Catatan calon guru yang kita diskusikan ketika ini akan membahas wacana Matematika Dasar Integral Fungsi. Tetapi bila kita ingin berguru matematika dasar fungsi kuadrat, maka ada baiknya kita sudah sedikit paham wacana matematika dasar turunan fungsi, alasannya yaitu ini yaitu salah satu syarat perlu, supaya lebih cepat dalam berguru integral fungsi.
Penerapan integral fungsi dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya menemukan luas tempat yang bentuknya tidak beraturan. Mempelajari dan memakai aturan-aturan pada integral fungsi juga sangatlah mudah, bila Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal integral fungsi dan menemukan solusinya.
Ketika akan menuntaskan persamaan diferensial dari bentuk $\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ sanggup kita tulis dalam bentuk $dy=f(x)dx$. Secara umum, bila $F(x)$ menyatakan fungsi dalam variabel $x$, dengan $f(x)$ turunan dari $F(x)$ dan $c$ konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari $f(x)$ sanggup dituliskan dalam bentuk: $\int f(x)dx=F(x)+c$
dibaca:"integral fungsi $f(x)$ ke $x$ sama dengan $F(x)+c$"
Keterangan Tambahan:
$\int f(x) = \text{notasi integral tak tentu}$
$F(x)+c = \text{fungsi antiturunan}$
$f(x) = \text{fungsi yang diintegralkan (integran)}$
$c = \text{konstanta}$
$d(x) = \text{diferensial (turunan) dari}\ x$
Aturan Dasar Integral Tak Tentu
- $\int dx= x + c$
- $\int k\ dx= kx + c$
- $\int x^{n}\ dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n}+c,\ n\neq -1$
- $\int k f(x)\ dx=k \int f(x)dx$
- $\int \left[f(x) + g(x) \right]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$
- $\int \left[f(x) - g(x) \right]dx=\int f(x)dx - \int g(x)dx$
- $\int a^{x} dx= \left (\dfrac{1}{ln\ a} \right )a^{x} + c$
- $\int a^{u(x)} dx= \left (\dfrac{1}{u'(x)\ ln\ a} \right )a^{u(x)} + c$
- $\int \dfrac{1}{x} dx= ln\ \left |x \right | + c$
- $\int \dfrac{1}{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left |u(x) \right | + c$
- $\int e^{x} dx= e^{x} + c$
- $\int e^{u(x)} dx= \dfrac{1}{u'(x)}e^{u(x)} + c$
- $\int sin\ x\ dx= -cos\ x + C$
- $\int sin\ u(x)\ dx= -\dfrac{1}{u'(x)}cos\ u(x) + c$
- $\int cos\ x\ dx= sin\ x + C$
- $\int cos\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)}sin\ u(x) + c$
- $\int tan\ x\ dx= ln\ \left |sec\ x \right | + c$
- $\int tan\ u(x)\ dx= \dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x) \right | + c$
- $\int cosec\ x\ dx= ln\ \left |cosec\ x-cotan\ x \right |+ c$
- $\int cosec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | cosec\ u(x)-cotan\ u(x) \right | + c$
- $\int sec\ x\ dx= ln\ \left | sec\ x+ tan\ x \right | + c$
- $\int sec\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sec\ u(x)+ tan\ u(x) \right | + c$
- $\int cot\ x\ dx= ln\ \left | sin\ x \right | + c$
- $\int cot\ u(x)\ dx=\dfrac{1}{u'(x)} ln\ \left | sin\ u(x) \right | + c$
Integral Parsial
$\int u\ dv=u \cdot v-\int v\ du$Integral Tentu
Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ yaitu antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka:$\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
Sifat Integral Tentu
- $\int \limits_{a}^{a}f(x)dx=0$
- $ \int \limits_{a}^{b} k f(x) dx = k \int \limits_{a}^{b} f(x) dx $
- $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) + g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx + \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
- $ \int \limits_{a}^{b} [ f(x) - g(x) ] dx = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx - \int \limits_{a}^{b} g(x) dx $
- $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits_{b}^{a}f(x)dx$
- $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=\int \limits_{a}^{p}f(x)dx+\int \limits_{p}^{b}f(x)dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a+c}^{b+c} f(x-c) dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a-c}^{b-c} f(x+c) dx$
- Jika $f(x)$ fungsi genap $'f(-x)=f(x)'$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
- Jika $f(x)$ fungsi ganjil $'f(-x)=-f(x)'$ maka $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =0$
- Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
'Suatu fungsi $f$ yaitu periodik bila terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$'
1. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)
Hasil dari $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(B)\ & -\dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
(E)\ & \dfrac{4}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C \\
\end{align} $
Hasil $\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $ kita coba kerjakan dengan pemisalan;
Misal:
$u=x^{2}-1$
$\dfrac{du}{dx}=2x$
$du=2x\ dx$
Soal diatas, sekarang sanggup kita rubah menjadi;
$\int 4x\ \left ( x^{2}-1 \right )^{5}\ dx $
$=\int 2 \cdot 2x\ u^{5}\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ 2x\ dx $
$=\int 2 u^{5}\ du $
$=\dfrac{2}{5+1} u^{5+1}+C $
$=\dfrac{2}{6} u^{6}+C $
Lalu kita kembalikan nilai $u=x^{2}-1$
$=\dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} +C $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-1 \right )^{6} + C $
2. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)
2. Diketahui $\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx=3$. Nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 3
\end{align} $
$ \begin{align}
\int \limits_{0}^{3} \left ( x^{2}-2px+p+2 \right ) dx & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}x^{3}-px^{2}+px+2x \right ]_{0}^{3} & = 3 \\
\left [\dfrac{1}{3}(3)^{3}-p(3)^{2}+p(3)+2(3) \right ]-\left [0 \right ] & = 3 \\
\left [9-9p+3p+6 \right ]-0 & = 3 \\
\left [15-6p \right ] & = 3 \\
15-3 & = 6p \\
12 & = 6p \\
2 & = p
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 2$
3. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
$ \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & \dfrac{3}{2} \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6 \\
\end{align} $
$ \begin{align}
& \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x-1 \right )\left ( x+2 \right ) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+6x-x-2 \right ) dx \\
& = \int \limits_{0}^{1} \left ( 3x^{2}+5x -2 \right ) dx \\
& = \left [ \dfrac{3}{2+1}x^{2+1}+\dfrac{5}{1+1}x^{1+1}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ x^{3}+\dfrac{5}{2}x^{2}-2x \right ]_{0}^{1} \\
& = \left [ (1)^{3}+\dfrac{5}{2}(1)^{2}-2(1) \right ] - \left [0 \right ] \\
& = \left [ 1+\dfrac{5}{2}-2 \right ] \\
& = \dfrac{3}{2}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C).\ \dfrac{3}{2}$
4. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)
Diketahui $\int \limits_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 24 \dfrac{4}{6} \\
(B)\ & 24 \dfrac{3}{6} \\
(C)\ & 20 \dfrac{4}{6} \\
(D)\ & 20 \dfrac{1}{6} \\
(E)\ & 16 \dfrac{1}{6} \\
\end{align} $
$ \begin{align}
& \int \limits_{-1}^{1} \left ( 4x^{2}-12x+9 \right )\ dx \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{12}{2}x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}x^{3}-6x^{2}+9x \right ]_{-1}^{1} \\
& = \left [\dfrac{4}{3}(1)^{3}-6(1)^{2}+9(1) \right ]-\left [\dfrac{4}{3}(-1)^{3}-6(-1)^{2}+9(-1) \right ] \\
& = \left [\dfrac{4}{3}-6+9 \right ]-\left [-\dfrac{4}{3} -6-9 \right ] \\
& = \dfrac{4}{3}+3 +\dfrac{4}{3}+15 \\
& = \dfrac{8}{3}+18 \\
& = 20\dfrac{2}{3}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 20 \dfrac{2}{3}$
5. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)
Jika $\int \limits_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int \limits_{-2}^4 f(x) dx = 4$, maka $\int \limits_{-2}^0 f(x)\ dx=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align} $
Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan sentra sumbu $y$
- Jika digunakan pada integral, ciri fungsi genap ini yaitu $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =2\int \limits_{0}^a f(x)dx $ Silahkan dibuktikan ciri fungsi genap diatas untuk $f(x)=x^{2}$ atau $f(x)=cos\ x$
- Berlaku $f(-x)=-f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan sentra $(0,0)$
- Jika digunakan pada integral, kekhususan fungsi ganjil ini yaitu $\int \limits_{-a}^a f(x)dx =0$. Silahkan dibuktikan ciri fungsi ganjil diatas untuk $f(x)=x^{3}$ atau $f(x)=sin\ x$.
Kembali kepada soal,
$\begin{split}
& \int \limits_{-4}^{4} f(x)(\sin x + 1)\ dx = 8\\
& \int \limits_{-4}^{4} \left (f\left (x\right ) \sin x + f\left (x\right ) \right )\ dx = 8\\
& \int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 8
\end{split}$
Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x) \sin x$ merupakan fungsi ganjil sehingga berlaku $\int \limits_{-4}^4 f(x) \sin x\ dx=0$ dan $\int \limits_{-4}^4 f(x)\ dx = 2 \int \limits_{0}^4 f(x)\ dx$.
$\begin{split}
\int \limits_{-4}^{4} f(x) \sin x\ dx + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
0 + \int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 8\\
\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\
\hline
\int \limits_{-2}^{4} f(x) dx &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx + 4 &= 4\\
\int \limits_{-2}^{0} f(x) dx &= 0
\end{split}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A).\ 0$
6. Soal Simulasi UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Luas tempat yang dibatasi oleh kurva $y=x^{2}+6x$, $y=-x^{2}-2x$. garis $x=-3$, dan $x=-1$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & 9\dfrac{1}{3} \\
(B)\ & 10\dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 11\dfrac{1}{3} \\
(D)\ & 13\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & 14\dfrac{2}{3}
\end{align} $
Keterangan pada soal bila kita gambarkan kurang lebih menyerupai berikut ini;
$\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left ((x^2+6x)-(-x^2-2x) \right ) dx \right |$
$=\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left (x^2+6x+x^2+2x \right ) dx \right |$
$=\left | \int \limits_{-3}^{-1}\left (2x^2+8x \right ) dx \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}x^3+4x^2 \right ]_{-3}^{-1} \right |$
$=\left | \left [\dfrac{2}{3}(-1)^3+4(-1)^2 \right ]-\left [\dfrac{2}{3}(-3)^3+4(-3)^2 \right ] \right |$
$=\left | \left [-\dfrac{2}{3}+4 \right ]-\left [\dfrac{-54}{3}+36 \right ] \right |$
$=\left | \left [\dfrac{10}{3} \right ]-\left [-18+36 \right ] \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-18 \right |$
$=\left | \dfrac{10}{3}-\dfrac{54}{3} \right |$
$=\left | -\dfrac{44}{3} \right |$
$=\left | -14\dfrac{2}{3} \right |$
$=14\dfrac{2}{3}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E).\ 14\dfrac{2}{3}$
7. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)
Hasil dari $\int \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(B)\ & \dfrac{2}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2x}-2x + C \\
(C)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2x}+2x + C \\
(D)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C \\
(E)\ & \dfrac{4}{3}x^{3}+\dfrac{1}{4x}-2x + C
\end{align} $
$ \begin{align}
& \int \left ( 2x-\dfrac{1}{2x} \right )^{2} dx \\
& = \int \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( 4x^{2}-2+\dfrac{1}{4}x^{-2} \right ) dx \\
& = \dfrac{4}{2+1}x^{2+1}-2x+\dfrac{\frac{1}{4}}{-2+1}x^{-2+1} + C \\
& = \dfrac{4}{3}x^{3}-2x-\dfrac{1}{4x}+C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{4x}-2x + C$
8. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)
Hasil dari $\int \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx $ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{16}{x}+2x^{3} + C \\
(B)\ & \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C \\
(C)\ & -\dfrac{16}{x}-x^{3} + C \\
(D)\ & -\dfrac{8}{x}+2x^{3} + C \\
(E)\ & \dfrac{8}{x}-2x^{3} + C
\end{align} $
$ \begin{align}
& \int \left ( \dfrac{-16-6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( \dfrac{-16}{x^{2}} - \dfrac{6x^{4}}{x^{2}} \right ) dx \\
& = \int \left ( -16 x^{-2} -6x^{4-2} \right ) dx \\
& = \int \left ( -16 x^{-2} -6x^{2} \right ) dx \\
& = \dfrac{-16}{-2+1} x^{-2+1} -\dfrac{6}{2+1}x^{2+1}+C \\
& = 16 x^{-1} -2x^{3}+C \\
& = \dfrac{16}{x}-2x^{3}+C
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{16}{x}-2x^{3} + C $
9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)
Jika $f(x)$ fungsi kontinu di interval $[1,30]$ dan $\int \limits_{6}^{30} f(x)\ dx=30$ maka $\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 5 \\
(B)\ & 10 \\
(C)\ & 15 \\
(D)\ & 18 \\
(E)\ & 27
\end{align} $
Untuk menuntaskan $\int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy$ kita coba sederhanakan fungsi dengan memisalkan $x=3y+3$, sehingga beberapa perubahan juga terjadi yaitu:
- karena $x=3y+3$, maka
$ \begin{align}
dx & = 3 dy \\
\dfrac{1}{3}dx & = dy
\end{align} $ - batas bawah yaitu $y=1$ menjadikan $x=3y+3=6$
- batas atas yaitu $y=9$ menjadikan $x=3y+3=30$
$ \begin{align}
& \int \limits_{1}^{9} f(3y+3)\ dy \\
& = \int \limits_{6}^{30} f(x)\ \dfrac{1}{3}dx \\
& = \dfrac{1}{3} \\int \limits_{6}^{30} f(x)\ dx \\
& = \dfrac{1}{3} \times 30 \\
& = 10
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 10$
10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)
Jika $\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$ untuk nilai $k$ bilangan bulat, maka $k^{2}-14=\cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 140 \\
(B)\ & 135 \\
(C)\ & 130 \\
(D)\ & 125 \\
(E)\ & 120
\end{align} $
$\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx$$=(k-9)(k-11)$
$ \begin{align}
&\int \limits_{-2}^{0} \left ( cos\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{9x^{2}-10x+14}{k+12} \right ) dx \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{\pi k x}{2} \right )+\dfrac{3x^{3}-5x^{2}+14x}{k+12} \right ]_{-2}^{0} \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{(0) \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(0)^{3}-5(0)^{2}+14(0)}{k+12} \right ] \\
&- \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi+\dfrac{-2 \pi k}{2} \right )+\dfrac{3(-2)^{3}-5(-2)^{2}+14(-2)}{k+12} \right ] \\
&= \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \pi \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \left ( \pi- \pi k \right )+\dfrac{-24-20-28}{k+12} \right ] \\
&= \left[ 0 \right ] - \left[ \dfrac{2}{\pi k} sin\ \pi \left ( 1-k \right )+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= - \left[0+\dfrac{-72}{k+12} \right ]\\
&= \dfrac{ 72}{k+12}
\end{align} $
$ \begin{align}
(k-9)(k-11) & = \dfrac{ 72}{k+12} \\
(k-9)(k-11)(k+12) & = 72 \\
k^{3}-8k^{2}-141k+1116 & = 0 \\
(k-12)(k^{2}+4k+93) & = 0 \\
k & = 12 \\
k^{2}-14 & = 144-14 \\
& = 130
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 130$
11. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ diputar mengelilingi sumbu $y$. Volume benda putar yang terbentuk adalah...satuan volume.
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4}\pi \\
(B)\ & \dfrac{2}{5}\pi \\
(C)\ & \dfrac{3}{5}\pi \\
(D)\ & \dfrac{2}{3}\pi \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}\pi
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Integral Fungsi yaitu;
- Volume benda putar terhadap sumbu-$x$ yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dari $a$ ke $b$ yaitu $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( y_{2}-y_{1} \right)^{2}dx$
- Volume benda putar terhadap sumbu-$y$ yang dibatasi oleh $x_{2}$ dan $x_{1}$ dari $a$ ke $b$ yaitu $V=\pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy$
Titik potong kurva $y=x^{3}$ dan sumbu-$x$ atau $y=0$ yaitu $(0,0)$
Volume benda putar yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$ dan diputar mengelilingi sumbu-$y$;
$\begin{align}
V &= \pi \int \limits_{a}^{b}\left ( x_{2}-x_{1} \right)^{2}dy \\
&= \pi \int \limits_{0}^{1} \left ( \left ( 1 \right)^{2}-\left( y^{\frac{1}{3}} \right)^{2} \right)dy \\
&= \pi \int \limits_{0}^{1} \left( 1- y^{\dfrac{2}{3}} \right) dy \\
&= \pi \left[ y- \dfrac{3}{5} y^{\dfrac{5}{3}} \right]_{0}^{1} \\
&= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} (1)^{\dfrac{5}{3}} \right]-[0] \\
&= \pi \left[ 1- \dfrac{3}{5} \right] \\
&= \dfrac{2}{5} \pi
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{2}{5} \pi$
12. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Nilai $a$ yang memenuhi $\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx=14$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ yaitu antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Daerah yang dibatasi oleh $y=x^{3}$, garis $x=1$, dan sumbu $x$, bila kita gambarkan ilustrasinya kurang lebih menyerupai berikut ini;
$\begin{align}
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{2}+1 \right)^{2}dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} 12x \left ( x^{4}+2x^{2}+1 \right) dx &= 14 \\
\int \limits_{a}^{1} \left ( 12x^{5}+24x^{3}+12x \right) dx &= 14 \\
\left[ 2x^{6}+6x^{4}+6x^{2} \right]_{a}^{1} &= 14 \\
\left[ 2(1)^{6}+6(1)^{4}+6(1)^{2} \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
\left[ 2+6+6 \right]-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 14-14 \\
-\left[ 2a^{6}+6a^{4}+6a^{2} \right] &= 0 \\
a^{2} \left( 2a^{4}+6a^{2}+6 \right) &= 0 \\
a=0\ \text{atau}\ 2a^{4}+6a^{2}+6 &= 0
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 0$
13. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 18 \\
(C)\ & \dfrac{68}{3} \\
(D)\ & \dfrac{64}{3} \\
(E)\ & 9
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Integral Fungsi yaitu Jika sebuah fungsi $f(x)$ kontinu pada interval $[a,b]$ dan $F(x)$ yaitu antidiferensial dari $f(x)$ pada interval $[a,b]$, maka $\int \limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.
Menentukan Integral Fungsi Harga Mutlak
Jika kita akan memilih integral harga mutlak $ f(x) $ dari batas $a \leq b \leq c$ maka sanggup kita hitung dengan fungsi mutlaknya dipecah menjadi:$ |f(x)| =
\left\{\begin{array}{cc}
f(x) & , x \geq b \\
-f(x) & , x \lt b
\end{array} \right. $
Maka Integralnya sanggup dihitung dengan menjadi:
$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $.
$\int \limits_{-3}^{3} \left| x-2x-3 \right| dx = \int \limits_{-3}^{3} \left| -x-3 \right|$
$ \left| -x-3 \right| = -x-3$ untuk $ -x-3 \geq 0$ atau $ x \leq -3$
$ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)$ untuk $ -x-3 \lt 0$ atau $ x \gt -3$
Karena batas integral yang diminta dari $-3 \leq x \leq 3$ sesuai dengan batas positif $ x \gt -3$ maka dari defenisi harga mutlak di atas yang kita pakai hanya bab $ \left| -x-3 \right| = -(-x-3)=x+3$.
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{3} \left( x+3 \right) dx & = \left[ \dfrac{1}{2}x^{2}+3x \right]_{-3}^{3} \\
& = \left[ \dfrac{1}{2}(3)^{2}+3(3) \right]-\left[ \dfrac{1}{2}(-3)^{2}+3(-3) \right] \\
& = \left[ \dfrac{9}{2} +9 \right]-\left[ \dfrac{9}{2}-9 \right] \\
& = \dfrac{9}{2} +9 - \dfrac{9}{2}+9 \\
& = 18
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ 18$
14. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)
Jika luas tempat yang dibatasi oleh kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ yaitu $\dfrac{2}{3}$, maka nilai $p$ yang memenuhi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{6} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{5}{2} \\
(D)\ & 2\ \text{atau}\ -2 \\
(E)\ & \dfrac{5}{2}\ \text{atau}\ -\dfrac{5}{2}
\end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Integral Fungsi yaitu Luas tempat yang dibatasi oleh $y_{2}$ dan $y_{1}$ dimana $y_{2}$ dan $y_{1}$ berpotongan pada $a$ dan $b$ maka $L=\left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right|$.
Titik potong kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ adalah;
$\begin{align}
\sqrt{px} &= x \\
px &= x^{2} \\
x^{2} - px &= 0 \\
x(x - p) &= 0 \\
x=0\ &\ x=p
\end{align}$
Luas tempat yang dibatasi kurva $y=\sqrt{px}$ dan garis $y=x$ yaitu $\dfrac{2}{3}$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
L &= \left| \int \limits_{a}^{b} \left( y_{2}-y_{1} \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \int \limits_{0}^{p} \left( \sqrt{px}-x \right) dx \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (px)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (x)^{2} \right]_{0}^{p} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \left[ \dfrac{2}{3} \cdot (p \cdot p)^{\frac{3}{2}} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot (p)^{2} \right]-[0] \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} \cdot p^{3} \cdot \dfrac{1}{p}-\dfrac{1}{2} \cdot p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{2}{3} p^{2} -\dfrac{1}{2} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \left| \dfrac{1}{6} p^{2} \right| \\
\dfrac{2}{3} &= \dfrac{1}{6} p^{2} \\
4 &= p^{2} \\
\pm \sqrt{4} &= p \\
\pm 2 &= p
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2\ \text{atau}\ -2$
15. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
$\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx =\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6x^{3}-4x^{2}+x + C \\
(B)\ & 6x^{3}-4x^{2} + C \\
(C)\ & 4x^{3}+2x^{2}+x + C \\
(D)\ & 4x^{3}-2x^{2}+x + C \\
(E)\ & 4x^{3}+2x^{2}+x + C
\end{align}$
$\begin{align}
&\int \left ( 12x^{2}-4x+1 \right )\ dx \\
& = \dfrac{12}{2+1}x^{2+1}-\dfrac{4}{1+1}x^{1+1}+1x+C\\
& = 4x^{3}-2x^{2}+ x+C
\end{align}$
Soal integral di atas sangat sederhana, coba berlatih lagi soal integral disini
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 4x^{3}-2x^{2}+x + C$
16. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Hasil dari $\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{3} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(B)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(C)\ & \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(D)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x-2 \right )^{2} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C \\
(E)\ & \dfrac{1}{6} \left ( x-2 \right )^{2} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C
\end{align}$
Untuk menuntaskan soal Integral di atas kita coba dengan memakai pemisalan;
misal:
$\begin{align}
u & = x^{2}-4x+3 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2x-4 \\
\dfrac{du}{dx} & = 2 (x-2) \\
\dfrac{1}{2}\ du & = (x-2)\ dx
\end{align}$
Soal di atas, sekarang sanggup kita rubah menjadi;
$\begin{align}
&\int \left ( x-2 \right ) \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{5}\ dx \\
& = \int u^{5} \left ( x-2 \right )\ dx \\
& = \int u^{5} \cdot \dfrac{1}{2}\ du \\
& = \dfrac{1}{5+1} u^{5+1} \cdot \dfrac{1}{2}+C \\
& = \dfrac{1}{12} u^{6} +C \\
& = \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} +C \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{1}{12} \left ( x^{2}-4x+3 \right )^{6} + C$
17. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui $f(x)$ merupakan fungsi genap, Jika $\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16$, $\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11$ dan $\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6$, maka $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 22 \\
(B)\ & 23 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 25 \\
(E)\ & 26
\end{align} $
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat wacana fungsi genap;
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan sentra sumbu $y$
- Jika digunakan pada integral, ciri fungsi genap ini yaitu $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
\int \limits_{-4}^{4} f(x)\ dx = 16\ &\Rightarrow\ 2 \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 16 \\
\int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 8\ &\Rightarrow\ \left | F(x) \right | _{0}^{4} = 8 \\
F(4)-F(0) = 8\ &\Rightarrow\ \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx = 8 \\
\hline
\int \limits_{3}^{4} f(2x-2)\ dx = 11\ &\Rightarrow\ \dfrac{1}{2} \cdot \left | F(2x-2) \right | _{3}^{4} = 11 \\
\dfrac{1}{2} \cdot \left( F(6)-F(4) \right) & = 11 \\
F(6)-F(4) = 22\ &\Rightarrow\ \int \limits_{4}^{6} f(x)\ dx = 22 \\
\hline
\int \limits_{-5}^{-1} f(1-x)\ dx = 6\ &\Rightarrow\ \dfrac{1}{-1} \cdot \left | F(1-x) \right | _{-5}^{-1} = 6 \\
F(2)-F(6) & = -6 \\
F(6)-F(2) = 6\ &\Rightarrow\ \int \limits_{2}^{6} f(x)\ dx = 6 \\
\end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, sanggup kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + \int \limits_{2}^{6} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{4} f(x)\ dx + \int \limits_{4}^{6} f(x)\ dx \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 6 &= 8 + 22 \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= 30-6 \\
&= 24 \\
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C) \ 24$
18. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Fungsi $f(x)$ memenuhi $f(x)=f(-x)$. Jika nilai $\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6$, $\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx = 1$, maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align} $
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat wacana fungsi genap;
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan sentra sumbu $y$
- Jika digunakan pada integral, ciri fungsi genap ini yaitu $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
\int \limits_{-3}^{3} f(x)\ dx = 6\ &\Rightarrow \ 2 \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 6 \\
\int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3\ &\Rightarrow \ \left | F(x) \right | _{0}^{3} = 3 \\
F(3)-F(0) = 3 \ &\Rightarrow\ \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx = 3 \\
\hline
\int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= 1
\end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, sanggup kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + \int \limits_{2}^{3} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{3} f(x)\ dx \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 1 &= 3 \\
\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx &= 3-1 =2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B) \ 2$
19. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Jika nilai $\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5$ dan $\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0$, maka $\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align} $
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat wacana sifat integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
$\begin{align}
\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx = 5\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -5 \\
\int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx = 0\ &\Rightarrow\ \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx = 0 \\
\hline
\int \limits_{c}^{b} f(x)\ dx & = \int \limits_{c}^{a} f(x)\ dx +\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx \\
& = 0 + -5 \\
& = -5
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A) \ -5$
20. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Misalkan fungsi $f$ memenuhi $f(x+5)=f(x)$ untuk setiap $x \in R$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 3$ dan $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx =-2$ maka nilai $\int \limits_{5}^{15} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & 10 \\
(B)\ & 6 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 1
\end{align} $
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat wacana sifat integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
- Jika $f$ periodik dengan periode $p$, maka $\int \limits_{a+p}^{b+p} f(x)dx =\int \limits_{a }^{b } f(x)dx$
$'$Suatu fungsi $f$ yaitu periodik bila terdapat suatu bilangan $p$ sedemikian sehingga $f(x+p)=f(x)$$'$
- $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = \int \limits_{6}^{10} f(x)\ dx = \int \limits_{11}^{15} f(x)\ dx = 3$
- $\int \limits_{-5}^{-4} f(x)\ dx=\int \limits_{0}^{1} f(x)\ dx = \int \limits_{5}^{6} f(x)\ dx =\int \limits_{10}^{11} f(x)\ dx =-2$;
$\begin{align}
\int \limits_{5}^{15} f(x) dx &= \int \limits_{5}^{6} f(x) dx+\int \limits_{6}^{10} f(x) dx+\int \limits_{10}^{11} f(x) dx+\int \limits_{11}^{15} f(x) dx \\
&= -2+3+(-2)+3 \\
&= 2
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D) \ 2$
21. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui fungsi $f(x)$ yaitu fungsi genap, Jika nilai $\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx = 260$ dan $\int \limits_{2}^{4} f(x) dx = 2$ maka nilai $\int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx+\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 7
\end{align} $
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat wacana sifat integral tentu;
- Berlaku $f(-x)=f(x)$
- Bentuk grafik fungsi, simetris dengan sentra sumbu $y$
- Jika digunakan pada integral, ciri fungsi genap ini yaitu $\int \limits_{-a}^{a} f(x)dx =2\int \limits_{0}^{a} f(x)dx $
$\begin{align}
\int \limits_{-5}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\
2 \cdot \int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 260 \\
\int \limits_{0}^{5} \left( f(x)+3x^{2} \right) dx &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \int \limits_{0}^{5} 3x^{2}\ dx &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx + \left | x^{3} \right | _{0}^{5} &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx +125 &= 130 \\
\int \limits_{0}^{5} f(x) &= 5
\end{align}$
$\begin{align}
\int \limits_{0}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{2}^{4} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
5 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx + 2 +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
5-2 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx \\
3 &= \int \limits_{0}^{2} f(x)\ dx +\int \limits_{4}^{5} f(x)\ dx
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D) \ 3$
22. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019
Diketahui $f(-x)=f(x)-3$ dan $x \gt 0$. Jika $\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx = 2$ dan $\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx = -3$ maka $\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx = \cdots$
$ \begin{align}
(A)\ & -17 \\
(B)\ & -11 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 11 \\
(E)\ & 17
\end{align} $
Catatan calon guru yang mungkin bermanfaat wacana integral tentu;
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx = -\int \limits_{b}^{a} f(x)\ dx$
- $\int \limits_{a}^{b} f(x)\ dx + \int \limits_{b}^{c} f(x)\ dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)\ dx$
$\begin{align}
\int \limits_{1}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{1}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\
2 &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{1}^{5} 3\ dx \\
2 - \int \limits_{1}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{1}^{5} f(-x) dx \\
2 - \left | 3x \right | _{1}^{5} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \left | F(-x) \right | _{1}^{5} \\
2 - (15 -3) &= (-1) \cdot \left( F(-5)-F(-1) \right) \\
-10 &= (-1) \cdot \int \limits_{-1}^{-5} f(x)\ dx \\
-10 &= \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\
\hline
\int \limits_{3}^{5} f(x)\ dx &= \int \limits_{3}^{5} \left( f(-x)+3 \right) dx \\
-3 &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx + \int \limits_{3}^{5} 3\ dx \\
-3 - \int \limits_{3}^{5} 3\ dx &= \int \limits_{3}^{5} f(-x) dx \\
-3 - \left | 3x \right | _{3}^{5} &= \dfrac{1}{-1} \cdot \left | F(-x) \right | _{3}^{5} \\
-3 - (15 -9) &= (-1) \cdot \left( F(-5)-F(-3) \right) \\
-9 &= (-1) \cdot \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx \\
-9 &= \int \limits_{-5}^{-3} f(x)\ dx
\end{align}$
Dari persamaan yang kita peroleh di atas dan sifat integral tentu, sanggup kita simpulkan:
$\begin{align}
\int \limits_{-3}^{-1} f(x)\ dx &= \int \limits_{-3}^{-5} f(x)\ dx + \int \limits_{-5}^{-1} f(x)\ dx \\
&= 9 - 10 \\
&= -1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B) \ -1$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasBeberapa pembahasan soal Matematika Dasar Integral Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas yaitu coretan kreatif siswa pada
- lembar balasan evaluasi harian matematika,
- lembar balasan evaluasi final semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Mengenal salah satu matematikawan Indonesia;
EmoticonEmoticon