Pada kesempatan kali ini kembali penulis membahas bahan logaritma yang merupakan kelanjutan dari bahan sebelumnya yang dapat pengunjung baca disini. Di artikel kali kita akan sama-sama mempelajari sifat-sifat logaritma.
Kita telah mengetahui ada $3$ sifat pokok logaritma dan penting sekali untuk diingat. Ketiga sifat pokok tersebut, yaitu:
- Sifat-sifat pokok logaritma:
(☞) $^g\textrm{log}\;g^n=n$
(☞) $^g\textrm{log}\;1=0$
Sifat-Sifat Logaritma
Selain ketiga sifat di atas, berikut ini beberapa sifat-sifat penting logaritma lainnya.
Sifat 1. Logaritma Perkalian
Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan tadi, dan ditulis:
$^g\textrm{log}(a×b)=\;^g\textrm{log}\;a+\;^g\textrm{log}\;b$
Contoh 1
Sederhanakan bentuk logaritma berikut.
$1.\;^2\textrm{log}\;16 + \;^2\textrm{log}\;32$
$2.\;\begin{align*}^3\textrm{log}\;2,25+\;^3\textrm{log}\;4,5+\;^3\textrm{log}\;8\end{align*}$
$3.\; ^7\textrm{log}\;x\;+\;^7\textrm{log}\;y\;+\;^7\textrm{log}\;z$
$\begin{align*}4.\;\textrm{log}\frac{3}{5}+\textrm{log}\frac{5}{36}+\textrm{log}12\end{align*}$
$\begin{align*}5.\;^2\textrm{log}4\sqrt{2}\;+\;^2\textrm{log}\sqrt{3}\;+\;^2\textrm{log}\;54\end{align*}$
Jawab
$\begin{align*}1.\;^2\textrm{log}\;16\;+\;^2\textrm{log}\;3&=\;^2\textrm{log}(16×3)\\&=\;^2\textrm{log}\;48\end{align*}$
$2.\;\begin{align*}^3\textrm{log}\;2,25+\;^3\textrm{log}\;4,5+\;^3\textrm{log}\;8&=\;^3\textrm{log}(2,25×4,5×8)\\&=\;^3\textrm{log}\;81\\&=\;^3\textrm{log}\;3^{4}\\&=4\end{align*}$
$\begin{align*}3.\; ^7\textrm{log}\;x\;+\;^7\textrm{log}\;y\;+\;^7\textrm{log}\;z&=\;^7\textrm{log}(x×y×z)\\&=\;^7\textrm{log}(xyz)\end{align*}$
$\begin{align*}4.\;\textrm{log}\frac{3}{5}+\textrm{log}\frac{5}{36}+\textrm{log}12&=\textrm{log}\left(\frac{3}{5}×\frac{5}{36}×12\right)\\&=\textrm{log}\;1\\&=0\end{align*}$
Contoh 2
Diketahui $\textrm{log}\;2=0,3010$, $\textrm{log}\;3=0,4771$, dan $\textrm{log}\;7=0,8451$. Berdasarkan nilai logaritma tersebut, tentukan nilai berikut.
a) $\textrm{log}\;14$
b) $\textrm{log}\;42$
Jawab
$\begin{align*}\textrm{a})\;\textrm{log}\;14&=\textrm{log}(2×7)\\&=\textrm{log}\;2+\textrm{log}\;7\\&=0,3010+0,8452\\&=1,1462\end{align*}$
$\begin{align*}\textrm{b})\;\textrm{log}\;42&=\textrm{log}(2×3×7)\\&=\textrm{log}\;2+\textrm{log}\;3+\textrm{log}\;7\\&=0,3010+0,4771+0,8452\\&=1,6232\end{align*}$
Sifat 2. Logaritma Pembagian
Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing-masing bilangan itu, dan ditulis:
$^g\textrm{log}\left(\frac{a}{b}\right)=\;^g\textrm{log}\;a-\;^g\textrm{log}\;b$
Sederhanakan bentuk logaritma berikut.
$1.\;^3\textrm{log}\;27\;-\;^3\textrm{log}\;9$
$2.\;^2\textrm{log}\;12\;+\;^2\textrm{log}\;3\;-\;^2\textrm{log}\;9$$3.\;^2\textrm{log}\;m^{3}\;+\;^2\textrm{log}\;n^{2}\;-\;^2\textrm{log}\;k^{2}\;-\;\textrm{log}\;p^{5}$
$4.\;2\;^a\textrm{log}\sqrt{m}\;-\;3\;^a\textrm{log}\sqrt[3]{n}\;-\;4\;^a\textrm{log}\sqrt{k}$
Jawab
$\begin{align*}1.\;^3\textrm{log}\;27\;-\;^3\textrm{log}\;9&=\;^3\textrm{log}\left(\frac{27}{9}\right)\\&=\;^3\textrm{log}\;3\\&=1\end{align*}$
$\begin{align*}2.\;^2\textrm{log}\;12\;+\;^2\textrm{log}\;3\;-\;^2\textrm{log}\;9&=\;^2\textrm{log}\left(\frac{12×3}{9}\right)\\&=\;^2\textrm{log}\;4\\&=\;^2\textrm{log}\;2^{2}\\&=\;2\end{align*}$
$\begin{align*}3.&\;^2\textrm{log}\;m^{3}\;+\;^2\textrm{log}\;n^{2}\;-\;^2\textrm{log}\;k^{2}\;-\;\textrm{log}\;p^{5}\\&=3\;^2\textrm{log}\;m+4\;^2\textrm{log}\;n+2\;^2\textrm{log}\;k-5\;^2\textrm{log}\;k\\&=(3+4-2-5)\;^2\textrm{log}\left(\frac{m×n}{k×p}\right)\\&=0\end{align*}$
$\begin{align*}4.\;2\;^a\textrm{log}\sqrt{m}\;-\;3\;^a\textrm{log}\sqrt[3]{n}\;-\;4\;^a\textrm{log}\sqrt{k}&=\;^a\textrm{log}\sqrt{m^{2}}-^a\textrm{log}\sqrt[3]{n^{3}}-^a\textrm{log}\sqrt{k^{4}}\\&=\;^a\textrm{log}\;m\;-\;^a\textrm{log}\;n\;-\;^a\textrm{log}\;k^{2}\\&=\;^a\textrm{log}\left(\frac{m}{nk^{2}}\right)\end{align*}$
Sifat 3. Logaritma Perpangkatan
Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma bilangan itu, atau dapat ditulis sebagai berikut.
Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma bilangan itu, atau dapat ditulis sebagai berikut.
$^g\textrm{log}\;a^n=n.\;^g\textrm{log}\;a$
Sederhanakan tiap-tiap logaritma berikut.
$1)\;^2\textrm{log}\;27\;+\;^2\textrm{log}\;81$
$2)\;^2\textrm{log}\;48\;-\;^2\textrm{log}\;4\;-\;^2\textrm{log}\;3$
$3)\;^5\textrm{log}\;625\;+\;^25\textrm{log}\;625\;+\;^625\textrm{log}\;625$
Contoh 1
$\begin{align*}1)\;^2\textrm{log}\;27\;+\;^2\textrm{log}\;81 &=\;^2\textrm{log}(27×81)\\&=\;^2\textrm{log}\;2187\\&=\;^2\textrm{log}\;3^{7}\\&=\;7.^2\textrm{log}\;3\end{align*}$
$\begin{align*}2)\;^2\textrm{log}\;48\;-\;^2\textrm{log}\;4\;-\;^2\textrm{log}\;3&=\;^2\textrm{log}\left(\frac{48}{4×3}\right)\\&=\;^2\textrm{log}\;4\\&=\;^2\textrm{log}\;2^{2}\\&=\;2\end{align*}$
$\begin{align*}3)\;^5\textrm{log}\;625\;+\;^25\textrm{log}\;625\;+\;^625\textrm{log}\;625&=\;^5\textrm{log}\;5^{4}\;+\;^25\textrm{log}\;25^{2}\;+\;1\\&=\;5+2+1\\&=\;8\end{align*}$
Contoh 2
Jabarkanlah $\begin{align*}^6\textrm{log}\left(\frac{36m^{3}}{\sqrt{n}}\right)\end{align*}$
Jawab
$\begin{align*}^6\textrm{log}\left(\frac{36m^{3}}{\sqrt{n}}\right)&=\;^6\textrm{log}\;36m^{3}\;-\;^6\textrm{log}\sqrt{n}\\&=\;^6\textrm{log}\;6^{2}\;+\;^6\textrm{log}\;m^{3}\;-\;^6\textrm{log}\;n^{\frac{1}{2}}\\&=\;2+3.\;^6\textrm{log}\;m\;-\;\frac{1}{2}.^6\textrm{log}\;n\end{align*}$
Sifat 4. Mengubah Bilangan Pokok Logaritma
$\begin{align*}☞\;\;\;^g\textrm{log}\;a=\frac{^p\textrm{log}\;a}{^p\textrm{log}\;g}\end{align*}$
$\begin{align*}☞\;\;\;^g\textrm{log}\;a=\frac{1}{^a\textrm{log}\;g}\end{align*}$
$\begin{align*}☞\;\;\;^g\textrm{log}\;a=\frac{^p\textrm{log}\;a}{^p\textrm{log}\;g}\end{align*}$
$\begin{align*}☞\;\;\;^g\textrm{log}\;a=\frac{1}{^a\textrm{log}\;g}\end{align*}$
Contoh
Jika $^5\textrm{log}\;3=x$ dan $^2\textrm{log}\;5=y$, nyatakan $^{15}\textrm{log}\;20$ dalam $x$ dan $y$.
Jawab
Perhatikan basis-basis logaritma yang diketahui, yaitu masing-masing $5$ dan $2$. Maka, langkah pertama yang harus dilakukan ialah mengubah salah satu basis logaritma yang diketahui tersebut supaya sama dengan basis logaritma yang lainnya.
$\begin{align*}^2\textrm{log}\;5 =y\Rightarrow\;^5\textrm{log}\;2=\frac{1}{y}\end{align*}$
Dengan demikian:
$\begin{align*}^{15}\textrm{log}\;20&=\frac{^5\textrm{log}\;20}{^5\textrm{log}\;15}\\&=\frac{^5\textrm{log}(2^{2}×5}{^5\textrm{log}(3×5)}\\&=\frac{^5\textrm{log}\;2^{2}\;+\;^5\textrm{log}\;5}{^5\textrm{log}\;3\;+\;^5\textrm{log}\;5}\\&=\frac{2×\frac{1}{y}+1}{x+1}\\&=\frac{y+2}{xy+y}\end{align*}$
Sifat 5
$☞\;\;\;^g\textrm{log}\;a\;×\;^a\textrm{log}\;b=\;^g\textrm{log}\;b$
$\begin{align*}☞\;\;^{g^{n}}\textrm{log}\;a^{m}=\frac{m}{n}\end{align*}$
$☞\;\;^{g^{n}}\textrm{log}\;a^{n}=\;^g\textrm{log}\;n$
$☞\;\;g^{^g\textrm{log}\;a}=a$
$☞\;\;\;^g\textrm{log}\;a\;×\;^a\textrm{log}\;b=\;^g\textrm{log}\;b$
$\begin{align*}☞\;\;^{g^{n}}\textrm{log}\;a^{m}=\frac{m}{n}\end{align*}$
$☞\;\;^{g^{n}}\textrm{log}\;a^{n}=\;^g\textrm{log}\;n$
$☞\;\;g^{^g\textrm{log}\;a}=a$
1. Tentukan nilai dari $^4\textrm{log}\;6\;×\;^7\textrm{log}\;2\;×\;^6\textrm{log}\;7$
2. Tentukan nilai dari $\begin{align*}\frac{^2\textrm{log}\;4\;+\;^2\textrm{log}\;8}{^8\textrm{log}\;32}\end{align*}$
Jawab
1. $\begin{align*}^4\textrm{log}\;6\;×\;^7\textrm{log}\;2\;×\;^6\textrm{log}\;7&=\;^4\textrm{log}\;6\;×\;^6\textrm{log}\;7\;^7\textrm{log}\;2\\&=\;^4\textrm{log}\;7\;×\;^7\textrm{log}\;2\\&=\;^4\textrm{log}\;2\\&=\;^{2^{2}}\textrm{log}\;2\\&=\frac{1}{2}\end{align*}$2.
$\begin{align*}\frac{^2\textrm{log}\;4\;+\;^2\textrm{log}\;8}{^8\textrm{log}\;32}&=\frac{^2\textrm{log}\;2^{2}\;+\;^2\textrm{log}\;2^{3}}{^{2^{3}}\textrm{log}\;2^{5}}\\&=\frac{2.^2\textrm{log}\;2\;+\;3.^2\textrm{log}\;2}{\frac{5}{3}.^2\textrm{log}\;2}\\&=\frac{5}{\frac{5}{3}}\\&=\;3\end{align*}$
Jika kalian membutuhkan soal-soal logaritma untuk persiapan menghadapi ulangan, dll, silakan [Download].
Demikianlah klarifikasi serta pola soal terkait sifat-sifat logaritma. Apa jika ditemukan kesalahan jawab atau kesalahan penulisan, mohon untuk segera dikomentari.
EmoticonEmoticon