blog berisi kumpulan soal materi skripsi dan makalah lengkap pdf
modulo dengan cara sederhana atau belajar matematika di Hari Paskah. Karena dari kedua diskusi sebelumnya, konsep yang dipakai masih sama yaitu aritmetika modular. Banyak konsep aritmetika jam sanggup dipakai untuk mengerjakan masalah-masalah yang berkenan dengan kalender. Misalkan, hari senin pada bulan Juli 2018 jatuh pada tanggal 2, 9, 16, 23, dan 30. Selisih dari sebarang dua buah tanggal-tanggal tersebut memiliki kelipatan 7. Tanggal 1 dan tanggal 29 jatuh pada hari yang sama alasannya ialah $29-1=28$ dan 28 ialah juga kelipatan 7. Kita katakan bahwa 29 ialah kongruen 1 modulo 7 dan kita tulis $29 \equiv 1 (mod\ 7)$. Hal yang sama untuk 18 dan 6, alasannya ialah selisih 18 dan 6 ialah kelipatan 12, kita tulis $18 \equiv 6\ (mod\ 12)$. Dari beberapa pola sederhana diatas, membawa kita kepada defenisi berikut: Defenisi: Misalkan $n$ ialah suatu bilangan bundar positif, $a$ dan $b$ ialah suatu bilangan bulat. $a$ dikatakan kongruen $b$ modulo $n$, ditulis $a \equiv b\ (mod\ n)$ jikalau dan hanya jikalau $(a-b)$ ialah kelipatan $n$.Untuk menambah pemahaman kita terhadap defenisi modulo diatas, kita coba diskusikan beberapa pola berikut; Contoh 1: Periksa kebenaran pernyataan berikut ini: [a] $3 \equiv 24\ (mod\ 7)$ Alternatif Pembahasan: show $3 \equiv 24\ (mod\ 7)$ Benar, alasannya ialah $3 – 24 = -21$ kelipatan dari $7$[b] $-31 \equiv 11\ (mod\ 7)$ Alternatif Pembahasan: show $-31 \equiv 11\ (mod\ 7)$ Benar, alasannya ialah $–31 – 11 = -42$ kelipatan dari $7$[c] $-15 \equiv -64\ (mod\ 7)$ Alternatif Pembahasan: show $-15 \equiv -64\ (mod\ 7)$ Benar, alasannya ialah $–15 + 64 = 49$ kelipatan dari $7$[d] $13 \equiv -1\ (mod\ 7)$ Alternatif Pembahasan: show $13 \equiv -1\ (mod\ 7)$ Benar, alasannya ialah $13 + 1 = 14$ kelipatan dari $7$[e] $23 \equiv 3\ (mod\ 7)$ Alternatif Pembahasan: show $23 \equiv 3\ (mod\ 7)$ Salah, alasannya ialah $23 – 3 = 20$ bukan kelipatan dari $7$Jika $(a – b)$ bukan kelipatan dari $n$, atau ditulis $n \nmid (a – b)$, maka kita katakan bahwa $a$ tidak kongruen $b$ modulo $n$ dan ditulis $a \not\equiv b (mod\ n)$. Sebagai contoh, $23 \not\equiv 3\ (mod\ 7)$ Contoh 2: Tentukan semua bilangan bundar $x$ sedemikian sehingga $x \equiv 1\, (mod\ 10) $ Alternatif Pembahasan: show $x \equiv 1\ (mod\ 10)$ jikalau dan hanya jikalau $x-1=10k$ Untuk setiap $k$ bilangan bulat. Jika $k = 0, 1, 2, 3, …$ maka berturut-turut $x = 1, 11, 21, 31, ...$ Begitu pula $k = -0, -1, -2, -3,...$ maka berturut-turut $x = -9, -200, 21, 31,...$ Begitu pula $k = -1, -2, -3,...$ maka berturut-turut $x = -9, -19, -29,...$ Dua barisan tersebut digabungkan sehingga himpunan penyelesaian $x \equiv 1\ (mod\ 10)$ adalah $..., -29, -19, -9, 1, 11, 21, 31,...$Pada pola 2 di atas, tampak bahwa setiap elemen pada ${1, 11, 21, 31, ...}$ memiliki sisa 1 jikalau dibagi oleh 10. Secara umum sanggup dikatakan bahwa dua buah bilangan cacah ialah kongruen modulo $n$ jikalau dan hanya jikalau sisanya pada pembagian oleh $m$ ialah sama. Sifat 1Misalkan $n$ suatu bilangan bundar positif dan $a, b, c,$ dan $d$ bilangan bundar sebarang berlaku: [1] $a \equiv a\ (mod\ n)$ Alternatif Pembahasan: show Untuk $a$ bilangan bundar sebarang dan $n$ suatu bilangan bundar positif berlaku $a – a = 0 \cdot n $. Dengan demikian $a \equiv a\ (mod\ n)$.[2] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ maka $b \equiv a\ (mod\ n)$ Alternatif Pembahasan: show $a \equiv b\ (mod\ n)$ Ada $k$ suatu bilangan bulat. Akibatnya $b-a=-(a-b)$ $b-a=-(kn)$ $b-a=(-k)n$ Karena $-k$ juga suatu bilangan bulat, $b \equiv a\ (mod\ n)$.[3] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $b \equiv c\ (mod\ n)$ maka $a \equiv c\ (mod\ n)$ Alternatif Pembahasan: show $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $b \equiv c\ (mod\ n)$ Ada $h$ dan $k$ suatu bilangan bundar sehingga $a-b=hn$ dan $b-c=kn$. Akibatnya: $a-c=(a-b)+(b-c)$ $a-c=hn+kn$ $a-c=n(h+k)$ Karena $h+k$ juga bilangan, $a \equiv c\ (mod\ n)$.[4] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ maka $a+c \equiv b+d\ (mod\ n)$ Alternatif Pembahasan: show $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ Ada $h$ dan $k$ bilangan bundar sehingga $a-b=hn$ dan $b-c=kn$. $(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)$ $(a+c)-(b+d)=hn+kn$ $(a+c)-(b+d)=n(h+k)$ Karena $h+k$ juga bilangan bulat, $a+c \equiv b+d\ (mod\ n)$.[5] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ maka $ac \equiv bd\ (mod\ n)$ Alternatif Pembahasan: show $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ Pandang $ac=(b+hn)(d+kn) $ac=bd+(bk+dh+hkn)n$ Karena $(bk+dh+hkn)$ bilangan bulat, Ada $h$ dan $k$ bilangan bulat, $ac \equiv bd\ (mod\ n)$.[6] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ maka $a+c \equiv b+c\ (mod\ n)$ Alternatif Pembahasan: show $a \equiv b\ (mod\ n)$ Ada $h$ bilangan sehingga $a-b=hn$ Karena $(a+c)-(b+c)=a-b=hn$ dengan demikian $a+c \equiv b+c\ (mod\ n)$.[7] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ maka $ac \equiv bc\ (mod\ n)$ Alternatif Pembahasan: show $a \equiv b\ (mod\ n)$ Ada $h$ bilangan bundar sehingga $a – b = hn $. $ac-bc=(a-b)c=hnc=(hc)n$ Karena $hc$ bilangan bulat, dengan demikian $ac \equiv bc\ (mod\ n)$.[8] Jika $a \equiv b\ (mod\ n)$ maka $a^k \equiv b^k\ (mod\ n)$ untuk $k$ bilangan bundar positif sebarang. Alternatif Pembahasan: show Untuk bukti ini ita gunakan Induksi Matematika. Untuk $k=1$, berlaku $a \equiv a\ (mod\ n)$. Kita asumsikan $a^k \equiv b^k\ (mod\ n)$ berlaku, Akan ditunjukkan $a^{k+1} \equiv b^{k+1}\ (mod\ n)$ juga berlaku. Dari sifat [5], jikalau $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ maka $ac \equiv bd\ (mod\ n)$ kita ganti $c$ oleh $a^k$ dan $d$ oleh $b^k$ diperoleh; $aa^k \equiv bb^k (mod\ n)$ atau $a^{k+1} \equiv b^{k+1} (mod\ n)$ Contoh 3: Tentukan sisanya jikalau $3^{100}$ dibagi oleh $5$. Alternatif Pembahasan: show Tampaknya kalkulator tidak sanggup dipakai untuk menemukan tanggapan atas problem yang diajukan. Untuk itu kita gunakan cara lain untuk menuntaskan problem ini. Kita tahu bahwa suatu bilangan bundar positif dibagi oleh 5 memiliki sisa 0, 1, 2, 3, atau 4. Penggunaan aritmetika modular akan membantu kita jikalau kita sanggup menemukan bilangan bundar terkecil yang ekuivalen dengan pangkat dari 3, dan penggunaan sifat [7] dan [8] untuk membangun $3^{100}$ dan menemukan ekuivalensi mod 5. Kita tahu bahwa $3^{2} \equiv 4\ (mod\ 5)$ Dengan demikian, $3^3 \equiv 3 \cdot 4 \equiv 2\ (mod\ 5)$ $3^4 \equiv 3 \cdot 2 \equiv 1\ (mod\ 5)$ Dengan memakai sifat [8] kita peroleh, $(3^4)^{25} \equiv 1^{25} (mod\ 5)$, atau $3^{100} \equiv 1 (mod\ 5)$ Jadi: $3^{100}$ dibagi oleh $5$ memiliki sisa $1$. Sifat 2Jika $ca \equiv cb\ (mod\ n)$ maka $a \equiv b\ (mod\ n/d )$ dimana $d = FPB(c , n)$. Alternatif Pembahasan: show Karena $ca \equiv cb\ (mod\ n)$, $c(a – b) = ca – cb = kn$ untuk suatu bilangan bundar $k$. Kita tahu bahwa $d = FPB(c , n)$, dengan demikian, ada bilangan bundar saling prima [relative prime] $r$ dan $s$ yang memenuhi $c = dr$, $n = ds$. Jika hasil ini kita substitusikan ke persamaan $c(a – b) = ca – cb = kn$ maka kita peroleh $r(a – b) = ks$. Hasil ini mengatakan $s \mid r(a – b)$, dan alasannya ialah $FPB (r , s) = 1$, diperoleh $s (a – b)$. Dengan kata lain, $ca \equiv cb\ (mod\ n)$ maka $a \equiv b\ (mod\ n/d )$ Sifat 3Jika $ca \equiv cb\ (mod\ n)$ dan $FPB(c , n) = 1$ maka $a \equiv b\ (mod\ n)$. Sifat 3 ini hanya merupakan perkara khusus dari sifat 2 Sifat 4Jika $ca \equiv cb\ (mod\ p)$ dan $p \nmid c$, dimana $p$ ialah bilangan prima maka $a \equiv b\ (mod\ p)$. Alternatif Pembahasan: show Kondisi $p \nmid c$ dan $p$ ialah bilangan prima ini mengakibatkan $FPB\ (c,p)=1$Contoh 4: Perhatikan $33 \equiv 15\ (mod\ 9)$, atau $3 \cdot 11 \equiv 3 \cdot 5\ (mod\ 9)$. Karena $FPB(3,9)=1$ mengakibatkan $11 \equiv 5\ (mod\ 9)$ Perhatikan $-35 \equiv 45\ (mod\ 8)$, atau $5 \cdot (-7) \equiv 5 \cdot 9\ (mod\ 8)$. Karena $5$ dan $8$ bilangan bundar saling prima mengakibatkan $-7 \equiv 9\ (mod\ 8)$ Diskusi sederhana perihal aritmetika modular diatas mudah-mudahan menambah pemahaman kita perihal bilangan modular. Jika ingin mendapat file diskusi diatas dalam ekstensi .pdf silahakn di d0wnl0ad pada link dibawah ini. File ini juga menjadi sumber goresan pena ini, silahkan d0wnl0ad dimari. Jika ada yang ingin kita diskusikan mari disampaikan, mari bermatematik😊😊 Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Bagaimana perkalian dikerjakan dengan cara nakal, mari kita lihat perkalian yang kreatif; Sumber http://www.defantri.com
Defenisi: Misalkan $n$ ialah suatu bilangan bundar positif, $a$ dan $b$ ialah suatu bilangan bulat. $a$ dikatakan kongruen $b$ modulo $n$, ditulis $a \equiv b\ (mod\ n)$ jikalau dan hanya jikalau $(a-b)$ ialah kelipatan $n$.
$3 \equiv 24\ (mod\ 7)$ Benar, alasannya ialah $3 – 24 = -21$ kelipatan dari $7$
$-31 \equiv 11\ (mod\ 7)$ Benar, alasannya ialah $–31 – 11 = -42$ kelipatan dari $7$
$-15 \equiv -64\ (mod\ 7)$ Benar, alasannya ialah $–15 + 64 = 49$ kelipatan dari $7$
$13 \equiv -1\ (mod\ 7)$ Benar, alasannya ialah $13 + 1 = 14$ kelipatan dari $7$
$23 \equiv 3\ (mod\ 7)$ Salah, alasannya ialah $23 – 3 = 20$ bukan kelipatan dari $7$
$x \equiv 1\ (mod\ 10)$ jikalau dan hanya jikalau $x-1=10k$ Untuk setiap $k$ bilangan bulat. Jika $k = 0, 1, 2, 3, …$ maka berturut-turut $x = 1, 11, 21, 31, ...$ Begitu pula $k = -0, -1, -2, -3,...$ maka berturut-turut $x = -9, -200, 21, 31,...$ Begitu pula $k = -1, -2, -3,...$ maka berturut-turut $x = -9, -19, -29,...$ Dua barisan tersebut digabungkan sehingga himpunan penyelesaian $x \equiv 1\ (mod\ 10)$ adalah $..., -29, -19, -9, 1, 11, 21, 31,...$
Untuk $a$ bilangan bundar sebarang dan $n$ suatu bilangan bundar positif berlaku $a – a = 0 \cdot n $. Dengan demikian $a \equiv a\ (mod\ n)$.
$a \equiv b\ (mod\ n)$ Ada $k$ suatu bilangan bulat. Akibatnya $b-a=-(a-b)$ $b-a=-(kn)$ $b-a=(-k)n$ Karena $-k$ juga suatu bilangan bulat, $b \equiv a\ (mod\ n)$.
$a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $b \equiv c\ (mod\ n)$ Ada $h$ dan $k$ suatu bilangan bundar sehingga $a-b=hn$ dan $b-c=kn$. Akibatnya: $a-c=(a-b)+(b-c)$ $a-c=hn+kn$ $a-c=n(h+k)$ Karena $h+k$ juga bilangan, $a \equiv c\ (mod\ n)$.
$a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ Ada $h$ dan $k$ bilangan bundar sehingga $a-b=hn$ dan $b-c=kn$. $(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)$ $(a+c)-(b+d)=hn+kn$ $(a+c)-(b+d)=n(h+k)$ Karena $h+k$ juga bilangan bulat, $a+c \equiv b+d\ (mod\ n)$.
$a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ Pandang $ac=(b+hn)(d+kn) $ac=bd+(bk+dh+hkn)n$ Karena $(bk+dh+hkn)$ bilangan bulat, Ada $h$ dan $k$ bilangan bulat, $ac \equiv bd\ (mod\ n)$.
$a \equiv b\ (mod\ n)$ Ada $h$ bilangan sehingga $a-b=hn$ Karena $(a+c)-(b+c)=a-b=hn$ dengan demikian $a+c \equiv b+c\ (mod\ n)$.
$a \equiv b\ (mod\ n)$ Ada $h$ bilangan bundar sehingga $a – b = hn $. $ac-bc=(a-b)c=hnc=(hc)n$ Karena $hc$ bilangan bulat, dengan demikian $ac \equiv bc\ (mod\ n)$.
Untuk bukti ini ita gunakan Induksi Matematika. Untuk $k=1$, berlaku $a \equiv a\ (mod\ n)$. Kita asumsikan $a^k \equiv b^k\ (mod\ n)$ berlaku, Akan ditunjukkan $a^{k+1} \equiv b^{k+1}\ (mod\ n)$ juga berlaku. Dari sifat [5], jikalau $a \equiv b\ (mod\ n)$ dan $c \equiv d\ (mod\ n)$ maka $ac \equiv bd\ (mod\ n)$ kita ganti $c$ oleh $a^k$ dan $d$ oleh $b^k$ diperoleh; $aa^k \equiv bb^k (mod\ n)$ atau $a^{k+1} \equiv b^{k+1} (mod\ n)$
Tampaknya kalkulator tidak sanggup dipakai untuk menemukan tanggapan atas problem yang diajukan. Untuk itu kita gunakan cara lain untuk menuntaskan problem ini. Kita tahu bahwa suatu bilangan bundar positif dibagi oleh 5 memiliki sisa 0, 1, 2, 3, atau 4. Penggunaan aritmetika modular akan membantu kita jikalau kita sanggup menemukan bilangan bundar terkecil yang ekuivalen dengan pangkat dari 3, dan penggunaan sifat [7] dan [8] untuk membangun $3^{100}$ dan menemukan ekuivalensi mod 5. Kita tahu bahwa $3^{2} \equiv 4\ (mod\ 5)$ Dengan demikian, $3^3 \equiv 3 \cdot 4 \equiv 2\ (mod\ 5)$ $3^4 \equiv 3 \cdot 2 \equiv 1\ (mod\ 5)$ Dengan memakai sifat [8] kita peroleh, $(3^4)^{25} \equiv 1^{25} (mod\ 5)$, atau $3^{100} \equiv 1 (mod\ 5)$ Jadi: $3^{100}$ dibagi oleh $5$ memiliki sisa $1$.
Karena $ca \equiv cb\ (mod\ n)$, $c(a – b) = ca – cb = kn$ untuk suatu bilangan bundar $k$. Kita tahu bahwa $d = FPB(c , n)$, dengan demikian, ada bilangan bundar saling prima [relative prime] $r$ dan $s$ yang memenuhi $c = dr$, $n = ds$. Jika hasil ini kita substitusikan ke persamaan $c(a – b) = ca – cb = kn$ maka kita peroleh $r(a – b) = ks$. Hasil ini mengatakan $s \mid r(a – b)$, dan alasannya ialah $FPB (r , s) = 1$, diperoleh $s (a – b)$. Dengan kata lain, $ca \equiv cb\ (mod\ n)$ maka $a \equiv b\ (mod\ n/d )$
Kondisi $p \nmid c$ dan $p$ ialah bilangan prima ini mengakibatkan $FPB\ (c,p)=1$
EmoticonEmoticon
![Panduan Pemula Belajar Aritmetika Modular Panduan Pemula Belajar Aritmetika Modular]( "Panduan Pemula Belajar Aritmetika Modular")
EmoticonEmoticon