Sistem Digital : Karnaugh Map + Bcd, Don’T Care, Minterm, Maxterm Quine-Mccluskey Method

Sistem Digital : Peta Karnaugh + BCD, Don’t Care, Minterm, Maxterm, dan Quine-McCluskey Method

Karnaugh Map

Sebuah peta Karnaugh menyediakan metoda sistematik untuk penyederhanaan verbal Boolean. Jika sempurna dipakai akan menghasilkan verbal SOP atau POS yang paling sederhana, yang disebut verbal minimum. Peta Karnaugh, tidak ibarat penyederhanaan sebelumnya yang memakai hokum, aturan dan teorema aljabar Boolean, sebaliknya, menyediakan sebuah metoda “cookbook” untuk penyederhanaan. 

Teknik penyederhanaan yang lain ibarat metoda Quine-McCluskey dan algoritma Espresso.

Karnaugh map di-arrange dalam sebuah array of cells, dimana setiap cell merepresentasikan sebuah nilai biner dari variable masukan. Karnaugh map sanggup dipakai untuk verbal dengan 2,3,4,5 variabel.

Jumlah sel pada peta Karnaugh sejumlah total jumlah kemungkinan kombinasi variabel masukan. 

Untuk 3 variabel, jumlah sel yaitu 23 = 8; 

Untuk 4 variabel, jumlah sel yaitu 24 = 16.

Peta Karnaugh 3 variable

Berikut peta Karnaugh 3 variabel yaitu A, B, dan C ( abjad lain sanggup juga dipakai )

Peta Karnaugh 4 variabel

Peta ini yaitu sebuah array dari 16 sel, ibarat di gambar.

Cell Adjacency ( Kedekatan sel )

Sel-sel pada peta Karnaugh di-arrange supaya hanya ada sebuah variabel tunggal berubah antara sel yang berdekatan.

Adjacency didefinisikan oleh sebuah perubahan single-variable. Pada peta 3-variabel, sel 010 berdekatan dengan sel 000, sel 011 dan sel 110. Namun sel 010 tidak berdekatan dengan sel 001, sel 111, sel 100 atau sel 101. Secara fisik, setiap sel yaitu berdekatan dengan sel yang bersebelahan pribadi dengan sel tersebut (dari salah satu sisi dari 4 sisi sel). Namun sebuah sel tidak berdekatan ke sel yang secara diagonal bersentuhan dengan salah satu sudutnya.

Juga sel di baris paling atas yaitu berdekatan dengan sel yang bersesuaian dengan baris paling bawah dan sel di kolom kiri terluar berdekatan dengan sel yang bersesuaian di kolom kanan terluar. Ini disebut bersahabat “wrap-arround” adjacency alasannya yaitu kita sanggup membayangkan bahwa peta di- wrapping arround dari atas ke bawa untuk membentuk silinder atau dari kiri ke kanan untuk membentuk silinder.

Minimalisasi SOP Karnaugh Map

Peta Karnaugh dipakai untuk menyerderhanakan verbal Boolean ke bentuk minimumnya. Ekspresi SOP yang di- minimalkan berisi beberapa kemungkinan term dengan beberapa kemungkinan variabel per term. 

Untuk sebuah verbal SOP bentuk standar, sebuah 1 ditempatkan pada peta Karnaugh bagi setiap product term pada ekspresi. Setiap 1 ditempatkan pada sebuah sel yang berkaitan ke nilai dari product term. Sebagai pola product term AB’C, sebuah 1 muncul pada sel 101 pada peta 3-variable. 

Langkah berikut dan ilustrasinya pada gambar menawarkan proses pemetaan.

1. Tentukan nilai biner dari setiap product term pada verbal standar.
2. Sebagaimana setap product term di-evaluasi, tempatkan sebuah 1 di peta Karnaugh pada sel yang mempunyai nilai yang sama sebagaimana product term

Contoh 1

Petakan verbal SOP standar berikut ke peta Karnaugh 

𝐴'𝐵'𝐶 + 𝐴'𝐵𝐶' + 𝐴𝐵𝐶' + 𝐴𝐵𝐶

Solusi

Evaluasi setiap ekspresi. Tempatkan 1 pada peta Karnaugh 3-variable untuk setiap term product verbal standar.

Contoh 2

Petakan verbal SOP standar berikut ke peta Karnaugh 

𝐴'𝐵'𝐶𝐷 + 𝐴'𝐵𝐶'𝐷' + 𝐴𝐵𝐶'𝐷 +𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶'𝐷' + 𝐴'𝐵'𝐶'𝐷 + 𝐴𝐵'𝐶𝐷'

Solusi

Evaluasi ekspresi. Tempatkan 1 pada peta Karnaugh 4-variabel di sel yang sesuai dengan setiap term product standar dalam ekspresi

Latihan 1

1. Petakan verbal standar SOP berikut ke peta Karnaugh 𝐴'𝐵𝐶 + 𝐴𝐵'𝐶 + 𝐴𝐵'𝐶' 
2. Petakan verbal SOP standar berikut pada peta Karnaugh 𝐴'𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶'𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷'

Lanjutan Minimalisasi Bentuk SOP dengan Peta Karnaugh

Proses yang menghasilkan di dalam sebuah verbal berisi beberapa kemungkinan term dengan beberapa kemungkinan variabel disebut minimization (minimalisasi). Setelah sebuah verbal SOP dipetakan, verbal SOP minimum diperoleh dengan mengelompokkan 1 dan memilih verbal minimum SOP dari peta.

Pengelompokkan 1.

Anda sanggup mengelompokkan satu pada peta Karnaugh berdasarkan aturan berikut dengan menyertakan adjacent cell (sel tetangga/yang berdekatan) yang berisi 1. Tujuannya yaitu memaksimalkan ukuran dari group dan untuk meminimalkan jumlah dari group.

Aturan Penyerdehanaan Karnaugh Map

1. Sebuah grup harus berisi 1, 2, 4, 8 atau 16 sel, dimana semuanya 2n . Pada perkara peta 3-variabel, 23 = 8 sel yaitu group maksimum
2. Setiap sel di dalam sebuah group harus adjacent dari 1 atau lebih sel dalam grup yang sama, tetapi semua sel di dalam group tidak harus menjadi adjacent setiap sel yang lain
3. Selalu sertakan kemungkinan jumlah 1 yang terbesar di dalam group berdasarkan aturan 1
4. Setiap 1 pada peta harus disertakan pada sekurang-kurangnya 1 group. 1 yang telah di dalam group sanggup disertakan ke group lain sepanjang group overlapping menyertakan noncommon 1

Contoh Pengelompokkan 1

Penentuan Ekspresi SOP minimum dari Peta

Ketika semua 1 merepresentasikan product term standar dalam sebuah verbal sempurna di-petakan dan dikelompokkan, proses penentuan untuk menghasilkan verbal SOP minimum dimulai.

Aturan berikut diterapkan untuk mencari product term minimum dan verbal SOP minimum.

• Kelompokkan sel yang mempunyai 1. Setiap group dari sel berisi 1 membuat sebuah product term terdiri dari semua variabel yang muncul dalam hanya satu bentuk (complement atau tidak komplemen) di dalam group. Variabel yang muncul embel-embel dan tidak komplemen, di eliminasi. Ini disebut contradictory variables.

Contoh 1

Tentukan product term minimum untuk setiap group

1. Untuk peta 3-variabel 
1. 1-cell group menghasilakn sebuah product term 3-variable 
2. 2-cell group menghasilkan sebuah product term 2-variable 
3. 4-cell group menghasilkan 1-variable term 
4. 8-cell group menghasilan sebuah nilai dari 1 bagi ekspresi 
2. Untuk peta 4-variabel 
1. 1-cell group menghasilakn sebuah product term 4-variable 
2. 2-cell group menghasilkan sebuah product term 3-variable 
3. 4-cell group menghasilkan sebuah product term 2-variable 
4. 8-cell group menghasilan 1-variable term 
5. 16-cell grop menghasilkan sebuah nilai dari 1 bagi ekspresi

Ketika semua product term minimum diturunkan dari peta Karnaugh, semuanya dijumlahkan untuk membentuk verbal SOP

Tentukan product terms untuk peta Karnaugh berikut dan tuliskan verbal SOP yang minimum 

Solusi

1. Eliminasi variabel yang di dalam sebuah group kedua complement dan tidak complement. 
2. Pada pola ini, product term untuk group 8 sel yaitu B alasannya yaitu sel di dalam group tersebut berisi 𝐴 dan 𝐴' , 𝐶 dan 𝐶' , 𝐷 dan 𝐷' , dimana dieliminasi. 
3. Group 4 sel berisi 𝐵 dan 𝐵 , 𝐷 dan 𝐷 

Memetakan verbal SOP non-standar

Ekspresi Boolean harus berbentuk standar sebelum memetakan ke Karnaugh. Jika belum, verbal harus diubah ke bentuk standar. Karena verbal harus dievaluasi sebelum mapping, ekspasi numerik (numerical expansion) yaitu pendekatan yang paling efisien. Contoh: 1 product term dalam 3 variable verbal SOP, contohnya 𝐴𝐵'. Ini term sanggup diekspan secara numerik ke bentuk standar dengan cara sbb :

1. Tuliskan nilai biner dari dua variable dan tambahkan 0 utk variable 𝐶 yang tdk ada: 100 
2. Tuliskan nilai binary dari dua variable dan tambahkan 1 untuk variable 𝐶 : 101 
3. Bilangan biner yang dihasilkan yaitu nilai dari term SOP standar 𝐴𝐵'𝐶 dan 𝐴𝐵'𝐶'

Contoh 1

Satu product term verbal 3 variable 𝐵. Ini sanggup diekspan secara numerik ke standar form dengan cara sbb:

1. Tuliskan nilai biner dari variable; 
2. kemudian attach semua nilai yang mungkin utk variable yang hilang ibarat berikut: 
1. _B_ 
2. 1. 010, 011, 110, 111
3. Bilangan biner yang dihasilkan yaitu nilai dari term SOP sandar 𝐴'𝐵𝐶', 𝐴'𝐵𝐶, 𝐴𝐵𝐶', dan 𝐴𝐵𝐶'

Bentuk standar tersebut kemudian sanggup dipetakan ke Karnaugh Map

Latihan

Petakan verbal SOP berikut ke peta Karnaugh 

1. 𝐴 + 𝐴𝐵' + 𝐴𝐵𝐶 
2. 𝐵𝐶 + 𝐴'𝐶 
3. 𝐵'𝐶 + 𝐴𝐵' + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵'𝐶𝐷 + 𝐴'𝐵'𝐶'𝐷 + 𝐴𝐵'𝐶𝐷'

Minimalisasi POS Karnaugh Map

Untuk verbal POS dalam bentuk standar, sebuah 0 ditempatkan pada peta Karnaugh untuk setiap sum term di ekspresi. Setiap 0 ditempatkan pada sebuah sel berkaitan dengan nilai dari sebuah sum term. Misalnya sum term 𝐴 + 𝐵 + 𝐶, sebuah 0 pada sel 010 pada peta 3 variable.

Ketika verbal POS telah lengkap dipetakan, di peta ada sejumlah 0 yang sama dengan jumlah sum term pada verbal standar. Sel yang tidak mempunyai 0 yaitu sel yang ekspresinya yaitu 1. Biasanya dikala bekerja dengan verbal POS, 1 dibiarkan

Proses pemetaan

Tentukan nilai biner dari setiap sum term pada verbal standar POS. Nilai biner ini yang menyebabkan the term = 0. Sebagaimana setiap sum term di-evaluasi, tempatkan 0 pada peta Karnaugh pada sel terkait

Penyederhaan Ekspresi POS Peta Karnaugh

Prinsip penyerderhanaan verbal POS secara fundamental sama sbgmana verbal SOP, kecuali pengelompokkan dilakukan untuk kelompok 0 yang menghasilkan sum term minimum (bukan mengelompokkan 1). Aturan pengelompokkan 0 sama ibarat pengelompokkan 1

Contoh 1

Gunakan peta Karnaugh untuk menyederhanakan verbal POS standar berikut: 

Tentukan verbal yang ekivalen dengan SOP 

Kombinasi nilai biner dari verbal adalah

Petakan verbal tersebut dan kelompokkan sel ibarat berikut:

Penyederhanaan

Group 1 : A+B+C, A+B+C’, A+B’+C, 

A+B’+C’ => A 

Group 2 :  A+B’+C, A’+B’+C à B’+C 

=> A(B’+C) 

Group 3: AB’C, ABC à AC 

Group 4: AB’C’, AB’C à AB’ 

=> ekivalen SOP: AC + AB’ => A(B’+C)

Contoh (2)

Gunakan peta Karnaugh untuk meminimalkan verbal berikut 

()

Term pertama harus di ekspand: 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 dan (𝐴' + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷) 

Ekspresi POS minimum

(𝑪 + 𝑫)(𝑨 + 𝑩 + 𝑫)(𝑨 + 𝑩 + 𝑪)

Latihan 1

1. Petakan verbal standar berikut ke peta Karnaugh 

(𝐴' + 𝐵 + C + D)(𝐴 + 𝐵' + 𝐶 + 𝐷' )(𝐴 + 𝐵 + 𝐶' + 𝐷)(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷' )(𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 )

Kemudian sederhanakan verbal POS Karnaugh Map

2. Petakan verbal standar berikut ke peta Karnaugh 

(𝐴' + 𝐵' + 𝐶 + D)(𝐴 + 𝐵)

Kemudian sederhanakan verbal POS peta Karnaugh

Latihan 2

1. Gunakan peta Karnaugh untuk menyederhanakan verbal standar POS berikut: 

( 𝑋' + 𝑌 + 𝑍 )( 𝑋 + 𝑌' + 𝑍 )(𝑋 + 𝑌' + 𝑍')(𝑋 + 𝑌 + 𝑍) 

2. Gunakan peta Karnaugh untuk menyerderhanakan verbal POS berikut 

( 𝑊' + 𝑋 + 𝑌 + 𝑍  )(𝑊' + 𝑋 + 𝑌' + 𝑍 )(𝑊 + 𝑋 + 𝑌' + 𝑍')(𝑊 + 𝑋' + 𝑍)

Pemetaan pribadi dari Truth Table

Perhatikan truth table yang keluarannya 1 untuk 4 kombinasi variable masukan yang berbeda. 

Angka 1 pada kolom dari table kebenaran dipetakan pribadi ke peta Karnaugh, ke sel yang bersesuaian dengan nilai dari adonan kombinasi variable masukan.

Kondisi “Don’t Care”

Kadang ada kombinasi variable masukan yang tidak diizinkan. Misalnya pada code BCD, ada 6 kombinasi yang invalid: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 dan 1111 atau setiap nilai biner lebih dari 9 untuk posisi 4 bit.

Karena states yang tidak dibolehkan ini tidak akan pernah muncul/digunakan termasuk dalam code BCD, dianggap kombinasi tersebut sebagai term “don’t care” berkaitan dengan efeknya pada keluaran. Term “don’t care” apakah diassign 1 atau 0 pada output; tidak problem alasannya yaitu tidak akan pernah muncul 

Term “don’t care” sanggup dipakai untuk bermanfaat pada peta Karnaugh. Setiap term “don’t care”, sebuah X ditempatkan pada sel. Ketika mengelompokkan 1, X sanggup diperlakukan sebagai 1 untuk membuat pengelompokkan yang panjang atau sebagai 0 kalau tidak sanggup dipakai untuk dimanfaatkan. Sebuah group yang besar, menghasilkan term yang lebih sederhana

BCD (Binary Coded Decimal ) Code

BCD code adalah sebuah cara untuk mengekspresikan setiap bilangan digit bilangan decimal dengan aba-aba biner. Hanya ada 10 kelompok aba-aba dalam system BCD, sehingga gampang sekali mengkonversi antara decimal dan BCD

Kode 8421 BCD yaitu sebuah tipe BCD (Binary Coded Decimal). BCD berarti setiap digit decimal, 0 – 9 direpresentasikan oleh 4 bit aba-aba biner. 8421 menawarkan bobot dari 4 bit tersebut (23,22,21,20). Kemudahan mengkonversi antara bilangan aba-aba 8421 dan bilangan decimal yaitu laba utama dari aba-aba BCD.

Invalid Code

Dengan 4 bit, 16 bilangan sanggup direpresentasikan, tetapi dalam 8421 hanya 10 yang digunakan. Kombinasi 6 aba-aba yang lain yang tidak dipakai yaitu 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 dan 1111 – dianggap invalid di system aba-aba BCD

Contoh BCD

1. 35 => 0011 0101
2. 98 => 1001 1000
3. 170 => 0001 0111 0000
4. 2469 => 0010 0100 0110 1001

BCD Code ke Desimal

10000110 ?

001110100001 ?

1001010001110000  ?

10000010001001110110 ?

Minterm dan Maxterm

Tabel kebenaran mendefinsikan fungsi Boolean. Ekspresi aljabar utk fungsi tersebut sanggup diturunkan dari table dengan mencari logic penjumlahan dari product term dimana fungsi mengansumsikan nilai biner = 1.

Sebuah product term yang mana semua variable muncul sempurna sekali, apakah ia complement atau tidak complement disebut minterm. Sebuah sum term yang berisi semua variable dalam bentuk complement atau tidak complement disebut maxterm

Minterm

Properti karakteristiknya bahwa minterm merepresentasikan sempurna satu kombinasi dari nilai variable biner dalam table kebenaran. Ia mempunyai nilai 1 untuk kombinasi tersebut dan 0 untuk yang lain

Contoh: untuk variable X dan Y, minterm nya yaitu 𝑋'𝑌' , 𝑋'𝑌, 𝑋𝑌' dan 𝑋𝑌 

Ada 8 minterm untuk 3 variable ( lihat table dibawah )

Setiap minterm yaitu product term dari sempurna 𝑛 literal, dimana 𝑛 yaitu jumlah variable. Untuk setiap kombinasi biner, ada minterm terkait. Setiap minterm yaitu sebuah product term dari sempurna n literal, dimana n yaitu jumlah dari variable

Simbol 𝑚𝑗 untuk setiap minterm yang ditunjukkan di table, dimana 𝑗 menawarkan ekivalen decimal utk setiap kombinasi biner yang terkait minterm. Daftar minterm untuk setiap 𝑛 variable sanggup dibuat dari daftar bilangan biner dari 0 s/d 2𝑛 − 1. 

Pada table, tampak setiap minterm yaitu 1 utk kombinasi biner terkait dan 0 utk kombinasi yang lain

Minterm untuk 3 variable

Maxterm

Sebuah sum term yang berisi semua variable (complemen atau tidak komplemen) membentuk => maxterm. Memungkinkan meng-formulasikan 2𝑛 maxterm dengan 𝑛 variable. 

8 maxterm ditampilkan pada table berikut ini 

Setiap maxterm yaitu penjumlahan logic dari 3 variable dengan masing-masing variable embel-embel kalau bit biner terkait yaitu 1 dan tidak embel-embel kalau 0. Simbol maxterm yaitu 𝑀𝑗 , dimana j menyatakan ekivalen decimal dari kombinasi biner maxterm terkait. Perhatikan bawha maxterm =0 utk kombinasi terkait dan 1 utk semua kombinasi yang lain.

Maxterm untuk 3 variable

Lanjutan Minterm dan Maxterm

Sebuah minterm yaitu sebuah fungsi, tidak sama dengan 0, mempunyai sejumlah minimum 1 di dalam table kebenaranya. Sebuah maxterm yaitu sebuah fungsi, tidak sama dengan 1, mempunyai jumlah maksimum dari 1 di dalam table kebenarannya 

Dari 2 table sebelumnya, minterm dan maxterm dengan index yang sama yaitu berkomplemen 𝑀𝑗 = 𝑚 𝑗 dan 𝑚𝑗 = 𝑀 𝑗 

Contoh: j= 3; 𝑀3 = 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = 𝑋 𝑌𝑍 = 𝑚 3

Fungsi Boolean sanggup direpresentasikan secara aljabar dari table kebenaran yang tersedia dengan membentuk penjumlahan logic dari semua minterm yang menghasilkan 1 di dalam fungsi

Ekspresi ini disebut sum of terms. Perhatikan fungsi Boolean F pada table. Fungsi F = 1 untuk kombinasi biner dari variable X, Y, Z: 000, 010, 101 dan 111. Kombinasi ini berkaitan dengan minterm 0,2,5, dan 7

Dengan memperhatikan table Fungsi Boolean, dan table kebenaran utk minterms, fungsi F sanggup diekspresikan secara aljabar sebagai penjumlahan logic dari minterm

𝐹 = 𝑋 𝑌 𝑍 + 𝑋 𝑌𝑍 + 𝑋𝑌 𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 = 𝑚0 + 𝑚2 + 𝑚5 + 𝑚7

Selanjutnya sanggup disingkat dengan hanya daftar dari index dari mintermnya

𝐹 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑚(0,2,5,7)

Simbol Σ yaitu penjumlahan logic (OR) dari minterm; angka menawarkan minterm dari fungsi

Contoh : 𝐹 ( 𝑋, 𝑌, 𝑍 )  = 𝑋'𝑌'𝑍 + 𝑋'𝑌𝑍 + 𝑍𝑌'𝑍'  + 𝑋𝑌𝑍 = 𝑚1 + 𝑚3 + 𝑚4 + 𝑚6 yang disingkat menjadi F (X.Y.Z) = m(1,3,4,6)

Komplemen dari F adalah 

𝐹 = (𝑚1 + 𝑚3 + 𝑚4 + 𝑚6)'  = 𝑚 1. 𝑚 3. 𝑚 4. 𝑚 6 

= 𝑀1𝑀3𝑀4𝑀6 alasannya yaitu 𝑚 𝑗 = 𝑀𝑗 

= (𝑋 + 𝑌 + 𝑍 )(𝑋 + 𝑌 + 𝑍 )( 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 )(𝑋 + 𝑌 + Z )

Metode Quine-McCluskey

Metoda formal tabular untuk menerapkan aturan distribusi Boolean ke aneka macam term untuk mencapai SOP minimum dengan mengeliminasi literal yang muncul dalam 2 term sebagai komplemen.

Contoh: ABCD + ABCD’ = ABC

Sangat cocok untuk reduksi yang terkomputerisasi. Peta Karnaugh, bersifat metoda grafik.

Cara menerapkan metoda Quine-McCluskey

Langkah 1

Tuliskan fungsi dalam bentuk minterm standar (SOP). 

Representasikan verbal sebagai bilangan biner ibarat yagn ditunjukkan pada table kebenaran berikut

Langkah 2

Arrange minterm dalam verbal orisinil dalam grup berdasarkan jumlah angka 1 pada setiap minterm

Langkah ke-3

Bandingkan dengan grup yang berdekatan, lihat kalau ada minterm yang mempunyai posisi yang sama kecuali 1 posisi. Jika ada, berikan tanda cek pada setiap minterm di masing-masing group. Kecuali 𝑚10 tidak di-cek, krn tidak memenuhi syarat ( disebut essential prime implicant )

Term pada daftar first level dipakai untuk membentuk table yang direduksi dengan jumlah 1 pada group lebih kecil dari group lain.

Term pada group gres dibandingkan. Dipilih kalau hanya mempunyai x pd posisi yang sama dengan group berdekatan (second level)

Pada second level sanggup dibaca sebagai B𝐶

Term yang tidak di-cek akan membentuk term lain pada verbal yang direduksi final.

Term 1 tidak di-cek: 𝐴 𝐵 𝐷

Term 2 : 𝐴 𝐶 D

Term 3 : 𝐴𝐵𝐷

Pada first level: 𝐴𝐵 𝐶𝐷 

Ekspresi yang dikurangi (yg tidak di-cek)

B𝐶 + 𝐴 𝐵 𝐷 + 𝐴 𝐶 D+𝐴𝐵𝐷 + 𝐴𝐵 𝐶𝐷 

Meskipun verbal sdh tepat, tetapi bukan verbal yang minimum. Pengecekan terakhir mengeliminasi term yang tidak perlu.

Term2 tersebut ditulis dalam table prime implicant dengan minterm utk setiap prime implicant yang di-cek

Jika prime implicant mempunyai 1 centang, ia penting dan harus dimasukkan dalam verbal final. Term 𝐴𝐵𝐷 harus disertakan alasannya yaitu 𝑚15 hanya di- cover oleh term tsb. Begitu juga 𝑚10 hanya di-cover oleh 𝐴𝐵 𝐶𝐷 , maka akan masuk dalam verbal final. Dua minterm di 𝐴 𝐶 D di-cover oleh prime implicants pada 2 baris pertama, jadinya term ini tidak perlu. Sehingga verbal final adalah 

B𝐶 + 𝐴 𝐵 𝐷+𝐴𝐵𝐷 + 𝐴𝐵 𝐶𝐷 

Latihan

Sumber

Slide AOK : Karnaugh Map

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com