Nomor 1
Soal: Sebuah kawasan air berbentuk kerucut terbalik dengan jari-jari bantalan 60 cm dan tinggi 100 cm diisi dengan laju 25 cm^3/detik
a. Tentukan laju perubahan tinggi air pada dikala tingginya 25 cm !
b. Berapa usang waktu yang dibutuhkan untuk mengisi kawasan tersebut sampai penuh?
Jawab a :
Misalkan:
r yaitu jari-jari permukaan air,
h yaitu ketinggian air, dan
V yaitu volume air dalam kerucut
Sehingga diperoleh :
r yaitu jari-jari permukaan air,
h yaitu ketinggian air, dan
V yaitu volume air dalam kerucut
Sehingga diperoleh :
V = (1/3).Ï€.r^2.h
Hubungan antara r dan h diberikan oleh:
(60/100) = (r/h)
r = (60h/100) <=> r = (3h/5)
Dengan demikian :
V = (1/3) . π . (3h/5)^2 . h = (9/25) . π . h^3
Sehingga :
dV 9 dh
----- = ---- (Ï€ . h^2) ------
dt 25 dt
dh 25 dV/dt
---- = ------ --------------
dt 9 π 25^2
Pada dikala h = 25 cm diperoleh :
(dh/dt) = (25/9) . (25/(Ï€ . 25^2)) = (1/9Ï€) cm/detik
Jawab b :
Waktu yang dibutuhkan untuk mengisi kawasan tersebut sampai penuh :
volume kerucut (1/3) . π . 60^2 . 100
dt = ----------------------- = ---------------------------- = 4800Ï€ detik = 800Ï€ menit
laju pengisian 25
Nomor 2
Soal: Seseorang mengisi sebuah tabung berdiameter 10 cm dan tinggi 8 cm dengan laju tetap 30 cm^3/detik. Tanpa disadari, tabung yang beliau gunakan bocor, sehingga air keluar dari tabung dengan laju tetap 5 cm^3/detik
a. Hitunglah laju bertambahnya ketinggian permukaan air di tabung pada dikala ketinggian air 4 cm!
b. Berapa usang waktu yang dibutuhkan untuk mengisi tabung tersebut dari keadaan kosong sampai penuh?
Diketahui diameter tabung 10 cm sehingga jari-jari bantalan tabung yaitu 5 cm
Jawab a:
Misalkah
h yaitu tinggi permukaan air di dalam tabung [dalam cm]
V yaitu volume air dalam tabung [dalam cm^3]
h yaitu tinggi permukaan air di dalam tabung [dalam cm]
V yaitu volume air dalam tabung [dalam cm^3]
Laju yang diketahui:
dV/dt = (30-5) = 25 cm^3/detik
V = π . 5^2 . h = 25πh (karena r = 5 konstan)
dV/dt = 25Ï€ (dh/dt)
Sehingga pada dikala h = 4 cm berlaku:
25 = 25Ï€ (dh/dt) <==> dh/dt = 1/Ï€ cm/detik
Jawab b:
Diketahui tinggi tabung yaitu 8 cm dan laju naiknya tinggi permukaan air yaitu 1/Ï€ cm/detik, sehingga supaya tabung penuh dibutuhkan waktu 8Ï€ detik
Nomor 3
Soal: Spongbob yaitu makhluk maritim yang berbentuk balok. Jika ada di daratan, Spongbob bisa minum [menyerap] air dengan laju 3 cm^3/detik. Bersamaan dengan itu, badannya membesar dengan bentuk dan perbandingan panjang, lebar dan tebalnya tetap. Jika diketahui ukuran panjang 2 cm, lebar 2 cm dan tebalnya 1 cm. Maka tentukan laju perubahan luas tubuh Spongbob pada waktu tebal tubuhnya 2 cm.
Jawab:
Misalkan:
t : waktu dalam detik,
p(t) : panjang tubuh Spongbob pada waktu t,
l(t) : lebar tubuh Spongbob pada waktu t,
h(t) : tebal tubung Spongbob pada waktu t,
V(t) : volume air yang masuk ke dalam tubuh Spongbob pada dikala t,
L(t) : luas permukaan tubuh Spongbob pada dikala t,
Diketahui:
dV(t)/dt = 3 cm^3/detik
p(t) : l(t) : h(t) = 2 : 2 : 1 ===> p(t) = l(t) = 2h(t)
Ditanyakan : dL(t)/dt pada dikala h = 2
Karena tubuh Spongbob berbentuk balok, maka:
V = plh = (2h)(2h)h = 4h^3
dV/dt = 12 . h^2 . dh/dt
3 = 12. h^2 . dh/dt ===> dh/dt = 1/4 h^2
Luas permukaan :
L = 2pl + 2hl + 2ph
= 2(2h)(2h) + 2h(2h) + 2(2h)h = 16 h^2
dL/dt = 32 dh/dt = 32h (1/4 h^2) = 8/h
Pada dikala h = 2, dL/dt = 4 cm^2/detik
Nomor 4
Soal: Dua mahasiswa Sinta dan Jojo bangkit terpisah dengan Jojo berada 30 meter di sebelah timur Sinta. Sinta lalu bersepeda ke utara dengan kecepatan 5 meter/detik dan 5 menit lalu Jojo bersepeda ke selatan dengan kecepatan 3 meter/detik. Berapa jauh perubahan jarak antara keduanya 10 menit sehabis Sinta mulai mengayuh sepeda?
Jawab:
Misalnya:
g(t) yaitu jarak yang sudah ditempuh Sinta pada dikala t,
k(t) yaitu jarak yang sudah ditempuh Jojo pada dikala t,
z(t) yaitu jarak antara Sinta dan Jojo pada dikala t,
Diketahui:
dg/dt = 5 meter/detik
dk/dt = 3 meter/detik
Yang ditanyakan: dz/dt pada dikala Sinta sudah bersepeda selama 10 menit [atau selama Jojo bersepeda selama 10 - 5 = 5 menit]
Menurut Teotema Phytagoras, kekerabatan antara g, k dan z diberikan oleh:
z^2 = (g + k) ^2 + 30^2 <====> 2z dz/dt = 2(g + k) (dg/dt + dk/dt)
<====> dz/dt = (g + k)/z (dg/dt + dk/dt)
Jarak yang ditempuh Sinta sehabis bersepeda selama 10 menit:
g = 5 . (10 . 60) = 3000 meter
Jarak yang ditempuh Jojo sehabis bersepeda selama 5 menit:
k = 3 . (5 . 60) = 900 meter
Pada dikala g = 3000 meter dan k = 900 meter, diperoleh:
z = √( (g + k)^2 + 30^2 ) = √( (3000 + 900)^2 + 30^2 ) = 30√16901
Sehingga,
dz/dt = (g + k)/z (dg/dt +dk/dt)
= (3000 + 900)/(30√16901) . (5 + 3) = 8 meter/detik
Nomor 5
Soal: Ketika sedang menyaksikan suatu festival kedirgantaraan, Mr Rate melihat sebuah pesawat tempur (P) melintas lurus di depannya dengan laju 500 km/jam. Jarak terdekat lintasan pesawat tersebut terhadap penonton (Mr Rate, R) adalah 0,5 km.
a. Tentukan laju sudut pandang penonton pesawat dari garis lurus yang tegak lurus terhadap lintasan pesawat ($\theta$) terhadap waktu t, yaitu d$\theta$/dt, sebagai fungsi dari $\theta$.
b. Tentukan nilai maksimum dari d$\theta$/dt
Jawab a :
Misalkan:
x yaitu jarak yang ditempuh pesawat dari titik yang berada sempurna 0,5 km di ayar R, maka:
tan $\theta$ = x/0,5 =2x
Jika kedua ruas diturunkan terhadap t, akan diperoleh:
Sec^2 $\theta$ d$\theta$/dt = 2 dx/dt = 2 (500) = 1000
d$\theta$/dt = (1000/sec^2) = 1000 cos^2 $\theta$
Jawab b :
Karena nilai maksimum dari cos^2 $\theta$ yaitu 1 maka nilai maksimum dari d$\theta$/dt yaitu 1000(1) = 1000 rad/jam
dV/dt = (30-5) = 25 cm^3/detik
V = π . 5^2 . h = 25πh (karena r = 5 konstan)
dV/dt = 25Ï€ (dh/dt)
Sehingga pada dikala h = 4 cm berlaku:
25 = 25Ï€ (dh/dt) <==> dh/dt = 1/Ï€ cm/detik
Jawab b:
Diketahui tinggi tabung yaitu 8 cm dan laju naiknya tinggi permukaan air yaitu 1/Ï€ cm/detik, sehingga supaya tabung penuh dibutuhkan waktu 8Ï€ detik
Nomor 3
Soal: Spongbob yaitu makhluk maritim yang berbentuk balok. Jika ada di daratan, Spongbob bisa minum [menyerap] air dengan laju 3 cm^3/detik. Bersamaan dengan itu, badannya membesar dengan bentuk dan perbandingan panjang, lebar dan tebalnya tetap. Jika diketahui ukuran panjang 2 cm, lebar 2 cm dan tebalnya 1 cm. Maka tentukan laju perubahan luas tubuh Spongbob pada waktu tebal tubuhnya 2 cm.
Jawab:
Misalkan:
t : waktu dalam detik,
p(t) : panjang tubuh Spongbob pada waktu t,
l(t) : lebar tubuh Spongbob pada waktu t,
h(t) : tebal tubung Spongbob pada waktu t,
V(t) : volume air yang masuk ke dalam tubuh Spongbob pada dikala t,
L(t) : luas permukaan tubuh Spongbob pada dikala t,
Diketahui:
dV(t)/dt = 3 cm^3/detik
p(t) : l(t) : h(t) = 2 : 2 : 1 ===> p(t) = l(t) = 2h(t)
Ditanyakan : dL(t)/dt pada dikala h = 2
Karena tubuh Spongbob berbentuk balok, maka:
V = plh = (2h)(2h)h = 4h^3
dV/dt = 12 . h^2 . dh/dt
3 = 12. h^2 . dh/dt ===> dh/dt = 1/4 h^2
Luas permukaan :
L = 2pl + 2hl + 2ph
= 2(2h)(2h) + 2h(2h) + 2(2h)h = 16 h^2
dL/dt = 32 dh/dt = 32h (1/4 h^2) = 8/h
Pada dikala h = 2, dL/dt = 4 cm^2/detik
Nomor 4
Soal: Dua mahasiswa Sinta dan Jojo bangkit terpisah dengan Jojo berada 30 meter di sebelah timur Sinta. Sinta lalu bersepeda ke utara dengan kecepatan 5 meter/detik dan 5 menit lalu Jojo bersepeda ke selatan dengan kecepatan 3 meter/detik. Berapa jauh perubahan jarak antara keduanya 10 menit sehabis Sinta mulai mengayuh sepeda?
Jawab:
Misalnya:
g(t) yaitu jarak yang sudah ditempuh Sinta pada dikala t,
k(t) yaitu jarak yang sudah ditempuh Jojo pada dikala t,
z(t) yaitu jarak antara Sinta dan Jojo pada dikala t,
Diketahui:
dg/dt = 5 meter/detik
dk/dt = 3 meter/detik
Yang ditanyakan: dz/dt pada dikala Sinta sudah bersepeda selama 10 menit [atau selama Jojo bersepeda selama 10 - 5 = 5 menit]
Menurut Teotema Phytagoras, kekerabatan antara g, k dan z diberikan oleh:
z^2 = (g + k) ^2 + 30^2 <====> 2z dz/dt = 2(g + k) (dg/dt + dk/dt)
<====> dz/dt = (g + k)/z (dg/dt + dk/dt)
Jarak yang ditempuh Sinta sehabis bersepeda selama 10 menit:
g = 5 . (10 . 60) = 3000 meter
Jarak yang ditempuh Jojo sehabis bersepeda selama 5 menit:
k = 3 . (5 . 60) = 900 meter
Pada dikala g = 3000 meter dan k = 900 meter, diperoleh:
z = √( (g + k)^2 + 30^2 ) = √( (3000 + 900)^2 + 30^2 ) = 30√16901
Sehingga,
dz/dt = (g + k)/z (dg/dt +dk/dt)
= (3000 + 900)/(30√16901) . (5 + 3) = 8 meter/detik
Nomor 5
Soal: Ketika sedang menyaksikan suatu festival kedirgantaraan, Mr Rate melihat sebuah pesawat tempur (P) melintas lurus di depannya dengan laju 500 km/jam. Jarak terdekat lintasan pesawat tersebut terhadap penonton (Mr Rate, R) adalah 0,5 km.
a. Tentukan laju sudut pandang penonton pesawat dari garis lurus yang tegak lurus terhadap lintasan pesawat ($\theta$) terhadap waktu t, yaitu d$\theta$/dt, sebagai fungsi dari $\theta$.
b. Tentukan nilai maksimum dari d$\theta$/dt
Jawab a :
Misalkan:
x yaitu jarak yang ditempuh pesawat dari titik yang berada sempurna 0,5 km di ayar R, maka:
tan $\theta$ = x/0,5 =2x
Jika kedua ruas diturunkan terhadap t, akan diperoleh:
Sec^2 $\theta$ d$\theta$/dt = 2 dx/dt = 2 (500) = 1000
d$\theta$/dt = (1000/sec^2) = 1000 cos^2 $\theta$
Jawab b :
Karena nilai maksimum dari cos^2 $\theta$ yaitu 1 maka nilai maksimum dari d$\theta$/dt yaitu 1000(1) = 1000 rad/jam
Semoga Bermanfaat
Sumber http://easy-matematika.blogspot.com
EmoticonEmoticon