Cara Menghitung Jarak Titik Ke Bidang

Salah satu bab dari menghitung jarak dalam geometri ialah menghitung jarak antara titik dan bidang. Bagaimana cara menghitung jarak antara titik dan bidang ini?

Berikut langkah mencari jarak antara titik dan bidang, Dimisalkan titik A dan bidang 𝛼

1. Buatlah bidang 𝛽 yang melalui titik A dan memotong tegak lurus bidang  𝛼
2. Buatlah Garis g yang mana perpotongan bidang 𝛼 dan bidang 𝛼 dan bidang 𝛽 (bidang yang dibentuk dari langkah pertama)
3. Tarik Garis tegak Lurus yang melewati titik A dan memotong garis g
4. Hitung jarak titik dan garis tersebut. (Baca: Cara Menghitung Jarak Titik ke Garis)

Agar memudahkan memahami cara menghitung jarak titik ke Bidang ini, silahkan perhatikan pola soal dan pembahasan mencari jarak titik ke garis di bawah ini.

Soal 1

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 1 cm. Titik P, Q, R, S berada di tengah AE, BF, BC dan AE. Bila titik K berada di tengah AB, tentukan jarak antara titik K dan bidang PQRS.

Pembahasan
Jika kita gambarkan, maka akan diperoleh gambar dan langkah menyerupai berikut,

Pada gambar pertama itu ialah bidang dan titik yang diketahui. Kemudian pada gambar ke dua, saya menciptakan bidang yang berwarna biru dimana bidang tersebut memotong bidang yang diketahui dan melalui titik yang diketahui.

Selanjutnya saya lakukan langkah ke-dua dimana mencari perpotongan antar bidang. Terlihat perpotongan antar bidang tersebut pada gambar ketiga yaitu garis yang berwarna putih.

Pada langkah ke-3 saya lakukan dengan menarik garis berwarna hijau. Panjang garis berwarna hijau inilah jarak antara titik dan bidang. Untuk menghitung jarak titik K dan bidang tersebut (garis putih) dilakukan dengan cara. Perhatikan segitiga K dan garis putih, segitiga tersebut kongruen dengan segitiga ASP. Oleh lantaran itu saya akan ambil segitiga ASP.

Segitiga ASP siku-siku di A. Sementara itu AS=AP ialah setengah rusuk, artinya AS =AP = 1/2 cm. Dengan memakai dalil Phytagoras akan didapat SP = $ \frac {1}{2} \sqrt 2$. Kita akan gunakan persamaan luas segitiga,

Carilah luas segitiga dengan bantalan AS dan Tinggi AP. Versi ke-dua gunakah bantalan PS sehingga tinggi segitiga haruslah x. Kita sanggup tulis,
$$L\bigtriangleup =L\bigtriangleup  \\ \frac {1}{2}AS.AP = \frac {1}{2}.PS.x \\ x = \frac {AS.AP}{PS} \\ x= \frac {\frac {1}{2}. \frac{1}{2}}{\frac {1}{2} \sqrt2}= \frac {1}{4} \sqrt 2$$
Untuk lebih memantapkan, Anda harus benar paham Jarak Antara titik dan Garis.

Soal 2
Diketahui limas T.ABCD dengan bantalan persegi dengan sisi 16 cm. Jika rusuk tegak limas 17 cm. Hitunglah jarak antara titik P (berada di tengah AD dan bidang TBC.

Pembahasan:
Mengikuti langkah di atas akan didapat gambar sebagai berikut,

Segitiga TP dan garis berwarna putih saya keluarkan. Sehingga gambar tersebut,

RALAT : Sin E = x/PE

Panjang PE = AB = 16 cm. Sementara TP tersebut sama dengan TE. Sebelumnya Kita akan cari TP , dari segitiga TDP.

Sekarang kita telah mempunyai PE, TP dan TE. Kita gunakan rumus cosinus untuk mencari cos E,
$$TP^2 = PE^2 + TE^2 - 2.PE.TE.cos E \\  15^2 = 16^2+15^2 - 2.15.16.cos E \\ cos E = \frac {16}{30} $$
Gunakan identitas trigonometri,
$$ sin^2E+cos^2E =1 \\ sin E = \sqrt {1- cos^2E} \\ sin E = \sqrt {\frac{644}{900}} \\ sin E = \frac {1}{15} \sqrt {161}$$

Lalu kita pandang segitiga siku siku antara garis kuning dan PE.
$$ sin E = \frac {x} {PE} \\  \frac {1}{15} \sqrt {161} = \frac {x}{16} \\ x = \frac {16}{15} \sqrt 161$$

Jika kurang memahami perhitungan dan alasan kenapa memakai rumus cosinus, silahkan baca kembali terlebih dahulu bahan jarak titik dan garis.

Sumber http://www.marthamatika.com/