Kamis, 28 Juni 2018

Koefisien Binomial (Ekspansi Binomial)

 Ekspansi binomial merupakan salah satu bentuk kegunaan aplikasi perhitungan kombinasi Koefisien Binomial (Ekspansi Binomial)
Ekspansi binomial merupakan salah satu bentuk kegunaan aplikasi perhitungan kombinasi. Misalkan anda mempunyai $(x+y)^n$ , maka penggunaan perluasan binomial yakni untuk memilih nilai dari koefisien pembagian terstruktur mengenai perluasan tersebut.

Sebagai  pola sederhana, misalkan
$(x+y)^4 =x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y4$.
Sangat sederhana, anda sanggup memilih perluasan suku suku pembagian terstruktur mengenai dan koefisiennya. Lantas bagaimana kalau menemukan permasalahan $(x+y)^100$. Bisakah anda memilih koefisien $x^{49}y^{51}$. Inilah bentuk penggunaan kombinasi dalam perluasan binomial. Di sini ada beberapa teorema,

Teorema 1 -Teorema Koefisien Binomial

Misalkan x dan y yakni variabel, dan n yakni bilangan bundar non-negatif, maka

Pembuktian teorema ini sanggup mengunakan kombinatorik. Suku pada penjabara $(x+y)^n$ akan berbentuk $ x^{n−j}y^j$ untuk nilai j =0,1,2,...,n. Perhitungan banyaknya suku
Untuk menghitung banyaknya $ x^{n−j}y^j$, perlu dipilih$ (n−j) x $dari n faktor. Oleh alasannya yakni itu maka koeefisien dari $ x^{n−j}y^j$ yakni $\begin{pmatrix} n \\  n-j \end{pmatrix}$ yang ekivalen dengan $\begin{pmatrix} n \\  j \end{pmatrix}$

Contoh Soal Ekspansi Binomial 1
Berapakah nilai koefisien dari $x^{12}y^{13}$ pada perluasan $(x+y)^{25}$?

Pembahasan:
Berdasarkan teorema binomial maka koefisien dari $x^{12}y^{13}$ adalah,
$\begin{pmatrix} 25 \\  13 \end{pmatrix}=_{25} C _{13}  = \frac {25!}{13!12!}=5.200.300$

Contoh Soal Ekspansi Binomial 2
Berapakah nilai koefisien dari $x^{12}y^{13}$ pada perluasan $ (2x−3y)^{25}$

Pembahasan:
lisan $(2x−3y)^{25}= (2x+(−3y))^{25}$.
Berdasarkan teorema binomial,
maka $x^{12}y^{13}$ di sanggup pada dikala j=13.
$\begin{pmatrix} 25 \\  13 \end{pmatrix} 2^{12}(−3)^{13}= _{25} C_{13}2^{12}(−3)^{13}=− \frac {25!}{13!12!} 2^{12}3^{13}$

Berikutnya lanjutkan membaca: Teorema 2 - Identitas Segitiga Pascal.
Sumber http://www.marthamatika.com/


EmoticonEmoticon