blog berisi kumpulan soal materi skripsi dan makalah lengkap pdf
limit fungsi aljabar atau limit fungsi trigonometri, sebab ini ialah salah satu syarat perlu, biar lebih cepat dalam berguru turunan fungsi. Penerapan fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya menemukan nilai maksimum atau minimum. Mempelajari dan memakai aturan-aturan pada turunan fungsi juga sangatlah mudah, jikalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal turunan fungsi dan menemukan solusinya. Turunan (diferensial) dari sebuah fungsi $f$ ialah fungsi yang dituliskan $f'$ (dibaca"f aksen"). Jika sebuah fungsi dengan variabel $x$ dituliskan $f(x)$ maka turunan pertama fungsi tersebuut ialah $f'(x)$, didefenisikan $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dengan catatan bahwa nilai limit ini ada. Jika $f'(x)$ sanggup diperoleh $f$ dikatakan sanggup diturunakan (diferentiable). Selain bentuk $f'(x)$ (dibaca"f aksen x"), bentuk lain yang umum digunakan pada penulisan turunan fungsi $y=f(x)$ ialah $y'$ atau $D_{x}f(x)$ atau $\dfrac{dy}{dx}$ atau $\dfrac{d \left(f(x)\right)}{dx}$. Aturan Turunan FungsiDari defenisi turunan fungsi diatas, sanggup kita peroleh beberapa hukum dasar turunan fungsi pada funsgi aljabar atau fungsi trigonometri, antara lain: $\dfrac{d}{dx}[c]=0$ $\dfrac{d}{dx}[x]=1$ $\dfrac{d}{dx}[cx^{n}]=cnx^{n-1}$ $\dfrac{d}{dx}[cu]=cu'$ $\dfrac{d}{dx}[u \pm v]=u' \pm v'$ $\dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+uv'$ $\dfrac{d}{dx}[\dfrac{u}{v}]=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ $\dfrac{d}{dx}[u^{n}]=nu^{n-1}u'$ $\dfrac{d}{dx}[\left |u \right |]=\dfrac{u}{\left |u \right |}(u'),\ u\neq 0 $ $\dfrac{d}{dx}[ln\ u]=\dfrac{u'}{u}$ $\dfrac{d}{dx}[e^{u}]=u'e^{u}$ $\dfrac{d}{dx}[log_{a}u]=\dfrac{u'}{(ln\ a)u}$ $\dfrac{d}{dx}[a^{u}]=a^{u}u'(ln\ a)$ $\dfrac{d}{dx}[sin\ u]=u'(cos\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[cos\ u]=-u'(sin\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[tan\ u]=u'(sec^{2}\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[cot\ u]=-u'(csc^2\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[sec\ u]=u'(sec\ u\ tan\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[csc\ u]=-u'(csc\ u\ cot\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[arcsin\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$ $\dfrac{d}{dx}[arccos\ u]=\dfrac{-u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$ $\dfrac{d}{dx}[arctan\ u]=\dfrac{u'}{1+u^{2}}$ $\dfrac{d}{dx}[arccot\ u]=\dfrac{-u'}{1+u^{2}}$ $\dfrac{d}{dx}[arcsec\ u]=\dfrac{u'}{|u| \sqrt{u^{2}-1}}$ $\dfrac{d}{dx}[arccsc\ u]=\dfrac{-u'}{|u| \sqrt{u^{2}-1}}$ $\dfrac{d}{dx}[sinh\ u]=u'(cosh\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[cosh\ u]=-u'(sinh\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[tanh\ u]=u'(sech^{2}\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[coth\ u]=-u'(csch^2\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[sech\ u]=-u'(sech\ u\ tanh\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[csch\ u]=-u'(csch\ u\ coth\ u)$ $\dfrac{d}{dx}[sinh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}+1}}$ $\dfrac{d}{dx}[cosh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{\sqrt{u^{2}-1}}$ $\dfrac{d}{dx}[tanh^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{1-u^{2}}$ $\dfrac{d}{dx}[coth^{-1}\ u]=\dfrac{u'}{1-u^{2}}$ $\dfrac{d}{dx}[sech^{-1}\ u]=\dfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^{2}}}$ $\dfrac{d}{dx}[csch^{-1}\ u]=\dfrac{-u'}{|u| \sqrt{1+u^{2}}}$ Menentukan Gradien Garis Singgung KurvaJika kurva $y=f(x)$ disinggung oleh garis $g$ dititik $x_{1},y_{1}$, gradien garis singgung $g$ ialah $m=f'(x_{1})$ dan persamaan garis singgung $g$ ialah $y-y_{1}=m(x-x_{1})$. Fungsi Naik dan Fungsi TurunJika $f'(x) \gt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ naik atau sebaliknya jikalau $y=f(x)$ naik maka $f'(x) \gt 0$ Jika $f'(x) \lt 0$ maka fungsi $y=f(x)$ turun atau sebaliknya jikalau $y=f(x)$ turun maka $f'(x) \lt 0$ Nilai Maksimum atau Minimum Sebuah FungsiNilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ sanggup ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua. Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ ialah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ ialah $f(a)$. Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ ialah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ ialah $f(a)$. Untuk memantapkan beberapa hukum dasar turunan fungsi diatas, mari kita coba beberapa soal latihan yang kita pilih secara acak dari soal-soal Ujian Nasional atau seleksi masuk sekolah tinggi tinggi negeri atau sekolah kedinasan😊. 1. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=ax^{2}+2x+4$ dan $g(x)=x^{2}+ax-2$. Jika $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dengan $h'(0)=1$, maka nilai $a$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -2 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Pada soal diketahui $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dan $h'(0)=1$ maka kita perlu $h'(x)$ untuk $f(x)=ax^{2}+2x+4$ maka $f(0)=4$ $f'(x)=2ax+2$ maka $f'(0)=2$ untuk $g(x)=x^{2}+ax-2$ maka $g(0)=-2$ $g'(x)=2x+a$ maka $g'(0)=a$ $\begin{align} h(x) & = \dfrac{f(x)}{g(x)} \\ h'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\ h'(0) & = \dfrac{f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot g'(0)}{g^{2}(0)} \\ 1 & = \dfrac{(2) \cdot (-2) - (0) \cdot (a)}{(-2)^{2}} \\ 1 & = \dfrac{-4 - 4a}{4} \\ 4 & = -4 - 4a \\ 8 & = - 4a \\ a & = \dfrac {8}{-4} = -2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -2$2. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=ax^{2}-4x+1$ dan $g(x)=3x^{2}+ax+2$. Jika $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $k(x)=f(x)g(x)$ dengan $h'(0)=-3$, maka nilai $k'(0)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -7 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & 0 \\ (E)\ & 2 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Pada soal diketahui $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $h'(0)=-3$ maka kita perlu $h'(x)$ untuk $f(x)=ax^{2}-4x+1$ maka $f(0)=1$ $f'(x)=2ax-4$ maka $f'(0)=-4$ untuk $g(x)=3x^{2}+ax+2$ maka $g(0)=2$ $g'(x)=6x+a$ maka $g'(0)=a$ $\begin{align} h(x) & = f(x)+g(x) \\ h'(x) & = f'(x)+g'(x) \\ h'(0) & = f'(0)+g'(0) \\ -3 & = -4+a \\ a & = -3+4=1 \end{align}$ $\begin{align} k(x) & = f(x)g(x) \\ k'(x) & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ k'(0) & = f'(0)g(0)+f(0)g'(0) \\ & = (-4)(2)+(1)(1) \\ & = -4+1=-3 \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -3$3. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$ $(A)\ 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x)$ $(B)\ 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$ $(C)\ sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x)$ $(D)\ sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x)$ $(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$Alternatif Pembahasan: show Untuk mendapat turunan pertama dari fungsi diatas kita coba gunakan hukum rantai, yaitu: $f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$ Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$ Misal $u=sin\ x$ $\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$ Soal:$f(x)=sin(u^{2})$ Misal $v=u^{2}$ $\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$ Soal:$f(x)=sin(v)$ $\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$ $\begin{split} f'(x) & = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\ & =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\ & = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x) \end{split}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$4. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)Diketahui $g(x)=3-x$ dengan $f(x)=6x^{2}+3x-9$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ ialah $h'(x)=\cdots$ $(A)\ -6x^{2}+36x$ $(B)\ -6x^{2}+36x+18$ $(C)\ -18x^{2}+30x+18$ $(D)\ 18x^{2}+30x+18$ $(E)\ 18x^{2}-30x-18$Alternatif Pembahasan: show Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah: $ \begin{align} h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ h'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\ & =(12x+3)(3-x)+(6x^{2}+3x-9)(-1) \\ & =36x+9-12x^{2}-3x-6x^{2}-3x+9 \\ & =-18x^{2}+30x+18 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ -18x^{2}+30x+18$5. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)14. Fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval... $(A)\ 1 \lt x \lt 3$ $(B)\ -1 \lt x \lt 3$ $(C)\ -3 \lt x \lt 1$ $(D)\ x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1$ $(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$Alternatif Pembahasan: show Syarat suatu fungsi akan turun ialah turunan pertama kurang dari nol, turunan pertama $f(x)$ ialah $f'(x)=3x^2+6x-9$ $ \begin{align} f'(x) & \lt 0 \\ 3x^2+6x-9 & \lt 0 \\ x^2+2x-3 & \lt 0 \\ (x+3)(x-1) \lt 0 & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} \\ x & =-3\ \text{atau} \\ x & =1 \end{align} $ Kesimpulan fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval $-3 \lt x \lt 1$ Jika masih kesulitan menuntaskan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat $\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ -3 \lt x \lt 1$6. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik untuk $x$ yang memenuhi... $(A)\ 4 \lt x \lt 5$ $(B)\ -4 \lt x \lt 5$ $(C)\ x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 4$ $(D)\ x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 5$ $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$Alternatif Pembahasan: show Syarat suatu grafik fungsi akan naik ialah turunan pertama lebih dari nol, turunan pertama $f(x)$ ialah $f'(x)=6x^{2}-6x -120$ $ \begin{align} f'(x) & \gt 0 \\ 6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\ x^{2}-x -20 & \gt 0 \\ (x-5)(x+4) & \gt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} \\ x & =5\ \text{atau} \\ x & =-4 \end{align} $ Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$ Jika masih kesulitan menuntaskan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat $\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$7. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)Turunan pertama dari $h(x)=(-x+1)^{3}$ adalah... $(A)\ h'(x)=-3x^{2}+6x-3$ $(B)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$ $(C)\ h'(x)=3x^{2}+6x-3$ $(D)\ h'(x)=3x^{2}+3x-6$ $(E)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$Alternatif Pembahasan: show Turunan petama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ ialah $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$. $h(x)=(-x+1)^{3} $ $ \begin{align} h(x) & = (-x+1)^{3} \\ h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\ & = -3(-x+1)^{2}\\ & = -3(x^{2}-2x+1)\\ & = -3x^{2}+6x-3 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ -3x^{2}+6x-3$8. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Jika persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ mempunyai akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $p-q$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -3 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Karena persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ mempunyai akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, maka sanggup kita misalkan akar-akarnya ialah $m$ dan $ \dfrac{1}{m}$ dengan syarat $m \gt 0$. Hasil kali akar-akar, $\begin{align} m \times \dfrac{1}{m} & = \dfrac{c}{a} \\ 1 & = q \end{align}$ Hasil jumlah akar-akar, $\begin{align} m + \dfrac{1}{m} & = -\dfrac{b}{a} \\ m+m^{-1} & = p \end{align}$ Nilai maksimum $p-q$ kita coba cari dengan turunan pertama $p-q$ yaitu $\begin{align} p-q & = m+m^{-1} - 1 \\ (p-q)' & = 1-m^{-2} \\ 1-m^{-2} & = 0 \\ m^{-2} & = 1 \\ \dfrac{1}{m^{2}} & = 1 \\ 1 & = m^{2} \\ m = -1\ & \text{atau}\ m=1\ \text{(TM)} \end{align}$ Untuk $m=-1$ $p-q = m+m^{-1} - 1$ $p-q =-1+(-1)^{-1} - 1$ $p-q =-3$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ -3$9. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Diketahui $f$ ialah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f'(1)=3$, maka $f(4)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 11 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 22 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Diketahui $f(x)$ ialah fungsi kuadrat, kita misalkan $f(x)=ax^{2}+bx+c$ Untuk $f(x)= ax^{2}+bx+c$, $f'(x)=2ax +b$ dan $f'(1)=3$, maka $3=2a+b$. Garis singggung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ di $x=-1$ ialah $y=-x+1$ dimana gradien $m=-1$. $\begin{align} m & = f'(x)=2ax +b \\ m & = f'(-1) \\ -1 & = -2a+b \end{align}$ $\begin{array}{c|c|cc} 2a+b = 3 & \\ -2a+b = -1 & \\ \hline 2b = 2 & \\ b = 1 & \\ a = 1 \end{array} $ Untuk $a=1$ dan $b=1$ maka $f(x)= x^{2}+ x+c$ Saat $x=-1$ diperoleh $y=-x+1=-(-1)+1=2$ maka $2= (-1)^{2}+(-1)+c$ kita peroleh $c=2$ $f(x)= x^{2}+ x+2$ $f(4)= 4^{2}+ 4+2=22$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 22$ 10. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$, maka... $(1)\ $ $f$ terdefenisi di $x \geq 0$ $(2)\ $ $f'(2)=\dfrac{2}{3}$ $(3)\ $ $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ ialah garis singgung di $x=2$ $(4)\ $ $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titikAlternatif Pembahasan: show Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan Untuk point $(1)$ pernyataan $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ terdefenisi di $x \geq 0$ ialah BENAR Sebuah fungsi dikatakan terdefinisi jikalau fungsi tersebut mempunyai kawasan hasil di himpunan bilangan real. Untuk point $(2)$ pernyataan $f'(2)=\dfrac{2}{3}$ ialah BENAR $ \begin{align} f(x) & = (x-1)^\dfrac{2}{3} \\ f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^-\dfrac{1}{3} \\ f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^-\dfrac{1}{3} \\ & = \dfrac{2}{3} \end{align} $ Untuk point $(3)$ pernyataan $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ ialah garis singgung di $x=2$ dan $y=(x-1)^\dfrac{2}{3}=1$ ialah BENAR $ \begin{align} m=f'(x) & = \dfrac{2}{3} (x-1)^-\dfrac{1}{3} \\ m=f'(2) & = \dfrac{2}{3} (2-1)^-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \\ y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\ y-1 & = \dfrac{2}{3} (x-2) \\ y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3} + 1 \\ y & = \dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3} \\ \end{align} $ Untuk point $(4)$ pernyataan $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik ialah SALAH, sebab $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$ tidak mempunyai nilai turunan ketika $x=1$. $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ (1),\ (2),\ (3)\ \text{BENAR}$11. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)Sebuah kotak dengan ganjal persegi dirancang biar volumnya $2$ liter. Jika biaya pembuatan bidang ganjal dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, maka biaya pembuatan termurahnya ialah $p$ ribu rupiah, dengan $p=\cdots$. $\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 15 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Kita misalkan ganjal dan tinggi kotak masing-masing ialah $a$ dan $t$, sehingga adalah: $\begin{align} V &= L_{alas} \cdot Tinggi \\ 2 &= a^{2} \cdot t \\ t &= \dfrac{2}{a^{2}} \end{align}$ Luas permukaan balok adalah: $\begin{align} L &= 2a^{2}+ 4 \cdot at \\ L &= 2a^{2}+ 4 \cdot a \cdot \dfrac{2}{a^{2}} \\ L &= 2a^{2}+ \dfrac{8}{a} \\ L &= 2a^{2}+ 8 a^{-1} \\ \end{align}$ Biaya pembuatan bidang ganjal dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, sehingga total biaya adalah: $\begin{align} B &= 2a^{2} \cdot 2 + 8 a^{-1} \cdot 1\\ B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \end{align}$ Untuk mendapat biaya minimum atau termurah kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(B'=0)$, yaitu: $\begin{align} B' &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a^{3} - 8 \\ 8a^{3} &= 8 \\ a^{3} &= 1 \\ a &= 1 \end{align}$ Biaya termurah kita peroleh ketika $a=1$ sehingga biaya termurah ialah $\begin{align} B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \\ p &= 4(1)^{2} + 8 (1)^{-1} \\ p &= 12 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 12$12. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)Untuk $x \geq 1$, nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x+7$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 11 \\ (E)\ & 23 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk mendapat nilai maskimum kita coba uji pakai turunan pertama sama dengan nol, yaitu: $\begin{align} f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= x^{2}-4x +3 \\ 0 &= (x-1)(x-3) \\ x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\ \hline f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f(1) &= -(1)^{3}+6(1)^{2}-9(1)+7 \\ &= -1+6-9+7=3 \\ f(3) &= -(3)^{3}+6(3)^{2}-9(3)+7 \\ &= -27+54-27+7=7 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 7$ Catatan Tambahan: Menentukan nilai maksimum atau minimum sanggup juga memakai Uji turunan kedua yaitu: Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ ialah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum ialah $f(a)$. Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ ialah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum ialah $f(a)$. $\begin{align} f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= x^{2}-4x +3 \\ 0 &= (x-1)(x-3) \\ x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\ \hline f''(x) &= -6x+12 \\ f''(1) &= -6(1) +12=6 \\ f''(3) &= -6(3) +12=-6 \end{align}$ Berdasarkan keterangan di atas, $x=3$ ialah pembuat $f(x)$ maksimum atau nilai maksimum $f(x)$ ialah $f(3)$ yaitu $7$.13. Soal UMB-PT 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)Jumlah dua bilangan positif ialah $120$. Agar hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua mencapai maksimum, maka selisih dari bilangan yang terbesar dan yang terkecil adalah... $\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 50 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Misal kedua bilangan ialah $a$ dan $b$; $\begin{align} a+b &= 120 \\ b &= 120-a \\ H &= a^{2} \cdot b \\ &= a^{2} \cdot (120-a) \\ &= 120a^{2} - a^{3} \end{align}$ Misal hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua ialah $H$, dan untuk mendapat $H$ maksimum kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(H'=0)$, yaitu: $\begin{align} H' &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= a \left( 240 -3a \right) \\ a &= 0\ \text{atau}\ a=\dfrac{240}{3}=80 \end{align}$ Nilai $H$ maksimum kita peroleh ketika $a=80$ sehingga $b=40$, dan selisih bilangan terbesar dan terkecil ialah $80-40=40$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 40$14. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)Jika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^{3}+2x^{2}-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show $\begin{align} f(x) &= mx^{3}+2x^{2}-nx+5 \\ f'(x) &= 3mx^{2}+4x -n \\ f'(1) &= 3m(1)^{2}+4(1) -n \\ 0 &= 3m +4-n \ \ \cdots(1)\\ f'(-5) &= 3m(-5)^{2}+4(-5) -n \\ 0 &= 75m-20-n \cdots(2)\\ \end{align}$ Dari kedua persamaan di atas kita peroleh; $\begin{array}{c|c|cc} 3m+4-n = 0 & \\ 75m-20-n = 0 & (-)\\ \hline -72m = 24 \\ m = \dfrac{24}{-72}=-\dfrac{1}{3} \\ n = 3\\ \hline 3m-n =3 \left( -\dfrac{1}{3} \right) - 3 \\ 3m-n =-1-3=-4 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ -4$15. Soal SBMPTN 2014 Kode 651 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(0)=1$ dan $f'(0)=2$. Jika $g(x)=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}}$ maka $g'(0)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -12 \\ (B)\ & -6 \\ (C)\ & -6 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 12 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show $\begin{align} g(x) &=\dfrac{u}{v} \\ g'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ g (x) &=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}} \\ g'(x) &=\dfrac{0-1 \cdot 3\left( 2f(x)-1 \right)^{3-1} \cdot 2f'(x) }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6f'(x) \cdot \left( 2f(x)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ g'(0) &=\dfrac{-6f'(0) \cdot \left( 2f(0)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(0)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6 (2) \cdot \left( 2 (1)-1 \right)^{2} }{\left( 2 (1)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-12 }{1}=-12 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ -12$16. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)Syarat biar fungsi $f(x)=-x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8$ selalu turun untuk semua nilai real $x$ adalah... $\begin{align} (A)\ & a \lt -5\ \text{atau}\ a \gt 7 \\ (B)\ & a \lt 0\ \text{atau}\ a \gt 4 \\ (C)\ & -5\ \lt a \lt 7 \\ (D)\ & -7\ \lt a \lt 5 \\ (E)\ & -7\ \lt a \lt 0\ \text{atau}\ 4\ \lt a \lt 7 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Agar sebuh fungsi $f(x)$ selalu turun maka $f'(x) \lt 0$ $\begin{align} f(x) &= -x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8 \\ f'(x) &= -3x^{2}+ ax -x-3 \end{align}$ Agar $f'(x)=-3x^{2}+ (a-1)x-3 \lt 0 $, ini berarti $f'(x)$ selalu bernilai negatif atau dengan istilah lain $f'(x)$ ialah definit negatif. Syarat sebuah fungsi $f(x)=px^{2}+qx+r$ definit negatif adalah: $p \lt 0$ sudah memenuhi sebab $p=-3$ $D=q^{2}-4pr \lt 0 $ $(a-1)^{2}-4(-3)(-3) \lt 0 $ $a^{2}-2a+1-36 \lt 0 $ $a^{2}-2a -35 \lt 0 $ $(a-7)(a+5) \lt 0 $ Dari pertidaksamaan di atas pembuat nol ialah $a=-5$ atau $a=7$, sehingga dengan Cara Kreatif Menentukan HP pertidaksmaan kuadrat kita peroleh $-5\ \lt a \lt 7$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ -5\ \lt a \lt 7$17. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)Fungsi $f(x)= x^{4}-2x^{2}+ax+a$ mempunyai nilai minimum $b$ di $x=1$. Nilai $a+b$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Seperti yang kita ketahui bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ sanggup ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua. Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ ialah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ ialah $f(a)$. Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ ialah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ ialah $f(a)$. $\begin{align} f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\ f'(x) &= 4x^{3}-4x +a \end{align}$ Karena $f(x)$ nilai minimumnya $b$ di $x=1$ maka $f'(1)=0$ sehingga berlaku: $\begin{align} f'(1) &= 4(1)^{3}-4(1) +a \\ 0 &= 4-4 +a \\ 0 &= a \\ \hline f(x) &= x^{4}-2x^{2}+ax+a \\ f(x) &= x^{4}-2x^{2} \\ b=f(1) &= (1)^{4}-2(1)^{2} \\ &= 1-2=-1 \\ \hline a+b &= 0-1=-1 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ -1$18. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1}$ dengan $f(0)=f'(0)$ dan $f'(-1)=1$, maka $a+b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & 2 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show $\begin{align} f(x) &=\dfrac{u}{v} \\ f'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f (x) &=\dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\ f'(x) &=\dfrac{a \cdot \left( x^{2}+1 \right) -(ax+b) \cdot 2x }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ &=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ f'(0) &=\dfrac{a(0)^{2}+a -2a(0)^{2}-2b(0) }{\left( (0)^{2}+1 \right)^{2}} \\ f'(0) &= a \\ f(0) &=\dfrac{a(0)+b}{0^{2}+1} \\ f(0) &=b \\ \hline f'(0) &= f(0) \\ a &= b \\ \hline f'(x) &=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ f'(-1) &=\dfrac{a(-1)^{2}+a -2a(-1)^{2}-2b(-1) }{\left( (-1)^{2}+1 \right)^{2}} \\ 1 &=\dfrac{a +a -2a +2b }{4} \\ 4 &=2b \\ 2 &= b \\ a &= 2 \\ a+b &= 2+2=4 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 4$ 19. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap) Diketahui grafik fungsi $f'(x)$ menyerupai terlihat di atas. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi $f(x)$ adalah... $(1)\ $ Saat $x \lt-1$, $f(x)$ turun $(2)\ $ Saat $0 \lt x \lt 2$, $f(x)$ naik $(3)\ $ Garis singgung kurva $f(x)$ di $x=-1$ sejajar dengan sumbu $X$ $(4)\ $ $x=2$ merupakan titik ekstrim Alternatif Pembahasan: show Saat $x \lt -1$ terlihat pada gambar $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ turun. $\therefore$ pernyataan $(1)$ Benar Saat $0 \lt x \lt 2$ terlihat pada gambar $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ naik. $\therefore$ pernyataan $(2)$ Benar Saat $x=-1$ terlihat pada gambar $f'(-1) = 0$ maka $x=-1$ merupakan titik ekstrim. Garis singgung kurva pada titik ekstrim sejajar sumbu $x$ $\therefore$ pernyataan $(3)$ Benar Saat $x=2$ terlihat pada gambar $f'(2) = 0$ maka $x=2$ merupakan titik ekstrim. $\therefore$ pernyataan $(4)$ Benar $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ (1)(2)(3)(4)\ \text{Benar}$20. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)Diketahui $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$ dengan $0 \lt a \lt b$. Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi $f$ adalah... $(1)$ Jika $x \lt b$, $f(a)$ ialah nilai maksimum $f$. $(2)$ Jika $x \gt 0$, $f(b)$ ialah nilai minimum $f$. $(3)$ Jika $x \lt 0$, $f$ merupakan fungsi turun. $(4)$ Jika $x \gt b$, $f$ merupakan fungsi naik.Alternatif Pembahasan: show Jika $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$, untuk $f'(x)=0$ maka kita peroleh: $\begin{align} f'(x) &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \\ 0 &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \end{align}$ Titik ekstrim ialah ketika $x=0$, $x=a$, dan $x=b$, sehingga ada empat kawasan yang dibatasi yaitu: Saat $x \lt 0$, maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik Saat $0 \lt x \lt a$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun Saat $a \lt x \lt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \lt 0$ atau $f$ turun Saat $ x \gt b$ maka $f'(x)= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \gt 0$ atau $f$ naik Dari keterangan yang kita peroleh di atas, sanggup kita simpulkan bahwa: Untuk $x=0$ ialah nilai maksimum $f$, sebab ketika $x \lt 0$ fungsi $f$ naik. Untuk $x=a$ ialah titik belok $f$, sebab ketika $0 \lt x \lt a$ dan $a \lt x \lt b$ fungsi $f$ turun. Untuk $x=b$ ialah nilai minimum $f$, sebab ketika $x \gt b$ fungsi $f$ naik. $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ (2)(4)\ \text{Benar}$21. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 (*Soal Lengkap)Diketahui grafik fungsi $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ dengan $b^{2} \lt 3ac$. Pernyataan berikut mungkin terjadi pada fungsi $f$ tersebut, kecuali... $(1)\ $ $f$ merupakan fungsi naik di seluruh kawasan asalnya. $(2)\ $ $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik. $(3)\ $ $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum. $(4)\ $ $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik. Alternatif Pembahasan: show Dari $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ kita peroleh $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$ $\begin{align} D &= b^{2}-4ac \\ &= (2b)^{2}-4(3a)(c) \\ &= 4b^{2}-12ac \\ &= 4 \left( b^{2}-3ac \right) \\ \hline b^{2} \lt 3ac\ & \text{sehingga}\ D \lt 0 \end{align}$ $b^{2} \lt 3ac$, dimana $b^{2} \gt 0$ sehingga $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ atau $a \gt 0$ dan $c \gt 0$ Saat $a \lt 0$ dan $c \lt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ ialah definit negatif atau $f'(x) \lt 0$ maka $f(x)$ selalu turun. Saat $a \gt 0$ dan $c \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga $f'(x)$ ialah definit positif atau $f'(x) \gt 0$ maka $f(x)$ selalu naik. $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik benar yaitu ketika $x=0$ $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum sebab $f$ selalu naik atau selalu turun $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik tidak sempurna sebab $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik. $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ (4)\ \text{Benar}$22. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)Grafik $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ mempunyai garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$, maka jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \dfrac{5}{6} \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & \dfrac{5}{3} \\ (E)\ & \dfrac{8}{3} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$ sanggup terjadi jikalau dan hanya jikalau $P$ dan $Q$ ialah titik ekstrim, sehingga turunan pertama pada titik $P$ dan $Q$ ialah nol. Dari $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ kita peroleh $y' =x^{2}-3x +2 $ $\begin{align} y' & =x^{2}-3x +2 \\ 0 &= (x-2)(x-1) \\ x=2\ &\text{atau}\ x=1 \\ \hline x=1 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(1)^{3}-\dfrac{3}{2}(1)^{2}+2(1) \\ & \rightarrow y =\dfrac{1}{3} -\dfrac{3}{2} +2 \\ & \rightarrow y =\dfrac{5}{6} \\ x=2 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(2)^{3}-\dfrac{3}{2}(2)^{2}+2(2) \\ & \rightarrow y =\dfrac{8}{3} -\dfrac{12}{2} +4 \\ & \rightarrow y =\dfrac{2}{3} \end{align}$ Jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ ialah $\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{6}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ \dfrac{3}{2}$23. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Luas sebuah bulat ialah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah bulat ialah $x$, maka laju perubahan luas bulat terhadap kelilingnya adalah... $\begin{align} (A)\ & \pi x \\ (B)\ & 2\pi x \\ (C)\ & \dfrac{x}{2\pi} \\ (D)\ & \dfrac{x}{\pi} \\ (E)\ & \dfrac{x^{2}}{4\pi} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Luas sebuah bulat ialah fungsi dari kelilingnya, dimana keliling dalah $x$, sehingga berlaku: $\begin{align} K & =2 \pi\ r \\ x & =2 \pi\ r \\ r & = \dfrac{x}{2 \pi} \\ \hline L & = \pi \cdot r^{2} \\ & = \pi \cdot \left( \dfrac{x}{2 \pi} \right)^{2} \\ & = \pi \cdot \dfrac{x^{2}}{4 \pi^{2}} \\ & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \end{align}$ Laju perubahan luas bulat terhadap kelilingnya sanggup kita tuliskan $\dfrac{\Delta L}{\Delta K}=\dfrac{\Delta L}{\Delta x}=\dfrac{d L}{dx}$. $\begin{align} L & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \\ \dfrac{d L}{dx} & = \dfrac{2x}{4 \pi} \\ & = \dfrac{ x}{2 \pi} \end{align}$ Jika tertarik untuk mencoba soal yang berbeda wacana Laju perubahan coba disini $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{x}{2\pi}$24. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=a\ tan\ x +bx$, $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=3$ dan $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=9$, maka $a+b=\cdots$ ... $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & \dfrac{24}{5} \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & \dfrac{39}{5} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Turunan Fungsi yaitu jikalau $f(x)=tan\ x$ maka $f'(x)=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan ialah menurunkan $f(x)=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai hukum $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$. $\begin{align} f(x) & = a\ tan\ x +bx \\ f'(x) & = a\ sec^{2} x +b \\ f'(x) & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$ Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh: $\begin{array}{c|c|cc} 2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline 2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline a+b=0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$25. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Proyek pembangunan gedung STIS sanggup diselesaikan dalam $x$ hari, dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek pembangunan gedung STIS ini minimum, maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu... $\begin{align} (A)\ & 40\ \text{hari} \\ (B)\ & 60\ \text{hari} \\ (C)\ & 90\ \text{hari} \\ (D)\ & 120\ \text{hari} \\ (E)\ & 150\ \text{hari} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Turunan Fungsi yaitu; Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ sanggup ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua. Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ ialah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ ialah $f(a)$. Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ ialah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ ialah $f(a)$. Fungsi total biaya yang dikerjakan setiap hari ialah $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$, sehingga biaya total pekerjaan selama $x$ hari adalah: $\begin{align} B(x) & = \left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right) x \\ & = 3x^{2}-900x+200 \\ B'(x)& = 6x-900 \end{align}$ Untuk mendapatakan biaya minimum sanggup kita gunakan turunan pertama $B'(x)=0$ $\begin{align} 6x-900 & = 0 \\ 6x & = 900 \\ x & = \dfrac{900}{60}=150 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 150\ \text{hari}$26. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Jika fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x$ dalam interval $-4 \leq x \leq -1$ mempunyai nilai maksimum $a$ dan minimum $b$, maka $a+b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 38 \\ (B)\ & 35 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 22 \\ (E)\ & 20 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Turunan Fungsi yaitu; Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ sanggup ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua. Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \gt 0$ maka $x=a$ ialah pembuat $f(x)$ minimum atau nilai minimum $f(x)$ ialah $f(a)$. Jika $x=a$ pada $f'(a)=0$ sehingga $f''(a) \lt 0$ maka $x=a$ ialah pembuat $f(x)$ maskimum atau nilai maksimum $f(x)$ ialah $f(a)$. $\begin{align} f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f'(x) & = 3x^{2}+6x-9 \\ f'(x) & = 3(x-1)(x+3) \end{align}$ $\begin{align} f''(x) & = 6x+6 \\ f''(1) & = 6(1)+6=12 \gt 0 \\ f''(-3) & = 6(-3)+6=-12 \lt 0 \\ \end{align}$ Pembuat maksimum $f(x)$ ialah ketika $x=-3$, $\begin{align} f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f(-3) & = (-3)^{3}+3(-3)^{2}-9(-3) \\ & = -27+27+27=27=a \end{align}$ Untuk rentang $-4 \leq x \leq -1$ minimum ialah ketika $x=-1$ $\begin{align} f(x) & = x^{3}+3x^{2}-9x \\ f(-1) & = (-1)^{3}+3(-1)^{2}-9(-1) \\ & = -1+3+9=11=b \end{align}$ Nilai $a+b=27+11=38$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 38$27. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi $30\ cm$ akan dibentuk kotak tanpa tutup, dengan cara mengunting empat persegi di setiap pojok karton, menyerupai gambar. Volume kotak yang terbesar yang sanggup dibentuk adalah... $\begin{align} (A)\ & 2.000\ cm^{3} \\ (B)\ & 3.000\ cm^{3} \\ (C)\ & 4.000\ cm^{3} \\ (D)\ & 5.000\ cm^{3} \\ (E)\ & 6.000\ cm^{3} \\ \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Soal ini ialah salah satu contoh penerapan atau aplikasi fungsi turunan, volume kotak sanggup kita hitung dengan hukum menghitung volum tabung yaitu $\text{Luas Alas} \times \text{tinggi}$. Panjang sisi karton ialah $30\ cm$ dan dipotong sebesar $x\ cm$ di setiap sudut karton, sehingga ganjal kotak nantinya ialah persegi dengan panjang sisi $30-2x$ dan tinggi kotak ialah $x$. Volume kotak adalah: $\begin{align} V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ & = \left( 900-120x+4x^{2} \right) \cdot x \\ & = 4x^{3}-120x^{2}+900x \\ \end{align}$ Volume kotak terbesar kita coba tentukan dengan uji turunan pertama yaitu; $\begin{align} V'(x) & = 0 \\ 12x^{2}-240x+900 & = 0 \\ x^{2}-20x+75 & = 0 \\ (x-15)(x-5) & = 0 \end{align}$ Untuk memilih volume kotak terbesar sanggup dengan menguji pembuat nol pada turunan pertama ($x=5$ dan $x=15$) ke turunan kedua yaitu; $\begin{align} V''(x) & = 2x-20 \\ \hline x=15 & \rightarrow V''(15) = 10\ ( 10 \gt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume minimum} \\ \hline x=5 & \rightarrow V''(5) = -10\ (-10 \lt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume maximum} \\ \hline V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ V(5) & = \left(30-2(5) \right)^{2} \cdot 5 \\ V(5) & = 400 \cdot 5 =2000 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 2.000\ cm^{3}$ 28. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Sebuah akuarium berbentuk balok tanpa tutup mempunyai ganjal berbentuk persegipanjang dengan perbandingan lebar dan panjangnya $2:3$. Jika luas permukaan akuarium ialah $1.800\ cm^{2}$, volume maksimum akuarium tersebut adalah...$cm^{3}$Alternatif Pembahasan: show Jika kita ilustrasikan balok yang disampaikan pada soal dan dengan memisalkan panjang $3x$, lebar $2x$ tinggi $t$, kurang lebih menyerupai berikut ini: Luas permukaan balok tanpa tutup ialah $1.800\ m^{2}$ sehingga berlaku: $\begin{align} 1800 &= 2x \cdot 3x + 2 \cdot 2x \cdot t + 2 \cdot 3x \cdot t \\ 1800 &= 6x^{2} + 4xt + 6xt \\ 1800 &= 6x^{2} + 10xt \\ 1800 - 6x^{2} &= 10xt \\ \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} &= t \end{align} $ Volume balok: $\begin{align} V &= 2x \cdot 3x \cdot t \\ &= 6x^{2} \cdot \dfrac{1800- 6x^{2}}{10x} \\ &= 6x \left( 1800- 6x^{2} \right) \\ &= 10800x- 36x^{3} \end{align} $ Dengan memakai uji turunan pertama (V'=0) kita peroleh $x$ pembuat maksimum: $\begin{align} V' &= 10800 - 108x^{2} \\ 0 &= 108 \left( 100 - x^{2} \right) \\ 0 &= 108 \left( 10 + x \right)\left( 10 - x \right) \\ \hline & x = -10\ \text{atau}\ x=10 \\ \hline V &= 10800x- 36x^{3} \\ V &= 10800(10)- 36(10)^{3} \\ V &= 108.000- 36.000 \\ V &= 72.000 \end{align} $ $\therefore$ Jawaban yang sesuai $72.000$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasBeberapa pembahasan soal Matematika Dasar Turunan Fungsi (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas ialah coretan kreatif siswa pada lembar tanggapan evaluasi harian matematika, lembar tanggapan evaluasi simpulan semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait duduk kasus alternatif penyelesaian soal Turunan Fungsi sangat diharapkan😊CMIIW Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊 Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini; Sumber http://www.defantri.com
Diketahui $f(x)=ax^{2}+2x+4$ dan $g(x)=x^{2}+ax-2$. Jika $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dengan $h'(0)=1$, maka nilai $a$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{1}{2} \\ (E)\ & -2 \end{align}$
Pada soal diketahui $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ dan $h'(0)=1$ maka kita perlu $h'(x)$ untuk $f(x)=ax^{2}+2x+4$ maka $f(0)=4$ $f'(x)=2ax+2$ maka $f'(0)=2$ untuk $g(x)=x^{2}+ax-2$ maka $g(0)=-2$ $g'(x)=2x+a$ maka $g'(0)=a$ $\begin{align} h(x) & = \dfrac{f(x)}{g(x)} \\ h'(x) & = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \\ h'(0) & = \dfrac{f'(0) \cdot g(0) - f(0) \cdot g'(0)}{g^{2}(0)} \\ 1 & = \dfrac{(2) \cdot (-2) - (0) \cdot (a)}{(-2)^{2}} \\ 1 & = \dfrac{-4 - 4a}{4} \\ 4 & = -4 - 4a \\ 8 & = - 4a \\ a & = \dfrac {8}{-4} = -2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ -2$
Diketahui $f(x)=ax^{2}-4x+1$ dan $g(x)=3x^{2}+ax+2$. Jika $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $k(x)=f(x)g(x)$ dengan $h'(0)=-3$, maka nilai $k'(0)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -7 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -3 \\ (D)\ & 0 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Pada soal diketahui $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $h'(0)=-3$ maka kita perlu $h'(x)$ untuk $f(x)=ax^{2}-4x+1$ maka $f(0)=1$ $f'(x)=2ax-4$ maka $f'(0)=-4$ untuk $g(x)=3x^{2}+ax+2$ maka $g(0)=2$ $g'(x)=6x+a$ maka $g'(0)=a$ $\begin{align} h(x) & = f(x)+g(x) \\ h'(x) & = f'(x)+g'(x) \\ h'(0) & = f'(0)+g'(0) \\ -3 & = -4+a \\ a & = -3+4=1 \end{align}$ $\begin{align} k(x) & = f(x)g(x) \\ k'(x) & = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \\ k'(0) & = f'(0)g(0)+f(0)g'(0) \\ & = (-4)(2)+(1)(1) \\ & = -4+1=-3 \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -3$
Jika $f(x)=sin(sin^{2}x)$, maka $f'(x)=\ldots$ $(A)\ 2\ sin\ x \cdot cos(sin^{2}x)$ $(B)\ 2\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$ $(C)\ sin^{2}x \cdot cos(sin^{2}x)$ $(D)\ sin^{2}2x \cdot cos(sin^{2}x)$ $(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
Untuk mendapat turunan pertama dari fungsi diatas kita coba gunakan hukum rantai, yaitu: $f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$ Soal:$f(x)=sin(sin^{2}x)$ Misal $u=sin\ x$ $\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=cos\ x$ Soal:$f(x)=sin(u^{2})$ Misal $v=u^{2}$ $\Rightarrow \dfrac{dv}{du}=2u$ Soal:$f(x)=sin(v)$ $\Rightarrow \dfrac{df}{dv}=cos(v)$ $\begin{split} f'(x) & = \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{dv} \cdot \dfrac{dv}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}\\ & =cos(v) \cdot 2u \cdot cos\ x\\ & =cos(u^{2}) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot 2(sin\ x) \cdot cos\ x\\ & =cos(sin^{2}x) \cdot sin\ 2x\\ & = sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x) \end{split}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ sin\ 2x \cdot cos(sin^{2}x)$
Diketahui $g(x)=3-x$ dengan $f(x)=6x^{2}+3x-9$. Jika $h(x)=f(x) \cdot g(x)$, turunan pertama dari $h(x)$ ialah $h'(x)=\cdots$ $(A)\ -6x^{2}+36x$ $(B)\ -6x^{2}+36x+18$ $(C)\ -18x^{2}+30x+18$ $(D)\ 18x^{2}+30x+18$ $(E)\ 18x^{2}-30x-18$
Turunan pertama dari $h(x)=f(x) \cdot g(x)$ adalah: $ \begin{align} h(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ h'(x) & = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x) \\ & =(12x+3)(3-x)+(6x^{2}+3x-9)(-1) \\ & =36x+9-12x^{2}-3x-6x^{2}-3x+9 \\ & =-18x^{2}+30x+18 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ -18x^{2}+30x+18$
14. Fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval... $(A)\ 1 \lt x \lt 3$ $(B)\ -1 \lt x \lt 3$ $(C)\ -3 \lt x \lt 1$ $(D)\ x \lt -3\ \text{atau}\ x \gt 1$ $(E)\ x \lt -1\ \text{atau}\ x \gt 3$
Syarat suatu fungsi akan turun ialah turunan pertama kurang dari nol, turunan pertama $f(x)$ ialah $f'(x)=3x^2+6x-9$ $ \begin{align} f'(x) & \lt 0 \\ 3x^2+6x-9 & \lt 0 \\ x^2+2x-3 & \lt 0 \\ (x+3)(x-1) \lt 0 & \lt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} \\ x & =-3\ \text{atau} \\ x & =1 \end{align} $ Kesimpulan fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x-7$ turun pada interval $-3 \lt x \lt 1$
Jika masih kesulitan menuntaskan pertidaksamaan kuadrat dengan cepat silahkan disimak caranya: Cara Kreatif Menentukan HP Pertidaksamaan Kuadrat
Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik untuk $x$ yang memenuhi... $(A)\ 4 \lt x \lt 5$ $(B)\ -4 \lt x \lt 5$ $(C)\ x \lt -5\ \text{atau}\ x \gt 4$ $(D)\ x \lt 4\ \text{atau}\ x \gt 5$ $(E)\ x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
Syarat suatu grafik fungsi akan naik ialah turunan pertama lebih dari nol, turunan pertama $f(x)$ ialah $f'(x)=6x^{2}-6x -120$ $ \begin{align} f'(x) & \gt 0 \\ 6x^{2}-6x -120 & \gt 0 \\ x^{2}-x -20 & \gt 0 \\ (x-5)(x+4) & \gt 0 \\ \text{diperoleh pembuat nol} \\ x & =5\ \text{atau} \\ x & =-4 \end{align} $ Kesimpulan fungsi $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-120x+15$ naik pada interval $x \lt -4\ \text{atau}\ x \gt 5$
Turunan pertama dari $h(x)=(-x+1)^{3}$ adalah... $(A)\ h'(x)=-3x^{2}+6x-3$ $(B)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$ $(C)\ h'(x)=3x^{2}+6x-3$ $(D)\ h'(x)=3x^{2}+3x-6$ $(E)\ h'(x)=-3x^{2}-6x+3$
Turunan petama dari $h(x)= \left[ f(x) \right]^{n}$ ialah $h'(x)= n \cdot \left[ f(x) \right]^{n-1} \cdot f'(x)$. $h(x)=(-x+1)^{3} $ $ \begin{align} h(x) & = (-x+1)^{3} \\ h'(x) & = 3(-x+1)^{3-1} (-1) \\ & = -3(-x+1)^{2}\\ & = -3(x^{2}-2x+1)\\ & = -3x^{2}+6x-3 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ -3x^{2}+6x-3$
Jika persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ mempunyai akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, nilai maksimum $p-q$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -3 \end{align}$
Karena persamaan kuadrat $x^{2}-px+q=0$ mempunyai akar yang berkebalikan dan merupakan bilangan negatif, maka sanggup kita misalkan akar-akarnya ialah $m$ dan $ \dfrac{1}{m}$ dengan syarat $m \gt 0$. Hasil kali akar-akar, $\begin{align} m \times \dfrac{1}{m} & = \dfrac{c}{a} \\ 1 & = q \end{align}$ Hasil jumlah akar-akar, $\begin{align} m + \dfrac{1}{m} & = -\dfrac{b}{a} \\ m+m^{-1} & = p \end{align}$ Nilai maksimum $p-q$ kita coba cari dengan turunan pertama $p-q$ yaitu $\begin{align} p-q & = m+m^{-1} - 1 \\ (p-q)' & = 1-m^{-2} \\ 1-m^{-2} & = 0 \\ m^{-2} & = 1 \\ \dfrac{1}{m^{2}} & = 1 \\ 1 & = m^{2} \\ m = -1\ & \text{atau}\ m=1\ \text{(TM)} \end{align}$ Untuk $m=-1$ $p-q = m+m^{-1} - 1$ $p-q =-1+(-1)^{-1} - 1$ $p-q =-3$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ -3$
Diketahui $f$ ialah fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f'(1)=3$, maka $f(4)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 11 \\ (B)\ & 12 \\ (C)\ & 14 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 22 \end{align}$
Diketahui $f(x)$ ialah fungsi kuadrat, kita misalkan $f(x)=ax^{2}+bx+c$ Untuk $f(x)= ax^{2}+bx+c$, $f'(x)=2ax +b$ dan $f'(1)=3$, maka $3=2a+b$. Garis singggung $f(x)=ax^{2}+bx+c$ di $x=-1$ ialah $y=-x+1$ dimana gradien $m=-1$. $\begin{align} m & = f'(x)=2ax +b \\ m & = f'(-1) \\ -1 & = -2a+b \end{align}$ $\begin{array}{c|c|cc} 2a+b = 3 & \\ -2a+b = -1 & \\ \hline 2b = 2 & \\ b = 1 & \\ a = 1 \end{array} $ Untuk $a=1$ dan $b=1$ maka $f(x)= x^{2}+ x+c$ Saat $x=-1$ diperoleh $y=-x+1=-(-1)+1=2$ maka $2= (-1)^{2}+(-1)+c$ kita peroleh $c=2$ $f(x)= x^{2}+ x+2$ $f(4)= 4^{2}+ 4+2=22$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 22$
Jika $f(x)=(x-1)^\dfrac{2}{3}$, maka... $(1)\ $ $f$ terdefenisi di $x \geq 0$ $(2)\ $ $f'(2)=\dfrac{2}{3}$ $(3)\ $ $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}$ ialah garis singgung di $x=2$ $(4)\ $ $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik
Pembahasan untuk setiap point coba kita jabarkan
Sebuah kotak dengan ganjal persegi dirancang biar volumnya $2$ liter. Jika biaya pembuatan bidang ganjal dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, maka biaya pembuatan termurahnya ialah $p$ ribu rupiah, dengan $p=\cdots$. $\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 10 \\ (C)\ & 12 \\ (D)\ & 14 \\ (E)\ & 15 \end{align}$
Kita misalkan ganjal dan tinggi kotak masing-masing ialah $a$ dan $t$, sehingga adalah: $\begin{align} V &= L_{alas} \cdot Tinggi \\ 2 &= a^{2} \cdot t \\ t &= \dfrac{2}{a^{2}} \end{align}$ Luas permukaan balok adalah: $\begin{align} L &= 2a^{2}+ 4 \cdot at \\ L &= 2a^{2}+ 4 \cdot a \cdot \dfrac{2}{a^{2}} \\ L &= 2a^{2}+ \dfrac{8}{a} \\ L &= 2a^{2}+ 8 a^{-1} \\ \end{align}$ Biaya pembuatan bidang ganjal dan atasnya $2$ ribu rupiah per $dm^{2}$ dan biaya pembuatan bidang bidang sisi tegaknya $1$ ribu rupiah per $dm^{2}$, sehingga total biaya adalah: $\begin{align} B &= 2a^{2} \cdot 2 + 8 a^{-1} \cdot 1\\ B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \end{align}$ Untuk mendapat biaya minimum atau termurah kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(B'=0)$, yaitu: $\begin{align} B' &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a - 8 a^{-2} \\ 0 &= 8a^{3} - 8 \\ 8a^{3} &= 8 \\ a^{3} &= 1 \\ a &= 1 \end{align}$ Biaya termurah kita peroleh ketika $a=1$ sehingga biaya termurah ialah $\begin{align} B &= 4a^{2} + 8 a^{-1} \\ p &= 4(1)^{2} + 8 (1)^{-1} \\ p &= 12 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 12$
Untuk $x \geq 1$, nilai maksimum fungsi $f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x+7$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 6 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 11 \\ (E)\ & 23 \end{align}$
Untuk mendapat nilai maskimum kita coba uji pakai turunan pertama sama dengan nol, yaitu: $\begin{align} f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f'(x) &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= -3x^{2}+12x -9 \\ 0 &= x^{2}-4x +3 \\ 0 &= (x-1)(x-3) \\ x &= 1\ \text{atau}\ x=3 \\ \hline f(x) &= -x^{3}+6x^{2}-9x+7 \\ f(1) &= -(1)^{3}+6(1)^{2}-9(1)+7 \\ &= -1+6-9+7=3 \\ f(3) &= -(3)^{3}+6(3)^{2}-9(3)+7 \\ &= -27+54-27+7=7 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 7$ Catatan Tambahan: Menentukan nilai maksimum atau minimum sanggup juga memakai Uji turunan kedua yaitu:
Jumlah dua bilangan positif ialah $120$. Agar hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua mencapai maksimum, maka selisih dari bilangan yang terbesar dan yang terkecil adalah... $\begin{align} (A)\ & 10 \\ (B)\ & 20 \\ (C)\ & 30 \\ (D)\ & 40 \\ (E)\ & 50 \end{align}$
Misal kedua bilangan ialah $a$ dan $b$; $\begin{align} a+b &= 120 \\ b &= 120-a \\ H &= a^{2} \cdot b \\ &= a^{2} \cdot (120-a) \\ &= 120a^{2} - a^{3} \end{align}$ Misal hasil kali dari kuadrat bilangan pertama dengan bilangan kedua ialah $H$, dan untuk mendapat $H$ maksimum kita pakai uji turunan pertama sama dengan nol $(H'=0)$, yaitu: $\begin{align} H' &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= 240a -3a^{ 2} \\ 0 &= a \left( 240 -3a \right) \\ a &= 0\ \text{atau}\ a=\dfrac{240}{3}=80 \end{align}$ Nilai $H$ maksimum kita peroleh ketika $a=80$ sehingga $b=40$, dan selisih bilangan terbesar dan terkecil ialah $80-40=40$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 40$
Jika $m$ dan $n$ bilangan real dan fungsi $f(x)=mx^{3}+2x^{2}-nx+5$ memenuhi $f'(1)=f'(-5)=0$, maka $3m-n=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -4 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
$\begin{align} f(x) &= mx^{3}+2x^{2}-nx+5 \\ f'(x) &= 3mx^{2}+4x -n \\ f'(1) &= 3m(1)^{2}+4(1) -n \\ 0 &= 3m +4-n \ \ \cdots(1)\\ f'(-5) &= 3m(-5)^{2}+4(-5) -n \\ 0 &= 75m-20-n \cdots(2)\\ \end{align}$ Dari kedua persamaan di atas kita peroleh; $\begin{array}{c|c|cc} 3m+4-n = 0 & \\ 75m-20-n = 0 & (-)\\ \hline -72m = 24 \\ m = \dfrac{24}{-72}=-\dfrac{1}{3} \\ n = 3\\ \hline 3m-n =3 \left( -\dfrac{1}{3} \right) - 3 \\ 3m-n =-1-3=-4 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ -4$
Diketahui $f(0)=1$ dan $f'(0)=2$. Jika $g(x)=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}}$ maka $g'(0)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -12 \\ (B)\ & -6 \\ (C)\ & -6 \\ (D)\ & 8 \\ (E)\ & 12 \end{align}$
$\begin{align} g(x) &=\dfrac{u}{v} \\ g'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ g (x) &=\dfrac{1}{\left( 2f(x)-1 \right)^{3}} \\ g'(x) &=\dfrac{0-1 \cdot 3\left( 2f(x)-1 \right)^{3-1} \cdot 2f'(x) }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6f'(x) \cdot \left( 2f(x)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(x)-1 \right)^{6}} \\ g'(0) &=\dfrac{-6f'(0) \cdot \left( 2f(0)-1 \right)^{2} }{\left( 2f(0)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-6 (2) \cdot \left( 2 (1)-1 \right)^{2} }{\left( 2 (1)-1 \right)^{6}} \\ &=\dfrac{-12 }{1}=-12 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ -12$
Syarat biar fungsi $f(x)=-x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8$ selalu turun untuk semua nilai real $x$ adalah... $\begin{align} (A)\ & a \lt -5\ \text{atau}\ a \gt 7 \\ (B)\ & a \lt 0\ \text{atau}\ a \gt 4 \\ (C)\ & -5\ \lt a \lt 7 \\ (D)\ & -7\ \lt a \lt 5 \\ (E)\ & -7\ \lt a \lt 0\ \text{atau}\ 4\ \lt a \lt 7 \end{align}$
Agar sebuh fungsi $f(x)$ selalu turun maka $f'(x) \lt 0$ $\begin{align} f(x) &= -x^{3}+\dfrac{1}{2}ax^{2}-\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+8 \\ f'(x) &= -3x^{2}+ ax -x-3 \end{align}$ Agar $f'(x)=-3x^{2}+ (a-1)x-3 \lt 0 $, ini berarti $f'(x)$ selalu bernilai negatif atau dengan istilah lain $f'(x)$ ialah definit negatif. Syarat sebuah fungsi $f(x)=px^{2}+qx+r$ definit negatif adalah:
Fungsi $f(x)= x^{4}-2x^{2}+ax+a$ mempunyai nilai minimum $b$ di $x=1$. Nilai $a+b$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Seperti yang kita ketahui bahwa nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ sanggup ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
Jika $f(x)= \dfrac{ax+b}{x^{2}+1}$ dengan $f(0)=f'(0)$ dan $f'(-1)=1$, maka $a+b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
$\begin{align} f(x) &=\dfrac{u}{v} \\ f'(x) &=\dfrac{u' \cdot v-u \cdot v'}{v^{2}} \\ f (x) &=\dfrac{ax+b}{x^{2}+1} \\ f'(x) &=\dfrac{a \cdot \left( x^{2}+1 \right) -(ax+b) \cdot 2x }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ &=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ f'(0) &=\dfrac{a(0)^{2}+a -2a(0)^{2}-2b(0) }{\left( (0)^{2}+1 \right)^{2}} \\ f'(0) &= a \\ f(0) &=\dfrac{a(0)+b}{0^{2}+1} \\ f(0) &=b \\ \hline f'(0) &= f(0) \\ a &= b \\ \hline f'(x) &=\dfrac{ax^{2}+a -2ax^{2}-2bx }{\left( x^{2}+1 \right)^{2}} \\ f'(-1) &=\dfrac{a(-1)^{2}+a -2a(-1)^{2}-2b(-1) }{\left( (-1)^{2}+1 \right)^{2}} \\ 1 &=\dfrac{a +a -2a +2b }{4} \\ 4 &=2b \\ 2 &= b \\ a &= 2 \\ a+b &= 2+2=4 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 4$
Diketahui grafik fungsi $f'(x)$ menyerupai terlihat di atas. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi $f(x)$ adalah... $(1)\ $ Saat $x \lt-1$, $f(x)$ turun $(2)\ $ Saat $0 \lt x \lt 2$, $f(x)$ naik $(3)\ $ Garis singgung kurva $f(x)$ di $x=-1$ sejajar dengan sumbu $X$ $(4)\ $ $x=2$ merupakan titik ekstrim
Diketahui $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$ dengan $0 \lt a \lt b$. Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi $f$ adalah... $(1)$ Jika $x \lt b$, $f(a)$ ialah nilai maksimum $f$. $(2)$ Jika $x \gt 0$, $f(b)$ ialah nilai minimum $f$. $(3)$ Jika $x \lt 0$, $f$ merupakan fungsi turun. $(4)$ Jika $x \gt b$, $f$ merupakan fungsi naik.
Jika $f'(x) = x^{3}(x - a)^{2}(x - b)$, untuk $f'(x)=0$ maka kita peroleh: $\begin{align} f'(x) &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \\ 0 &= x^{3}(x - a)^{2}(x - b) \end{align}$ Titik ekstrim ialah ketika $x=0$, $x=a$, dan $x=b$, sehingga ada empat kawasan yang dibatasi yaitu:
Diketahui grafik fungsi $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ dengan $b^{2} \lt 3ac$. Pernyataan berikut mungkin terjadi pada fungsi $f$ tersebut, kecuali... $(1)\ $ $f$ merupakan fungsi naik di seluruh kawasan asalnya. $(2)\ $ $f$ menyinggung sumbu $x$ di satu titik. $(3)\ $ $f$ tidak mempunyai nilai maksimum ataupun nilai minimum. $(4)\ $ $f$ memotong sumbu $x$ di tiga titik.
Dari $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ kita peroleh $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$ $\begin{align} D &= b^{2}-4ac \\ &= (2b)^{2}-4(3a)(c) \\ &= 4b^{2}-12ac \\ &= 4 \left( b^{2}-3ac \right) \\ \hline b^{2} \lt 3ac\ & \text{sehingga}\ D \lt 0 \end{align}$
Grafik $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ mempunyai garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$, maka jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & \dfrac{5}{6} \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & \dfrac{5}{3} \\ (E)\ & \dfrac{8}{3} \end{align}$
Garis singgung mendatar pada titik $P$ dan $Q$ sanggup terjadi jikalau dan hanya jikalau $P$ dan $Q$ ialah titik ekstrim, sehingga turunan pertama pada titik $P$ dan $Q$ ialah nol. Dari $y =\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{3}{2}x^{2}+2x$ kita peroleh $y' =x^{2}-3x +2 $ $\begin{align} y' & =x^{2}-3x +2 \\ 0 &= (x-2)(x-1) \\ x=2\ &\text{atau}\ x=1 \\ \hline x=1 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(1)^{3}-\dfrac{3}{2}(1)^{2}+2(1) \\ & \rightarrow y =\dfrac{1}{3} -\dfrac{3}{2} +2 \\ & \rightarrow y =\dfrac{5}{6} \\ x=2 & \rightarrow y =\dfrac{1}{3}(2)^{3}-\dfrac{3}{2}(2)^{2}+2(2) \\ & \rightarrow y =\dfrac{8}{3} -\dfrac{12}{2} +4 \\ & \rightarrow y =\dfrac{2}{3} \end{align}$ Jumlah ordinat dari titik $P$ dan $Q$ ialah $\dfrac{5}{6}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{6}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ \dfrac{3}{2}$
Luas sebuah bulat ialah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah bulat ialah $x$, maka laju perubahan luas bulat terhadap kelilingnya adalah... $\begin{align} (A)\ & \pi x \\ (B)\ & 2\pi x \\ (C)\ & \dfrac{x}{2\pi} \\ (D)\ & \dfrac{x}{\pi} \\ (E)\ & \dfrac{x^{2}}{4\pi} \end{align}$
Luas sebuah bulat ialah fungsi dari kelilingnya, dimana keliling dalah $x$, sehingga berlaku: $\begin{align} K & =2 \pi\ r \\ x & =2 \pi\ r \\ r & = \dfrac{x}{2 \pi} \\ \hline L & = \pi \cdot r^{2} \\ & = \pi \cdot \left( \dfrac{x}{2 \pi} \right)^{2} \\ & = \pi \cdot \dfrac{x^{2}}{4 \pi^{2}} \\ & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \end{align}$ Laju perubahan luas bulat terhadap kelilingnya sanggup kita tuliskan $\dfrac{\Delta L}{\Delta K}=\dfrac{\Delta L}{\Delta x}=\dfrac{d L}{dx}$. $\begin{align} L & = \dfrac{x^{2}}{4 \pi} \\ \dfrac{d L}{dx} & = \dfrac{2x}{4 \pi} \\ & = \dfrac{ x}{2 \pi} \end{align}$ Jika tertarik untuk mencoba soal yang berbeda wacana Laju perubahan coba disini $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{x}{2\pi}$
Jika $f(x)=a\ tan\ x +bx$, $f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=3$ dan $f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right)=9$, maka $a+b=\cdots$ ... $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & \dfrac{24}{5} \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & \dfrac{39}{5} \end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Turunan Fungsi yaitu jikalau $f(x)=tan\ x$ maka $f'(x)=sec^{2} x$. Apabila bentuk ini tidak ingat waktu ujian maka, hal yang paling mungkin kita lakukan ialah menurunkan $f(x)=tan\ x=\dfrac{sin\ x}{cos\ x}$ pakai hukum $y=\dfrac{u}{v}$ maka $y'=\dfrac{u' \cdot v+u \cdot v'}{v^{2}}$. $\begin{align} f(x) & = a\ tan\ x +bx \\ f'(x) & = a\ sec^{2} x +b \\ f'(x) & = \dfrac{a}{cos^{2} x} +b \\ \hline f'\left( \dfrac{\pi}{4} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{4} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 45^{\circ} \right)} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2}} +b \\ 3 & = \dfrac{a}{ \frac{1}{2}} +b \\ 3 & = 2a +b \\ \hline f'\left( \dfrac{\pi}{3} \right) & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( \dfrac{\pi}{3} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{cos^{2} \left( 60^{\circ} \right)} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\left( \frac{1}{2} \right)^{2}} +b \\ 9 & = \dfrac{a}{\frac{1}{4}} +b \\ 9 & = 4a +b \\ \end{align}$ Dengan mengeliminasi atau substitusi, kita peroleh: $\begin{array}{c|c|cc} 2a+b = 3 & \\ 4a+b = 9 & - \\ \hline 2a = 6 & \\ a = 3 & \\ b = -3 & \\ \hline a+b=0 \end{array} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ 0$
Proyek pembangunan gedung STIS sanggup diselesaikan dalam $x$ hari, dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $\left( 3x-900+\dfrac{200}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya proyek pembangunan gedung STIS ini minimum, maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu... $\begin{align} (A)\ & 40\ \text{hari} \\ (B)\ & 60\ \text{hari} \\ (C)\ & 90\ \text{hari} \\ (D)\ & 120\ \text{hari} \\ (E)\ & 150\ \text{hari} \end{align}$
Catatan calon guru yang mungkin kita perlukan wacana Turunan Fungsi yaitu; Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi $f(x)$ sanggup ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.
Jika fungsi $f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x$ dalam interval $-4 \leq x \leq -1$ mempunyai nilai maksimum $a$ dan minimum $b$, maka $a+b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 38 \\ (B)\ & 35 \\ (C)\ & 27 \\ (D)\ & 22 \\ (E)\ & 20 \end{align}$
Dari selembar karton berbentuk persegi yang berukuran sisi $30\ cm$ akan dibentuk kotak tanpa tutup, dengan cara mengunting empat persegi di setiap pojok karton, menyerupai gambar. Volume kotak yang terbesar yang sanggup dibentuk adalah... $\begin{align} (A)\ & 2.000\ cm^{3} \\ (B)\ & 3.000\ cm^{3} \\ (C)\ & 4.000\ cm^{3} \\ (D)\ & 5.000\ cm^{3} \\ (E)\ & 6.000\ cm^{3} \\ \end{align}$
Soal ini ialah salah satu contoh penerapan atau aplikasi fungsi turunan, volume kotak sanggup kita hitung dengan hukum menghitung volum tabung yaitu $\text{Luas Alas} \times \text{tinggi}$. Panjang sisi karton ialah $30\ cm$ dan dipotong sebesar $x\ cm$ di setiap sudut karton, sehingga ganjal kotak nantinya ialah persegi dengan panjang sisi $30-2x$ dan tinggi kotak ialah $x$. Volume kotak adalah: $\begin{align} V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ & = \left( 900-120x+4x^{2} \right) \cdot x \\ & = 4x^{3}-120x^{2}+900x \\ \end{align}$ Volume kotak terbesar kita coba tentukan dengan uji turunan pertama yaitu; $\begin{align} V'(x) & = 0 \\ 12x^{2}-240x+900 & = 0 \\ x^{2}-20x+75 & = 0 \\ (x-15)(x-5) & = 0 \end{align}$ Untuk memilih volume kotak terbesar sanggup dengan menguji pembuat nol pada turunan pertama ($x=5$ dan $x=15$) ke turunan kedua yaitu; $\begin{align} V''(x) & = 2x-20 \\ \hline x=15 & \rightarrow V''(15) = 10\ ( 10 \gt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume minimum} \\ \hline x=5 & \rightarrow V''(5) = -10\ (-10 \lt 0) \\ & x=15\ \text{pembuat volume maximum} \\ \hline V(x) & = \left(30-2x \right)^{2} \cdot x \\ V(5) & = \left(30-2(5) \right)^{2} \cdot 5 \\ V(5) & = 400 \cdot 5 =2000 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 2.000\ cm^{3}$
Sebuah akuarium berbentuk balok tanpa tutup mempunyai ganjal berbentuk persegipanjang dengan perbandingan lebar dan panjangnya $2:3$. Jika luas permukaan akuarium ialah $1.800\ cm^{2}$, volume maksimum akuarium tersebut adalah...$cm^{3}$
Jika kita ilustrasikan balok yang disampaikan pada soal dan dengan memisalkan panjang $3x$, lebar $2x$ tinggi $t$, kurang lebih menyerupai berikut ini:
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
EmoticonEmoticon
![atatan calon guru yang kita diskusikan ketika ini akan membahas wacana Matematika Dasar Tur Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi]( "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Turunan Fungsi")
EmoticonEmoticon