Salah satu penerapan atau aplikasi turunan yaitu dalam bidang fisika. Lebih khususnya untuk memilih kecepatan dan percepatan sebuah benda yang bergerak.
Jika perpindahan benda dinyatakan dalam fungsi S(t). Maka kecepatan benda yaitu Turunan pertama dari fungsi perpindahan tersebut terhadap waktu. Selanjutnya, berbicara perihal percepatan merupakan turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu. Dengan lain kalimat, percepatan yaitu turunan ke dua dari fungsi perpindahan. Agar lebih mudah, Anda dapat perhatikan rumus hubungan Perpindahan (S), Kecepatan (v) dan Percepatan (a) di bawah ini. $$Perpindahan \rightarrow S(t) \\ Kecepatan \rightarrow v(t)=S'(t) \\ Percepatan \rightarrow a(t)=v'(t)=S"(t)$$
Sekarang kita akan lihat pola soal dan pembahasan perihal mencari percepatan, kecepatan dengan memakai turunan ini.
Soal 1. Perpindahan benda yang bergerak mengikuti persamaan $$ S(t) =t^3-4t^2+20$$ dimana t dalam detik dan S dalam meter.
i-Tentukan fungsi kecepatan dan percepatan benda tersebut
ii-Hitunglah kecepatan dan percepatan benda dikala 3 detik
iii -Kapan benda itu berhenti
iv-Pada jarak berapa benda tersebut berhenti
Pembahasan: $$ (i) \text {fungsi kecepatan dan percepatan} \\ S(t) =t^3-4t^2+20 \\ v(t) = s^\prime (t) = 3t^2-6t \\ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t -6 \\ \\ (ii) \text {kecepatan dan percepatan dikala t=3} \\v(t) = 3t^2 - 6t \rightarrow v(3) = 3.3^2 - 6.3 = 9 m/s \\ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t - 6 \rightarrow a(3) = 6.3 -6 = 12m/s^2 \\ \\ (iii) \text {Benda Berhenti Saat v=0} \\ v(t) = 0 \rightarrow 3t^2 6t = 0 \rightarrow 3t(t-2) = 0 \rightarrow t = 0 \vee t = 2 \\ \\ (iv) \text {Benda berhenti dikala t=2} \\ S(t) =t^3-4t^2+20 \\ S(2) = 2^3-4.2^2+20 = 12 m$$
i-Tentukan fungsi kecepatan dan percepatan benda tersebut
ii-Hitunglah kecepatan dan percepatan benda dikala 3 detik
iii -Kapan benda itu berhenti
iv-Pada jarak berapa benda tersebut berhenti
Pembahasan: $$ (i) \text {fungsi kecepatan dan percepatan} \\ S(t) =t^3-4t^2+20 \\ v(t) = s^\prime (t) = 3t^2-6t \\ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t -6 \\ \\ (ii) \text {kecepatan dan percepatan dikala t=3} \\v(t) = 3t^2 - 6t \rightarrow v(3) = 3.3^2 - 6.3 = 9 m/s \\ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t - 6 \rightarrow a(3) = 6.3 -6 = 12m/s^2 \\ \\ (iii) \text {Benda Berhenti Saat v=0} \\ v(t) = 0 \rightarrow 3t^2 6t = 0 \rightarrow 3t(t-2) = 0 \rightarrow t = 0 \vee t = 2 \\ \\ (iv) \text {Benda berhenti dikala t=2} \\ S(t) =t^3-4t^2+20 \\ S(2) = 2^3-4.2^2+20 = 12 m$$
Soal 2. Sebuah kerikil dilemparkan vertikal dengan kecepatan awal 80m/s. Bila diasumsikan arah positif ke atas dan persamaan tinggi $ h(t) = -16t^2 + 80t \, $ dimana t dalam detik dan h dalam meter. Hitunglah:
i-Ketinggian, Kecepatan dan percepatan kerikil sesudah 2 detik
ii- waktu yang diperlukan untuk hingga di titik tertinggi
iii-lama waktu benda di udara
iv- Kecepatan bola dikala menyentuh tanah
Pembahasan:
Dalam hal ini ketinggian pada gerak vertikal sama dengan jarak pada gerak horizontal. Kita dapat anggap h sebagai pengganti S pada rumusan di atas.
Sekarang kita cari persamaan kecepatan dan percepatan kerikil terlebih dahulu, $$ h(t) = -16t^2 + 80t \\ v(t) = s^\prime (t) = -32t + 80 \\ a(t) = h^{\prime \prime } (t) = -32 $$
i) Kita lanjutkan menghitung kecepatan dan percepatan dikala t=2 detik, $$ h(2) = -16t^2 + 80.2 =96 m. \\ v(2) = -32.2 + 80 = 16 \\ a(2) = -32 , \text { tanda negatif menawarkan benda diperlambat}$$
ii) Pada titik tertinggi, kecepatan kerikil =0. Bisa kita tulis $$ v(t)=0 \\ -32t + 80 =0 \\ t = 2,5 detik$$
iii) Lama benda di udara yaitu 2 kali usang benda hingga ke titik tertinggi. Perhatikan ilustrasi berikut,
 |
| Waktu untuk kawasan merah, benda naik. Karena untuk turun kawasan biru, juga sama besar dengan kawasan merah, artinya waktu yang mereka butuhkan juga sama |
iv) Kecepatan Benda dikala menyentuh tanah. Karena benda menyentuh tanah lagi dalam waktu 5 detik, kita tinggal mensubtitusikan t=5 pada persamaan kecepatan. $$ v(t)=-32t + 80 \\ v(5) = -32.5+80 = 80 m/s$$ Sumber http://www.marthamatika.com/
EmoticonEmoticon