Belajar Modulo Dengan Cara Sederhana

• $2 \mid 4$ sebab untuk $k=7$ sehingga $2k=14$
• $5 \mid 30$ sebab untuk $k=6$ sehingga $5k=30$
• $3 \nmid 10$ sebab tidak ada nilai $k$ sehingga $3k=10$

hal sederhana diatas menjadi isu pelengkap bagi kita untuk mengenal modulo. Sebelum mempelajari modulo kita coba hal-hal sederhana berikutnya, contohnya dari pembagian $13:4=3\ sisa\ 1$, ada beberapa isu yang kita sanggup yaitu
$(i)$ $13$ dibagi $4$ sisa $1$ dan
$(ii)$ $4$ faktor $(13-1)$.

Penulisan dengan memakai modulo isu $(i)$ $13$ dibagi $4$ sisa $1$ sanggup kita tulis menjadi $13\equiv 1\ mod\ (4)$.

Contoh lain:

1. $27\equiv 2\ mod\ \left ( 5 \right )$ artinya $27$ dibagi $5$ sisa $2$
2. $48\equiv 6\ mod\ \left ( 7 \right )$ artinya $48$ dibagi $7$ sisa $6$
3. $a\equiv b\ mod\ \left ( n \right )$ artinya $a$ dibagi $n$ sisa $b$

Hubungan modulo dengan keterbagian ibarat yang kita sebutkan diawal yaitu:

1. $27\equiv 2\ mod\ \left ( 5 \right )$ $\Rightarrow$ $5 \mid (27-2)$ atau $5$ faktor dari $(27-2)$
2. $48\equiv 6\ mod\ \left ( 7 \right )$ $\Rightarrow$ $7 \mid (48-6)$ atau $7$ faktor dari $(48-6)$
3. $13\equiv 1\ mod\ \left ( 4 \right )$ $\Rightarrow$ $4 \mid (13-1)$ atau $4$ faktor dari $(13-1)$

Kesimpulan sederhana dari modulo ini lebih memperhatikan sisa pembagian dari pada hasil pembagian. Secara umum sanggup kita tuliskan
$a\equiv b\ mod\ \left ( n \right )$ $\Rightarrow $ $n \mid (a-b)$ atau $n$ faktor dari $(a-b)$

Kita coba diskusikan beberapa teladan soal yang bisa dikerjakan dengan modulo, tetapi sebelumnya kita coba lihat teorema modulo berikut yang bisa kita terapkan pada soal yang berikutnya.

$\left ( an+b \right )^{m}=\binom{m}{0}\left ( an \right )^{m}\cdot b^{0}+\binom{m}{1}\left ( an \right )^{m-1}\cdot b^{1}+\cdots +\binom{m}{m}\left ( an \right )^{0}\cdot b^{m}$
$\left ( an+b \right )^{m}=\left ( an \right )^{m}+\binom{m}{1}\left ( an \right )^{m-1}\cdot b^{1}+\cdots +b^{m}$
$\left ( an+b \right )^{m}=\overset{\underbrace{\left ( an \right )^{m}+\binom{m}{1}\left ( an \right )^{m-1}\cdot b+\cdots }}{habis\ dibagi\ n}+b^{m}$

dengan memakai modulo sanggup kita tulis menjadi;
$\left ( an+b \right )^{m}$ dibagi $n$ sisa $b^{m}$ atau $\left( an+b \right )^{m}\equiv b^{m}\ mod\ \left ( n \right )$.

Untuk lebih jelasnya kita coba dengan beberapa teladan berikut;

(1) Sisa $16^{2}$ dibagi $3$ adalah...

$\left( 16 \right )^{2}= \left ( 5\cdot 3+1 \right )^{2}$
$\left( 16 \right )^{2}\equiv 1^{2}\ mod\ \left ( 3 \right )$
$\left( 16 \right )^{2}\equiv 1\ mod\ \left ( 3 \right )$
hasil selesai sisa $16^{2}$ dibagi $3$ ialah $1$.

(2) Sisa $17^{20}$ dibagi $5$ adalah...

$\left( 17 \right )^{20}= \left ( 5\cdot 3+2 \right )^{20}$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 2^{20}\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (2^{3} \right )^{6}\cdot 2^{2}\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 8^{6}\cdot 2^{2}$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (5+3 \right )^{6}\cdot 4\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 3^{6}\cdot 4\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 9^{3}\cdot 4\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (5+4 \right )^{3}\cdot 4\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (4 \right )^{3}\cdot 4\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (4 \right )^{4} mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (16 \right )^{2} mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (5 \cdot 3+1 \right )^{2} mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (1 \right )^{2} mod\ \left ( 5 \right )$
hasil selesai sisa $17^{20}$ dibagi $5$ ialah $1$.

Untuk mengerjakan soal modulo sangat dipengaruhi oleh tingkat kreativitas kita, sebagai teladan soal diatas bisa kita kerjakan dengan versi kreativitas yang berbeda,
$\left( 17 \right )^{20}= \left ( 5\cdot 3+2 \right )^{20}$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 2^{20}\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 4^{10}\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv \left (-1 \right )^{10}\ mod\ \left ( 5 \right )$
$\left( 17 \right )^{20}\equiv 1^{10}\ mod\ \left ( 5 \right )$

Bentuk penulisan $13$ dibagi $4$ sisa $1$ yaitu $13\equiv 1\ mod\ \left ( 4 \right )$ untuk sementara bisa juga dituliskan $13\equiv -3\ mod\ \left ( 4 \right )$ tetapi pada hasil selesai dituliskan kembali sisa pembagian ialah nol atau bilangan bundar positif dan kurang dari pembagi.

Soal berikut mungkin bisa jadi contoh;
Sisa $2^{2015}$ dibagi $9$ adalah...
$\left( 2 \right )^{2015}= \left( 2^{3} \right )^{671} \cdot 2^{2}$
$\left( 2 \right )^{2015}\equiv \left( 8 \right )^{671} \cdot 4\ mod\ \left ( 9 \right )$
$\left( 2 \right )^{2015}\equiv \left( -1 \right )^{671} \cdot 4\ mod\ \left ( 9 \right )$
$\left( 2 \right )^{2015}\equiv \left( -1 \right )^{671} \cdot 4\ mod\ \left ( 9 \right )$
$\left( 2 \right )^{2015}\equiv -4\ mod\ \left ( 9 \right ) $
$\left( 2 \right )^{2015}\equiv 5\ mod\ \left ( 9 \right ) $
Hasil selesai sisa $2^{2015}$ dibagi $9$ ialah $5$.

Penjelasan Modulo diatas masih sangat sederhana, sebagai klarifikasi pelengkap bisa pelajari Panduan Pemula Belajar Aritmetika Modular😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Sumber http://www.defantri.com