Catatan Singkat Kalman Filter

Nama Kalman filter diambil dari nama Rudolf Emil Kálmán, orang yang menggagas dan mempopulerkan metode prediksi ini. Kalman filter dipakai pada misi peluncuran Apollo ke bulan, dan semenjak itu Kalman filter menjadi kian terkenal dan diterapkan diberbagai bidang ibarat pada pesawat terbang, kapal selam, dan juga untuk peluncuran misil.

Bahkan Wall street memakai Kalman filter untuk memprediksi perkembangan pasar. Diterapkan juga di bidang robotika, IoT (Internet of Things) sensor, dan juga perangkat laboratorium instrumentasi.

Secara umum, Kalman Filter sanggup dibagi menjadi prediction model dan correction model untuk suatu dalam sistem. Pada prediction model terdapat noise proses. Sementara itu, correction model melaksanakan update dari suatu nilai yang diperkirakan (estimated value) beserta dengan noise pengukuran.

Prediction Model
Diasumsikan bahwa actual state pada dikala $k$ merupakan hasil update dari state sebelumnya dikala $(k-1)$
\begin{equation} \mathbf{x}_k = \mathbf{F}_k\mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B}_k\mathbf{u}_k + \mathbf{w}_k, \label{eq:kalman} \end{equation}
dengan $\mathbf{F}_k$, $\mathbf{B}_k$, dan $\mathbf{w}_k$ masing-masing merupakan state transition, control-input, dan noise proses.

A priori estimated state, $\mathbf{\hat{x}}_{k|k-1}$, dan error covariance, $\mathbf{P}_{k|k-1}$
\begin{eqnarray} \mathbf{\hat{x}}_{k|k-1} {}&=&{} \mathbf{F}_k\mathbf{\hat{x}}_{k-1|k-1}+\mathbf{B}_k\mathbf{u}_k,\\ \mathbf{P}_{k|k-1} {}&=&{} \mathbf{F}_k\mathbf{P}_{k-1|k-1}\mathbf{F}_k^{\mathsf{T}}+\mathbf{Q}_k, \label{eq:apriori} \end{eqnarray}
dengan $\mathbf{Q}_k$ merupakan covariance untuk noise proses.

Correction Model
Sementara itu, untuk pengukuran
\begin{equation} \mathbf{z}_k = \mathbf{H}_k\mathbf{x}_k+\mathbf{v}_k, \label{eq:measurement} \end{equation}
dengan $\mathbf{H}_k$ merupakan model pengukuran dan $\mathbf{v}_k$ ialah noise pengukuran.

Sebelum melaksanakan update, perlu diidentifikasi residu awal
\begin{equation} \mathbf{\tilde{y}}_k = \mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\mathbf{\hat{x}}_{k|k-1}, \label{eq:residu_prefit} \end{equation}
dan covariance residu
\begin{equation} \mathbf{S}_k = \mathbf{R}_k + \mathbf{H}_k\mathbf{P}_{k|k-1}\mathbf{H}_k^{\mathsf{T}}, \label{eq:residu_covariance} \end{equation}
dengan $\mathbf{R}_k$ merupakan covariance dari noise pengukuran.

Selanjutnya perlu diketahui nilai Kalman gain
\begin{equation} \mathbf{K}_k = \mathbf{P}_{k|k-1}\mathbf{H}_k^{\mathsf{T}}\mathbf{S}_k^{-1}. \label{eq:kalman_gain} \end{equation}
Dengan demikian, update dari estimated state dan error covariance
\begin{eqnarray} \mathbf{\hat{x}}_{k|k} {}&=&{} \mathbf{\hat{x}}_{k|k-1} + \mathbf{K}_k\mathbf{\tilde{y}}_k,\\ \mathbf{P}_{k|k} {}&=&{} \left(\mathbf{I}_{2 \times 2}-\mathbf{K}_k\mathbf{H}_k\right)\mathbf{P}_{k|k-1}\left(\mathbf{I}_{2 \times 2}-\mathbf{K}_k\mathbf{H}_k\right)^{\mathsf{T}}\nonumber\\ {}&&{}+\mathbf{K}_k\mathbf{R}_k\mathbf{K}_k^{\mathsf{T}}. \label{eq:posteriori} \end{eqnarray}

Sehingga, update nilai residu
\begin{equation} \mathbf{\tilde{y}}_{k|k} = \mathbf{z}_k-\mathbf{H}_k\mathbf{\hat{x}}_{k|k}. \label{eq:post_residu} \end{equation}
Sumber http://lang8088.blogspot.com