Salah satu penerapan dan kegunaan limit dalam matematika yaitu untuk memilih suatu fungsi apakah kontinu atau tidak. Lalu apa korelasi ke kontinu an fungsi dengan limit?
Fungsi kontinu di sebuah titik misalkan itu di titik x=a yaitu ketika grafik fungsi di titik tersebut tidak terputus. Sebagai ilustrasi awal, perhatikan grafik fungsi di bawah ini, $$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} $$
Pada grafik di atas terlihat pada titik x=1, grafik terputus, kita dapat katakan bahu-membahu f(x) tidak kontinu pada x=1.
Untuk memilih sebuah fungsi kontinu atau tidak secara kalkulasinya, maka disinilah tugas limit. Adapun syarat sebuah fungsi kontinu sebagai berikut,
Misalkan fungsi f(x) akan kontinu di titik x=a, maka harus memenuhi syarat
i). f(a) mempunyai nilai
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada. Dengan kata lain nilai limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut ada.
iii). Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $
Agar lebih paham, anda dapat perhatikan pola soal dan pembahasan limit fungsi kontinu berikut ini,
Soal 1. Buktikan fungsi f(x)= 2x+1 kontinu di titik x=2
Pembahasan:
Untuk menerangkan fungsi tersebut kontinu atau tidak, kita akan uji apakah memenuhi syarat tersebut atau tidak.
i) f(2) = 2.2+1 = 5. Nilai f(2) ada, memenuhi syarat pertama.
i). f(a) mempunyai nilai
ii). $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \, $ ada. Dengan kata lain nilai limit kiri dan limit kanan fungsi tersebut ada.
iii). Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = f(a) $
Agar lebih paham, anda dapat perhatikan pola soal dan pembahasan limit fungsi kontinu berikut ini,
Soal 1. Buktikan fungsi f(x)= 2x+1 kontinu di titik x=2
Pembahasan:
Untuk menerangkan fungsi tersebut kontinu atau tidak, kita akan uji apakah memenuhi syarat tersebut atau tidak.
i) f(2) = 2.2+1 = 5. Nilai f(2) ada, memenuhi syarat pertama.
ii) Nilai limit kiri : $ \displaystyle \lim_{x \to 2^{-} } 2x = 1 = 5 $
Nilai limit kanan : $ \displaystyle \lim_{x \to 2^{+} } 2x + 1 = 5 $
Karena nilai limit kiri = nilai limit kanan maka nilai limit ada yaitu 5. Syarat ke dua terpenuhi.
iii) Nilai limit dengan nilai fungsi sama. Yaitu sama-sama 5, artinya ini juga memenuhi syarat ke-3. Sekarang terbukti sudah, alasannya yaitu sudah memenuhi ketiga syarat fungsi kontinu.
Soal 2. Temukanlah apa fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2} $ kontinu di titik $ x = 2 $ ?
Pembahasan:
i) $ f(2) = \frac{2^2 - 4}{2-2} = \frac {0}{0} $
Nilai limit kanan : $ \displaystyle \lim_{x \to 2^{+} } 2x + 1 = 5 $
Karena nilai limit kiri = nilai limit kanan maka nilai limit ada yaitu 5. Syarat ke dua terpenuhi.
iii) Nilai limit dengan nilai fungsi sama. Yaitu sama-sama 5, artinya ini juga memenuhi syarat ke-3. Sekarang terbukti sudah, alasannya yaitu sudah memenuhi ketiga syarat fungsi kontinu.
Soal 2. Temukanlah apa fungsi $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x-2} $ kontinu di titik $ x = 2 $ ?
Pembahasan:
i) $ f(2) = \frac{2^2 - 4}{2-2} = \frac {0}{0} $
Karena nilai f(2) tidak ada (ingat 0/0 tidak terdefenisi) maka untuk syarat pertama fungsi ini tidak memenuhi syarat, maka sudah barang niscaya fungsi ini tidak kontinu di x=2.
Soal 3. Tentukan di titik mana fungsi $ f(x) = \frac {1}{x^2-6x+8} $ tidak kontinu!
Pembahasan:
Agar fungsi ini tak kontinu, kita coba gugurkan dengan syarat pertama saja. Kita akan buat penyebut menjadi 0. Karena untuk nilai 1/0 = tak hingga (tak ada nilainya). $$x^2-6x+8 =0 \\ (x-4)(x-2) = 0 \\ x=4 \text {atau} x=2$$ Makara fungsi tersebut tidak kontinu pada x=2 atau x=4.
Tips: Untuk fungsi berbentuk pecahan, anda tinggal mencari pembuat nol penyebutSoal 4. Tentukan nilai k dari fungsi berikut semoga kontinu di titik x=4 $$f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} 3x+7 & , \text{ untuk } x \leq 4 \\ kx - 1 & , \text{ untuk } x > 4 \end{array} \right. $$
Pembahasan:
i) f(4) =3.4+7 =19. (Ambil yang fungsinya mempunyai nilai saja) asumsikan memenuhi.
ii) Nilai Limit kiri ( tempat kiri tentunya yang kecil dari 4) $ \displaystyle \lim_{x \to 4^- } 3x + 7 = 3.4 + 7 = 19 $
Nilai Limit kanan $ \displaystyle \lim_{x \to 4^+ } kx - 1 = k.4 - 1 = 4k - 1 $
Nilai limit ada kalau nilai limit kiri = nilai limit kanan. dengan begitu kita dapat menyamakannya.
19=4k-1
k=5.
iii) Ketika nilai k=5 maka, nilai limit kiri = limit kanan = nilai limit = nilai fungsi =19. Artinya ketika k=5 ini fungsi tersebut dapat kontinu di x=4.
Sedemikianlah bagaimana pola penerapan limit dalam memilih apakah suatu fungsi kontinu atau tidak. Semoga bermanfaat, dan pabila ada tambahan, pertanyaan dll dapat disampaikan di kolom komentar.
EmoticonEmoticon