2 kumpulan materi soal dan jawaban lengkap: lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran Persamaan Garis Singgung Lingkaran Dari Titik Pada Lingkaran

Lingkaran yaitu kawasan kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar [sebidang]. Jarak yang sama disebut jari-jari bulat dan sebuah titik tertentu disebut sentra lingkaran. Perkenalan singkat ihwal lingkarannya mungkin sudah cukup, alasannya yang akan kita diskusikan disini yaitu persamaan garis singgung bulat dari titik yang terletak pada lingkaran.
Permasalahan ini juga yang ditanyakan salah satu pelajar Indonesia yang sedang mempelajari ihwal persamaan garis singgung bulat dari titik pada bulat di salah satu Forum Matematika.

Mari berdiskusi:

Diketahui titik sentra bulat $O (a,b)$ dan sebuah titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ pada lingkaran
Tentukan Persamaan garis singgung g yang melalui titik $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$

Penyelesaian:
Misal persamaan garis adalah
$ g:\ y-y_{1}=m\left ( x-x_{1} \right )$
dan persamaan bulat adalah
$ L:\ \left (x-a \right )^{2}+\left (y-b \right )^{2}=r^{2} $
OP yaitu jari-jari (r), dan garis OP melalui O (a,b) dan $ P\ \left ( x_{1},y_{1} \right )$ sehingga persamaannya sanggup kita bentuk sebagai berikut:
$ \frac{(y-y_1)}{(y_2-y_1 )}=\frac{(x-x_1)}{(x_2-x_1 )}$
$ \frac{(y-y_1)}{(b-y_1 )}=\frac{(x-x_1)}{(a-x_1 )}$
$(y-y_1 )(a-x_1 )=(x-x_1 )(b-y_1 )$
$ ay-x_1 y-ay_1+x_1 y_1=bx-x y_1-bx_1+x_1 y_1$
$ (a-x_1 )y=(b-y_1 )x-bx_1+x_1 y_1+ay_1-x_1 y_1$
Gradient OP, $ m_{OP}=\frac{(b-y_1)}{(a-x_1 )} $
Garis OP dan garis g saling tegak lurus sehingga:
$ m_{OP}\times m_{g}=-1 $
$ \frac{(b-y_1)}{(a-x_1 )}\times m_{g}=-1 $
$ m_{g}=\frac{x_1-a}{b-y_1}$
Persamaan garis g adalah
$ y-y_1 = m_g (x-x_1)$
$ y-y_1=\frac{x_1-a}{b-y_1} (x-x_1)$
$ (y-y_1 )(b-y_1 )=(x_1-a )(x-x_1 )$
$ by-yy_1-by_1+y_1^2=xx_1-x_1^2-ax+ax_1$
$ by-yy_1-by_1+y_1^2-xx_1+x_1^2+ax-ax_1=0$
$ x_1^2-xx_1+ax-ax_1+y_1^2-yy_1+by-by_1=0$
$ x_1^2-ax_1+y_1^2-by_1=xx_1-ax+yy_1-by . . .(1)$

Titik $ P (x_1,y_1 )$ pada bulat sehingga diperoleh persamaan:
$ (x_1-a)^2+(y_1-b)^2=r^2$
$ x_1^2-2ax_1+a^2+y_1^2-2by_1+b^2=r^2$
$ x_1^2-ax_1-ax_1+a^2+y_1^2-by_1-by_1+b^2=r^2$
$ x_1^2-ax_1+y_1^2-by_1=r^2-b^2-a^2+ax_1+by_1 . . .(2)$

Dari persamaan (1)dan (2) diperoleh:
$ xx_1-ax+yy_1-by=r^2-b^2-a^2+ax_1+by_1$
$ xx_1-ax+yy_1-by+b^2+a^2-ax_1-by_1=r^2$
$ xx_1-ax_1-ax+a^2+yy_1-by-by_1+b^2=r^2$
$ (x-a) x_1+(a-x)a+(y-b)y_1+(b-y)b=r^2$
$ (x-a) x_1-(x-a)a+(y-b) y_1-(y-b)b=r^2$
$ (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$

Kesimpulan:
Persamaan garis singgung bulat $ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $ dari sebuah titik $ (x_1,y_1 ) $ pada bulat yaitu :
$ (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2 $

Jika Pusat bulat (0,0) maka kita substitusi nilai a=0 dan b=0 maka persamaan garis singgung bulat $ x^2+y^2=r^2 $ dari sebuah titik $ (x_1,y_1 ) $ pada bulat yaitu :
$(x)(x_1 )+(y)(y_1 )=r^2$

Untuk Persamaan Lingkaran secara umum $ x^2+y^2+Ax+By+C=0 $
kita ketahui bahwa: $ a=-\frac{1}{2} A\ ;\ b=-\frac{1}{2} B\ ;\ r^{2}=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}- C $
nilai $ a,\ b,\ dan\ r^2$ disubstitusikan ke $ (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2 $
Sehingga kita peroleh persamaan:
$(x+\frac{1}{2} A)(x_1+\frac{1}{2} A)+(y+\frac{1}{2} B)(y_1+\frac{1}{2} B)=\frac{1}{4} A^2+\frac{1}{4} B^2-C $

$ xx_1+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+\frac{1}{4} A^2+yy_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1+\frac{1}{4} B^2=\frac{1}{4} A^2+\frac{1}{4} B^2-C $

$ xx_1+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+\frac{1}{4} A^2+yy_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1$$+\frac{1}{4} B^2-\frac{1}{4} A^2-\frac{1}{4} B^2+C=0 $

$ xx_1+\frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+yy_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1+C=0 $

Persamaan garis singgung bulat $ x^2+y^2+Ax+By+C=0 $ dari sebuah titik $ (x_1,y_1 )$ pada bulat yaitu :
$ xx_1+ yy_1+ \frac{1}{2} Ax+\frac{1}{2} Ax_1+\frac{1}{2} By+\frac{1}{2} By_1+C=0 $

Dikoreksi kalau ada yang salah dan untuk mend0wnl0ad file Download Persamaan Garis Singgung Lingkaran😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Mari kita coba mencar ilmu geogebra dasar, menggambar grafik fungsi kuadrat;

Sumber http://www.defantri.com

Turunan fungsi alasannya yaitu terkait dengan gradien garisgaris singgung parabolagaris singgung lingkaranBentuk Umum Persamaan Garis

$y=mx+n$ dengan gradien (kemiringan) yaitu $m$

$ax+by+c=0$ dengan gradien (kemiringan) yaitu $m=-\dfrac{a}{b}$

atatan calon guru yang kita diskusikan dikala ini akan membahas wacana Matematika Dasar Per Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Garis

Gradien Garis $(m)$

Saat garis $g$ melalui titik $A(x_{1},y_{1})$ dan $B(x_{2},y_{2})$ maka $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Saat garis $g$ memotong sumbu $x$ di $(b,0)$ dan memotong sumbu $y$ di $(0,a)$ maka $m=-\dfrac{a}{b}$

Saat garis $g$ membentuk sudut sebesar $\alpha$ dengan sumbu $x$ positif maka $m=tan\ \alpha$

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ yaitu turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$

Hubungan dua garis terhadap gradien

$m_{1}=m_{2}$ dikala $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ atau dikala $g_{1} \parallel g_{2}$ maka $m_{1}=m_{2}$;

$m_{1} \cdot m_{2}=-1$ dikala $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ atau dikala $g_{1} \perp g_{2}$ maka $m_{1} \cdot m_{2}=-1$;

$tan\ \alpha=\left| \dfrac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} \cdot m_{2}} \right|$ dikala $g_{1}$ dan $g_{2}$ membentuk sudut $\alpha$

Persamaan Garis

Jika garis $g$ melalui titik $(0,0)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ yaitu $y=mx$;

Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ yaitu $y-y_{1}=m(x-x_{1})$;

Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka garis $g$ yaitu $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$;

Jarak Titik ke Garis

Jarak titik $A(x_{1},y_{1})$ dengan titik $B(x_{2},y_{2})$ yaitu $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ yaitu $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$

1. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 (*Soal Lengkap)Jika garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ di titik $P(a,b)$ dengan $a \lt 0 $ memotong sumbu-y di titik $Q(0,-2)$, maka $a+b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 7-4\sqrt{2} \\
(B)\ & 2-2\sqrt{2} \\
(C)\ & 1-2\sqrt{2} \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & -8
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ melalui titik $P(a,b)$ sehingga berlaku $b=\dfrac{1}{4}a^{2}-1$ atau $4b+4=a^{2}$.

Garis singgung kurva melalui titik $P(a,b)$ dan $Q(0,-2)$ maka garis singgung adalah;
$\begin{align}
\dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{0-a} \\
\dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{-a} \\
-ay+ab = & -2x+2a-bx+ab \\
-ay+2x+bx-2a = & 0 \\
-ay+(2+b)x-2a = & 0 \\
m = & \dfrac{2+b}{a} \\
\end{align}$
Karena garis merupakan garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ maka gradien $m=y'=\dfrac{1}{2}x$ dan gradien garis singgung kurva di titik $P(a,b)$ yaitu $m=\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}a$.

Dari kedua nilai $m$ di atas kita peroleh persamaan, sebagai berikut;
$\begin{align}
\dfrac{1}{2}a = & \dfrac{2+b}{a} \\
\dfrac{1}{2}a^{2} = & 2+b \\
\dfrac{1}{2}(4b+4) = & 2+b \\
2b+2 = & 2+b \\
b = & 0
\end{align}$
Untuk $b=0$ maka $a^{2}=4b+4=4$, nilai $a=-2$ atau $a=2$ (TM).

Nilai $a+b=-2+0=-2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -2$

2. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (*Soal Lengkap)Suatu garis yang melalui titi $(0,0)$ membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut $(1,0),(5,0),(1,12)$ dan $(5,12)$ menjadi dua bab yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & \dfrac{12}{5} \\
(E)\ & 3
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Suatu garis yang membagi persegi panjang jadi dua bab yang sama yaitu melalui titik $(0,0)$ maka yaitu $y=mx$. Jika kita gambarkan kurang lebih menyerupai berikut ini;

Persegi panjang yang terbentuk luasnya yaitu $4 \times 12=48$ satuan luas dan luas trapesium yaitu setengah luas persegi panjang yaitu $24$ satuan luas.
$\begin{align}
24 & = \dfrac{1}{2}\ jumlah\ garis\ sejajar\ \cdot t \\
24 & = \dfrac{1}{2}\ (m+5m)(5-1) \\
24 & = 2(6m) \\
24 & = 12m \\
m & = 2 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$

3. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 (*Soal Lengkap)Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-8y-9=0 \\
(B)\ & x+4y+3=0 \\
(C)\ & 2x-8y-10=0 \\
(D)\ & x+8y+7=0 \\
(E)\ & x-4y-5=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ kita misalkan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, sehingga berlaku
$y-(-1)=m(x-1)$
$y+1=mx-m$
$y=mx-m-1$

Karena garis $y=mx-m-1$ menyinggung kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ maka diskriminan persamaan kuadrat komplotan yaitu nol $(D = 0)$;
$\begin{align}
y = & y \\
mx-m-1 = & \dfrac{x}{2-2x} \\
(mx-m-1)(2-2x) = & x \\
2mx-2m-2-2mx^{2}+2mx+2x -x = & 0 \\
-2mx^{2}+4mx+x-2m-2 = & 0 \\
2mx^{2}-4mx-x+2m+2 = & 0 \\
2mx^{2}+(-4m-1)x+2m+2 = & 0
\end{align}$
$\begin{align}
D = & b^{2}-4ac \\
0 = & (-4m-1)^{2}-4(2m)(2m+2) \\
0 = & 16m^{2}+8m+1 -16m^{2}-16m \\
0 = & -8m+1 \\
8m = & 1 \\
m = & \dfrac{1}{8}
\end{align}$

Persamaan garis yaitu $y=mx-m-1$ sehingga $y=\dfrac{1}{8} x-\dfrac{1}{8}-1$ atau $8y=x-9$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ x-8y-9=0$

4. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 (*Soal Lengkap)Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang menciptakan segitiga $PQR$ sma sisi adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2\sqrt{3} \\
(B)\ & \sqrt{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}\sqrt{3}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ yaitu $m=y'=-2x$,
Pada dikala garis singgung melalui titik $P(-a,b)$ dan $R$ maka $m_{PR}=2a$
Pada dikala garis singgung melalui titik $Q(a,b)$ dan $R$ maka $m_{QR}=-2a$

Garis singgung $PR$ dan $QR$ berpotongan dan membentuk segitiga sama sisi maka sudut yang dibuat oleh $PR$ dan $QR$ masing-masing terhadap sumbu-$x$ positif yaitu $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$, sehingga gradien garis $PR$ yaitu $m_{PR}=tan\ 60^{\circ}=\sqrt{3}$.

Gradien $PR$ yaitu $m_{PR}=2a$ dan $m_{PR}=\sqrt{3}$ maka $2a=\sqrt{3}$ atau $a=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

5. Soal SBMPTN 2015 Kode 605 (*Soal Lengkap)Jika garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ dan menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$, maka garis $g$ emeotong sumbu-$y$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (0,-4) \\
(B)\ & (0,-1) \\
(C)\ & (0,0) \\
(D)\ & (0,1) \\
(E)\ & (0,4)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis yang sejajar memiliki gradien yang sama, dan garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ maka gradien garis $g$ yaitu $m_{g}=2$.

Diketahui juga bahwa garis $g$ menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$ maka $m_{g}=y'=2x+4$.

Dari nilai $m_{g}=y'=2x+4$ dan $m_{g}=2$ sanggup kita tentukan nilai $x$ dan $y$ dikala $m=2$ yaitu
$\begin{align}
m_{g} & = m_{g} \\
2x+4 & = 2 \\
2x & =-2 \\
x & =-1 \\
y & = x^{2}+4x+5 \\
y & = (-1)^{2}+4(-1)+5 \\
y & = 1-4+5 \\
y & = 2
\end{align}$

Garis $g$ yaitu garis yang melalui titik $(-1,2)$ dan gradien $m=2$, maka persamaan garis $g$ adalah...
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 2(x-(-1)) \\
y-2 & = 2x+2 \\
y-2x & = 4
\end{align}$
Garis $g: y-2x = 4$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,4)$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ (0,4)$

6. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di titik $P$. Persamaan garis singgung kurva di titik $P$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-9y-9=0 \\
(B)\ & x-9y+9=0 \\
(C)\ & 9x-y-9=0 \\
(D)\ & 9x-y+9=0 \\
(E)\ & 9x+y-9=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di $P$ maka berlaku
$\begin{align}
3x-\dfrac{3}{x^{2}} & = 0 \\
3x^{3}-3 & = 0 \\
x^{3}-1 & = 0 \\
(x-1)(x^{2}+x+1) & = 0
\end{align}$
Salah satu nilai $x$ yang memenuhi yaitu $x=1$ maka titik $P$ yaitu $(1,0)$

Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ yaitu turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga sanggup kita peroleh:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
& = 3+\dfrac{6}{x^{3}} \\
m & = 3+\dfrac{6}{(1)^{3}} \\
m & = 9
\end{align}$

Garis singgung kurva di titik $P(1,0)$ adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-0 & = 9(x-1) \\
y & = 9x-9
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9x-y-9=0$

7. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)Titik $P$ dan $Q$ masing-masing memiliki absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$. Jika garis $g$ tegak lurus $PQ$ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik berordinat...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}+1 \\
(C)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\
(D)\ & \dfrac{p^{2}-1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}+1
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Karena absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$ maka titik $P$ yaitu $(2p, 4p^{2}-1)$ dan titik $Q$ yaitu $(-3p, 9p^{2}-1)$.

Gradien garis $PQ$ yaitu
$\begin{align}
m_{PQ} & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
& = \dfrac{9p^{2}-1-(4p^{2}-1)}{-3p-(2p)} \\
& = \dfrac{9p^{2}-1-4p^{2}+1 }{-3p-2p } \\
& = \dfrac{5p^{2} }{5p } \\
& = p
\end{align}$

Garis $g$ kita misalkan $g:y=mx+n$ dan garis $PQ$ tegak lurus maka
$\begin{align}
m_{PQ} \cdot m_{g} & = -1 \\
p \cdot m_{g} & = -1 \\
m_{g} & = -\dfrac{1}{p }
\end{align}$

Diketahui juga bahwa garis $g:y=-\dfrac{1}{p}x+n$ menyinggung $y=x^{2}-1$ maka
$\begin{align}
-\dfrac{1}{p}x+n & = x^{2}-1 \\
x^{2}-1 +\dfrac{1}{p}x-n & = 0 \\
x^{2} +\dfrac{1}{p}x-n-1 & = 0 \\
D & = 0 \\
b^{2}-4ac & = 0 \\
\dfrac{1}{p^{2}}-4(1)(-n-1) & = 0 \\
\dfrac{1}{p^{2}}+4n+4 & = 0 \\
4n & = -\dfrac{1}{p^{2}}-4 \\
n & = -\dfrac{1}{4p^{2}}-1
\end{align}$
Persamaan garis $g$ yaitu $y=-\dfrac{1}{p}x -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$

8. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)Garis $l$ memiliki gradien $2$. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-x^{2}+px+l$ di $x=1$, maka persamaan $l$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=2x-3 \\
(B)\ & y=2x-1 \\
(C)\ & y=2x \\
(D)\ & y=2x+2 \\
(E)\ & y=2x+4
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis $l$ yaitu $2$, maka sanggup kita misalkan garis $l$ yaitu $l: y=2x+n$

Karena garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+px+1$ di $x=1$ maka:
$\begin{align}
m_{l} & = y' \\
2 & = -2x+p \\
2 & = -2+p \\
4 & = p
\end{align}$

Garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+4x+1$ di $x=1$ maka $y=-(1)^{2}+4(1)+1=4$.

Untuk $x=1$ nilai $y=4$ maka:
$\begin{align}
y & = 2x+n \\
4 & = 2(1) + n \\
2 & = n \\
y & = 2x+n \\
y & = 2x+2
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ y=2x+2$

9. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal Lengkap)Jika garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 2 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 4
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ yaitu $m=4-2x=4-2(1)=2$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-3 & = 2(x-1) \\
y-3 & = 2x-2 \\
y & = 2x+1
\end{align}$

Karena $y = 2x+1$ juga merupakan garis singgung $y=x^{2}-6x+k$ maka
$\begin{align}
m & = y' \\
2 & = 2x-6 \\
8 & = 2x \\
x & = 4 \\
y & = 2x+1 \\
y & = 2(4)+1=9 \\
y & = x^{2}-6x+k \\
9 & = 4^{2}-6(4)+k \\
9 & = 16-24+k \\
k & = 9+8=17
\end{align}$

Nilai $5-\sqrt{k-1}= 5-\sqrt{17-1}=1$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 1$

10. Soal UMB 2012 Kode 270 (*Soal Lengkap)Garis lurus dengan gradien positif memotong parabola $y=(x-2)^{2}$ di titik $P$ dan $Q$. Jika $T(3,5)$ yaitu titik tengah ruas garis $PQ$, maka garis $PQ$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=4x-7 \\
(B)\ & y=3x-4 \\
(C)\ & y=2x-1 \\
(D)\ & y=x+2 \\
(E)\ & y=\dfrac{1}{2}x+3\dfrac{1}{2}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Misal titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$.

Titik $T(3,5)$ yaitu titik tengah $PQ$ sehingga berlaku
$3=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$ atau $ x_{1}+x_{2}=6$ dan
$5=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}$ atau $ y_{1}+y_{2}=10$

Karena titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$ terletak pada parabola $y=x^{2}-4x+4$ sehingga berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
x_{1}^{2}-4x_{1}+4 = y_{1} & \\
x_{2}^{2}-4x_{2}+4 = y_{2} & (+) \\
\hline
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 = y_{1}+y_{2} & \\
(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(6)+8 = 10 & \\
6^{2}-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\
36-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\
2x_{1}x_{2} = 10 & \\
x_{1}x_{2} = 5 & \\
x_{1} = 1 & \\
x_{2} = 5 &
\end{array} $

$\begin{align}
y_{2} & = x_{2}^{2}-4x_{2}+4 \\
& = 5^{2}-4(5)+4 \\
& = 9 \\
y_{1} & = x_{1}^{2}-4x_{1}+4 \\
& = 1^{2}-4(1)+4 \\
& = 1
\end{align}$

Persamaan garis $PQ$
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
m & = \dfrac{5-1}{3-1} =2 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-1 & = 2(x-1) \\
y & = 2x-2+1 \\
y & = 2x-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ y=2x-1$

11. Soal SIMAK UI 2011 Kode 213 (*Soal Lengkap)Titik pada garis $y=3x+10$ yang terdekat dengan titik $(3,8)$ yaitu titik $P$. Jarak titik $P$ dan $(3,8)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{11}{10} \\
(B)\ & \dfrac{11\sqrt{10}}{10} \\
(C)\ & \dfrac{91}{10} \\
(D)\ & \dfrac{91\sqrt{10}}{10} \\
(E)\ & \dfrac{121\sqrt{10}}{10}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik $P$ terletak pada garis $y=3x+10$ dan merupakan jarak yang terdekat dengan titik $(3,8)$, sehingga jarak titik $P$ dengan titik $(3,5)$ merupakan jarak titik $(3,5)$ dengan garis $y=3x+10$.

Jarak titik $(x_{1}, y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ yaitu $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$
Jarak titik $(3,5)$ dengan garis $-3x+y-10=0$ adalah:
$\begin{align}
d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{(-3)(3)+(1)(8)-10}{\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{-9+8-10}{\sqrt{9+1}} \right| \\
& = \left| \dfrac{-11}{\sqrt{10}} \right| \\
& = \dfrac{11}{10}\sqrt{10}
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{11}{10}\sqrt{10}$

12. Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 (*Soal Lengkap)Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ memiliki gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$. Ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ di titik yang sama. Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ dari ketiga garis yaitu $\dfrac{1}{9}$, maka persamaan garis $l_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 117x-39=4 \\
(B)\ & 117x+39=4 \\
(C)\ & 117x-39=-4 \\
(D)\ & 39x+117y=4 \\
(E)\ & 39x-117y=-4
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ memiliki gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$ dan ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ di titik yang sama sehingga sanggup kita misalkan:

$l_{1}: y=2x+a $
$l_{2}: y=3x+a $
$l_{3}: y=4x+a $

Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ $(y=0)$ dari ketiga garis yaitu $\dfrac{1}{9}$, maka sanggup kita tuliskan:

Untuk $l_{1}: y=2x+a $ dikala $y=0$ maka berlaku $0=2x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{2}a$
Untuk $l_{2}: y=3x+a $ dikala $y=0$ maka berlaku $0=3x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{3}a$
Untuk $l_{3}: y=4x+a $ dikala $y=0$ maka berlaku $0=4x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{4}a$
$\dfrac{1}{9}=-\dfrac{1}{2}a- \dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{4}a$
$\dfrac{1}{9}=-\dfrac{6+4+3}{12}a$
$\dfrac{1}{9}=-\dfrac{13a}{12} $
$a=-\dfrac{12}{9 \cdot 13}= -\dfrac{4}{39}$

Persamaan $l_{2}: y=3x+a $ yaitu $l_{2}: y=3x-\dfrac{4}{39} $ atau $39y=117x-4$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 117x-39=4$

13. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}-4x+5$. Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)$ dan garis $y=5$ membentuk sebuah segitiga dengan garis $y=5$. Maka titik potong kedua garis singgung tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (-3,2) \\
(B)\ & (-2,3) \\
(C)\ & (2,-3) \\
(D)\ & (3,-2) \\
(E)\ & (3,2)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)=x^{2}-4x+5$ dan garis $y=5$, maka titik potong tersebut adalah:
$\begin{align}
y & = x^{2}-4x+5 \\
5 & = x^{2}-4x+5 \\
0 & = x^{2}-4x \\
0 & = (x-4)x \\
x & = 4 \\
x & = 0 \\
\end{align}$
Dua buah garis singgung menyinggung $f(x)$ di titik $(0,5)$ dan $(4,5)$ dengan $m=2x-4$.

Persamaan garis singgung pada $(0,5)$
$\begin{align}
m & = 2x-4=-4 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-5 & = -4(x-0) \\
y-5 & = -4x \\
y+4x & = 5
\end{align}$

Persamaan garis singgung pada $(4,5)$
$\begin{align}
m & = 2x-4=4 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-5 & = 4(x-4) \\
y-5 & = 4x-16 \\
y-4x & = -11
\end{align}$

Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
y+4x = 5 & \\
y-4x = -11 & (+) \\
\hline
2y = -6 & \\
y = -3 & \\
y+4x = 5 & \\
-3+4x = 5 & \\
4x = 5+3 & \\
x = 2
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ (2,-3)$

14. Soal UM UGM 2010 Kode 461 (*Soal Lengkap)Garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ berpotongan di $(a,b)$. Nilai $a-b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Dua buah garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ meiliki gradien $m=4x^{3}-2x$.

Persamaan garis singgung pada $(1,0)$
$\begin{align}
m = 4x^{3}-2x & = 4(1)^{3}-2(1)=2 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-0 & = 2(x-1) \\
y & = 2x-2
\end{align}$

Persamaan garis singgung pada $(-1,0)$
$\begin{align}
m = 4x^{3}-2x & = 4(-1)^{3}-2(-1)=-2 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-0 & = -2(x+1) \\
y & = -2x-2
\end{align}$

Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
y-2x = -2 & \\
y+2x = -2 & (+) \\
\hline
2y = -4 & \\
y = -2 & \\
y+2x = -2 & \\
-2+4x = -2 & \\
4x = 0 & \\
x = 0
\end{array} $
Titik potong $(a,b)=(0,-2)$ maka nilai $a-b=0-(-2)=2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2$

15. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931 (*Soal Lengkap)Diketahui $l$ yaitu garis yang dinyatakan oleh $det(A)=0$ dimana $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2\\
x & y & 1\\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $(3,4)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x+y-7=0 \\
(B)\ & x-y+7=0 \\
(C)\ & x-y+1=0 \\
(D)\ & x+y-1=0 \\
(E)\ & x+y+1=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk mendapat persamaan garis $l$ kita butuh sedikit catatan untuk menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya yaitu nol.
$0=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2\\
x & y & 1\\
2 & 1 & 3
\end{vmatrix}\left.\begin{matrix}
1 & 1\\
x & y\\
2 & 1
\end{matrix}\right|$
Persamaan garis $l$ adalah
$(1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1)-(2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3)=0$
$(3y+2+2x)-(4y+1+3x)=0$
$ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$
$ 1-y-x=0$
$ 1-x=y$

Persamaan garis sejajar $l$ melalui $(3,4)$
$\begin{align}
m & = -1 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -1(x-3) \\
y-4 & = -x+3 \\
y & = -x+7 \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ x+y-7=0$

16. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 (*Soal Lengkap)Diketahui $P=\begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 3
\end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 0
\end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ yaitu $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 6x+y-20=0 \\
(B)\ & 2x-3y-6=0 \\
(C)\ & 3x-2y-4=0 \\
(D)\ & x-6y+16=0 \\
(E)\ & 6x-y-16=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Unsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis yaitu sebuah titik dan gradien. Tetapi gradien sanggup kita ketahui sesudah sedikit berguru kembali wacana perkalian matriks dan determinan matrisk ordo $2 \times 2$, dimana $m=k=|PQ|$

$\begin{align}
m & = |PQ| \\
& = \left | \begin{pmatrix}
2 & 1\\
3 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
-1 & -2\\
1 & 0
\end{pmatrix} \right | \\
& = \begin{vmatrix}
-1 & -4\\
0 & -6
\end{vmatrix} \\
& = 6-0=6
\end{align}$

Titik $A$
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-y = 4 & (\times 2) \\
3x-2y = 5 & (\times 1) \\
\hline
4x-2y = 8 & \\
3x-2y = 5 & (-) \\
\hline
x = 3 & \\
3x-2y = 5 & \\
3(3)-2y = 5 & \\
y = 2
\end{array} $

Persamaan garis melalui $A(3,2)$ dengan $m=6$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 6(x-3) \\
y & = 6x-18+2 \\
y & = 6x-16
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 6x-y-16=0$

17. Soal UMB 2012 Kode 270 (*Soal Lengkap)Jika garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ di titik $(1,-1)$ sejajar dengan garis $2x+y=1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -\dfrac{3}{2}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Karena garis singgung sejajar dengan garis $2x+y=1$ $(m=-2)$ maka gradien garis singgung yaitu $m=-2$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = 2ax+b \\
-2 & = 2a(1)+b \\
-2 & = 2a +b
\end{align}$
Pada titik $(1,-1)$ maka $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ berlaku $-1=a(1)^{2}+b(1)+(a+b)$ atau $2a+2b=-1$

$\begin{array}{c|c|cc}
2a+b=-2 & \\
2a+2b=-1 & (-) \\
\hline
-b=-1\ & 2a+b=-2 \\
b= 1\ & 2a+1=-2\\
& a=\dfrac{-1}{2}
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -\dfrac{1}{2}$

18. Soal UM UGM 2008 Kode 482 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis $6x-10y-7=0$ dan $3x+4y-8=0$ dan tegak lurus dengan garis yang ke-2 adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 3y-4x+13=0 \\
(B)\ & 3y-4x+\dfrac{13}{2}=0 \\
(C)\ & 3y+4x-13=0 \\
(D)\ & 3y+4x-\dfrac{13}{2}=0 \\
(E)\ & 3y-4x+10=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
6x-10y-7=0 & (\times 1) \\
3x+4y-8=0 & (\times 2) \\
\hline
6x-10y-7=0 & \\
6x+8y-16=0 & (-) \\
\hline
-18y+9=0 & 6x+8y-16=0 \\
18y = 9 & 6x+8 \cdot \dfrac{1}{2} -16=0 \\
y =\dfrac{1}{2} & x=2
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(2,\dfrac{1}{2})$ dan tegak lurus dengan $3x+4y-8=0$ $(m=-\dfrac{3}{4})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=\dfrac{4}{3}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3}(x-2) \\
y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3} x- \dfrac{8}{3} \\
3y-\dfrac{3}{2} & = 4 x- 8 \\
3y-4x-\dfrac{3}{2}+8 & = 0 \\
3y-4x+\dfrac{13}{2} & = 0
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} = 0$

19. Soal UM UGM 2008 Kode 482 (*Soal Lengkap)Agar ketiga garis $3x+2y+4=0$, $x-3y+5=0$ dan $2x+(m+1)y-1=0$ berpotongan di satu titik, maka nilai $m$ haruslah...
$\begin{align}
(A)\ & -3 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Agar ketiga garis berpotongan di satu titik, kita coba dengan mencari titik potong dua garis, yaitu:
$\begin{array}{c|c|cc}
3x+2y+4=0 & (\times 1) \\
x-3y+5=0 & (\times 3) \\
\hline
3x+2y+4=0 & \\
3x-9y+15=0 & (-) \\
\hline
11y-11=0 & 3x-9y+15=0 \\
11y = 11 & 3x-9 +15=0 \\
y =1 & x=-2
\end{array} $

Titik potong kedua garis di atas juga harus berlaku pada $2x+(m+1)y-1=0$ supaya ketiga garis tersebut berpotongan pada satu titik.
$\begin{align}
2x+(m+1)y-1 & = 0 \\
2(-2)+(m+1)(1)-1 & = 0 \\
-4+ m+1 -1 & = 0 \\
m -4 & = 0 \\
m & = 4
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 4$

20. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung pada parabola $y=x^{2}-16x+24$ di titik portongnya dengan sumbu $Y$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=-8x+16 \\
(B)\ & y= 8x-48 \\
(C)\ & y=-16x+24 \\
(D)\ & y=-8x+48 \\
(E)\ & y=16x+24
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Parabola $y=x^{2}-16x+24$ memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ yaitu pada titik $(0,24)$

Persamaan garis singgung adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
& = 4x-16 \\
m & = 4(0)-16 =-16 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-24 & = -16(x-0) \\
y & = -16x+24
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -16x+24$

21. Soal SNMPTN 2008 Kode 211 (*Soal Lengkap)Jika $P(2,5)$ merupakan titik singgung dari garis $y=ax+b$ pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ maka $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -1 \\
(E)\ & -2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien dan garis singgung pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ di titik $P(2,5)$ adalah
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = \dfrac{3}{2}x^{2}+x-1 \\
& = \dfrac{3}{2}(2)^{2}+(2)-1 \\
& = 7 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-5 & = 7(x-2) \\
y & = 7x-14+5 \\
y & = 7x-9 \\
\end{align}$
Karena $y=ax+b \equiv y=7x-9$ maka $a+b=-2$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -2$

22. Soal UM UGM 2007 Kode 741 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui titik potong garis $2x+2y-4=0$ dan $x-2y-5=0$ dan tegak lurus pada garis $12x+6y-3=0$ yaitu $x+by+c=0$ nilai $b+c$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -3\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & -1\dfrac{1}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
2x+2y-4=0 & \\
x-2y-5=0 & (+) \\
\hline
3x-9=0 & \\
x=3 & \\
\hline
2x+2y-4=0 & 2(3)+2y-4=0 \\
2y+2=0 & y=-1
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(3,-1)$ dan tegak lurus dengan $12x+6y-3=0$ $(m=-\dfrac{12}{6}=-2)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=\dfrac{1}{2}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-(-1) & = \dfrac{1}{2}(x-3) \\
y+1 & = \dfrac{1}{2} x - \dfrac{3}{2} \\
2y+2 & = x - 3 \\
x-2y-5 & = 0 \\
b+c & = -7
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -7$

23. Soal SPMB 2006 Kode 510 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui titik potong garis $4x+7y-15=0$ dan $14y =9x-4$ serta tegak lurus pada garis $21x+5y=3$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 21x-5y=3 \\
(B)\ & 11x-21y=5 \\
(C)\ & 5x-21y=-11 \\
(D)\ & 5x+21y=-11 \\
(E)\ & 5x-21y=11
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
4x+7y-15=0 & (\times 2) \\
-9x+14y+4=0 & (\times 1) \\
\hline
8x+14y-30=0 & \\
-9x+14y+4=0 & (-) \\
\hline
17x-34=0 & \\
x=2 & \\
\hline
4x+7y-15=0 & 4(2)+7y-15=0 \\
7y-7=0 & y=1
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(2, 1)$ dan tegak lurus dengan $21x+5y+3$ $(m=-\dfrac{21}{5})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=\dfrac{5}{21}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-1 & = \dfrac{5}{21}(x-2) \\
y-1 & = \dfrac{5}{21} x - \dfrac{10}{21} \\
21y-21 & = 5x - 10 \\
5x-21y & = -11
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 5x-21y = -11$

24. Soal SPMB 2006 Kode 411 (*Soal Lengkap)Jika garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ berpotongan tegak lurus di titik $A$, maka koordinat $A$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & (1,1) \\
(B)\ & \left( \dfrac{1}{2},0 \right) \\
(C)\ & \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right) \\
(D)\ & \left( 1\dfrac{1}{4}, 1\dfrac{1}{2} \right) \\
(E)\ & \left( -1, -3 \right)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ saling tegak lurus sehingga perkalian gradien kedua garis yaitu $-1$.
$m_{h} \cdot m_{g}=-1$
$m_{h} \cdot 2=-1$
$m_{h} = \dfrac{-1}{2}$
Gradien garis $h$ yaitu $\dfrac{-1}{2}$ maka $h:\ y=-\dfrac{1}{2}x+1$ atau $h:\ 2y=-x+2$

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
2y=-x+2 & (\times 1) \\
y=2x-1 & (\times 2) \\
\hline
2y=-x+2 & \\
2y=4x-2 & (-) \\
\hline
0=-5x+4 & \\
x=\dfrac{4}{5} & \\
\hline
y=2x-1 & y=2x-1 \\
y=2(\dfrac{4}{5})-1 & y=\dfrac{3}{5}
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right)$

25. Soal SPMB 2006 Kode 111 (*Soal Lengkap)Jika garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$ dan tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka $h$ memotong $g$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & \left( 2,1 \right) \\
(B)\ & \left( 4,0 \right) \\
(C)\ & \left( 3, 0 \right) \\
(D)\ & \left( 5, -1 \right) \\
(E)\ & \left( 6, -1 \right)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$, sehingga sanggup kita misalkan $h:\ y=mx-8$.

Garis $h:\ y=mx-8$ tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka perkalian gradien kedua garis yaitu $-1$.
$m_{h} \cdot m_{g}=-1$
$m_{h} \cdot \dfrac{-1}{2}=-1$
$m_{h} = 2$
Gradien garis $h$ yaitu $2$ maka $h:\ y=2x-8$ atau $h:\ 2x-y=8$

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y=4 & (\times 2) \\
2x-y=8 & (\times 1) \\
\hline
2x+4y=8 & \\
2x-y=8 & (-) \\
\hline
5y=0 & \\
y=0 & \\
\hline
x+2y=4 & x=4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \left( 4,0 \right)$

26. Soal SPMB 2005 Kode 610 (*Soal Lengkap)Jika garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ sejajar dengan garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ maka konstanta $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{5} \\
(C)\ & \dfrac{1}{5} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ sanggup kita sederhanakan menjadi
$\begin{align}
(x-2y)+a(x+y) & =a \\
x-2y +ax+ay & =a \\
(1+a)x+(a -2)y & =a \\
m\ & = -\dfrac{1+a}{a-2}
\end{align}$

Garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ sanggup kita sederhanakan menjadi
$\begin{align}
(5y-x)+3a(x+y) & =2a \\
5y-x +3a x+3ay & =2a \\
(3a-1)x+(5+3a)y & =a \\
m\ & = -\dfrac{3a-1}{5+3a}
\end{align}$

Kedau garis di atas yaitu sejajar maka gradien kedua garis yaitu sama.
$\begin{align}
-\dfrac{1+a}{a-2} & = -\dfrac{3a-1}{5+3a} \\
(1+a)(5+3a) & = (3a-1)(a-2) \\
5+3a+5a+3a^{2} & = 3a^{2}-6a-a+2 \\
5+8a+ & = -7a+2 \\
15a & = -3 \\
a & = \dfrac{-3}{15}=-\dfrac{1}{ 5} \\
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -\dfrac{1}{5}$

27. Soal SPMB 2005 Kode 610 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=x+1 \\
(B)\ & y=x-1 \\
(C)\ & y=-x+1 \\
(D)\ & y=-x-1 \\
(E)\ & y=2x-1
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk memilih garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$, kita cari koordinat titik potongnya secara lengkap.
$\begin{align}
(x=1) & y =x^{2}+2x-1 \\
& y =1^{2}+2(1)-1 \\
& y =2 \\
(x=-2) & y =x^{2}+2x-1 \\
& y =(-2)^{2}+2(-2)-1 \\
& y =-1
\end{align}$

Garis yang melalui $(1,2)$ dan $(-2,-1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = \dfrac{-1-2}{-2-1} \\
& = \dfrac{-3}{-3}=1 \\
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 1(x-1) \\
y & = x-1+2 \\
y & = x+1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ y=x+1 $

28. Soal UM UGM 2005 Kode 621 (*Soal Lengkap)Diketahui titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$. Persamaan garis melalui $P$ dan tegak lurus garis $l$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2x+3y-8=0 \\
(B)\ & 2x+3y-7=0 \\
(C)\ & 2x+3y+2=0 \\
(D)\ & 2x+3y+7=0 \\
(E)\ & 2x+3y+8=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$ sehingga berlaku:
$3(a)-2(2)+1=0$
$3a-3=0$
$a=1$

Garis yang akan kita tentukan melalui $P(1, 2)$ dan tegak lurus dengan $3x-2y+1=0$ $(m=\dfrac{3}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=-\dfrac{2}{3}$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = -\dfrac{2}{3}(x-1) \\
y-2 & = -\dfrac{2}{3} x + \dfrac{2}{3} \\
3y-6 & = -2 x + 2 \\
3y+2x & = 8
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 2x+3y-8=0$

29. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)Garis yang melalui titik potong garis $x+2y-6=0$ dan $3x+2y-2=0$ serta tegak lurus garis $x-2y=5$ memotong sumbu $x$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (-5,0) \\
(B)\ & (-2,0) \\
(C)\ & (0,0) \\
(D)\ & (2,0) \\
(E)\ & (5,0)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
x+2y-6=0 & \\
3x+2y-2=0 & (-) \\
\hline
-2x-4=0 & \\
x =-2 & \\
\hline
x+2y-6=0 & -2+2y-6=0 \\
2y-8=0 & y=4
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $(-2, 4)$ dan tegak lurus dengan $x-2y=5$ $(m=\dfrac{1}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=-2 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -2(x+2) \\
y & = -2x-4+4 \\
y & = -2x
\end{align}$
Garis $y = -2x$ memotong sumbu $X$ di titik $(0,0)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ (0,0)$

30. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Garis $g:\ y=-2x+3$ dan $h:\ y=2x-5$ berpotongan di titik $A$. Garis $k$ melalui $A$ dan sejajar dengan $l:\ y=3x+7$. Jika garis $k$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & -2 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kedua garis adalah:
$\begin{array}{c|c|cc}
y=-2x+3 & \\
y=2x-5 & (-) \\
\hline
-4x+8=0 & \\
x = 2 & \\
\hline
y=2x-5 & y=2(2)-5 \\
& y=-1
\end{array} $

Garis yang akan kita tentukan melalui $A(2, -1)$ dan sejajar dengan $y=3x+7$ $(m=3)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=3 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y+1 & = 3(x-2) \\
y & = 3x-6-1 \\
y & = 3x-7
\end{align}$
Garis $y = 3x-7$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=-7$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -7$

31. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Jika $A(3,2)$, $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$, maka persamaan garis yang melelui titik $A$ dan tegak lurus $BC$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y=-4x+10 \\
(B)\ & y=-4x+5 \\
(C)\ & y= 4x-1 \\
(D)\ & y=-4x+14 \\
(E)\ & y= 4x-14
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis $BC$ melalui $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\
m_{BC} & = \dfrac{1-0}{2+2} \\
& = \dfrac{1}{4}
\end{align}$

Garis yang akan kita tentukan melalui $A(3,2)$ dan tegak lurus $BC$ dimana $ m_{BC}=\dfrac{1}{4}$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=-4$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = -4(x-3) \\
y & = -4x+12+2 \\
y & = -4x+14
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ y=-4x+14$

32. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Parabola $y=ax^{2}+bx+1$ menyinggung sumbu $X$. Jika garis singgung pada parabola tersebut di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$, maka $a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4 \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = 2ax+b \\
m & = b
\end{align}$

Diketahui bahwa garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$ $m=\dfrac{1}{2}$ sehingga gradien garis singgung parabola yaitu $m=-2$ maka nilai $b=-2$.

Parabola $y=ax^{2}-2x+1$ menyinggung sumbu $X$ sehingga $D=b^{2}-4ac=0$
$\begin{align}
b^{2}-4ac & = 0 \\
(-2)^{2}-4(a)(1) & = 0 \\
4-4a & = 0 \\
4 & = 4a \\
a & = 1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 1$

33. Soal SPMB 2005 Kode 270 (*Soal Lengkap)Jika $f'(x)=x^{2}+2x$ dan garis $g$ menyinggung kurva $f$ di titik singguung $(1,2)$, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik...
$\begin{align}
(A)\ & (0,-2) \\
(B)\ & (0,-1) \\
(C)\ & (0,0) \\
(D)\ & (0,1) \\
(E)\ & (0, 2)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Gradien garis $g$ yang menyinggung $f$ di titik $(1,2)$ adalah:
$\begin{align}
m & = f'(x) \\
m & = x^{2}+2x \\
m & = 1^{2}+2(1) \\
m & = 3
\end{align}$

Persamaan garis $g$ yang melalui titik $(1,2)$ dengan $m=3$.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-2 & = 3(x-1) \\
y & = 3x-3+2 \\
y & = 3x-1 \\
\end{align}$
Garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-1)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ (0,-1)$

34. Soal SPMB 2005 Kode 270 (*Soal Lengkap)Jika garis $y=1$ menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\
(C)\ & -1\ \text{atau}\ 3 \\
(D)\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\
(E)\ & -2\ \text{atau}\ 2
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis $y=1$ merupakan garis horizontal, sehingga jikalau menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka sanggup kita simpulkan bahwa titik $(-b,1)$ merupakan puncak parabola $(x_{p},y_{p})$
$\begin{array}{c|c|cc}
x_{p} = \dfrac{-b}{2a} & y_{p} = \dfrac{-D}{4a} \\
-b = \dfrac{-b}{2a} & 1 = -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\
-2ab = -b & -4a = b^{2}-4ac \\
2a = 1 & -4 \cdot \dfrac{1}{2} = b^{2}-4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3\\
a = \dfrac{1}{2} & -2 = b^{2}-6\\
& b^{2} = 4
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -2\ \text{atau}\ 2 $

35. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ dan menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$. Jika garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$ maka $b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -5 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 5
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ maka gradien garis $g$ yaitu $m_{g}=-3$, maka sanggup kita misalkan garis $g$ yaitu $g:\ y=-3x+n$

Garis $g:\ y=-3x+n$ juga menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$, maka diskriminan persamaan kuadrat komplotan yaitu nol $(D = 0)$;
$\begin{align}
y = & y \\
2x^{2}+x-3 = & -3x+n \\
2x^{2}+x+3x-3-n = & 0 \\
2x^{2}+4x-3-n = & 0 \\
D = & b^{2}-4ac \\
0 = & (4)^{2}-4(2)(-3-n) \\
0 = & 16+24+8n \\
8n = & -40 \\
n = & -5
\end{align}$

Garis $g:\ y=-3x+n$ yaitu $y=-3x-5$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-5)$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -5$

36. Soal UM UGM 2004 Kode 332 (*Soal Lengkap)Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \left(-1\dfrac{1}{2},-3\dfrac{1}{2} \right) \\
(B)\ & \left(0,-3 \right) \\
(C)\ & \left( 1\dfrac{1}{2},-2\dfrac{1}{2} \right) \\
(D)\ & \left( 3,-2 \right) \\
(E)\ & \left(9,0 \right)
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ yaitu titik potong garis yang melalui $(1,4)$ dan tegak lurus $2x-6y=18$.

Garis yang akan kita tentukan melalui $(1,4)$ dan tegak lurus dengan $2x-6y=18$ $(m= \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=- 3 $.
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -3(x-1) \\
y-4 & = -3x +3 \\
y & = -3 x+7
\end{align}$

Titik potong kedua garis singgung
$\begin{array}{c|c|cc}
2x-6y=18 & (\times 3) \\
3x+y = 7 & (\times 2) \\
\hline
6x-18y=54 & \\
6x+2y = 14 & (-) \\
\hline
-20y = 40 & \\
y = -2 & 3x+y = 7 \\
& 3x-2 = 7 \\
& 3x = 9 \\
& x=3
\end{array} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \left( 3,-2 \right)$

37. Soal UM UGM 2004 Kode 322 (*Soal Lengkap)Garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$. Jika $l \perp h $, dan $0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}$ maka $b-c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 3-2\sqrt{3} \\
(B)\ & 3- \sqrt{3} \\
(C)\ & \sqrt{3}-3 \\
(D)\ & 2\sqrt{3}-3 \\
(E)\ & 3\sqrt{3}-3
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menuntaskan soal ini kita perlu sedikit catatan wacana turunan yaitu jikalau $y=k\ \text{k=konstanta}$ maka $y'=0$ dan jikalau $y=cos\ ax$ maka $y'=-a\ sin\ ax$.

Gradien garis $l$ yang menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
m & = 2sin\ x \\
m & = 2sin\ a
\end{align}$

Gradien garis $h$ yang menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
m & = -2sin\ x \\
m & = -2sin\ a
\end{align}$

Karena garis $l \perp h $ maka:
$\begin{align}
m_{l} \cdot m_{h} & = -1 \\
2sin\ a \cdot -2sin\ a & = -1 \\
-4sin^{2}a & = -1 \\
sin^{2}a & = \dfrac{1}{4} \\
sin\ a & = \dfrac{1}{2} \\
a & = 30^{\circ}
\end{align}$

Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ sehingga:
$\begin{align}
y & = 3-2 cos\ x \\
b & = 3-2 cos\ 30^{\circ} \\
& = 3-2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = 3- \sqrt{3}
\end{align}$

Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ sehingga:
$\begin{align}
y & = 2cos\ x \\
c & = 2cos\ 30^{\circ} \\
& = 2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = \sqrt{3}
\end{align}$

Nilai $b-c$ yaitu $3- \sqrt{3}-\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 3-2\sqrt{3}$

38. Soal UM UGM 2004 Kode 121 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}$ di titik potong kurva tersebut dengan kurva $y=\dfrac{1}{x}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & y+2x+1=0 \\
(B)\ & y+2x-1=0 \\
(C)\ & y-2x+1=0 \\
(D)\ & y-2x-1=0 \\
(E)\ & 2y-x+1=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Titik potong kurva $y=x^{2}$ dan kurva $y=\dfrac{1}{x}$
$\begin{align}
y & = y \\
x^{2} & = \dfrac{1}{x} \\
x^{3} & = 1 \\
x^{3} -1 & = 0 \\
x^{3}-1 & = 0 \\
(x-1)(x^{2}+x+1) & = 0
\end{align}$
Salah satu nilai $x$ yang memenuhi yaitu $x=1$ maka $y=x^{2}=1^{2}=1$ sehingga titik potong yaitu $(1,1)$

Persamaan garis singgug kurva $y=x^{2}$ di titik $(1,1)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
& = 2x \\
m & = 2(1)=2 \\
\hline
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-1 & = 2(x-1) \\
y & = 2x-2+1 \\
y & = 2x-1
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ y-2x+1=0$

39. Soal SPMB 2004 Kode 440 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 2x-y+2=0 \\
(B)\ & 2x+y-6=0 \\
(C)\ & 4x-y =0 \\
(D)\ & -2x+y-2=0 \\
(E)\ & -4x-y+6=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$, maka ordinatnya yaitu $y=1+\dfrac{3}{1}=4$

Persamaan garis singgug kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik $(1,4)$ adalah:
$\begin{align}
m & = y' \\
& = 1-\dfrac{3}{x^{2}} \\
m & = 1-\dfrac{3}{1^{2}} \\
& = 1-3=-2 \\
\hline
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y-4 & = -2(x-1) \\
y & = -2x+2+4 \\
y & = -2x+6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2x+y-2=0$

40. Soal SPMB 2004 Kode 541 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung pada kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4x+2y-5=0 \\
(B)\ & 2x+ y+5=0 \\
(C)\ & 4x+2y+5=0 \\
(D)\ & 2x+y-5=0 \\
(E)\ & 8x+4y-5=0
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Garis singgung kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ $(m=-\dfrac{6}{3}=-2)$ sehingga:
$\begin{align}
m & = y' \\
-2 & = 2x+2 \\
-2-2 & = 2x \\
x & = -2 \\
\hline
y & = x^{2}+2x-1 \\
y & = (-2)^{2}+2(-2)-1 \\
y & = 4-4-1=-1
\end{align}$

Persamaan garis singgung yang akan kita tentukan melalui $(-2,-1)$ dan $m=-2$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\
y+1 & = -2(x+2) \\
y & = -2x-4-1 \\
y & = -2x-5
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2x+y+5=0$

41. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{2x+7}$ yang tegak lurus dengan garis $5x+y-10=0$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & x-5y+4=0 \\
(B)\ & x-5y+16=0 \\
(C)\ & x-5y+34=0 \\
(D)\ & x+5y-4=0 \\
(E)\ & x+5y-16=0 \\ \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Jika gradien garis singgung kurva yaitu $m_{1}$, gradien garis $5x+y-10=0$ yaitu $m_{2}=-5$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\
m_{1} \times -5=-1 \\
m_{1} = \dfrac{1}{5}
\end{align}$

Untuk mendapat Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis. Gradien persamaan garis singgung pada kurva $y=\sqrt{2x+7}$ gradiennya yaitu $m=\dfrac{1}{5}$.
$\begin{align}
y & = \sqrt{2x+7} \\
y & = \left( 2x+7 \right)^{\frac{1}{2}} \\
m=y' & = \frac{1}{2} \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \\
\dfrac{1}{5} & = \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \\
\dfrac{1}{5} & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+7}} \\
\sqrt{2x+7} & = 5 \\
2x+7 & = 25 \\
2x & = 18 \\
x & = 9 \\
y & = \sqrt{2x+7}\\
&=\sqrt{2(9)+7}=5
\end{align} $

Persamaan garis singgung kurva melalui titik $(9,5)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-5 & = \dfrac{1}{5} (x-9) \\
5y-25 & = x-9 \\
5y-x-25+9 & = 0 \\
5y-x-16 & = 0 \\
x-5y+16 & = 0
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ x-5y+16=0$

42. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui $A(2,-4)$ dan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y=2x^{2}-3x-6$ pada titik tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 5x-y-14=0 \\
(B)\ & 5x+y-6=0 \\
(C)\ & x+5y-27=0 \\
(D)\ & x+5y+18=0 \\
(E)\ & x-5y-22=0 \\ \\
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk mendapat Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis.
$\begin{align}
y & = 2x^{2}-3x-6 \\
m=y' & = 4x-3 \\
\hline
x=2 \\
\hline
m=4(2)-3=5
\end{align} $

Jika gradien garis singgung kurva yaitu $m_{1}=5$, gradien garis yaitu $m_{2}$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku:
$\begin{align}
m_{1} \times m_{2}=-1 \\
5 \times m_{2}=-1 \\
m_{2} = -\dfrac{1}{5}
\end{align}$

Persamaan garis singgung kurva melalui titik $A(2,-4)$ dengan gradien $m=-\dfrac{1}{5}$
$\begin{align}
y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\
y-(-4) & = -\dfrac{1}{5} (x-2) \\
-5y-20 & = x-2 \\
-5y-20-x+2 & = 0 \\
-5y-x-18 & = 0 \\
x+5y+18 & = 0
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ x+5y+18=0$

43. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Diberikan fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$. Garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=a$ dan $x=a+1$ saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{\sqrt{37}} \\
(B)\ & \dfrac{4}{\sqrt{37}} \\
(C)\ & \dfrac{3}{\sqrt{37}} \\
(D)\ & \dfrac{2}{\sqrt{37}} \\
(E)\ & \dfrac{1}{\sqrt{37}}
\end{align}$Alternatif Pembahasan: show

Untuk menuntaskan soal ini kita perlu sedikit catatan wacana turunan yaitu jikalau $y=f(x)$ maka $m=y'=f'(x)$.

Garis yang menyinggung fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$ di $x=a$ dan $x=a+1$ yaitu sejajar sehingga gradien kedua garis yaitu sama, sehingga berlaku:
$\begin{align}
m = f'(x) & = 6x^{2}+6x+6 \\
\hline
x=a\ & \rightarrow m= 6a^{2}+6a+6 \\
x=a+1\ & \rightarrow m= 6(a+1)^{2}+6(a+1)+6
\end{align}$

$\begin{align}
6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+12a+6+6 a+6+6 \\
6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+18a+18 \\
-12 & = 12a \\
a & = -1
\end{align}$

Untuk $x=-1$ maka $y=0$ dan gradien garis singgung yaitu $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\
y-0 & = 6 \left( x+1 \right) \\
y & = 6 x+ 6
\end{align}$

Untuk $x=0$ maka $y=5$ dan gradien garis singgung yaitu $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah:
$\begin{align}
y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\
y-5 & = 6 \left( x+0 \right) \\
y & = 6 x+5
\end{align}$

Jarak kedua garis yaitu jarak titik (-1,0) pada garis $y = 6 x+6$ ke garis $y = 6 x+5$, yaitu:
$\begin{align}
d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{(-6)(-1)+(1)(0)-5}{\sqrt{(-6)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\
& = \left| \dfrac{1}{\sqrt{36+1}} \right| \\
& = \left| \dfrac{1}{\sqrt{37}} \right|
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ \dfrac{1}{\sqrt{37}}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

lembar tanggapan evaluasi harian matematika,

lembar tanggapan evaluasi simpulan semester matematika,

presentasi hasil diskusi matematika atau

pembahasan quiz matematika di kelas.

CMIIWJADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE

createSnippet("summary3747866224595858306");

Rabu, 04 April 2018

lingkaran Matematika Kreatif

Panjang Tali Minimum Yang Diharapkan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran)

April 04, 2018 Comment

Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Pipa Panjang Tali Minimum Yang Diperlukan Untuk Mengikat Pipa (Lingkaran)

Panjang pengikat minimum yang dibutuhkan untuk mengikat pipa berdiameter $d$ meter dalam satu ikatan (kumpulan), dimana satu ikatan (kumpulan) pipa terdiri dari $2,\ 3,\ 4, 5,\ \text{atau}\ n$ pipa.

Soal yang terkadang jadi persoalan menyerupai yang disebutkan di atas yakni salah satu teladan persoalan penerapan matematika dalam kehidupan sehari-hari pada materi lingkaran. Masalah ini umumnya diujikan pada dikala mencar ilmu bulat di SMP, sehingga soal-soal menyerupai di atas sangat berpeluang diujikan pada Ujian Nasional Matematika SMP, kompetisi matematika SMP atau ujian seleksi masuk Sekolah Menengan Atas tertentu.

Soal yang hampir mirip, pernah diujikan pada dikala seleksi akademik masuk Asrama Yayasan Soposurung SMAN 2 Balige, soal lengkapnya menyerupai berikut ini:

Panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat $3$ batang kayu bila diameter kayu $14$ dm adalah...

$\begin{align}
(A).\ & 8.600\ cm \\
(B).\ & 860\ cm \\
(C).\ & 86\ cm \\
(D).\ & 8,6\ cm
\end{align}$

Alternatif Pembahasan:
Sebagai gambaran tambahan, kita beri titik-titik suplemen pada gambar semoga menghitung panjang tali yang dibutuhkan (*minimum) untuk mengikat ketiga kayu diatas lebih mudah. Kurang lebih menyerupai berikut ini:

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=14$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA=3 \times (14+ BC)$

Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $14$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan alasannya yakni $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times 2 \dfrac{22}{7} \cdot 7 \\
& =\dfrac{44}{3}
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (AB+ BC) & =3 \times \left( 14+\dfrac{44}{3} \right) \\
& =42 +44 \\
& =86\ dm \\
& =8.600\ cm
\end{align}$

Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi bulat diikat mendatar, posisi bulat kita ilustrasikan menyerupai beberapa gambar berikut ini:

Satu Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat sebuah bulat yang berdiameter $d$ yakni $\pi \times d$ atau sama dengan menghitung keliling lingkaran.

Dua Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah bulat secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (d+ BC)$

Perhatikan persegi $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan $\measuredangle BPC=180^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum yakni $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (d+ BC) & =2 \times \left( d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =2d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 2 \right)d
\end{align}$

Tiga Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah bulat secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=2d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (2d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum yakni $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (2d+ BC) & =2 \times \left( 2d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =4d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 4 \right)d
\end{align}$

Empat Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah bulat secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DA)$,
Panjang $AB=CD=3d$ dan panjang busur $BC=DA$. Sehingga panjang tali $(AB+BC+CD+DA=2 \times (3d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABCD$, sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$; dan
Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{180}{360} \times \pi\ d \\
& =\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d
\end{align}$

Panjang tali minimum yakni $(AB+BC+CD+DA)$
$\begin{align}
2 \times (3d+ BC) & =2 \times \left( 3d+\dfrac{1}{2} \pi\ \cdot d \right) \\
& =6d+ \pi\ \cdot d \\
& = \left( \pi\ + 6 \right)d
\end{align}$

Kesimpulan yang sanggup kita peroleh dalam menghitung panjang tali minimum ($p$) yang dibutuhkan untuk mengikat $1,\ 2,\ 3, \cdots n$ buah bulat disusun secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar diatas:

Untuk $1$ bulat $p=\left( \pi\ + 0 \right)d$
Untuk $2$ bulat $p=\left( \pi\ + 2 \right)d$
Untuk $3$ bulat $p=\left( \pi\ + 4 \right)d$
Untuk $4$ bulat $p=\left( \pi\ + 6 \right)d$
$\vdots$
Untuk $n$ bulat $p=\left( \pi\ + 2n-2 \right)d$

Berikut kita coba dapatkan bentuk umum untuk mencari panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk posisi bulat diikat bertingkat, posisi bulat kita ilustrasikan menyerupai beberapa gambar berikut ini:

Dua Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat dua buah bulat secara mendatar yang berdiameter $d$ menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Tiga Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat tiga buah bulat yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=d$ dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+DE+EF+FA$$=3 \times (d+ BC)$

Perhatikan segitiga $PQR$ sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar sudut: $\measuredangle QBC=60^{\circ}$.
Perhatikan persegi panjang $ABQP$, sehingga $\measuredangle BQP=90^{\circ}$; dan alasannya yakni $\measuredangle PQR=60^{\circ}$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
3 \times (d+ BC) & =3 \times \left( d+\dfrac{1}{3} \times \pi\ d \right) \\
& =3d+ \pi\ d \\
& =(3+\pi) d
\end{align}$

Empat Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah bulat yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=CD=EF=GH=d$ dan panjang busur $BC=DE=FG=HA$ sehingga $AB+BC+CD+$$DE+EF+FG+GH+HA=$$4 \times (d+ BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{90}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{4} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
4 \times (d+ BC) & =4 \times \left( d+\dfrac{1}{4} \times \pi\ d \right) \\
& =4d+ \pi\ d \\
& =(4+\pi) d
\end{align}$

Lima Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah bulat yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA)$,
Panjang $AB=2d$, $CD=EF=GH=d$, panjang busur $BC=AH$ dan $DE=FG$ sehingga $AB+BC+CD+DE+$$EF+FG+GH+HA$$=2d+3d+2BC+2DE$$=5d+2BC+2DE$

Perhatikan persegi panjang $ABPO$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQS$ yakni segitiga sama sisi dengan panjang sisi $d$ sehingga besar $\measuredangle BPC=120^{\circ}$ dan $\measuredangle DQE=60^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang busur $DE$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{60}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{6} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 5d+2BC+2DE \\
& = 5d+2 (\dfrac{1}{3} \times \pi\ d )+2(\dfrac{1}{6} \times \pi\ d) \\
& = 5d+ \dfrac{2}{3} \pi\ d )+ \dfrac{1}{3} \pi\ d \\
& = 5d+ \pi\ d \\
& = (5 + \pi)d
\end{align}$

Enam Lingkaran

Panjang tali minimum yang dibutuhkan untuk mengikat empat buah bulat yang berdiameter $d$ disusun bertingkat menyerupai gambar adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Dari gambar diatas kita peroleh panjang tali minimum yang dibutuhkan yakni $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$,
Panjang $AB=CD=EF=2d$, dan panjang busur $BC=DE=FA$ sehingga $(AB+BC+CD+$$DE+EF+FA)$$=3(2d+BC)$

Perhatikan persegi panjang $ABPQ$, sehingga $\measuredangle BPO=90^{\circ}$;
Perhatikan segitiga $PQR$ yakni segitiga sama sisi dengan panjang sisi $2d$ sehingga besar $\measuredangle BQC=120^{\circ}$.

Panjang busur $BC$;
$\begin{align}
BC & =\dfrac{120}{360} \times 2 \pi\ r \\
& =\dfrac{1}{3} \times \pi\ d
\end{align}$

Panjang tali minimum adalah:
$\begin{align}
& 3(2d+BC) \\
& = 3 (2d+ \dfrac{1}{3} \times \pi\ d ) \\
& = 6d+ \pi\ d ) \\
& = (6 + \pi)d
\end{align}$

Kesimpulan yang sanggup kita peroleh dalam menghitung panjang tali minimum ($p$) yang dibutuhkan untuk mengikat $2,\ 3,\ 4,\ \cdots n$ buah bulat disusun bertingkat berdiameter $d$ menyerupai gambar diatas:

Untuk $2$ bulat $p=\left( \pi\ + 2 \right)d$
Untuk $3$ bulat $p=\left( \pi\ + 3 \right)d$
Untuk $4$ bulat $p=\left( \pi\ + 4 \right)d$
Untuk $4$ bulat $p=\left( \pi\ + 5 \right)d$
$\vdots$
Untuk $n$ bulat $p=\left( \pi\ + n \right)d$

Sebagai penutup, coba kita diskusikan soal berikut dan soal ini pernah diujikan pada Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri (UMPTN) tahun 1993 pada Rayon A.

Soal UMPTN 1993 (Rayon A) (*Soal Lengkap)

Enam buah pipa, masing-masing dengan garis tengah $d$, diikat dekat menyerupai pada gambar. Jika arah tali pengikat tegak lurus pada arah panjang pipa, maka panjang tali yang melilit pipa itu adalah...

$\begin{align}
(A)\ & 9d \\
(B)\ & 3+ \dfrac{\pi}{2}d \\
(C)\ & (6+\pi)d \\
(D)\ & (6+\dfrac{3}{4}\pi)d \\
(D)\ & (12+2\pi)d
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Seperti hasil diskusi kita di atas panjang tali minimum yang diharapkan untuk mengikat enam pipa yakni $(6 + \pi)d$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai yakni $(C)\ (6+\pi)d$

Ada masukan yang sifatnya membangun terkait persoalan Panjang Tali Minimum Yang Mengikat Beberapa Pipa (Lingkaran), silahkan disampaikan😊😊 dan Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀

Video pilihan khusus untuk Anda 😊 Ternyata ini Sebab Guru jadi Galak;