Soal Induksi Matematika yang kita diskusikan berikut diambil buku matematika wajib kurikulum 2013 kelas XI $(sebelas)$. Pada latihan uji kompetensi 1.2 ada sebanyak 15 soal latihan, yang kita diskusikan disini ialah soal latihan untuk nomor 6 hingga dengan nomor 15.
Jika ingin membaca klarifikasi sederhana wacana pembuktian dengan induksi matematika sanggup dibaca pada materi diskusi sebelumnya yaitu Belajar Induksi Matematika Pada Kurikulum 2013.
6. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot5}+\cdots +\frac{1}{n\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$$=\frac{n\cdot \left (n+3 \right )}{4\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ ialah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot5}+\cdots +\frac{1}{n\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$$=\frac{n\cdot \left (n+3 \right )}{4\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}$$=\frac{1\cdot \left (1+3 \right )}{4\cdot \left (1+1 \right )\cdot\left (1+2 \right )}$
$P\left ( 1 \right )$$\frac{1}{6}$$=\frac{1}{6}$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}$$=\frac{2\cdot \left (2+3 \right )}{4\cdot \left (2+1 \right )\cdot\left (2+2 \right )}$
$P\left ( 2 \right )$:$\frac{1}{6}+\frac{1}{24}$$=\frac{10}{48}$
$P\left ( 2 \right )$:$\frac{8}{48}+\frac{2}{48}$$=\frac{10}{48}$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ ialah benar, sehingga berlaku
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{k\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )}$$=\frac{k\cdot \left (k+3 \right )}{4\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )}$
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{n\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$$=\frac{n\cdot \left (n+3 \right )}{4\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+1+1 \right )\cdot\left (k+1+2 \right )}$$=\frac{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+1+3 \right )}{4\cdot \left (k+1+1 \right )\cdot\left (k+1+2 \right )}$
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+2 \right )\cdot\left (k+3 \right )}$$=\frac{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+4 \right )}{4\cdot \left (k+2 \right )\cdot\left (k+3 \right )}$
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+2 \right )\cdot\left (k+3 \right )}$
$=\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{k\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )}+\frac{1}{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+2 \right )\cdot\left (k+3 \right )}$
Dengan memanfaatkan keberlakuan sebelumnya ketika $n=k$, kita peroleh persamaan;
$=\frac{k\cdot \left (k+3 \right )}{4\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )}+\frac{1}{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+2 \right )\cdot\left (k+3 \right )}$
$=\frac{k\cdot \left (k+3 \right )\cdot \left (k+3 \right )+4}{4\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )\cdot \left (k+3 \right )}$
$=\frac{k^{3}+6k^{2}+9k+4}{4\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )\cdot \left (k+3 \right )}$
$=\frac{\left (k+1 \right )\cdot\left (k+1 \right )\cdot \left (k+4 \right )}{4\cdot \left (k+1 \right )\cdot\left (k+2 \right )\cdot \left (k+3 \right )}$
$=\frac{\left (k+1 \right )\cdot \left (k+4 \right )}{4\cdot \left (k+2 \right )\cdot \left (k+3 \right )}$
hingga pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot5}+\cdots +\frac{1}{n\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$$=\frac{n\cdot \left (n+3 \right )}{4\cdot \left (n+1 \right )\cdot\left (n+2 \right )}$ ialah benar $(berlaku)$
7. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$x^{n}-1$ habis dibagi oleh $x-1$, $x\neq 1$ dengan $n$ ialah bilangan asli
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ ialah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$x^{n}-1$ habis dibagi oleh $x-1$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$x^{1}-1$
$P\left ( 1 \right )$:$x-1$ habis dibagi oleh $x-1$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$x^{2}-1$
$P\left ( 2 \right )$:$\left ( x-1 \right )\left ( x+1 \right )$ habis dibagi oleh $x-1$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ ialah benar, sehingga berlaku
$P\left ( n \right )$:$x^{k}-1$ habis dibagi oleh $x-1$
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $x^{n}-1$
$=x^{k+1}-1$
$=x^{k} \cdot x^{1}-1$
$=x^{k} \cdot x-1$$-x+x$
$=x^{k} \cdot x-x+x-1$
$=x\left (x^{k}-1 \right )+x-1$
Jika $\left (x^{k}-1 \right )$ ialah kelipatan $\left (x-1 \right )$ maka $x\left (x^{k}-1 \right ) $ ialah kelipatan $\left (x-1 \right )$.
Jika $x\left (x^{k}-1 \right ) $ dan $\left (x -1 \right ) $ ialah keliapatan $\left (x-1 \right ) $ maka $x\left (x^{k}-1 \right )+x-1$ ialah kelipatan $\left (x-1 \right )$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$x^{n}-1$ habis dibagi oleh $x-1$, $x\neq 1$ dengan $n$ bilangan orisinil ialah benar $(berlaku)$.
8. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
Salah satu faktor dari $n^{3}+3n^{2}+2n$ ialah $3$, $n$ bilangan asli
Pada soal disebutkan 'salah satu faktornya ialah 3' untuk menuntaskan problem ini konsepnya sama dengan problem 'habis dibagi 3'. Untuk lebih jelasnya mari kita coba buktikan;
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ ialah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$n^{3}+3n^{2}+2n$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$1^{3}+3 \cdot 1^{2}+2 \cdot 1 $
$P\left ( 1 \right )$:$1+3+2$
$P\left ( 1 \right )$:$6$ salah satu faktornya ialah $3$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$2^{3}+3 \cdot 2^{2}+2 \cdot 2 $
$P\left ( 2 \right )$:$8+12+4$
$P\left ( 2 \right )$:$24$ salah satu faktornya ialah $3$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ ialah benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$k^{3}+3k^{2}+2k$ salah satu faktornya ialah $3$.
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $n^{3}+3n^{2}+2n$
$=\left (k+1 \right )^{3}+3\left (k+1 \right )^{2}+2\left (k+1 \right )$
$=\left (k+1 \right )^{3}+3\left (k+1 \right )^{2}+2\left (k+1 \right )$
$=k^{3}+3k^{2}+3k+1+3k^{2}+6k+3+2k+2$
$=k^{3}+6k^{2}+11k+6$
$=k^{3}+3k^{2}+2k+3k^{2}+9k+6$
$=k^{3}+3k^{2}+2k+3\left (k^{2}+3k+2 \right )$
Karena $k^{3}+3k^{2}+2k$ salah satu faktornya ialah $3$ dan $3\left (k^{2}+3k+2 \right )$ ialah kelipatan $3$ maka $=k^{3}+3k^{2}+2k+3\left (k^{2}+3k+2 \right )$ salah satu faktornya ialah $3$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
Salah satu faktor dari $n^{3}+3n^{2}+2n$ ialah $3$, $n$ bilangan orisinil ialah benar $(berlaku)$.
9. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
Salah satu faktor dari $2^{2n-1}+3^{2n-1}$ ialah $5$, $n$ bilangan asli
Pada soal disebutkan 'salah satu faktornya ialah 5' untuk menuntaskan problem ini konsepnya sama dengan problem 'habis dibagi 5'. Untuk lebih jelasnya mari kita coba buktikan;
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ ialah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$2^{2n-1}+3^{2n-1}$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$2^{2 \cdot 1-1}+3^{2 \cdot 1-1}$
$P\left ( 1 \right )$:$2^{1}+3^{1}$
$P\left ( 1 \right )$:$5$ salah satu faktornya ialah $5$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$2^{2 \cdot 2-1}+3^{2 \cdot 2-1}$
$P\left ( 2 \right )$:$2^{3}+3^{3}$
$P\left ( 2 \right )$:$35$ salah satu faktornya ialah $5$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ ialah benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$2^{2k-1}+3^{2k-1}$ salah satu faktornya ialah $5$.
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $2^{2n-1}+3^{2n-1}$
$=2^{2\left (k+1 \right )-1}+3^{2\left (k+1 \right )-1}$
$=2^{2k+2-1}+3^{2k+2-1}$
$=2^{2k+1}+3^{2k+1}$
$=2^{2k} \cdot 2^{1}+3^{2k} \cdot 3^{1} $
$=2^{2k} \cdot 2+3^{2k} \cdot 3 $
$=2^{2k} \cdot 2^{-1}\cdot 2^{2}+3^{2k} \cdot 3^{-1} \cdot 3^{2} $
$=2^{2k-1} \cdot 4+3^{2k-1} \cdot 9 $
$=2^{2k-1} \left ( 5-1 \right )+3^{2k-1} \left ( 10-1 \right ) $
$=5 \cdot 2^{2k-1}-\cdot 2^{2k-1}+10 \cdot 3^{2k-1}-3^{2k-1}$
$=5 \cdot 2^{2k-1}+10 \cdot 3^{2k-1}-2^{2k-1}-3^{2k-1}$
$=5\left ( 2^{2k-1}+2 \cdot 3^{2k-1} \right )-\left ( 2^{2k-1}+3^{2k-1} \right )$
Karena $\left ( 2^{2k-1}+3^{2k-1} \right )$ salah satu faktornya ialah $5$ dan $5 \left( 2^{2k-1}+2 \cdot 3^{2k-1} \right )$ ialah kelipatan $5$ maka $=5\left ( 2^{2k-1}+2 \cdot 3^{2k-1} \right )-\left ( 2^{2k-1}+3^{2k-1} \right )$ salah satu faktornya ialah $5$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
Salah satu faktor dari $2^{2n-1}+3^{2n-1}$ ialah $5$, $n$ bilangan orisinil ialah benar $(berlaku)$.
10. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$41^{n}-14^{n}$ ialah kelipatan $27$
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ ialah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$41^{n}-14^{n}$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$41^{1}-14^{1}$
$P\left ( 1 \right )$:$27$
$P\left ( 1 \right )$:$27$ salah satu faktornya ialah $27$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$41^{2}-14^{2}$
$P\left ( 2 \right )$:$1681-196$
$P\left ( 2 \right )$:$1485$ salah satu faktornya ialah $27$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ ialah benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$41^{k}-14^{k}$ ialah kelipatan $27$.
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $41^{n}-14^{n}$
$=41^{\left (k+1 \right )}-14^{\left (k+1 \right )}$
$=41^{k} \cdot 41^{1}-14^{k} \cdot 14^{1}$
$=41^{k} \cdot 41-14^{k} \cdot 14$
$=41^{k} \left ( 27+14 \right )-14^{k} \cdot 14$
$=27 \cdot 41^{k} + 14 \cdot 41^{k} -14^{k} \cdot 14$
$=27 \cdot 41^{k} + 14 \left ( 41^{k} -14^{k} \right )$
Karena $14 \left ( 41^{k} -14^{k} \right )$ ialah kelipatan $27$ dan $27 \cdot 41^{k}$ ialah kelipatan $27$ maka $=27 \cdot 41^{k} + 14 \left ( 41^{k} -14^{k} \right )$ ialah kelipatan $27$.
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$41^{n}-14^{n}$ ialah kelipatan $27$ ialah benar $(berlaku)$.
11. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$4007^{n}-1$ habis dibagi $2003$
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ ialah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$4007^{n}-1$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$4007^{1}-1$
$P\left ( 1 \right )$:$4006$ habis dibagi $2003$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$4007^{2}-1$
$P\left ( 2 \right )$:$16.056.049-1$
$P\left ( 2 \right )$:$16.056.048$ habis dibagi $2003$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ ialah benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$4007^{k}-1$ habis dibagi $2003$.
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $4007^{n}-1$
$=4007^{k+1}-1$
$=4007^{k} \cdot 4007^{1}-1$
$=4007^{k} \cdot 4007-4007+4006$
$=4007 \left ( 4007^{k}-1 \right )+4006$
Karena $\left ( 4007^{k}-1 \right )$ habis dibagi $2003$ maka $4007 \left ( 4007^{k}-1 \right )$ juga habis dibagi $2003$ dan $4006$ habis dibagi $2003$ maka $4007 \left ( 4007^{k}-1 \right )+4006$ habis dibagi $2003$
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$4007^{n}-1$ ialah kelipatan $2003$ ialah benar $(berlaku)$.
12. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$2002^{n+2}+2003^{2n+1}$ habis dibagi $4005$
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ ialah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$2002^{n+2}+2003^{2n+1}$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$2002^{1+2}+2003^{2+1}$
$P\left ( 1 \right )$:$2002^{3}+2003^{3}$ habis dibagi $4005$
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$2002^{2+2}+2003^{4+1}$
$P\left ( 1 \right )$:$2002^{4}+2003^{5}$ tidak habis dibagi $4005$
$\therefore P\left ( 2 \right )$ tidak berlaku atau tidak benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=2$ tidak benar atau tidak berlaku maka
$2002^{n+2}+2003^{2n+1}$ habis dibagi $4005$ tidak berlaku atau tidak benar
13. Diberikan $a \gt 1$, dengan induksi matematika buktikan bahwa $a^{n} \gt 1$, dengan $n$ bilangan asli.
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ ialah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$a^{n}>1$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$a^{1}>1$
$P\left ( 1 \right )$:$a>1$ untuk $a>1$ berlaku atau benar
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$a^{2} \gt 1$
$P\left ( 2 \right )$:$a^{2} \gt 1$ untuk $a \gt 1$ berlaku atau benar
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ ialah benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$a^{k} \gt 1$ untuk $a \gt 1$ berlaku atau benar
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $a^{n}$
$=a^{k+1}$
$=a^{k} \cdot a^{1}$
Dari sifat ketaksamaan jikalau $a \gt b$ dan $x \gt y$ maka $a \cdot x \gt b \cdot y $. Sifat ketaksamaan kita terapkan dengan mengambil hipotesis langkah I yaitu $a^{1} \gt 1$ dan langkah II yaitu $a^{k} \gt 1$ maka kita peroleh $a^{1} \cdot a^{k} \gt 1 \cdot 1 $.
$a^{1} \cdot a^{k} \gt 1 $
$a^{k+1} \gt 1 $
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
$a^{n} \gt 1$ untuk $a \gt 1$ berlaku atau benar
14. Diketahui $0 < a < 1$, dengan induksi matematika buktikan $0 < a^{n} < 1$, dengan $n$ bilangan lingkaran positif.
Langkah I
Misalkan $P\left ( n \right )$ ialah proposisi berikut;
$P\left ( n \right )$:$0 < a^{n} < 1$
Pada langkah Basis Induksi, untuk $n=1$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 1 \right )$:$0 < a^{1} < 1$
$P\left ( 1 \right )$:$0 < a < 1$ untuk $0 < a < 1$ berlaku atau benar
$\therefore P\left ( 1 \right )$ berlaku atau benar.
kita coba untuk $n=2$ pada $P\left ( n \right )$ kita peroleh
$P\left ( 2 \right )$:$0 < a^{2} < 1$
$P\left ( 2 \right )$:$0 < a^{2} < 1$ untuk $0 < a < 1$ berlaku atau benar
$\therefore P\left ( 2 \right )$ berlaku atau benar.
Langkah II
Selanjutnya, kita masuk pada langkah induksi.
Misalkan $k$ sebuah bilangan asli, untuk $n=k$ pada $P\left ( n \right )$ ialah benar, sehingga berlaku
$P\left ( k \right )$:$0 < a^{k} < 1$ untuk $0 < a < 1$ berlaku atau benar
Langkah III
Akan kita buktikan berikutnya untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar, yaitu:
untuk $n=k+1$ maka $0 < a^{n} < 1$
$=0 < a^{k+1} < 1$
$=0 < a^{k} \cdot a^{1} <1$
Dari sifat ketaksamaan jikalau $a < b < c$ dan $x < y < z $ maka $a \cdot x < b \cdot y < c \cdot z $. Sifat ketaksamaan kita terapkan dengan mengambil hipotesis langkah I yaitu $0 < a < 1$ dan hipotesis langkah II yaitu $0 < a^{k} < 1$ maka kita peroleh $0 \cdot 0 < a^{k} \cdot a < 1 \cdot 1$.
$0 \cdot 0 < a^{k} \cdot a < 1 \cdot 1$
$0 < a^{k} \cdot a^{1} < 1$
$0 < a^{k+1} < 1$
Sampai pada tahap ini kita telah memperoleh bukti untuk $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ juga benar.
$\therefore$ Karena untuk $n=1$, $n=k$, dan $n=k+1$ bahwa $P\left ( n \right )$ benar maka
Untuk $0 < a < 1$ ketidaksamaan $0 < a^{n} < 1$ berlaku atau benar
15. Dengan induksi matematika buktikan bahwa
$\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$$\leq 2-\frac{1}{n}$
Untuk soal ini sudah didiskusikan sebelumnya, silahkan cek pada Belajar Induksi Matematika Pada Kurikulum 2013
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar balasan evaluasi harian matematika,
- lembar balasan evaluasi selesai semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Bagaimana perkalian dikerjakan dengan cara piral (pintar bernalar);
EmoticonEmoticon