Contoh Soal Dan Pembahasan Limit E

Salah satu permasalahan dalam limit yakni mengenai limit e. Untuk rumus dasar limit e dapat berikut ini,
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^n=e $
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1- \frac{1}{n} \right )^{-n}=e $
$\lim_{x\rightarrow 0} \left ( 1+ n \right )^{ \frac{1}{n} }=e $

Inti dari penyelesaian soal dengan limit e tersebut yakni menciptakan bentuk umum menjadi bentuk e tersebut. Untuk lebih memudahkan pemahaman, coba perhatikan tumpuan soal dan pembahasan perihal limit e ini.

1)Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{2x} \right )^x $ !
Jika diperhatikan ini formatnya hampir sama dengan rumus pertama dimana n=2x, namun untuk pangkan belum sama dengan bab belahan $ \frac {1} {2x}$. Untuk itu kita akan ubah pangkat tersebut menjadi n atau 2x. tetapi tanpa merubah nilai, perhatikan penyelesaiannya

$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{2x} \right )^{2x. \frac {1}{2}} $
$(\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{2x} \right )^{2x}) ^ \frac {1}{2} $
Karena nilai dari $\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{2x} \right )^{2x} =e $
$e^ {\frac {1} {2}}$

2. Tentukan limit dari : $\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \frac{1+x}{x-1} \right )^{6x} $
Untuk menuntaskan ini jadikan dalam bentuk umum menyerupai rumus di atas,

$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \frac {1+x}{x-1} \right )^{6x} $
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \frac {1+x-1+1}{x-1} \right )^{6x} $
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \frac {x-1+2}{x-1} \right )^{6x} $
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left (1+ \frac {2}{x-1} \right )^{6x} $
$ \lim_{x\rightarrow \infty} ( 1+ \frac {1}{ \frac {x-1}{2}} ) ^{6x} $

Kaprikornus n kita disini yakni $ \frac { x-1}{2} $

Untuk pangkat eksklusif kita kalikan dengan n/n sehingga diperoleh :
$ 6x . \frac { \frac { x-1}{2}} { \frac { x-1}{2} $

Ambil sebuah $\frac { x-1}{2}} $ untuk menciptakan fungsi menjadi e.
$ \lim_{x\rightarrow \infty} \left (1+ \frac {1}{ \frac {x-1}{2}} \right )^{ \frac {x-1}{2}} = e $

Lalu untuk sisa pangkat $ \frac {6x}{(x-1)/2$ , sesuai dengan lalu dicari dengan nilai limit tak hingga.
$ \lim_ {x\rightarrow \infty} \frac {6x}{ \frac {x-1}{2} = 12 $
Kaprikornus hasil kesannya $e^{12}$.
Sumber http://www.marthamatika.com/

Hubungan Limit Dengan Ke- Kontinuan Fungsi

Salah satu penerapan dan kegunaan limit dalam matematika yaitu untuk memilih suatu fungsi apakah kontinu atau tidak. Lalu apa korelasi ke kontinu an fungsi dengan limit?

Fungsi kontinu di sebuah titik misalkan itu di titik x=a yaitu ketika grafik fungsi di titik tersebut tidak terputus. Sebagai ilustrasi awal, perhatikan grafik fungsi di bawah ini, $$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} $$

Pada grafik di atas terlihat pada titik x=1, grafik terputus, kita dapat katakan bahu-membahu f(x) tidak kontinu pada x=1.

Untuk memilih sebuah fungsi kontinu atau tidak secara kalkulasinya, maka disinilah tugas limit. Adapun syarat sebuah fungsi kontinu sebagai berikut,

Misalkan fungsi f(x) akan kontinu di titik x=a, maka harus memenuhi syarat
i). f(a) mempunyai nilai
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada. Dengan kata lain nilai limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut ada.
iii). Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $

Agar lebih paham, anda dapat perhatikan pola soal dan pembahasan limit fungsi kontinu berikut ini,

Soal 1. Buktikan fungsi f(x)= 2x+1 kontinu di titik x=2

Pembahasan:
Untuk menerangkan fungsi tersebut kontinu atau tidak, kita akan uji apakah memenuhi syarat tersebut atau tidak.
i) f(2) = 2.2+1 = 5. Nilai f(2) ada, memenuhi syarat pertama.

ii) Nilai limit kiri : $ \displaystyle \lim_{x \to 2^{-} } 2x = 1 = 5 $
Nilai limit kanan : $ \displaystyle \lim_{x \to 2^{+} } 2x + 1 = 5 $
Karena nilai limit kiri = nilai limit kanan maka nilai limit ada yaitu 5. Syarat ke dua terpenuhi.

iii) Nilai limit dengan nilai fungsi sama. Yaitu sama-sama 5, artinya ini juga memenuhi syarat ke-3. Sekarang terbukti sudah, alasannya yaitu sudah memenuhi ketiga syarat fungsi kontinu.

Soal 2. Temukanlah apa fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2}  $ kontinu di titik $ x = 2 $ ?

Pembahasan:
i) $ f(2) = \frac{2^2 - 4}{2-2} = \frac {0}{0} $

Karena nilai f(2) tidak ada (ingat 0/0 tidak terdefenisi) maka untuk syarat pertama fungsi ini tidak memenuhi syarat, maka sudah barang niscaya fungsi ini tidak kontinu di x=2.

Soal 3. Tentukan di titik mana fungsi $ f(x) = \frac {1}{x^2-6x+8} $ tidak kontinu!

Pembahasan: 

Agar fungsi ini tak kontinu, kita coba gugurkan dengan syarat pertama saja. Kita akan buat penyebut menjadi 0. Karena untuk nilai 1/0 = tak hingga (tak ada nilainya). $$x^2-6x+8 =0 \\ (x-4)(x-2) = 0 \\ x=4 \text {atau} x=2$$ Makara fungsi tersebut tidak kontinu pada x=2 atau x=4.

Tips: Untuk fungsi berbentuk pecahan, anda tinggal mencari pembuat nol penyebut

Soal 4.  Tentukan nilai k dari fungsi berikut semoga kontinu di titik x=4 $$f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 3x+7 & , \text{ untuk } x \leq 4 \\ kx - 1 & , \text{ untuk } x > 4 \end{array} \right. $$

Pembahasan:
i) f(4) =3.4+7 =19. (Ambil yang fungsinya mempunyai nilai saja) asumsikan memenuhi.

ii) Nilai Limit kiri ( tempat kiri tentunya yang kecil dari 4) $ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } 3x + 7 = 3.4 + 7 = 19 $
   Nilai Limit kanan $ \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } kx - 1 = k.4 - 1 = 4k - 1 $
Nilai limit ada kalau nilai limit kiri = nilai limit kanan. dengan begitu kita dapat menyamakannya.
19=4k-1
k=5.

iii) Ketika nilai k=5 maka, nilai limit kiri = limit kanan = nilai limit = nilai fungsi =19. Artinya ketika k=5 ini fungsi tersebut dapat kontinu di x=4.

Sedemikianlah bagaimana pola penerapan limit dalam memilih apakah suatu fungsi kontinu atau tidak. Semoga bermanfaat, dan pabila ada tambahan, pertanyaan dll dapat disampaikan di kolom komentar.

Sumber http://www.marthamatika.com/

Contoh Penyelesaian Limit Fungsi Dengan Metode L'hospital

Jika dalam penyelasaian soal-soal limit sebelumnya telah dibahas bagaimana cara mencari nilai limit fungsi. Berikut ini akan diberikan cara gampang menuntaskan soal limit, aku akan gunakan metode L'Hospital.

Kembali mengingatkan, saat menuntaskan soal-soal wacana limit, langkah pertama yaitu dengan mensubtitusikan x mendekati berapanya. Jika di sanggup hasil 0/0 maka harus di olah sedemikian rupa (di bagi, difaktorkan, dikali akar sekawan dll) semoga nanti saat disubtitusikan tidak lagi memperoleh hasil 0/0.

Hampir sama dengan metode L'Hospital ini, kalau ditemukan hasil 0/0 saat di subtitusikan maka lanjutkanlah dengan L'Hospital yaitu,

1. Turunkan Fungsi
2. Subtitusi , Jika diperoleh 0/0 maka turunkan lagi - Subtitusi dst. Intinya hingga anda tidak memperoleh hasil 0/0.

Oleh lantaran itu, perlu sekiranya anda paham benar wacana bahan turunan sebagai syarat menuntaskan soal-soal ini. Mengenai tutunan anda sanggup baca di : Tampilkan Materi Turunan.

Hematnya, mari kita lihat rujukan soal dan penyelesaian Limit dengan metode L'Hospital.

#Soal 1. Tentukan nilai dari $$ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^2 -4}  $$

Pembahasan: $$ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^2 -4} \\ \text {subtitusi x=2} \\ \frac{2^3 - 2.2^2 + 3.2 - 6}{2^2 -4} = \frac{0}{0} \\ \text {hasilnya } \frac {0}{0} \text {gunakan L' Hospital} \\ \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 6}{x^2 -4}  = \frac{3x^2 - 4x + 3}{2x} \\ \text {subtitusikan lagi x=2 } \\ \frac{3.2^2 - 4.2 + 3}{2.2} \\  \frac{12 - 8 + 3}{4} = \frac{7}{4} $$

#Soal 2. Tentukan nilai $$  \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x - \cos x}$$

Pembahasan: 

$$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x - \cos x}  \\ =\frac{ \sin 4 . \frac{1}{4} \pi }{\sin \frac{1}{4} \pi - \cos \frac{1}{4} \pi} \\ = \frac{ \sin \pi }{ \frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{2} } = \frac{0}{0} $$  Hasil yang diperoleh 0/0. Lanjutkan dengan menurunkan fungsi [ Baca Turunan Trigonometri ] $$\displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \sin 4x }{\sin x - \cos x}  = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{4 \cos 4x }{\cos x - (-\sin x) } \\  = \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{4 \cos 4x }{\cos x + \sin x } \\  = \frac{4 \cos 4. \frac{1}{4} \pi }{\cos \frac{1}{4} \pi + \sin \frac{1}{4} \pi } \\  = \frac{4 \cos \pi }{ \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sqrt{2} } \\  = \frac{4 .(-1) }{ \sqrt{2} } \\  = - \frac{4 }{ \sqrt{2} } \\  = - \frac{4 }{ \sqrt{2} } \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\  = - \frac{4 \sqrt{2}}{ 2 } \\  = - 2\sqrt{2} $$

Catatan: Inti dari metode L'Hospital ini yaitu fungsi diturunkan. Walaupun fungsi tersebut berbentuk pecahan, kita tidak memakai hukum turunan u/v. Kita cukup menurunkan pembilang dan penyebut masing masing saja.

Sumber http://www.marthamatika.com/

Kumpulan Soal Limit Trigonometri

Bagi yang membutuhkan soal-soal perihal limit trigonometri, berikut tersedia soal-soal perihal limit trigonometri. Sebelum mencoba menuntaskan soal-soal di bawah ini, alangkah lebih baik kalau memahami konsep limit trigonometri. Materi perihal limit trigonometri ini dapat anda lihat pada daftar isi blog ini.

Besar harap dengan adanya soal ini dapat menambah pengertian, pemahaman anda mengenai limit trigonometri. Have a Nice Day!
$$1)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin \frac{4}{3}x}{\frac{1}{2}x} \\ 2)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\sin 3x}{5\sin 2x} \\ 3)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{3\tan 4x }{4\tan 6x} \\ 4)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{2\tan \frac{1}{2}x}{3 \sin \frac{1}{6}} \\ 5)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{4\sin 2x }{ 3\tan 8x } \\ 6)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x \sin 2x }{\tan ^2 3x} \\ 7)  \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2}\pi } \frac{ 1 + \cos 2x }{ \cos x } \\ 8)  \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4}\pi } \frac{ \tan x - 1 }{ \cos 2x }   \\ 9)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 1 - \cos 3x }{ 3x \tan \frac{1}{4}x } \\ 10)  \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2}\pi } \frac{ 1 - \sin x }{ x - \frac{1}{2}\pi } $$

$$ 11)  \displaystyle \lim_{x \to 45^\circ } \frac{ \cos 2x }{ \cos x - \sin x } \\ 12)  \displaystyle \lim_{x \to \infty } 3x  \tan \frac{1}{5x} \\ 13) \text {Tentukan nilai } \\  \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ \text { untuk fungsi f(x) = sin x } \\ 14)  \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{2}\pi } (\csc ^2 x - \csc x \cot x ) \\ 15)  \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ 1 - \tan x }{ \cot 2x } \\ 16)  \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ 2(\sin x - \cos x) }{ 1 - \sin 2x } \\ 17)  \displaystyle \lim_{x \to \frac{1}{4} \pi } \frac{ \cos 2x }{ \sqrt{2\cos x - 1 } } \\ 18)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ 1 - \cos x }{ 1 - \cos 2x } \\ 19)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin ^2 3x + 2x \tan x }{ 55x^2 } \\ 20)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin ^2 x - \tan ^2 3 x }{ x^2 + \sin 3x \tan x } $$

$$ 21)  \displaystyle \lim_{x \to \infty } x^2 (1 - \cos \frac{2}{x} ) \\ 22)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x\sin x + \tan ^2 x }{ 1 - \cos 2x } \\ 23)  \displaystyle \lim_{x \to 5 } (x-5) \cot \pi x \\ 24)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x^2 + 5x}{\sin 3x} \\ 25)  \displaystyle \lim_{x \to -2 } \frac{1 - \cos (x+2)}{x^2 + 4x + 4} \\ 26)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan 3x \sin ^2 4x}{x^2 \sin 8x} \\ 27)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x(\cos ^2 6x - 1 )}{\sin 2x \tan ^2 3x } \\ 28)  \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{ \sin (1 - \frac{1}{x}) \cos (1 - \frac{1}{x}) }{ x-1 } \\ 29)  \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{x} \left( \frac{\sin ^3 2x}{\cos 2x} + \sin 2x \cos 2x \right) \\ 30)  \displaystyle \lim_{x \to \infty } 3x^2 (\sec \frac{2}{x} - 1 ) $$

Sumber http://www.marthamatika.com/

Pengertian Dasar Limit Fungsi

Kata limit identik dengan kata mendekati atau hampiran. Lebih lengkap secara matematika limit diartikan sebagai nilai yang mendekati sebuah variabel bilangan real. Notasi atau penulisan limit dalam matematika dikenal sebagai berikut,

Lalu apa arti notasi limit di atas? Sebelumnya anda harus tahu bagaimana cara membaca notasi limit di atas. Notasi di atas dibaca " Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a sama dengan K.

Jika dimisalkan f ialah fungsi dan K ialah bilangan Real, maka $\displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = K$ kalau dan hanya kalau f(x) mendekati K untuk semua x yang mendekati a. Baca juga: Kapan Sebuah Fungsi Dikatakan Tidak Memiliki Nilai Limit?

Cara Menyelesaikan Limit

Untuk mencari nilai K, pada sebuah limit dapat dilakukan dengan beberapa cara:

1. Subtitusi nilai x=a
2. Metode Numerik

Syarat nilai limit ialah dilarang 0/0, terutama dikala Anda mengerjakan soal dengan metode subtitusi maka ada kemungkinan besar ditemukan 0/0. Untuk itu biasanya persamaan akan disederhanakan terlebih dahulu. Teknik untuk menyederhanakan persamaan fungsi tersebut contohnya dengan membagi, perkalian sekawan (jika dalam bentuk akar) atau mengunakan turunan (metode L'Hopital).

Berikutnya akan kita lihat bagaimana menuntaskan limit dengan cara pendekatan metode Numerik. Lanjutkan : Cara Menyelesaikan Limit dengan Metode Numerik.
Sumber http://www.marthamatika.com/

Kapan Sebuah Fungsi Dikatakan Tidak Mempunyai Nilai Limit?

Pada pengertian limit telah dijelaskan gotong royong pengertian limit yakni hampiran nilai x yang mendekati fungsi pada suatu titik tertentu. Pada kenyataannya, ada titik yang tidak mempunyai nilai hampiran. Dengan kalimat lain, hampiran yang dilakukan gagal.

Kondisi sebuah fungsi tidak mempunyai limit pabila pada fungsi tersebut mempunyai nilai hampiran yang berbeda dikala didekati dari kanan dan didekati dari kiri. Atau dalam kalimat matematisnya, nilai limit kiri dan limit kanan fungsi tidak sama.

Untuk menguji apakah suatu fungsi mempunyai limit pada titik tertentu maka dilakukan pengujian dengan yang disebut limit kiri (hampiran kiri) dan limit kanan (hampiran kanan). Sebagaimana telah disebutkan sebelumnya, pabila nilai hampiran tersebut berbeda, maka nilai limit tersebut tidak ada.

Catatan penting, hampiran kiri atau limit kiri biasa dinotasikan $\displaystyle \lim_{x \to a^{-} } f(x) $ dan hampiran kanan dinotasikan $\displaystyle \lim_{x \to a^{+} } f(x) $ Bisa anda perhatikan perbedaanya pada 'tanda pangkat' di abjad a.

Jika di analisa dengan grafik, atau fungsi tersebut digambarkan - fungsi yang tak mempunyai nilai limit akan terpotong (atau tak kontinu). Ini erat kaitannya dengan sifat kontinu fungsi. Lebih lanjut anda dapat baca di: Hubungan Limit dengan ke- Kontinuan Fungsi. Berikut pola beberapa grafik yang saya maksud.

Pada grafik (i) fungsi tersebut mempunyai nilai limit di titik x=a. Sebab grafik tidak terpotong. Berbeda hal dengan grafik (ii) dimana fungsi tersebut tidak mempunyai limit di titik x=a Sebab grafik terpotong di sana. Analitisnya, lantaran terpotong maka nilai hampiran dari kiri dan kanan pastinya berbeda.

Sekarang mari kita lihat dengan pola soal mana yang tidak mempunyai limit dan mana yang mempunyai limit.

#Soal . Apakah fungsi berikut mempunyai nilai limit di titik x=1?  $$f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 & \text{jika} & x \leq 1 \\ x+1 & \text{jika} & x > 1 \end{array} \right. $$


#Pembahasan:
Dari defenisi fungsi di atas kita ketahui untuk x<1 (hampiran/limit kiri) fungsinya x². Sementara untuk x>1 (hampiran/limit kanan) fungsinya didefenisikan x+1. Sekarang mari kita uji masing masingnya.

Hampiran Kiri/Limit Kiri
$\displaystyle \lim_{x \to 1 } x^2 = 1$

Hampiran Kanan/Limit Kanan
$\displaystyle \lim_{x \to 1 } x+1 = 1+1=2$

Terlihat terang gotong royong hampiran kiri dan hampiran kanan mempunyai nilai yang berbeda. Oleh alasannya yakni itu kita dapat katakan gotong royong fungsi tersebut tidak mempunyai nilai limit.

Sebuah fungsi dikatakan mempunyai nilai limit jikalau dan hanya jikalau nilai limit kiri dan limit kanan sama

Sumber http://www.marthamatika.com/

Cara Menuntaskan Limit Dengan Metode Numerik

Penggunaan metode numerik dalam penghitungan limit ini tak terlepas dari subtitusi. Caranya cukup sederhana, kita akan ambil beberapa angka yang mendekati x dari kiri dan dari kanan.

Anda dapat perhatikan referensi di bawah ini,
Misalkan diketahui fungsi f(x) = x-1. Kita akan tentukan nilai limit untuk x mendekati 3.

Pembahasan:

Berdasarkan soal diatas kita dapat tulis dalam notasi limit: $$\displaystyle \lim_{x \to 3 } (x - 1) =...$$ Selanjutnya kita akan buat tabel nilai-nilai yang akan kita ambil.

Bagian yang berwarna kuning ialah pendekatan limit dari kiri. Sementara bab yang berwarna biru ialah pendekatan nilai limit dari kanan. Jika diambil angka dengan dengan desimal yang lebih banyak (misalnya: 2,999 dan 3,09999) maka nilai tersebut semakin mendekati angka 2. dengan Demikian kita dapat katankan gotong royong nilai dari $$\displaystyle \lim_{x \to 3 } (x - 1) =2$$

Dengan metode numerik ini saat menuntaskan soal-soal limit akan memakan waktu yang lama. Bisa terbayangkan kita harus menghitung setiap beberapa nilai dari bab kiri dan kanan fungsi. Agar lebih praktis kita dapat gunakan metode subtitusi dan silakan Lanjutkan Membaca: Penyelesaian Limit dengan Metode Subtitusi.

Sumber http://www.marthamatika.com/