blog berisi kumpulan soal materi skripsi dan makalah lengkap pdf
matematika dasar fungsi kuadrat, alasannya yaitu ini yaitu salah satu syarat perlu, supaya lebih cepat dalam berguru fungsi komposisi dan fungsi invers (FKFI). Penerapan fungsi komposisi dan fungsi invers (FKFI) dalam aljabar dan kehidupan sehari-hari sangat banyak, diantaranya sanggup dilihat pada soal-soal yang kita diskusikan di bawah. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada fungsi komposisi dan fungsi invers sangatlah mudah, bila Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal fungsi komposisi dan fungsi invers dan menemukan solusinya. Sebelum kita coba diskusi membahas soal-soal FKFI yang sudah pernah diujikan pada UN atau SBMPTN, mari kita coba ingatkan kembali beberapa sifat-sifat dasar FKFI. Untuk fungsi $f\left ( x \right )$ dan fungsi $g \left ( x \right )$, invers fungsi itu berturut-turut ditulis $f^{-1}\left ( x \right )$ dan $g^{-1}\left ( x \right )$. Fungsi Identitas $I \left ( x \right )=x$. Beberapa Sifat Fungsi Komposisi Fungsi Invers yang sanggup kita tuliskan, antara lain; Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$ $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$ $\left ( f \circ g \right )^{-1}\left ( x \right )=\left ( g^{-1} \circ f^{-1} \right )\left ( x \right )$ $\left ( f^{-1} \circ f \right )\left ( x \right )=I\left ( x \right )$ $\left (f^{-1}\right )^{-1} \left ( x \right ) =f\left ( x \right )$ Jika $f\left ( x \right )=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$ Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$ Sedikit penambahan wacana fungsi invers atau fungsi kebalikan yaitu fungsi yang merupakan kebalikan agresi dari sebuah fungsi. Misalkan, untuk sebuah fungsi $f\left ( x \right )=4x-1$, Untuk Nilai fungsi pertanyaanya yaitu berapakah nilai $f\left ( 2 \right )$?, atau kita tulis menjadi $f\left ( 2 \right )= \cdots$. Untuk fungsi invers sendiri, pertanyaannya yaitu $f$ berapakah yang nilainya $7$?, atau sanggup kita tulis menjadi $f\left ( \cdots \right )=7$. Jika kedua pertanyaan diatas kita jawab menjadi $f\left ( 2 \right )= 7$ dan $f^{-1}\left ( 7 \right )= 2$ secara umum sudah ditampilkan pada sifat komposisi diatas yaitu Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$. Untuk lebih paham lagi beberapa soal berikut mungkin sanggup membantu; 1. Soal SNMPTN 2011 Kode 879 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=\dfrac{x-2011}{x-1}$, maka $(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x)$ adalah$\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{x+2011}{x-1} \\ (B)\ & \dfrac{x+2011}{x+1} \\ (C)\ & \dfrac{x-2011}{x+1} \\ (D)\ & \dfrac{x-2011}{x-1} \\ (E)\ & \dfrac{-x+2011}{x-1} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show $\begin{align} f(x) & = \dfrac{x-2011}{x-1} \\ (f \circ f)(x) & = f \left( f(x) \right) \\ & = \dfrac{f(x)-2011}{f(x)-1} \\ & = \dfrac{\dfrac{x-2011}{x-1}-2011}{\dfrac{x-2011}{x-1}-1} \\ & = \dfrac{\dfrac{x-2011}{x-1}-\dfrac{2011x-2011}{x-1}}{\dfrac{x-2011}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{x-2011-2011x+2011}{x-1}}{\dfrac{x-2011-x+1}{x-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{-2010x}{x-1}}{\dfrac{-2010}{x-1}} \\ & = \dfrac{-2010x}{-2010} \\ & = x \end{align}$ Dari hasil di atas yaitu $(f \circ f)(x) = x$ maka: $(f \circ f \circ f)(x) = f(x)$ $(f \circ f \circ f \circ f)(x) = x$ $(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x) = f(x)$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \dfrac{x-2011}{x-1}$2. Soal SNMPTN 2012 Kode 421 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=ax+3$, $a \neq 0$ dan $f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right )=3$ maka nilai $a^{2}+a+1$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 11 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 3 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk $f(x) = ax+3$ sanggup kita tentukan $f^{-1}(x)$ dan $f^{-1}(9)$ yaitu: $\begin{align} y & = ax+3 \\ y - 3 & = ax \\ \dfrac{y - 3}{a} & = x \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{x - 3}{a} \\ f^{-1}(9) & = \dfrac{9 - 3}{a} \\ f^{-1}(9) & = \dfrac{6}{a} \end{align}$ Lalu kita substitusikan kepada $f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right )=3$, sehingga kita peroleh: $\begin{align} f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right) & = f^{-1}\left ( \dfrac{6}{a} \right ) \\ 3 & = \dfrac{\dfrac{6}{a} - 3}{a} \\ 3a & = \dfrac{6-3a}{a} \\ 3a^{2} & = 6-3a \\ 3a^{2}+3a-6 & = 0 \\ a^{2}+a-2 & = 0 \\ a^{2}+a-2 +3 & = 0 +3 \\ a^{2}+a+1 & = 3 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 3$3. Soal SNMPTN 2012 Kode 122 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=ax+3$, dan $f \left (f \left ( x \right ) \right )=4x+9$ maka nilai $a^{2}+3a+3$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 13 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 2 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk $f(x) = ax+3$ sanggup kita tentukan $f \left (f \left ( x \right ) \right )$ yaitu: $\begin{align} f \left (f \left ( x \right ) \right ) & = af(x)+3 \\ 4x+9 & = a(ax+3)+3 \\ 4x+9 & = a^{2}x+3a+3 \end{align}$ Dari bentuk diatas sanggup kita simpulkan $4x= a^{2}x$ dan $9 =3a+3$ sehingga $a^{2}+3a+3=4+9$ $a^{2}+3a+3=13$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 13$4. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 (*Soal Lengkap)Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ memiliki invers dan memenuhi $g\left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)$, maka $g^{-1} ( x )= \cdots$ $\begin{align} (A)\ & f^{-1}( x)+4 \\ (B)\ & 4-f^{-1}( x) \\ (C)\ & f^{-1} ( x+4 ) \\ (D)\ & -f^{-1} ( x )-4 \\ (E)\ & f^{-1} ( x )-4 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show $g \left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)=a$. Sehingga kita peroleh $g\left ( x-2 \right)=a$ dan $f\left ( x+2 \right)=a$. $g\left ( x-2 \right)=a$ $g^{-1}\left ( a \right )=x-2$ $g^{-1}\left ( a \right )+2=x$ $f\left ( x+2 \right )=a$ $f^{-1}( a)=x+2$ $f^{-1}( a)=g^{-1}(a)+2+2$ $f^{-1}( a)=g^{-1}(a)+4$ $f^{-1}( a)-4=g^{-1}(a)$ $g^{-1}( a)=f^{-1}(a)-4$ $g^{-1} ( x)=f^{-1}(x)-4$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ f^{-1} ( x )-4$5. Soal SBMPTN 2016 Kode 324 (*Soal Lengkap)Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ memiliki invers dan memenuhi $f\left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$ $\begin{align} (A)\ & g^{-1} ( x )-4 \\ (B)\ & g^{-1} ( x )-2 \\ (C)\ & \frac{1}{2}g^{-1} ( x )-2 \\ (D)\ & \frac{1}{2}\left (g^{-1} ( x )-2 \right) \\ (E)\ & \frac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-4 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk menjawab soal ini kita butuh sedikit kenakalan ibarat soal sebelumnya yaitu memisalkan bahwa $ f \left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)=y$. Sehingga kita peroleh $g\left ( 4+2x \right)=y$ dan $f\left ( x \right)=y$. $g\left ( 4+2x \right)=y$ $g^{-1}\left ( y \right )=4+2x$ $g^{-1}\left ( y \right )-4=2x$ $\frac{1}{2} \left (g^{-1}(y)-4 \right )=x$ $\frac{1}{2} g^{-1} ( y )-2=x$ $f ( x )=y$ $f^{-1}( y)=x$ $f^{-1}(y)=\frac{1}{2} g^{-1} ( y )-2$ $f^{-1}(x)=\frac{1}{2} g^{-1} (x )-2$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \frac{1}{2} g^{-1}(x)-2$6. Soal SBMPTN 2015 Kode 610 (*Soal Lengkap)Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$ $\begin{align} (A)\ & 2x+8 \\ (B)\ & 2x-8 \\ (C)\ & 8-2x \\ (D)\ & \frac{x}{2}-4 \\ (E)\ & 4-\frac{x}{2} \\ \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk menjawab soal ini sanggup kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ kemudian kita akan sanggup $f^{-1}\left ( x \right)$. Alternatif lain kita sanggup pembangkang dengan menggunakan sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$. Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$ Kita misalkan $\frac{x}{2}+3=a$ $\frac{x}{2}=a-3$ $x=2a-6$ $f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$ $f^{-1}\left ( a \right)= 2-\left ( 2a-6 \right)$ $f^{-1}\left ( a \right)= 2-2a+6$ $f^{-1}\left ( a \right)= 8-2a$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 8-2x$7. Soal SBMPTN 2014 Kode 673 (*Soal Lengkap)Diketahui $f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2},\ q\neq 0$. Jika $f^{-1}$ menyatakan invers dari $f$ dan $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $f^{-1} \left ( 2q \right)= \cdots$ $\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -\frac{3}{2} \\ (D)\ & \frac{3}{2} \ (E)\ & 3 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk menjawab soal ini sanggup kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f^{-1}\left ( x \right)$ kemudian mensubstitusikan $f^{-1}\left ( q \right)=1$ kemudian menghitung $f^{-1}\left ( 2q \right)= \cdots$. Alternatif lain dengan sedikit pembangkang menggunakan sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$. Jika $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $\left (f^{-1} \left ( -1 \right) \right )^{-1}=q$ atau sanggup kita tulis $f\left ( -1 \right)=q$ $f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2}$ $f \left ( -1 \right)= \frac{-p+q}{-1+2}$ $q= \frac{-p+q}{1}$ $q= -p+q$ $p=0$ $f \left ( x \right)= \frac{q}{x+2}$ $f^{-1} \left ( \frac{q}{x+2} \right)= x$ kita misalkan $\frac{q}{x+2}=2q$ alasannya yaitu kita mau mencari $f^{-1} \left ( 2q \right)$ $q=2qx+4q$ $-3q=2qx$ $x=\frac{-3q}{2q}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -\frac{3}{22}$8. Soal SBMPTN 2013 Kode 427 (*Soal Lengkap)Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka nilai $f^{-1}\left ( 2 \right)$ yaitu $\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk menjawab soal ini sanggup juga kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ kemudian kita akan sanggup $f^{-1}\left ( x \right)$ dan $f^{-1}\left ( 2 \right)$. Alternatif lain kita sanggup pembangkang dengan menggunakan sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$. Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$ Kita misalkan $\frac{x-6}{x+3}=-2$ alasannya yaitu kita mau menghitung $f^{-1}\left ( -2 \right)$ $x-6=-2x-6$ $-6+6=-3x$ $x=0$ $f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$ $f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{0-1}$ $f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{-1}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -1$9. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=x^{2}-1$, dan $g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$ maka kawasan asal fungsi $f \cdot g$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ x|-\infty \lt x \lt \infty \right \} \\ (B)\ & \left \{ x|x \neq -1 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x|x \neq 2 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x|x \lt -1 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x|x \geq 2 \right \} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show $\begin{align} f \cdot g & = x^{2}-1 \cdot \dfrac{x-2}{x+1} \\ & = (x-1)(x+1) \cdot \dfrac{x-2}{x+1} \\ & = \dfrac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+1} \\ \end{align}$ Himpunan kawasan asal sebuah fungsi yaitu himpunan kawasan asal (domain) supaya fungsi memiliki hasil (range) real. Dari bentuk diatas $f \cdot g$ yaitu $\dfrac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+1}$, sehingga supaya fungsi $f \cdot g$ memiliki hasil real, maka domain harus $\left \{ x|x \neq -1 \right \}$. Karena dikala $x=-1$ nilai $f \cdot g$ yaitu tak tentu. $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \left \{ x|x \neq -1 \right \}$ 10. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=1-x^{2}$, dan $g(x)=\sqrt{5-x}$ maka kawasan hasil fungsi komposisi $f \circ g$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ y|-\infty \lt y \lt \infty \right \} \\ (B)\ & \left \{ y|y \leq -1\ \text{atau}\ y \geq 1 \right \} \\ (C)\ & \left \{ y|y \leq 5 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x|y \leq 1 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x|-1 \leq y \geq 1 \right \} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show $\begin{align} (f \circ g)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = 1-\left( g(x) \right)^{2} \\ & = 1-\left( \sqrt{5-x} \right)^{2} \\ & = 1-(5-x) \\ & = x-4 \end{align}$ Fungsi $(f \circ g)(x)=x-4$ yaitu fungsi linear (garis lurus), sehingga untuk himpunan kawasan asal $(x)$ yang tidak dibatasi maka kawasan hasil $(y)$ merupakan himpunan tak hingga. $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ \left \{ y|-\infty \lt y \lt \infty \right \}$11. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=3x+2$ dan $g(x)=x^{2}-x+3$. Fungsi komposisi $(fog)(x)= \cdots $ $(A)\ 3x^{2}+3x+11$ $(B)\ 3x^{2}-3x+11$ $(C)\ 3x^{2}-3x-11$ $(D)\ 9x^{2}-9x-5$ $(E)\ 9x^{2}-9x-5$Alternatif Pembahasan: show $ \begin{align} (fog)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = 3g(x)+2 \\ & = 3 \left( x^{2}-x+3 \right) +2 \\ & = 3 x^{2} - 3x + 9 +2 \\ & = 3 x^{2} - 3x + 11 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 3 x^{2} - 3x + 11$12. Soal UNBK Matematika IPS 2018 (*Soal Lengkap)Daerah asal fungsi $f$ yang ditentukan oleh $f(x)=\frac{\sqrt{3x-8}}{2x-20}$ adalah... $(A)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(B)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(C)\ \left \{x | x \geq -6,\ x \neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(D)\ \left \{x | x \leq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(E)\ \left \{x | x \leq -6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$Alternatif Pembahasan: show Daerah asal fungsi maksudnya yaitu batasan nilai $x$ supaya fungsi memiliki nilai Real. Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi pecahan dan fungsi bentuk akar. Untuk fungsi pecahan supaya memiliki nilai Real syaratnya yaitu penyebut tidak sama dengan nol. $ \begin{align} 2x-20 & \neq 0 \\ 2x & \neq 20 \\ x & \neq 0 \end{align} $ Untuk fungsi bentuk akar, supaya memiliki nilai Real syaratnya yaitu yang didalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol. $ \begin{align} 3x-18 & \geq 0 \\ 3x & \geq 18 \\ x & \geq \frac{18}{3} \\ x & \geq 6 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$13. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=\frac{2-3x}{6x-5}$, $x \neq \frac{5}{6}$. Invers dari fungsi $f(x)$ adalah... $(A)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x-3},\ x \neq \frac{1}{2}$ $(B)\ f^{-1}(x)=\frac{5x-2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$ $(C)\ f^{-1}(x)=\frac{6x+3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$ $(D)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$ $(E)\ f^{-1}(x)=\frac{6x-3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$Alternatif Pembahasan: show Invers fungsi $f(x)$; $f (x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$ $ \begin{align} f(x) & =\frac{2-3x}{6x-5} \\ y & =\frac{2-3x}{6x-5} \\ y(6x-5) & = 2-3x \\ 6xy-5y & = 2-3x \\ 6xy+3x & = 2+5y \\ x(6y+3) & = 2+5y \\ x & = \frac{2+5y}{6y+3} \\ f^{-1}(x) & = \frac{2+5x}{6x+3} \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$14. Soal UNBK Matematika IPA 2018 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $(gof)(x)=x-3$. Nilai dari $g^{-1}(-2)$ adalah... $(A)\ -2$ $(B)\ -1$ $(C)\ 0$ $(D)\ 1$ $(E)\ 2$Alternatif Pembahasan: show Berdasarkan gosip pada soal, diketahui $(gof)(x)=x-3$ maka $g \left (f(x) \right )=x-3$ $g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{1}{2}-3$ $g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{5}{2}$ $g \left (a \right )=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$ invers fungsi $g(a)$ yaitu $g^{-1}(a)$ salah satu cara memilih $g^{-1}(a)$ yaitu: $y=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$ $2y=a-5$ $2y+5=a$ $g^{-1}(a)=2a+5$ $g^{-1}(-2)=2(-2)+5=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 1$15. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)Jika $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ dan $f(x)$ merupakan fungsi dengan $(f \circ g)(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$, maka himpunan penyelesaian $1 \leq f(x) \leq 6$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 0\ \text{atau}\ x \leq 2\ \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 2\ \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | -1 \leq x \leq 2\ \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | 0 \leq x \leq 2\ \right \} \\ \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Dari $(f \circ g)(x)$ sanggup kita peroleh $f(x)$, dengan mensubtitusi $g^{-1}(x)$ ke $(f \circ g)(x)$. Pertama kita coba cari $g^{-1}(x)$ dari $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$. $\begin{align} y & = \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \\ y^{2} & = \dfrac{1}{x-1} \\ x-1 & = \dfrac{1}{y^{2}} \\ x & = \dfrac{1}{y^{2}} +1 \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{1}{x^{2}} +1 \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \end{align}$ Berikut kita cari $f(x)$ dengan mensubstitusi $g^{-1}(x)$ ke $(f \circ g)(x)$ $\begin{align} f(x) & = (f \circ g)(g^{-1}(x)) \\ & = \dfrac{2\left (g^{-1}(x) \right )-1}{\left (g^{-1}(x) \right )-1} \\ & = \dfrac{2\left (\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \right )-1}{\left (\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \right )-1} \\ & = \dfrac{\dfrac{2+2x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{x^{2}}}{\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{ x^{2}}{x^{2}}} \\ & = \dfrac{2+x^{2}}{1} \\ & = 2+x^{2} \end{align}$ Diketahui $1 \leq f(x) \leq 6$, maka: $1 \leq 2+x^{2} \leq 6$ $1-2 \leq x^{2} \leq 6-2$ $-1 \leq x^{2} \leq 4$ Untuk $x^{2} \leq 4$ $\begin{align} x^{2}-4 & \leq 0 \\ (x+2)(x-2) & \leq 0 \\ -2 \leq x \leq 2 & \end{align}$ Untuk $x^{2} \geq -1$ selalu benar untuk setiap $x$ bilangan real. Irisan $-2 \leq x \leq 2$ dan $x \in \mathbb{R}$ yaitu $-2 \leq x \leq 2$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \left \{ x | -2 \leq x \leq 2\ \right \}$16. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$ dan $g(x)=\dfrac{ 1}{x-2}$, maka himpunan penyelesaian $\dfrac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} \lt 0$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2\ \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 2 \lt x \lt 3 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 2 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | 1 \lt x \lt 2 \text{atau}\ x \gt 3\ \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | 2 \lt x \lt 3 \text{atau}\ x \gt 3\ \right \} \\ \end{align}$Alternatif Pembahasan: show $\begin{align} f(x)g(x) & = \dfrac{1}{(x-1)^{2}} \times \dfrac{1}{x-2} \\ & = \dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} \end{align}$ $\begin{align} (f \circ g)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{g(x)}-1 \right )^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{x-2}-1 \right )^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-2} \right )^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left (\dfrac{2-x}{x-2} \right )^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left (\dfrac{-(x-2)}{x-2} \right )^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left (-1 \right )^{2}}=1 \end{align}$ $\begin{align} \dfrac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} & \lt 0 \\ \dfrac{\dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}}{1} & \lt 0 \\ \dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} & \lt 0 \\ (x-1)^{2}(x-2) & \lt 0 \\ x \lt 1\ \text{atau}\ &\ 1 \lt x \lt 2 \end{align}$ (*Jika belum sanggup mengerjakan pertidaksamaan dengan baik coba Matematika Dasar: Pertidaksamaan) $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 2 \right \}$17. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang memiliki invers. Jika $f \left( g(x) \right)=2x-1$ dan $g(x+1)=x-3$, maka nilai $f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 14 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -9 \\ (E)\ & -14 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Dari $g(x+1)=x-3$ sanggup kita peroleh $g(x)$ dan $g^{-1}(x)$ yaitu $\begin{align} g(x+1) & = x-3 \\ g(x+1)& = x+1-4 \\ g(a)& = a-4 \\ g(x)& = x-4 \\ g^{-1}(x)& = x+4 \\ g^{-1}(3)& = 3+4=7 \end{align}$ Dari $f \left( g(x) \right)=2x-1$ sanggup kita peroleh $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ yaitu $\begin{align} f \left( g(x) \right) & = 2x-1 \\ f ( x-4) & = 2x-1 \\ f ( x-4) & = 2(x-4)+8-1 \\ f ( x-4) & = 2(x-4)+7 \\ f(a) & = 2a+7 \\ f(x) & = 2x+7 \\ f^{-1}(x)& = \dfrac{x-7}{2} \\ f^{-1}(3)& = \dfrac{3-7}{2}=-2 \end{align}$ $f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)= -2 \times 7=-14$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -14 $18. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang memiliki invers. Jika $f \left( g(x) \right)=x+1$ dan $g(x+2)=x-4$, maka nilai $f^{-1}(2) + g^{-1}(2)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Dari $g(x+1)=x-3$ sanggup kita peroleh $g(x)$ dan $g^{-1}(x)$ yaitu $\begin{align} g(x+2) & = x-4 \\ g(x+2)& = x+2-6 \\ g(a)& = a-6 \\ g(x)& = x-6 \\ g^{-1}(x)& = x+6 \\ g^{-1}(2)& = 2+6=8 \end{align}$ Dari $f \left( g(x) \right)=x+1$ sanggup kita peroleh $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ yaitu $\begin{align} f \left( g(x) \right) & = x+1 \\ f ( x-6) & = x+1 \\ f ( x-6) & = x-6+7 \\ f(a) & = a+7 \\ f(x) & = x+7 \\ f^{-1}(x)& = x-7 \\ f^{-1}(2)& = 2-7=-5 \end{align}$ $f^{-1}(2) + g^{-1}(2)= -5 + 8=3$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 3 $ 19. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Jika $g(x)=\dfrac{-ax-3}{-x-4}$ dan $h(x)=\dfrac{4x-3}{-x+a}$, nilai $(g \circ h)(3)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 2 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show $\begin{align} (g \circ h)(x) & = g \left ( h(x) \right ) \\ & = \dfrac{-ah(x)-3}{-h(x)-4} \\ & = \dfrac{-a \left(\dfrac{4x-3}{-x+a} \right)-3}{-\left( \dfrac{4x-3}{-x+a}\right)-4} \\ & = \dfrac{ \dfrac{-4ax+3a}{-x+a} -3}{ \dfrac{-4x+3}{-x+a}-4} \\ & = \dfrac{ \dfrac{-4ax+3a}{-x+a} - 3 \left( \dfrac{-x+a}{-x+a} \right)}{ \dfrac{-4x+3}{-x+a}-4 \left( \dfrac{-x+a}{-x+a} \right)} \\ & = \dfrac{ -4ax+3a + 3x-3a }{ -4x+3 +4x-4a } \\ & = \dfrac{ -4ax+ 3x }{ 3 -4a } \\ & = \dfrac{ x(3-4a ) }{ 3 -4a } \\ & = x \end{align}$ Karena $(g \circ h)(x) = x$ maka $g(x)$ dan $h(x)$ saling invers, sehingga $(g \circ h)(x) = x$ dan $(g \circ h)(3) = 3$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 3$20. Soal SIMAK UI 2018 Kode 641 (*Soal Lengkap)Jika $f(x+1)=\dfrac{2x-7}{x+1}$, maka... $\begin{align} (1)\ & f(-1)=11 \\ (2)\ & f^{-1}(-1)=3 \\ (3)\ & (f \circ f)^{-1}(-1)=-9 \\ (4)\ & \dfrac{1}{f^{-1}(-2)}=\dfrac{4}{9} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk point $(1)$ pernyataan $f(-1)=11$ yaitu BENAR $\begin{align} f(x+1) & = \dfrac{2x-7}{x+1} \\ f(x+1) & = \dfrac{2(x+1)-9}{x+1} \\ f(a) & = \dfrac{2(a)-9}{a} \\ f(x) & = \dfrac{2x-9}{x} \\ f(-1) & = \dfrac{2(-1)-9}{ -1 }=11 \end{align}$ Untuk point $(2)$ pernyataan $f^{-1}(-1)=3$ yaitu BENAR $\begin{align} f(x) & = \dfrac{2x-9}{x} \\ y & = \dfrac{2x-9}{x} \\ yx & = 2x-9 \\ yx-2x & = -9 \\ x & = \dfrac{-9}{y-2} \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{-9}{x-2} \\ f^{-1}(-1) & = \dfrac{-9}{-1-2}=3 \end{align}$ Untuk point $(3)$ pernyataan $(f \circ f)^{-1}(-1)=-9$ yaitu BENAR $\begin{align} f(x) & = \dfrac{2x-9}{x} \\ (f \circ f)^{-1}(-1) & = f^{-1} \left( f^{-1}(-1) \right) \\ & = f^{-1} \left( 3 \right) \\ & = \dfrac{-9}{3-2} \\ & = \dfrac{-9}{1}=-9 \end{align}$ Untuk point $(4)$ pernyataan $\dfrac{1}{f^{-1}(-2)}=\dfrac{4}{9}$ yaitu BENAR $\begin{align} f^{-1}(x) & = \dfrac{-9}{x-2} \\ f^{-1}(-2) & = \dfrac{-9}{-2-2} \\ & = \dfrac{-9}{-4}=\dfrac{ 9}{ 4} \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ (1), (2), (3), (4)\ \text{BENAR}$21. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $g(x)=\dfrac{5x}{x+1}$. Jika $h$ yaitu funsgi sehingga $\left ( g \circ h \right )(x)=x-2$ maka $\left ( h \circ f \right )(x)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{2x-3}{2x+8} \\ (B)\ & \dfrac{2x-3}{-2x+6} \\ (C)\ & \dfrac{2x-3}{2x-8} \\ (D)\ & \dfrac{2x-3}{-2x+8} \\ (E)\ & \dfrac{2x-3}{-2x-8} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Catatan calon guru wacana Fungsi Komposisi yang mungkin membantu yaitu; Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$ $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$ $\begin{align} \left ( g \circ h \right )(x) &= x-2 \\ g\left ( h(x) \right ) &= x-2 \\ \dfrac{5h(x)}{h(x)+1} &= x-2 \\ 5h(x) &= \left( x-2 \right)\left( h(x)+1 \right) \\ 5h(x) &= xh(x)-2h(x) +x-2 \\ 7h(x)-xh(x) &= x-2 \\ h(x) \left( 7-x \right) &= x-2 \\ h(x) &= \dfrac{x-2}{\left( 7-x \right)} \\ \hline \left ( h \circ f \right )(x) &= h\left ( f(x) \right ) \\ &= \dfrac{f(x)-2}{\left( 7-f(x) \right)} \\ &= \dfrac{2x-1-2}{\left( 7- (2x-1) \right)} \\ &= \dfrac{2x-3}{ 7-2x+1 } \\ &= \dfrac{2x-3}{ 8-2x } \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ \dfrac{2x-3}{-2x+8}$22. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)Jika $f(x)=3^{x-1}$ maka $f^{-1}(81)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Catatan calon guru wacana Fungsi Komposisi yaitu; Jika $f\left ( x \right )=ax+b$ maka $f\left ( z \right )=a \cdot z+b$ atau $f\left ( g\left ( x \right ) \right )=a \cdot g\left ( x \right )+b$ $\left ( f \circ g \right )\left ( x \right )=f\left ( g\left ( x \right ) \right )$ Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$ $\begin{align} f(x)&= 3^{x-1} \\ \hline y &= 3^{x-1} \\ y &= 3^{x} \cdot 3^{-1} \\ 3y &= 3^{x} \\ x &= {}^3\!\log 3y \\ \hline f^{-1}(x) &= {}^3\!\log 3x \\ f^{-1}(81) &= {}^3\!\log 3(81) \\ &= {}^3\!\log 243 \\ &= {}^3\!\log 3^{5} \\ &= 5 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5$23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Daerah asal fungsi $h(x)= \sqrt{ \dfrac{x^{2}-3x+2}{x+2}}$ supaya terdefenisi adalah... $(A)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(B)\ \left \{x | -2 \leq x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(C)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 1,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(D)\ \left \{x | x \lt -2\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(E)\ \left \{x | x \leq -2\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ x \in \mathbb{R} \right \}$Alternatif Pembahasan: show Domain (daerah asal) fungsi $f(x)$ supaya $f(x)$ terdefinisi maksudnya yaitu batasan nilai $x$ supaya fungsi $f(x)$ memiliki nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ memiliki penyelesaian". Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan. Untuk fungsi pecahan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, supaya fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya yaitu penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$. $ \begin{align} x+2 & \neq 0 \\ x & \neq -2 \end{align} $ Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, supaya fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya yaitu yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geq 0$. $ \begin{align} \dfrac{x^{2}-3x+2}{x+2} & \geq 0 \\ \dfrac{(x-2)(x-1)}{x+2} & \geq 0 \end{align} $ Untuk mencari himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan pecahan beliau atas, ibarat gambar berikut: Himpunan penyelesaian $\dfrac{(x-2)(x-1)}{x+2} \geq 0$ yaitu $-2 \leq x \leq 1$ atau $x \geq 2$. Jika kesulitan untuk menuntaskan pertidaksamaan pecahan di atas, silahkan dicoba Bank Soal Matematika Dasar Pertidaksamaan (*Soal dan Pembahasan). Batasan nilai $x$ yang memenuhi yaitu irisan dari pertidaksamaan $-2 \leq x \leq 1$, $x \geq 2$ dan $x \neq -2$ yaitu: $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Fungsi $f:R \rightarrow R$ dan $g: R \rightarrow R$. Jika $g(x)=x-1$ dan $(fog)(x)=x^{3}-4x$, nilai dari $f(2)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 13 \\ (C)\ & 15 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 25 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Berdasarkan gosip pada soal Fungsi Komposisi di atas, diketahui $(fog)(x)=x^{3}-4x$ maka: $ \begin{align} f \left ( g(x) \right ) & = x^{3}-4x \\ f \left ( x-1 \right ) & = x^{3}-4x \\ \hline \text{untuk}\ x=3 \\ \hline f \left ( 3-1 \right ) & = 3^{3}-4(3) \\ f \left ( 2 \right ) & = 27-12 \\ & = 15 \\ \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 15$25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Diketahui fungsi $f(x)=\sqrt{5x+1}$, dengan $x \geq -\dfrac{1}{5}$. Jika $f^{-1}(x)$ yaitu invers dari fungsi $f(x)$, nilai dari $f^{-1}(3)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{4}{5} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & \dfrac{8}{5} \\ (E)\ & 2 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Berdasarkan gosip pada soal Fungsi Invers di atas, diketahui $f(x)=\sqrt{5x+1}$ maka berlaku: $ \begin{align} y & = \sqrt{5x+1} \\ y^{2} & = 5x+1 \\ y^{2}-1 & = 5x \\ \dfrac{y^{2}-1}{5} & = x \\ \hline f^{-1}(x) &=\dfrac{x^{2}-1}{5} \\ f^{-1}(3) &=\dfrac{3^{2}-1}{5} \\ &=\dfrac{8}{5} \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \dfrac{8}{5}$26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Jika fungsi $\sqrt{ \dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12}}$ terdefenisi untuk $x \leq a$ atau $x \geq a$, maka nilai $a+b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -5 \\ (E)\ & -8 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Agar sebuah $f(x)$ terdefinisi maksudnya yaitu batasan nilai $x$ supaya fungsi $f(x)$ memiliki nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ memiliki penyelesaian". Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan. Untuk fungsi pecahan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, supaya fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya yaitu penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$. Pada soal di atas penyebut yaitu $y=x^{2}+x+12$ alasannya yaitu $a \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga fungsi selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real atau definit positif. Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, supaya fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya yaitu yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geq 0$. Karena penyebut yaitu definit positif, sehingga supaya fungsi $\dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12} \geq 0$ kita cukup mencari batasan nilai $x$ untuk $ x^{2}-8x+5 \geq 0$. $ \begin{align} x^{2}-8x+5 & \geq 0 \\ x_{1,2} & = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^{2}-4(1)(5)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{8 \pm \sqrt{64-20}}{2} \\ & = \dfrac{8 \pm \sqrt{44}}{2} \\ & = \dfrac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2} \\ x_{1}& = 4 + \sqrt{11} \\ x_{2}& = 4 - \sqrt{11} \end{align} $ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-8x+5 \geq 0$ yaitu Himpunan penyelesaian $\sqrt{ \dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12}}$, yaitu $x \leq 4 - \sqrt{11}$ atau $x \geq 4 + \sqrt{11}$, sehingga nilai $a+b= 4 - \sqrt{11}+4 + \sqrt{11}=8$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 8$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasBeberapa pembahasan soal Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI) (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas yaitu coretan kreatif siswa pada lembar balasan evaluasi harian matematika, lembar balasan evaluasi simpulan semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait problem alternatif penyelesaian soal Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers sangat diharapkan😊CMIIW Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊 Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Mengerjakan pembagian pecahan dengan cara pilar (Pintar Bernalar); Sumber http://www.defantri.com
Jika $f(x)=\dfrac{x-2011}{x-1}$, maka $(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x)$ adalah$\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{x+2011}{x-1} \\ (B)\ & \dfrac{x+2011}{x+1} \\ (C)\ & \dfrac{x-2011}{x+1} \\ (D)\ & \dfrac{x-2011}{x-1} \\ (E)\ & \dfrac{-x+2011}{x-1} \end{align}$
$\begin{align} f(x) & = \dfrac{x-2011}{x-1} \\ (f \circ f)(x) & = f \left( f(x) \right) \\ & = \dfrac{f(x)-2011}{f(x)-1} \\ & = \dfrac{\dfrac{x-2011}{x-1}-2011}{\dfrac{x-2011}{x-1}-1} \\ & = \dfrac{\dfrac{x-2011}{x-1}-\dfrac{2011x-2011}{x-1}}{\dfrac{x-2011}{x-1}-\dfrac{x-1}{x-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{x-2011-2011x+2011}{x-1}}{\dfrac{x-2011-x+1}{x-1}} \\ & = \dfrac{\dfrac{-2010x}{x-1}}{\dfrac{-2010}{x-1}} \\ & = \dfrac{-2010x}{-2010} \\ & = x \end{align}$ Dari hasil di atas yaitu $(f \circ f)(x) = x$ maka: $(f \circ f \circ f)(x) = f(x)$ $(f \circ f \circ f \circ f)(x) = x$ $(f \circ f \circ f \circ f \circ f)(x) = f(x)$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \dfrac{x-2011}{x-1}$
Jika $f(x)=ax+3$, $a \neq 0$ dan $f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right )=3$ maka nilai $a^{2}+a+1$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 11 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Untuk $f(x) = ax+3$ sanggup kita tentukan $f^{-1}(x)$ dan $f^{-1}(9)$ yaitu: $\begin{align} y & = ax+3 \\ y - 3 & = ax \\ \dfrac{y - 3}{a} & = x \\ f^{-1}(x) & = \dfrac{x - 3}{a} \\ f^{-1}(9) & = \dfrac{9 - 3}{a} \\ f^{-1}(9) & = \dfrac{6}{a} \end{align}$ Lalu kita substitusikan kepada $f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right )=3$, sehingga kita peroleh: $\begin{align} f^{-1}\left (f^{-1}\left ( 9 \right ) \right) & = f^{-1}\left ( \dfrac{6}{a} \right ) \\ 3 & = \dfrac{\dfrac{6}{a} - 3}{a} \\ 3a & = \dfrac{6-3a}{a} \\ 3a^{2} & = 6-3a \\ 3a^{2}+3a-6 & = 0 \\ a^{2}+a-2 & = 0 \\ a^{2}+a-2 +3 & = 0 +3 \\ a^{2}+a+1 & = 3 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 3$
Jika $f(x)=ax+3$, dan $f \left (f \left ( x \right ) \right )=4x+9$ maka nilai $a^{2}+3a+3$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 13 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 7 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Untuk $f(x) = ax+3$ sanggup kita tentukan $f \left (f \left ( x \right ) \right )$ yaitu: $\begin{align} f \left (f \left ( x \right ) \right ) & = af(x)+3 \\ 4x+9 & = a(ax+3)+3 \\ 4x+9 & = a^{2}x+3a+3 \end{align}$ Dari bentuk diatas sanggup kita simpulkan $4x= a^{2}x$ dan $9 =3a+3$ sehingga $a^{2}+3a+3=4+9$ $a^{2}+3a+3=13$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 13$
Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ memiliki invers dan memenuhi $g\left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)$, maka $g^{-1} ( x )= \cdots$ $\begin{align} (A)\ & f^{-1}( x)+4 \\ (B)\ & 4-f^{-1}( x) \\ (C)\ & f^{-1} ( x+4 ) \\ (D)\ & -f^{-1} ( x )-4 \\ (E)\ & f^{-1} ( x )-4 \end{align}$
$g \left ( x-2 \right)= f\left ( x+2 \right)=a$. Sehingga kita peroleh $g\left ( x-2 \right)=a$ dan $f\left ( x+2 \right)=a$. $g\left ( x-2 \right)=a$ $g^{-1}\left ( a \right )=x-2$ $g^{-1}\left ( a \right )+2=x$ $f\left ( x+2 \right )=a$ $f^{-1}( a)=x+2$ $f^{-1}( a)=g^{-1}(a)+2+2$ $f^{-1}( a)=g^{-1}(a)+4$ $f^{-1}( a)-4=g^{-1}(a)$ $g^{-1}( a)=f^{-1}(a)-4$ $g^{-1} ( x)=f^{-1}(x)-4$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ f^{-1} ( x )-4$
Jika fungsi $f$ dan fungsi $g$ memiliki invers dan memenuhi $f\left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$ $\begin{align} (A)\ & g^{-1} ( x )-4 \\ (B)\ & g^{-1} ( x )-2 \\ (C)\ & \frac{1}{2}g^{-1} ( x )-2 \\ (D)\ & \frac{1}{2}\left (g^{-1} ( x )-2 \right) \\ (E)\ & \frac{1}{2}g^{-1}\left ( x \right)-4 \end{align}$
Untuk menjawab soal ini kita butuh sedikit kenakalan ibarat soal sebelumnya yaitu memisalkan bahwa $ f \left ( x \right)= g\left ( 4+2x \right)=y$. Sehingga kita peroleh $g\left ( 4+2x \right)=y$ dan $f\left ( x \right)=y$. $g\left ( 4+2x \right)=y$ $g^{-1}\left ( y \right )=4+2x$ $g^{-1}\left ( y \right )-4=2x$ $\frac{1}{2} \left (g^{-1}(y)-4 \right )=x$ $\frac{1}{2} g^{-1} ( y )-2=x$ $f ( x )=y$ $f^{-1}( y)=x$ $f^{-1}(y)=\frac{1}{2} g^{-1} ( y )-2$ $f^{-1}(x)=\frac{1}{2} g^{-1} (x )-2$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \frac{1}{2} g^{-1}(x)-2$
Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( x \right)= \cdots$ $\begin{align} (A)\ & 2x+8 \\ (B)\ & 2x-8 \\ (C)\ & 8-2x \\ (D)\ & \frac{x}{2}-4 \\ (E)\ & 4-\frac{x}{2} \\ \end{align}$
Untuk menjawab soal ini sanggup kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ kemudian kita akan sanggup $f^{-1}\left ( x \right)$. Alternatif lain kita sanggup pembangkang dengan menggunakan sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$. Jika $f\left ( 2-x \right)= \frac{x}{2}+3$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$ Kita misalkan $\frac{x}{2}+3=a$ $\frac{x}{2}=a-3$ $x=2a-6$ $f^{-1}\left ( \frac{x}{2}+3 \right)= 2-x$ $f^{-1}\left ( a \right)= 2-\left ( 2a-6 \right)$ $f^{-1}\left ( a \right)= 2-2a+6$ $f^{-1}\left ( a \right)= 8-2a$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 8-2x$
Diketahui $f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2},\ q\neq 0$. Jika $f^{-1}$ menyatakan invers dari $f$ dan $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $f^{-1} \left ( 2q \right)= \cdots$ $\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & -\frac{3}{2} \\ (D)\ & \frac{3}{2} \ (E)\ & 3 \end{align}$
Untuk menjawab soal ini sanggup kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f^{-1}\left ( x \right)$ kemudian mensubstitusikan $f^{-1}\left ( q \right)=1$ kemudian menghitung $f^{-1}\left ( 2q \right)= \cdots$. Alternatif lain dengan sedikit pembangkang menggunakan sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$. Jika $f^{-1} \left ( q \right)=-1$, maka $\left (f^{-1} \left ( -1 \right) \right )^{-1}=q$ atau sanggup kita tulis $f\left ( -1 \right)=q$ $f \left ( x \right)= \frac{px+q}{x+2}$ $f \left ( -1 \right)= \frac{-p+q}{-1+2}$ $q= \frac{-p+q}{1}$ $q= -p+q$ $p=0$ $f \left ( x \right)= \frac{q}{x+2}$ $f^{-1} \left ( \frac{q}{x+2} \right)= x$ kita misalkan $\frac{q}{x+2}=2q$ alasannya yaitu kita mau mencari $f^{-1} \left ( 2q \right)$ $q=2qx+4q$ $-3q=2qx$ $x=\frac{-3q}{2q}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -\frac{3}{22}$
Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka nilai $f^{-1}\left ( 2 \right)$ yaitu $\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Untuk menjawab soal ini sanggup juga kita kerjakan dengan mencari terlebih dahulu $f\left ( x \right)$ kemudian kita akan sanggup $f^{-1}\left ( x \right)$ dan $f^{-1}\left ( 2 \right)$. Alternatif lain kita sanggup pembangkang dengan menggunakan sifat Jika $f\left ( a \right )=b$ maka $f^{-1}\left ( b \right )=a$. Jika $f\left ( \frac{1}{x-1} \right)= \frac{x-6}{x+3}$, maka $f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$ Kita misalkan $\frac{x-6}{x+3}=-2$ alasannya yaitu kita mau menghitung $f^{-1}\left ( -2 \right)$ $x-6=-2x-6$ $-6+6=-3x$ $x=0$ $f^{-1}\left ( \frac{x-6}{x+3} \right)= \frac{1}{x-1}$ $f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{0-1}$ $f^{-1}\left ( -2 \right)= \frac{1}{-1}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -1$
Jika $f(x)=x^{2}-1$, dan $g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$ maka kawasan asal fungsi $f \cdot g$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ x|-\infty \lt x \lt \infty \right \} \\ (B)\ & \left \{ x|x \neq -1 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x|x \neq 2 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x|x \lt -1 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x|x \geq 2 \right \} \end{align}$
$\begin{align} f \cdot g & = x^{2}-1 \cdot \dfrac{x-2}{x+1} \\ & = (x-1)(x+1) \cdot \dfrac{x-2}{x+1} \\ & = \dfrac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+1} \\ \end{align}$ Himpunan kawasan asal sebuah fungsi yaitu himpunan kawasan asal (domain) supaya fungsi memiliki hasil (range) real. Dari bentuk diatas $f \cdot g$ yaitu $\dfrac{(x-2)(x-1)(x+1)}{x+1}$, sehingga supaya fungsi $f \cdot g$ memiliki hasil real, maka domain harus $\left \{ x|x \neq -1 \right \}$. Karena dikala $x=-1$ nilai $f \cdot g$ yaitu tak tentu. $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \left \{ x|x \neq -1 \right \}$
Jika $f(x)=1-x^{2}$, dan $g(x)=\sqrt{5-x}$ maka kawasan hasil fungsi komposisi $f \circ g$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ y|-\infty \lt y \lt \infty \right \} \\ (B)\ & \left \{ y|y \leq -1\ \text{atau}\ y \geq 1 \right \} \\ (C)\ & \left \{ y|y \leq 5 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x|y \leq 1 \right \} \\ (E)\ & \left \{ x|-1 \leq y \geq 1 \right \} \end{align}$
$\begin{align} (f \circ g)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = 1-\left( g(x) \right)^{2} \\ & = 1-\left( \sqrt{5-x} \right)^{2} \\ & = 1-(5-x) \\ & = x-4 \end{align}$ Fungsi $(f \circ g)(x)=x-4$ yaitu fungsi linear (garis lurus), sehingga untuk himpunan kawasan asal $(x)$ yang tidak dibatasi maka kawasan hasil $(y)$ merupakan himpunan tak hingga. $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ \left \{ y|-\infty \lt y \lt \infty \right \}$
Diketahui $f(x)=3x+2$ dan $g(x)=x^{2}-x+3$. Fungsi komposisi $(fog)(x)= \cdots $ $(A)\ 3x^{2}+3x+11$ $(B)\ 3x^{2}-3x+11$ $(C)\ 3x^{2}-3x-11$ $(D)\ 9x^{2}-9x-5$ $(E)\ 9x^{2}-9x-5$
$ \begin{align} (fog)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = 3g(x)+2 \\ & = 3 \left( x^{2}-x+3 \right) +2 \\ & = 3 x^{2} - 3x + 9 +2 \\ & = 3 x^{2} - 3x + 11 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 3 x^{2} - 3x + 11$
Daerah asal fungsi $f$ yang ditentukan oleh $f(x)=\frac{\sqrt{3x-8}}{2x-20}$ adalah... $(A)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(B)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(C)\ \left \{x | x \geq -6,\ x \neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(D)\ \left \{x | x \leq 6,\ x\neq -10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(E)\ \left \{x | x \leq -6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
Daerah asal fungsi maksudnya yaitu batasan nilai $x$ supaya fungsi memiliki nilai Real. Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi pecahan dan fungsi bentuk akar. Untuk fungsi pecahan supaya memiliki nilai Real syaratnya yaitu penyebut tidak sama dengan nol. $ \begin{align} 2x-20 & \neq 0 \\ 2x & \neq 20 \\ x & \neq 0 \end{align} $ Untuk fungsi bentuk akar, supaya memiliki nilai Real syaratnya yaitu yang didalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol. $ \begin{align} 3x-18 & \geq 0 \\ 3x & \geq 18 \\ x & \geq \frac{18}{3} \\ x & \geq 6 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ \left \{x | x \geq 6,\ x\neq 10,\ x \in \mathbb{R} \right \}$
Diketahui $f(x)=\frac{2-3x}{6x-5}$, $x \neq \frac{5}{6}$. Invers dari fungsi $f(x)$ adalah... $(A)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x-3},\ x \neq \frac{1}{2}$ $(B)\ f^{-1}(x)=\frac{5x-2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$ $(C)\ f^{-1}(x)=\frac{6x+3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$ $(D)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$ $(E)\ f^{-1}(x)=\frac{6x-3}{5x+2},\ x \neq -\frac{5}{2}$
Invers fungsi $f(x)$; $f (x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ maka $f^{-1}\left ( x \right )=\frac{-dx+b}{cx-a}$ $ \begin{align} f(x) & =\frac{2-3x}{6x-5} \\ y & =\frac{2-3x}{6x-5} \\ y(6x-5) & = 2-3x \\ 6xy-5y & = 2-3x \\ 6xy+3x & = 2+5y \\ x(6y+3) & = 2+5y \\ x & = \frac{2+5y}{6y+3} \\ f^{-1}(x) & = \frac{2+5x}{6x+3} \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ f^{-1}(x)=\frac{5x+2}{6x+3},\ x \neq -\frac{1}{2}$
Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $(gof)(x)=x-3$. Nilai dari $g^{-1}(-2)$ adalah... $(A)\ -2$ $(B)\ -1$ $(C)\ 0$ $(D)\ 1$ $(E)\ 2$
Berdasarkan gosip pada soal, diketahui $(gof)(x)=x-3$ maka $g \left (f(x) \right )=x-3$ $g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)+\frac{1}{2}-3$ $g \left (2x-1 \right )=\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{5}{2}$ $g \left (a \right )=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$ invers fungsi $g(a)$ yaitu $g^{-1}(a)$ salah satu cara memilih $g^{-1}(a)$ yaitu: $y=\frac{1}{2}(a)-\frac{5}{2}$ $2y=a-5$ $2y+5=a$ $g^{-1}(a)=2a+5$ $g^{-1}(-2)=2(-2)+5=1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 1$
Jika $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ dan $f(x)$ merupakan fungsi dengan $(f \circ g)(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$, maka himpunan penyelesaian $1 \leq f(x) \leq 6$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 0\ \text{atau}\ x \leq 2\ \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | -2 \leq x \leq 2\ \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | -1 \leq x \leq 2\ \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | 0 \leq x \leq 2\ \right \} \\ \end{align}$
Dari $(f \circ g)(x)$ sanggup kita peroleh $f(x)$, dengan mensubtitusi $g^{-1}(x)$ ke $(f \circ g)(x)$. Pertama kita coba cari $g^{-1}(x)$ dari $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$. $\begin{align} y & = \dfrac{1}{\sqrt{x-1}} \\ y^{2} & = \dfrac{1}{x-1} \\ x-1 & = \dfrac{1}{y^{2}} \\ x & = \dfrac{1}{y^{2}} +1 \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{1}{x^{2}} +1 \\ g^{-1}(x) & = \dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \end{align}$ Berikut kita cari $f(x)$ dengan mensubstitusi $g^{-1}(x)$ ke $(f \circ g)(x)$ $\begin{align} f(x) & = (f \circ g)(g^{-1}(x)) \\ & = \dfrac{2\left (g^{-1}(x) \right )-1}{\left (g^{-1}(x) \right )-1} \\ & = \dfrac{2\left (\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \right )-1}{\left (\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}} \right )-1} \\ & = \dfrac{\dfrac{2+2x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{x^{2}}}{\dfrac{1+x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{ x^{2}}{x^{2}}} \\ & = \dfrac{2+x^{2}}{1} \\ & = 2+x^{2} \end{align}$ Diketahui $1 \leq f(x) \leq 6$, maka: $1 \leq 2+x^{2} \leq 6$ $1-2 \leq x^{2} \leq 6-2$ $-1 \leq x^{2} \leq 4$ Untuk $x^{2} \leq 4$ $\begin{align} x^{2}-4 & \leq 0 \\ (x+2)(x-2) & \leq 0 \\ -2 \leq x \leq 2 & \end{align}$ Untuk $x^{2} \geq -1$ selalu benar untuk setiap $x$ bilangan real. Irisan $-2 \leq x \leq 2$ dan $x \in \mathbb{R}$ yaitu $-2 \leq x \leq 2$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \left \{ x | -2 \leq x \leq 2\ \right \}$
Jika $f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$ dan $g(x)=\dfrac{ 1}{x-2}$, maka himpunan penyelesaian $\dfrac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} \lt 0$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ x \gt 2\ \right \} \\ (B)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 2 \lt x \lt 3 \right \} \\ (C)\ & \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 2 \right \} \\ (D)\ & \left \{ x | 1 \lt x \lt 2 \text{atau}\ x \gt 3\ \right \} \\ (E)\ & \left \{ x | 2 \lt x \lt 3 \text{atau}\ x \gt 3\ \right \} \\ \end{align}$
$\begin{align} f(x)g(x) & = \dfrac{1}{(x-1)^{2}} \times \dfrac{1}{x-2} \\ & = \dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} \end{align}$ $\begin{align} (f \circ g)(x) & = f \left( g(x) \right) \\ & = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{g(x)}-1 \right )^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{x-2}-1 \right )^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-2} \right )^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left (\dfrac{2-x}{x-2} \right )^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left (\dfrac{-(x-2)}{x-2} \right )^{2}} \\ & = \dfrac{1}{\left (-1 \right )^{2}}=1 \end{align}$ $\begin{align} \dfrac{f(x)g(x)}{(f \circ g)(x)} & \lt 0 \\ \dfrac{\dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)}}{1} & \lt 0 \\ \dfrac{1}{(x-1)^{2}(x-2)} & \lt 0 \\ (x-1)^{2}(x-2) & \lt 0 \\ x \lt 1\ \text{atau}\ &\ 1 \lt x \lt 2 \end{align}$ (*Jika belum sanggup mengerjakan pertidaksamaan dengan baik coba Matematika Dasar: Pertidaksamaan) $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \left \{ x | x \lt 1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt 2 \right \}$
Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang memiliki invers. Jika $f \left( g(x) \right)=2x-1$ dan $g(x+1)=x-3$, maka nilai $f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 14 \\ (B)\ & 9 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -9 \\ (E)\ & -14 \end{align}$
Dari $g(x+1)=x-3$ sanggup kita peroleh $g(x)$ dan $g^{-1}(x)$ yaitu $\begin{align} g(x+1) & = x-3 \\ g(x+1)& = x+1-4 \\ g(a)& = a-4 \\ g(x)& = x-4 \\ g^{-1}(x)& = x+4 \\ g^{-1}(3)& = 3+4=7 \end{align}$ Dari $f \left( g(x) \right)=2x-1$ sanggup kita peroleh $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ yaitu $\begin{align} f \left( g(x) \right) & = 2x-1 \\ f ( x-4) & = 2x-1 \\ f ( x-4) & = 2(x-4)+8-1 \\ f ( x-4) & = 2(x-4)+7 \\ f(a) & = 2a+7 \\ f(x) & = 2x+7 \\ f^{-1}(x)& = \dfrac{x-7}{2} \\ f^{-1}(3)& = \dfrac{3-7}{2}=-2 \end{align}$ $f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)= -2 \times 7=-14$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -14 $
Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang memiliki invers. Jika $f \left( g(x) \right)=x+1$ dan $g(x+2)=x-4$, maka nilai $f^{-1}(2) + g^{-1}(2)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Dari $g(x+1)=x-3$ sanggup kita peroleh $g(x)$ dan $g^{-1}(x)$ yaitu $\begin{align} g(x+2) & = x-4 \\ g(x+2)& = x+2-6 \\ g(a)& = a-6 \\ g(x)& = x-6 \\ g^{-1}(x)& = x+6 \\ g^{-1}(2)& = 2+6=8 \end{align}$ Dari $f \left( g(x) \right)=x+1$ sanggup kita peroleh $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ yaitu $\begin{align} f \left( g(x) \right) & = x+1 \\ f ( x-6) & = x+1 \\ f ( x-6) & = x-6+7 \\ f(a) & = a+7 \\ f(x) & = x+7 \\ f^{-1}(x)& = x-7 \\ f^{-1}(2)& = 2-7=-5 \end{align}$ $f^{-1}(2) + g^{-1}(2)= -5 + 8=3$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 3 $
Jika $g(x)=\dfrac{-ax-3}{-x-4}$ dan $h(x)=\dfrac{4x-3}{-x+a}$, nilai $(g \circ h)(3)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 2 \end{align}$
$\begin{align} (g \circ h)(x) & = g \left ( h(x) \right ) \\ & = \dfrac{-ah(x)-3}{-h(x)-4} \\ & = \dfrac{-a \left(\dfrac{4x-3}{-x+a} \right)-3}{-\left( \dfrac{4x-3}{-x+a}\right)-4} \\ & = \dfrac{ \dfrac{-4ax+3a}{-x+a} -3}{ \dfrac{-4x+3}{-x+a}-4} \\ & = \dfrac{ \dfrac{-4ax+3a}{-x+a} - 3 \left( \dfrac{-x+a}{-x+a} \right)}{ \dfrac{-4x+3}{-x+a}-4 \left( \dfrac{-x+a}{-x+a} \right)} \\ & = \dfrac{ -4ax+3a + 3x-3a }{ -4x+3 +4x-4a } \\ & = \dfrac{ -4ax+ 3x }{ 3 -4a } \\ & = \dfrac{ x(3-4a ) }{ 3 -4a } \\ & = x \end{align}$ Karena $(g \circ h)(x) = x$ maka $g(x)$ dan $h(x)$ saling invers, sehingga $(g \circ h)(x) = x$ dan $(g \circ h)(3) = 3$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 3$
Jika $f(x+1)=\dfrac{2x-7}{x+1}$, maka... $\begin{align} (1)\ & f(-1)=11 \\ (2)\ & f^{-1}(-1)=3 \\ (3)\ & (f \circ f)^{-1}(-1)=-9 \\ (4)\ & \dfrac{1}{f^{-1}(-2)}=\dfrac{4}{9} \end{align}$
Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $g(x)=\dfrac{5x}{x+1}$. Jika $h$ yaitu funsgi sehingga $\left ( g \circ h \right )(x)=x-2$ maka $\left ( h \circ f \right )(x)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{2x-3}{2x+8} \\ (B)\ & \dfrac{2x-3}{-2x+6} \\ (C)\ & \dfrac{2x-3}{2x-8} \\ (D)\ & \dfrac{2x-3}{-2x+8} \\ (E)\ & \dfrac{2x-3}{-2x-8} \end{align}$
Catatan calon guru wacana Fungsi Komposisi yang mungkin membantu yaitu;
Jika $f(x)=3^{x-1}$ maka $f^{-1}(81)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Catatan calon guru wacana Fungsi Komposisi yaitu;
Daerah asal fungsi $h(x)= \sqrt{ \dfrac{x^{2}-3x+2}{x+2}}$ supaya terdefenisi adalah... $(A)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(B)\ \left \{x | -2 \leq x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 2,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(C)\ \left \{x | -2 \lt x \leq 1\ \text{atau}\ x \geq 1,\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(D)\ \left \{x | x \lt -2\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ x \in \mathbb{R} \right \}$ $(E)\ \left \{x | x \leq -2\ \text{atau}\ 1 \leq x \leq 2\ x \in \mathbb{R} \right \}$
Domain (daerah asal) fungsi $f(x)$ supaya $f(x)$ terdefinisi maksudnya yaitu batasan nilai $x$ supaya fungsi $f(x)$ memiliki nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ memiliki penyelesaian". Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan. Untuk fungsi pecahan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, supaya fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya yaitu penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$. $ \begin{align} x+2 & \neq 0 \\ x & \neq -2 \end{align} $ Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, supaya fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya yaitu yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geq 0$. $ \begin{align} \dfrac{x^{2}-3x+2}{x+2} & \geq 0 \\ \dfrac{(x-2)(x-1)}{x+2} & \geq 0 \end{align} $ Untuk mencari himpunan penyelesaian pada pertidaksamaan pecahan beliau atas, ibarat gambar berikut:
Fungsi $f:R \rightarrow R$ dan $g: R \rightarrow R$. Jika $g(x)=x-1$ dan $(fog)(x)=x^{3}-4x$, nilai dari $f(2)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 9 \\ (B)\ & 13 \\ (C)\ & 15 \\ (D)\ & 17 \\ (E)\ & 25 \end{align}$
Berdasarkan gosip pada soal Fungsi Komposisi di atas, diketahui $(fog)(x)=x^{3}-4x$ maka: $ \begin{align} f \left ( g(x) \right ) & = x^{3}-4x \\ f \left ( x-1 \right ) & = x^{3}-4x \\ \hline \text{untuk}\ x=3 \\ \hline f \left ( 3-1 \right ) & = 3^{3}-4(3) \\ f \left ( 2 \right ) & = 27-12 \\ & = 15 \\ \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 15$
Diketahui fungsi $f(x)=\sqrt{5x+1}$, dengan $x \geq -\dfrac{1}{5}$. Jika $f^{-1}(x)$ yaitu invers dari fungsi $f(x)$, nilai dari $f^{-1}(3)=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{4}{5} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & \dfrac{8}{5} \\ (E)\ & 2 \end{align}$
Berdasarkan gosip pada soal Fungsi Invers di atas, diketahui $f(x)=\sqrt{5x+1}$ maka berlaku: $ \begin{align} y & = \sqrt{5x+1} \\ y^{2} & = 5x+1 \\ y^{2}-1 & = 5x \\ \dfrac{y^{2}-1}{5} & = x \\ \hline f^{-1}(x) &=\dfrac{x^{2}-1}{5} \\ f^{-1}(3) &=\dfrac{3^{2}-1}{5} \\ &=\dfrac{8}{5} \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \dfrac{8}{5}$
Jika fungsi $\sqrt{ \dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12}}$ terdefenisi untuk $x \leq a$ atau $x \geq a$, maka nilai $a+b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -5 \\ (E)\ & -8 \end{align}$
Agar sebuah $f(x)$ terdefinisi maksudnya yaitu batasan nilai $x$ supaya fungsi $f(x)$ memiliki nilai real atau sering juga disebut hanya "agar fungsi $f(x)$ memiliki penyelesaian". Fungsi pada soal terdiri atas dua fungsi yaitu, fungsi bentuk akar dan fungsi pecahan. Untuk fungsi pecahan $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$, supaya fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya yaitu penyebut tidak sama dengan nol $v(x) \neq 0$. Pada soal di atas penyebut yaitu $y=x^{2}+x+12$ alasannya yaitu $a \gt 0$ dan $D \lt 0$ sehingga fungsi selalu bernilai positif untuk setiap $x$ bilangan real atau definit positif. Untuk fungsi bentuk akar $f(x)=\sqrt{u(x)}$, supaya fungsi pecahan terdefenisi (mempunyai nilai real) syaratnya yaitu yang di dalam akar harus lebih dari atau sama dengan nol $u(x) \geq 0$. Karena penyebut yaitu definit positif, sehingga supaya fungsi $\dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12} \geq 0$ kita cukup mencari batasan nilai $x$ untuk $ x^{2}-8x+5 \geq 0$. $ \begin{align} x^{2}-8x+5 & \geq 0 \\ x_{1,2} & = \dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ & = \dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^{2}-4(1)(5)}}{2(1)} \\ & = \dfrac{8 \pm \sqrt{64-20}}{2} \\ & = \dfrac{8 \pm \sqrt{44}}{2} \\ & = \dfrac{8 \pm 2 \sqrt{11}}{2} \\ x_{1}& = 4 + \sqrt{11} \\ x_{2}& = 4 - \sqrt{11} \end{align} $ Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat $x^{2}-8x+5 \geq 0$ yaitu Himpunan penyelesaian $\sqrt{ \dfrac{x^{2}-8x+5}{x^{2}+x+12}}$, yaitu $x \leq 4 - \sqrt{11}$ atau $x \geq 4 + \sqrt{11}$, sehingga nilai $a+b= 4 - \sqrt{11}+4 + \sqrt{11}=8$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 8$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
EmoticonEmoticon
![Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI)]( "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers (FKFI)")
EmoticonEmoticon