Rumus Turunan Trigonometri Dan Pola Soal

Pembelajaran matematika kali ini bertujuan biar kita mengetahui rumus turunan trigonometri, baik itu rumus dasar turunan trigonometri maupun pengembang rumus turunan trigonometri.

Jika pada tutorial sebelumnya kita telah mempelajari turunan fungsi aljabar, maka bahan turunan kini dilanjutkan dengan turunan trigonometri.

Lalu kira-kira apa itu turunan trigonometri ?
Turunan trigonometri yaitu persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri menyerupai sin, cos, tan, cot, sec dan csc.

Sebelum kita memasuki latihan soal turunan trigonometri, terlebih dahulu kit akan memahami terlebih dahulu rumus dasar turunan trigonometri.

Rumus - Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Disini kita akan mengenali rumus dasar trigonometri lalu beberapa pengembangan rumus dari fungsi trigonometri.

1. Rumus Dasar Turunan Trigonometri

Untuk differensiasi (turunan) fungsi trigonometri, rumus ini merupakan bab mendasar dalam menuntaskan soal-soal yang mengandung fungsi trigonometri.

1.  f(x) = sin x  →  f '(x) = cos x
2.  f(x) = cos x  →  f '(x) = −sin x
3.  f(x) = tan x  →  f '(x) = sec² x
4.  f(x) = cot x  →  f '(x) = −csc²x
5.  f(x) = sec x  →  f '(x) = sec x . tan x
6.  f(x) = csc x  →  f '(x) = −csc x . cot x

2. Pengembangan Rumus Turunan Trigonometri

1. f(x) = sin u → f '(x) = cos u . u'
2. f(x) = cos u → f '(x) = −sin u . u'
3. f(x) = tan u → f '(x) = sec²u . u'
4. f(x) = cot u → f '(x) = −csc² u . u'
5. f(x) = sec u → f '(x) = sec u tan u . u'
6. f(x) = csc u → f '(x) = −csc u cot u . u'

3. Pengembangan Rumus Turunan Trigonometri

Dalam kasus-kasus tertentu terkadang kita mempunyai sudut yang lebih kompleks pada suatu fungsi trigonometri. Misalkan variabel sudut ax +b, dimana a dan b yaitu bilangan real dengan a≠0, maka berlaku hukum turunan sebagai berikut :

1. f(x) = sin (ax + b) → f '(x) = a cos (ax + b)
2. f(x) = cos (ax + b) → f '(x) = -a sin (ax + b)
3. f(x) = tan (ax + b) → f '(x) = a sec² (ax +b)
4. f(x) = cot (ax + b) → f '(x) = -a csc² (ax+b)
5. f(x) = sec (ax + b) → f '(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
6. f(x) = csc (ax + b) → f '(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b)

Contoh Soal Turunan Trigonometri

Soal No.1

---

Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = 5 sin x
b. f(x) = -7 sin x
c. f(x) = 5 cos x
d. f(x) = -3 cos x
e. f(x) = 4 cot x
f. f(x) = 9 tan x
g. f(x) = -2 sec x
h. f(x) = 5 csc x

Pembahasan

a. f(x) = 5 sin x → f'(x) = 5 cos x
b. f(x) = -7 sin x → f'(x) = -7 cos x
c. f(x) = 5 cos x → f'(x) = 5 (-sin x) → f'(x) = -5 sin x
d. f(x) = -3 cos x → f'(x) = -3 (-sin x) → f'(x) = 3 sin x
e. f(x) = 4 cot x → f'(x) = 4 (−csc² x) = -4 csc² x
f. f(x) = 9 tan x → f'(x) = 9 sec² x
g. f(x) = -2 sec x → f'(x) = -2 sec x . tan x
h. f(x) = 5 csc x → f'(x) = 5 (−csc x . cot x) = -5 csc x . cot x

Soal No.2

---

Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. y = sin(3x² + 2x − 5)
b. y = cot(x² − x + 7)
c. y = sec(5x³ + 9)

Pembahasan

a. y = sin(3x² + 2x − 5)
Misalkan : u = 3x² + 2x − 5 → u' = 6x + 2
y = sin u
y' = cos u . u'
y' = cos(3x² + 2x − 5) . 6x + 2
y' = (6x + 2)cos(3x² + 2x − 5)

b. y = cot(x² − x + 7)
Misalkan : u = x² − x + 7 → u' = 2x - 1
y = cot u
y' = −csc2 u . u'
y' = − cot(x² − x + 7) . (2x - 1)
y' = −(2x - 1) cot(x² − x + 7)

c. y = sec(5x³ + 9)
Misalkan : u = 5x³ + 9 → u' = 15x²
y = sec u
y' = sec u . tan u . u'
y' = sec(5x³ + 9) . tan(5x³ + 9) . 15x²
y' = 15x² sec(5x³ + 9) tan(5x³ + 9)

Soal No.3

---

Diketahui f(x) = sin³ (3 - 2x). Turunan pertama fungsi f yaitu f' maka f'(x) = .....?

Pembahasan

f(x) = sin³ (3 - 2x)
Misalkan: u = sin (3 - 2x) → u' = cos (3 - 2x) . (-2) → u' = -2cos (3 - 2x)

f(x) = [u(x)]³
f'(x) = 3[u(x)]² . u'(x)
f'(x) = 3sin²(3 - 2x) . -2cos (3 - 2x)
⇔ -6 sin²(3 - 2x) . cos (3 - 2x)
⇔ -3 . 2 sin (3 -2x).sin (3 -2x).cos (3 - 2x)
⇔ -3 . sin (3 - 2x). 2 sin (3 - 2x).cos (3 - 2x)

(ingat: sin 2x = 2 sin x.cos x)
⇔ -3 sin (3 - 2x) sin 2(3 - 2x)
⇔ -3 sin (3 - 2x) sin (6 - 4x)

Soal No.4

---

Carilah turunan pertama dari y = x² sin 3x ?

Pembahasan

y = x² sin 3x

Misalkan:
u = x² → u' = 2x
v = sin 3x → v' = 3 cos 3x
y = u . v y' = u' . v + u . v'
y' = 2x . sin 3x + x². 3 cos 3x
y' = 2x sin 3x + 3x² cos 3x

Soal No.5

---

Carilah turunan dari y =

1 + cos x / sin x

Pembahasan

Misal :
u = 1 + cos x ⇒ u' = -sin x
v = sin x ⇒ v' = cos x

Maka :
y' =

u' . v + u . v' / v²

y' =

-sin x (sin x) − (1 + cos x) (cos x) / sin² x

y' =

-sin² x − cos² x − cos x / sin² x

y' =

-(sin² x + cos² x) − cos x / sin² x

y' =

-(1) - cos x / 1 - cos² x

y' =

-(1 + cos x) / (1 − cos x).(1 + cos x)

y' =

-1 / 1 − cos x

y' =

1 / cos x - 1

Soal No.6

---

Diketahui f(x) = x² tan 2x. Tentukan f'(x) ?

Pembahasan

Gunakan rumus: f(x) = u.v → f'(x) = u'v + uv'
Misal :
u = x² → u' = 2x
v = tan 2x → v' = 2 sec² 2x

f'(x) = u'v + uv'
f'(x) = 2x tan 2x + x² . 2 sec² 2x
f'(x) = 2x tan 2x + 2x² sec² 2x

Soal No.7

---

Diketahui f(x) = 5 sin (x² + 2x). Tentukan f'(x) ?

Pembahasan

Gunakan rumus : f(x) = a sin u → f '(x) = a(cos u). u'

Misalkan :
u = x² + 2x → u' = 2x + 2
f'(x) = a(cos u). u'
f'(x) = 5[cos (x² + 2x)].(2x + 2)
f'(x) = 10(x+1)cos(x² + 2x)

Soal No.8

---

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut : y = (sin x + cos x)²

Pembahasan

Misalkan :
g(x) = sin x + cos x ⇒ g'(x) = cos x - sin x

y = (sin x + cos x)²
y' = n [g(x)]^n-1. g '(x)
y' = 2 (sin x + cos x)^2-1.(cos x − sin x)
y' = 2 (sin x + cos x).(cos x − sin x)
y' = 2 (cos x + sin x).(cos x − sin x)
y' = 2 (cos² x − sin² x)
y' = 2 (cos² x − (1 − cos² x))
y' = 2 (2cos² x − 1)
y' = 4cos² x − 2.

Soal No.9

---

Diketahui f(x) = cot x - 2 sec x + a csc x. Tentukan turunan f'(x) ?

Pembahasan

Gunakan rumus :

f(x) = cot x → f '(x) = −csc²x
f(x) = sec x → f '(x) = sec x . tan x
f(x) = csc x → f '(x) = −csc x . cot x

f(x) = cot x - 2 sec x + a csc x
f'(x) = −csc²x - 2 sec x tan x - a csc x cot x

Sumber http://www.kontensekolah.com/