459-1690=769$
- $a=2459-2019=440$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 810$
(13). Perhatikan gambar. Jika $\angle ABE+\angle ACE+\angle ADE=96^{\circ}$ maka besar $AOE$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 32^{\circ} \\
(B)\ & 48^{\circ} \\
(C)\ & 64^{\circ} \\
(D)\ & 84^{\circ}
\end{align}$
Sudut $\angle ABE$, $\angle ACE$ dan $\angle ADE$ merupakan sudut sudut keliling pada dengan sudut sentra $\angle AOE$ sehingga besar sudut $\angle ABE=\angle ACE=\angle ADE$ yaitu $\dfrac{96}{3}=32^{\circ}$.
Besar sudut $AOE$ yaitu $2 times 32^{\circ}=64^{\circ}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 64^{\circ}$
(14). Perhatikan gambar di bawah. Gambar tersebt yaitu gambar kap lampu yang tidak mempunyai ganjal dan tutup. Alas dan tutup kap lampu berbentuk lingkaran. Luas materi untuk menciptakan kap lampu tersebut adalah...$cm^{2}\ (\pi=3,14)$
$\begin{align}
(A)\ & 1130,4 \\
(B)\ & 1120 \\
(C)\ & 565,2 \\
(D)\ & 560,2
\end{align}$
Jika kap lampu kita panjangkan akan membentuk sebuah kerucut menyerupai gambar di bawah ini;
$\begin{align}
\dfrac{BD}{AE} &= \dfrac{CD}{CE} \\
\dfrac{6}{12} &= \dfrac{CD}{8+CD} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{CD}{8+CD} \\
CD &= 8
\end{align}$
Luas kap lampu yaitu luas selimut kerucut besar dikurang luas selimut kerucut kecil, dimana panjang garis pelukis $(s)$ untuk kerucut kecil $s_{k}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$ sedangkan kerucut besar $s_{b}=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=20$.
$\begin{align}
\text{Luas kap lampu} &= \pi \cdot r_{b} \cdot s_{b} -\pi \cdot r_{k} \cdot s_{k} \\
&= \pi \cdot 12 \cdot 20 -\pi \cdot 6 \cdot 10 \\
&= \pi \left(240 - 60 \right) \\
&= 180 \pi \\
&= 180 \cdot 3,14 =565,2
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 565,2$
(15). Parabola $y=ax^{2}+bx+c$ mempunyai klimaks di $(p,p)$ dan titik potong dengan sumbu $Y$ di $(0,-p)$. Jika $p\neq 0$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 8
\end{align}$
Titik potong dengan sumbu $Y$ yaitu di $(0,-p)$ maka parabola $y=ax^{2}+bx+c$ yaitu $y=ax^{2}+bx-p$
Puncak $(p,p)$, sehingga
$\begin{align}
x_{p} &= -\dfrac{b}{2a} \\
p &= -\dfrac{b}{2a} \\
-2ap &= b \\
y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{2a} \\
p &= -\dfrac{b^{2}+4ap}{4a} \\
-4ap &= b^{2}+4ap \\
b^{2} + 8ap &= 0 \\
b^{2} -4b &= 0 \\
b(b -4) &= 0 \\
b=0\ \text{atau}\ b=4
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 4$
(16). $ABCD$ yaitu jajargenjang. $E$ yaitu titik tengah $AB$. Ruas garis $DE$ memotong $AC$ di titik $P$. Perbandingan luas jajar genjang $ABCD$ dengan luas segitiga $AEP$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 12:1 \\
(B)\ & 8:1 \\
(C)\ & 6:1 \\
(D)\ & 4:1
\end{align}$
Jika kita gambarkan, ilustrasi gambar menyerupai apa yang disampaikan pada soal kurang lebih menyerupai berikut ini;
$\begin{align}
\dfrac{t_{1}}{t_{2}} &= \dfrac{AE}{CD} \\
\dfrac{t_{1}}{t_{2}} &= \dfrac{\dfrac{1}{2} CD}{CD} \\
\dfrac{t_{1}}{t_{2}} &= \dfrac{2}{1} \\
t_{1} &= 2t_{2} \\
t &= t_{1}+t_{2}=3t_{1}
\end{align}$
Perbandingan luas jajar genjang $ABCD$ dengan luas segitiga $AEP$ adalah:
$\begin{align}
\dfrac{[ABCD]}{[AEP]} &= \dfrac{AB \cdot t}{\dfrac{1}{2} \cdot AE \cdot t_{1}} \\
&= \dfrac{AB \cdot 3t_{1}}{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot t_{1}} \\
&= \dfrac{3}{\dfrac{1}{4}} \\
&= \dfrac{12}{1}
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 12:1$
(17). Dalam segitiga sama sisi $ABC$ titik $D,E.$ dan $F$ pada sisi $BC,CA,$ dan $AB$ sehingga $\angle AFE=\angle BFD;$ $\angle BDF=\angle CBE;$ dan $\angle CED=\angle AEf;$. Jika panjang sisi segitiga $ABC$ yaitu $8\ cm$ maka luas segitiga $DEF$ adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{3} \\
(B)\ & 4\sqrt{3} \\
(C)\ & 6\sqrt{3} \\
(D)\ & 8\sqrt{3}
\end{align}$
Jika kita gambarkan, ilustrasi gambar menyerupai apa yang disampaikan pada soal kurang lebih menyerupai berikut ini;
$\begin{align}
[ABC] &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin\ 60^{\circ} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\
&= 16 \sqrt{3}
\end{align}$
Jika kita perhatikan $\bigtriangleup DEF$, sanggup kita simpulkan besar-besar sudutnya yaitu;
$\begin{align}
180-2\alpha+180-2\beta+180-2\theta &= 180 \\
2\alpha+ 2\beta+2\theta &= 360 \\
\alpha+ \beta+ \theta &= 180
\end{align}$
Jika kita perhatikan dari salah satu segitiga, misal $\bigtriangleup AEF$, sanggup kita simpulkan besar-besar sudutnya yaitu;
$\begin{align}
60+ \alpha+\theta &= 180 \\
\alpha+\theta &= 120 \\
\alpha+ \beta+ \theta &= 180 \\
\hline
\beta &= 60 \\
\end{align}$
Dengan cara yang sama menyerupai di atas kita peroleh $\alpha = 60$ dan $\theta = 60$ sehingga $\bigtriangleup DEF$ merupakan segitiga sama sisi.
Luas $[ DEF ]=\dfrac{1}{4}[ABC]=4 \sqrt{3}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 4 \sqrt{3}$
(18). Perhatikan gambar berikut.
Jika panjang $AB=11\ cm$, $BC=15\ cm$, dan $EF=20\ cm$, maka luas bangkit $ABCDEF$ adalah...$cm^{2}$
$\begin{align}
(A)\ & 302 \\
(B)\ & 336 \\
(C)\ & 402 \\
(D)\ & 426
\end{align}$
Jika kita gambarkan kembali, dengan menambahkan garis $BG$ dan titik $O$, menyerupai berikut ini;
$\begin{align}
OE &= \sqrt{BE^{2}-OB^{2}} \\
&= \sqrt{15^{2}-9^{2}} \\
&= \sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12
\end{align}$
Luas $ABCDEF$ sanggup kita hitung dengan menjumlahkan $[AOEF]$ dan $3[OED]$;
$\begin{align}
[ABCDEF] &= [AOEF]+3[OED] \\
&= 20 \times 12 + 3 \left( \dfrac{1}{2} \times 9 \times 12 \right) \\
&= 240 + 162 =402
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 402$
(19). Terdapat empat kotak yang dinomori $1$ hingga $4$. Setiap kotak sanggup diisi maksimum $5$ koin dengan syarat kotak yang bernomor lebih besar dihentikan berisi koin lebih banyak dari kotak yang bernomor kecil. Jika dihentikan ada kotak yang kosong, banyak cara pengisian koin yang meungkin ke dalam keempat kotak tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 25 \\
(B)\ & 70 \\
(C)\ & 252 \\
(D)\ & 625
\end{align}$
Misal urutan kotak kita tuliskan $[I] [II] [III] [IV]$
Kemungkinan I, kotak $I$ berisi $1$ koin
- Kotak $II$ berisi 1 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[1] [1] [1] (5)$ - $[1] [1] [2] (4) $ - $[1] [1] [3] (3) $ - $[1] [1] [4] (2) $ - $[1] [1] [5] (1) $
banyak kemungkinan yaitu $5+4+3+2+1=15$ - Kotak $II$ berisi 2 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[1] [2] [2] (4) $ - $[1] [2] [3] (3) $ - $[1] [2] [4] (2) $ - $[1] [2] [5] (1) $
banyak kemungkinan yaitu $4+3+2+1=10$ - Kotak $II$ berisi 3 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[1] [3] [3] (3) $ - $[1] [3] [4] (2) $ - $[1] [3] [5] (1) $
banyak kemungkinan yaitu $3+2+1=6$ - Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[1] [4] [4] (2) $ - $[1] [4] [5] (1) $
banyak kemungkinan yaitu $2+1=3$ - Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[1] [5] [5] (1) $
banyak kemungkinan yaitu $1$ - Total banyak kemungkinan pada ketika kotak $I$ berisi $1$ koin yaitu $15+10+6+3+1=35$
- Kotak $II$ berisi 2 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[2] [2] [2] (4)$ - $[2] [2] [3] (3)$ - $[2] [2] [4] (2)$ - $[2] [2] [5] (1)$
banyak kemungkinan yaitu $ 4+3+2+1=10$ - Kotak $II$ berisi 3 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[2] [3] [3] (3)$ - $[2] [3] [4] (2)$ - $[2] [3] [5] (1)$
banyak kemungkinan yaitu $ 3+2+1=6$ - Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[2] [4] [4] (2) $ - $[2] [4] [5] (1) $
banyak kemungkinan yaitu $ 2+1=3$ - Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[2] [5] [5] (1)$
banyak kemungkinan yaitu $1=1$ - Total banyak kemungkinan pada ketika kotak $I$ berisi $2$ koin yaitu $10+6+3+1=20$
- Kotak $II$ berisi 3 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[3] [3] [3] (3)$ - $[3] [3] [4] (2)$ - $[3] [3] [5] (1)$
banyak kemungkinan yaitu $ 3+2+1=6$ - Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[3] [4] [4] (2)$ - $[3] [4] [5] (1)$
banyak kemungkinan yaitu $ 2+1=3$ - Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[3] [5] [5] (1)$
banyak kemungkinan yaitu $1=1$ - Total banyak kemungkinan pada ketika kotak $I$ berisi $3$ koin yaitu $6+3+1=10$
- Kotak $II$ berisi 4 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[4] [4] [4] (2)$ - $[4] [4] [5] (1)$
banyak kemungkinan yaitu $ 2+1=3$ - Kotak $II$ berisi 5 koin, banyak kemungkinannya adalah:
$[4] [5] [5] (1)$
banyak kemungkinan yaitu $ 3+1=4$ - Total banyak kemungkinan pada ketika kotak $I$ berisi $4$ koin yaitu $3+1=4$
$[5] [5] [5] (1)$ banyak kemungkinan yaitu $1$
Total banyak kemungkinan cara pengisian koin yaitu $35+20+10+4+1=70$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 70$
(20). Soal kedua untuk setiap buku gres yang datang, seorang pustakawan bertugas untuk melekat label nomor di bab samping buku dan menyampul buku tersebut dengan plastik transparan. Proses melekat label dan menyampul ini disebut pengerjaan. Agar label nomor tidak cepat rusak, proses penyampulan suatu buku harus dilakukan sesudah melekat label nomornya. Jika ada tiga buku gres berbeda yang harus dikerjakan, banyak kemungkinan urutan pengerjaan yang sanggup dilakukan oleh pustakawan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 48 \\
(C)\ & 90 \\
(D)\ & 720
\end{align}$
Urutan pengerjaan yaitu melekat label kemudian menyampul buku.
| Label (L) dan Sampul (S) | |||
|---|---|---|---|
| Urutan 1 | Urutan 2 | Urutan 3 | Urutan 4 |
| (L) | (2L), (3S) | (L), (S) | (S) |
| 3 | 5 | 2 | 3 |
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 90$
(21). Password akun media umum Ahmad terdiri dari enam karakter berbeda penyusun kata "NKRIgo". Ahmad memintamu untuk menebak password-nya dengan menunjukkan dua informasi, yaitu "g" tidak bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I". Jika kau memakai seluruh gosip tersebut dengan baik, peluangmu untuk sanggup eksklusif menebak dengan benar adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{36} \\
(B)\ & \dfrac{1}{72} \\
(C)\ & \dfrac{1}{144} \\
(D)\ & \dfrac{1}{720}
\end{align}$
Berdasarkan Teori Peluang, peluang sebuah insiden $E$ yaitu $P(E)\ = \dfrac{n(E)}{n(S)}$.
Susunan yang diperlukan "g" tidak bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I".
Untuk mendapat susunan menyerupai yang diharapak di atas, kita coba dari:
- banyak susunan "R" bersebelahan dengan "I" yaitu $5! \times 2 =240$
- banyak susunan "g" bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I" yaitu $4! \times 2 \times 2=96$
- banyak susunan "g" tidak bersebelahan dengan "o", dan "R" bersebelahan dengan "I" yaitu $240-96=144$, sehingga $n(S) = 144$
Peluang berhasil menebak dengan benar
$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(S)}$
$P(E) = \dfrac{1}{144}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{1}{144}$
(22). Misalkan terdapat $n$ nilai ulangan mempunyai rata-rata $75$. Jika ada suplemen sebanyak $m$ nilai ulangan yang masing-masing $100$, maka rata-ratanya kini menjadi lebih dari $80$. Nilai $\dfrac{m}{n}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{11} \\
(B)\ & \dfrac{4}{17} \\
(C)\ & \dfrac{2}{9} \\
(D)\ & \dfrac{5}{24}
\end{align}$
Berdasarkan pengertian rata-rata yaitu jumlah data dibagikan dengan banyak data, yang disimbolkan:
$\bar{x} =\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n}$
Untuk $n$ bilangan rata-ratanya yaitu $75$, sehingga sanggup kita tuliskan:
$75 =\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n}$
$75n = x_{1}+x_{2}+X_{3}+ \cdots + x_{n} $
Ada suplemen sebanyak $m$ nilai ulangan yang masing-masing $100$, maka rata-ratanya kini menjadi lebih dari $80$;
$\begin{align}
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n} &= \bar{x} \\
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}+100m }{n+m} & \gt 80 \\
x_{1}+x_{2}+X_{3}+ \cdots + x_{n}+100m & \gt 80m+80n \\
75n+100m & \gt 80m+80n \\
100m-80m & \gt 80n-75n \\
20m & \gt 5n \\
\dfrac{m}{n} & \gt \dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}
\end{align}$
Pilihan yang $\gt \dfrac{1}{4}$ yaitu $\dfrac{4}{11}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ \dfrac{4}{11} $
(23). Diketahui lima buah bilangan bundar positif yang sudah terurut, yaitu $n+1,$ $n+2,$ $2m-4,$ $2m-2,$ $m+4$. Rata-rata lima bilangan tersebut sama dengan jangkauannya dan sama pula dengan mediannya, Nilai $m+n$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 7 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 12
\end{align}$
Berdasarkan pengertian rata-rata yaitu jumlah data dibagikan dengan banyak data, yang disimbolkan:
$\bar{x} =\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n} }{n}$
$\begin{align}
\bar{x} & = R \\
\dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5} }{5} &= x_{5}-x_{1} \\
\dfrac{n+1+n+2+2m-4+2m-2+m+4 }{5} &= (m+4)-(n+1) \\
\dfrac{2n+5m+1}{5} &= m-n+3 \\
2n+5m+1 &= 5m-5n+15 \\
7n &= 14 \\
n &= 2
\end{align}$
$\begin{align}
Me & = R \\
X_{3} &= x_{5}-x_{1} \\
2m-4 &= (m+4)-(n+1) \\
2m-4 &= m+4-3 \\
m &= 5
\end{align}$
Nilai $m+n$ yaitu $5+2=7$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 7$
(24). Diagram batang berikut menyatakan nilai-nilai ulangan matematika kelompok siswa laik-laki dan siswa perempuan.
Jika $M_{1}$ yaitu median untuk nilai ulangan kelompok Laki-laki, $M_{2}$ yaitu median untuk nilai ulangan kelompok Perempuan, dan $M$ yaitu median nilai ulangan keseluruhan siswa, maka $M_{1}+M_{2}+M$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 150 \\
(B)\ & 200 \\
(C)\ & 220 \\
(D)\ & 240
\end{align}$
Dari diagram batang beberapa gosip yang sanggup kita ambil adalah
- Nilai $60$ , $L=5$ dan $P=10$
- Nilai $70$ , $L=12$ dan $P=3$
- Nilai $80$ , $L=1$ dan $P=8$
- Nilai $90$ , $L=6$ dan $P=6$
- Siswa pria ada sebanyak $5+12+1+6=24$ sehingga mediannya berada pada datum ke-$\dfrac{12+13}{2}$ yaitu $M_{1}=70$
- Siswa wanita ada sebanyak $10+3+8+6=27$ sehingga mediannya pada datum ke datum ke-$14$ yaitu $M_{2}=80$
- Siswa keseluruhan ada sebanyak $24+27=51$ sehingga mediannya pada datum ke datum ke-$26$ yaitu $M=70$
Nilai $M_{1}+M_{2}+M$ yaitu $70+80+70=220$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 220$
(25). Diketahui jumlah $20$ suku pertama suatu barisan aritmetika yaitu $1390$. Jika suku pertama dari barisan tersebut yaitu $3$, selisih dari dua suku berurutan di barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 7 \\
(B)\ & 17 \\
(C)\ & 21 \\
(D)\ & 24
\end{align}$
Jumlah $n$ suku pertama pada suatu barisan aritmetika yaitu
$\begin{align}
S_{n} & =\frac{n}{2}\left [2a+\left ( n-1 \right )b \right ] \\
S_{20} & =\frac{20}{2}\left [2(3)+\left ( 20-1 \right )b \right ] \\
1390 & =10 \left [6+19b \right ] \\
1390 & =60 +190b \\
1330 & = 190b \\
b &= \dfrac{1330}{190} =7
\end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 7$
Terima kasih juga disampaikan kepada bapak Ahmad Mustofa, beberapa alternatif pembahasan soal di atas dipengaruhi oleh pandangan gres kreatifnya beliau, jikalau tertarik untuk membacanya silahkan Pembahasan Soal Olimpiade Sains Nasional Sekolah Menengah Pertama tingkat Kota/Kabupaten tahun 2019 Bidang Matematika.
Sebagai tambahan, mungkin ada yang butuh file soal aslinya:
- Soal Olimpiade Sains Nasional Sekolah Menengah Pertama tingkat Kota/Kabupaten tahun 2019 Bidang Matematika d0wnl0ad
- Soal Olimpiade Sains Nasional Sekolah Menengah Pertama tingkat Kota/Kabupaten tahun 2019 Bidang IPA d0wnl0ad
Pembahasan soal diatas masih jauh dari sempurna, Makara jikalau ada masukan yang sifatnya membangun terkait dilema alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan😊CMIIW
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Mengerjakan pembagian pecahan umumnya kita harus kembalikan ke perkalian pecahan, lihat pada video ini dikerjakan dengan cara pilar (pintar bernalar);
EmoticonEmoticon