Contoh Aplikasi Integral salah satunya ialah dipakai untuk mencari panjang tali busur sebuah kurva. Penggunaan integral dalam memilih panjang busur dengan integral ini ialah bentuk dari penerapan jumlah Riemann.
Akan dihitung panjang busur kurva f(x) pada interval [a,b]. Atau dapat juga kalau ingin menghitung interval [C,D].
Untuk menghitungnya maka dibentuk garis yang berwarna merah. Sekarang fokus pada interval [C,D]. Di sini, panjang garis yang berwarna merah dan menghubungkan C dan D dimana
$ C(x_{k-1}, y_{k-1}) \, $ ke titik $ D(x_{k}, y_{k}) \, $ dan gunakan rumus jarak antara dua titik.
jarak $ = \sqrt{(x_k - x_{k-1})^2 + (y_k - y_{k-1})^2 } = \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } $.
Pendekatan ini dilakukan untuk menghitung busur kurva CD sehingga dapat ditulis,
$ \, = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } $
Dengan mengambil nilai $ \Delta x_k \, $ dan $ \Delta y_k \, $ sedemikian sehingga kecil sekali akan diperoleh n bagian mendekati tak hingga. Ini dapat dirumuskan menjadi,
Panjang busur $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } \, $
atau Jumlah Riemann Panjang busur
$ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ 1 + \left( \frac{\Delta y_k}{\Delta x_k} \right)^2 } \, \Delta x_k = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \, $
Atau
$ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \left( \frac{\Delta x_k}{\Delta y_k} \right)^2 + 1 } \, \, \Delta y_k = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy $.
Pendekatan untuk menghitung panjang busur kurva di atas agak terlalu susah. Alternatif lain, anda dapat gunakan dengan Integral.
Rumus dan Cara Menghitung Panjang Busur dengan Integral
Akan dihitung panjang busur kurva dari P (a,c) dan Q (b,d). Ada dua pilihan dalam menghitungnya. Anda dapat hitung secara sumbu x atau sumbu y, dimana masing masingnya:
Panjang Kurva Sumbu X
$ \, = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx $
Panjang Kurva Sumbu Y
$ \, = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy $
Rasanya mungkin anda masih bingung. Agar lebih gampang silakan lihat pola soal dan pembahasan memilih panjang busur dengan integral berikut ini,
Contoh Soal dan Pembahasan Menghitung panjang Tali Busur Kurva
Soal 1. Hitung lah panjang busur kurva $ 9y^2 = 4x^3 \, $ dari titik $ P(0,0) \, $ ke titik $ Q(3, 2\sqrt{3}) $ ?
Pembahasan:
Pertama - Fungsi diubah bentuknya
$ 9y^2 = 4x^3 \rightarrow y = \sqrt{\frac{4x^3}{9}} = \frac{2}{3} x^\frac{3}{2} $
Kedua - Tentukan turunan fungsi tersebut
$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} . \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} = x^\frac{1}{2} $
Ketiga - Menghitung Panjang Busur PQ,
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 \sqrt{ 1 + \left( x^\frac{1}{2} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 \sqrt{ 1 + x } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 ( 1 + x )^\frac{1}{2} \, dx \\ & = [ \frac{2}{3} ( 1 + x )^\frac{3}{2} ]_0^3 \\ & = [ \frac{2}{3} ( 1 + 3 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{2}{3} ( 1 + 0 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{2}{3} . 8 ] - [ \frac{2}{3} . 1 ] \\ & = \frac{2}{3} . 7 \\ & = \frac{14}{3} \end{align} $
Soal 2. Hitunglah panjang dari busur y=3x dari titik M (0,0) dan N (2,6).
Pembahasan:
Untuk soal ini akan kita lihat menghitung panjang busur menurut sumbu x dan sumbu y.
Untuk Sumbu x,
x [ 0,2]
Turunan:
$ y = 3x \rightarrow \frac{dy}{dx} = 3 $
Panjang Busur:
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 1 + \left( 3 \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 1 + 9 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 10 } \, dx \\ & = [ \sqrt{ 10 } x ]_0^2 \\ & = [ \sqrt{ 10 } .2 ] - [ \sqrt{ 10 } . 0 ] \\ & = [ 2\sqrt{ 10 } ] - [ 0 ] \\ & = 2\sqrt{ 10 } \end{align} $
Sekarang untuk sumbu y, interval y= [0,6]
Fungsi dan Turunanya
$ y = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}y \rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{3} $
Menghitung Panjang Busur:
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \left( \frac{1}{3} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1}{9} + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1+9}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{10}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } \, \, dy \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }y ]_0^6 \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }. 6 ] - [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } . 0 ] \\ & = [ 2\sqrt{ 10 } ] - [ 0 ] \\ & = 2\sqrt{ 10 } \end{align} $
Menghitung Panjang Busur Kurva Fungsi parameter
Pengertian fungsi parameter secara sederhana saja yaitu yang mempunyai bentuk:
$ x = f(t) \, $ dan $ y = g(t) \, $
Untuk menghitung panjang busur (biasanya berupa soal dongeng dan ditanyakan panjang lintasan), maka dipakai rumus:
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \times \frac{dt}{dt} \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {dt} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {(dt)^2} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 + ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 } {(dt)^2} + \frac{ ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \end{align} $
Agar tahu maksud saya menyerupai apa perhatikan pola soal di bawah ini,
Soal 3. Seekor semut berjalan pada lintasan dimana dinyatakan posisi semut tersebut terhadap waktu yaitu: $ x = 3t \, $ dan $ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} $, dengan $ t \, $ dalam detik. Panjang lintasan yang ditempuh semut tersebut dalam waktu 1 detik adalah...
Pembahasan:
$ x = 3t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3 $
$ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} \rightarrow \frac{dy}{dt} = \frac{8}{3} . \frac{3}{2}t^\frac{1}{2} = 4t^\frac{1}{2}$
Panjang Lintasan:
$ \begin{align} \text{Panjang lintasan } & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( 3 \right)^2 + \left( 4t^\frac{1}{2} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 \sqrt{ 9 + 16t } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 ( 9 + 16t )^\frac{1}{2} \, \, dt \\ & = [ \frac{1}{6} . \frac{2}{3} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.1 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.0 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} ( 25 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{1}{9} ( 9 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} . 125 ] - [ \frac{1}{9} . 27 ] \\ & = \frac{1}{9} ( 125 - 27 ) \\ & = \frac{1}{9} ( 98 ) \\ & = \frac{98}{9} \\ & = 10\frac{8}{9} \end{align} $
