blog berisi kumpulan soal materi skripsi dan makalah lengkap pdf
Turunan fungsi alasannya yaitu terkait dengan gradien garis, alasannya yaitu gradien sebuah garis sanggup ditentukan dengan memakai turunan fungsi, sehingga ini menjadi salah satu syarat perlu, supaya lebih cepat dalam berguru persamaan garis. Penerapan Persamaan Garis dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, beberapa diantaranya sanggup dilihta pada pola soal yang kita diskusikan di bawah. Mempelajari dan memakai aturan-aturan pada persamaan garis juga sangatlah mudah, jikalau Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal persamaan garis dan menemukan solusinya. Seperti kita sampaikan di awal Persamaan garis untuk tingkat Sekolah Menengan Atas sangat sering dihubungkan dengan Turunan fungsi alasannya yaitu terkait dengan gradien garis, kemudian akan dikaitkan dengan garis singgung parabola atau garis singgung lingkaran. Sebelum kita masuk kepada duduk kasus yang berkembang wacana persamaan garis, sekedar untuk mengingatkan kembali wacana persamaan garis ini, berikut beberapa coretan yang mungkin kita perlukan dalam menuntaskan duduk kasus wacana persamaan garis. Bentuk Umum Persamaan Garis$y=mx+n$ dengan gradien (kemiringan) yaitu $m$ $ax+by+c=0$ dengan gradien (kemiringan) yaitu $m=-\dfrac{a}{b}$ Gradien Garis $(m)$Saat garis $g$ melalui titik $A(x_{1},y_{1})$ dan $B(x_{2},y_{2})$ maka $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ Saat garis $g$ memotong sumbu $x$ di $(b,0)$ dan memotong sumbu $y$ di $(0,a)$ maka $m=-\dfrac{a}{b}$ Saat garis $g$ membentuk sudut sebesar $\alpha$ dengan sumbu $x$ positif maka $m=tan\ \alpha$ Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ yaitu turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$ Hubungan dua garis terhadap gradienJika garis $g_{1}:y=m_{1}x+c_{1}$ dan garis $g_{2}:y=m_{2}x+c_{2}$, maka berlaku: $m_{1}=m_{2}$ dikala $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ atau dikala $g_{1} \parallel g_{2}$ maka $m_{1}=m_{2}$; $m_{1} \cdot m_{2}=-1$ dikala $g_{1}$ tegak lurus dengan $g_{2}$ atau dikala $g_{1} \perp g_{2}$ maka $m_{1} \cdot m_{2}=-1$; $tan\ \alpha=\left| \dfrac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} \cdot m_{2}} \right|$ dikala $g_{1}$ dan $g_{2}$ membentuk sudut $\alpha$ Persamaan GarisJika garis $g$ melalui titik $(0,0)$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ yaitu $y=mx$; Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan bergradien $m$ maka garis $g$ yaitu $y-y_{1}=m(x-x_{1})$; Jika garis $g$ melalui titik $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ maka garis $g$ yaitu $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$; Jarak Titik ke GarisJarak titik $A(x_{1},y_{1})$ dengan titik $B(x_{2},y_{2})$ yaitu $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$ Jarak titik $(x_{1},y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ yaitu $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$ Biar lebih mantap lagi dengan aturan-aturan dasar diatas, mari kita diskusikan beberapa soal Persamaan Garis berikut😊: 1. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 (*Soal Lengkap)Jika garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ di titik $P(a,b)$ dengan $a \lt 0 $ memotong sumbu-y di titik $Q(0,-2)$, maka $a+b$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 7-4\sqrt{2} \\ (B)\ & 2-2\sqrt{2} \\ (C)\ & 1-2\sqrt{2} \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -8 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ melalui titik $P(a,b)$ sehingga berlaku $b=\dfrac{1}{4}a^{2}-1$ atau $4b+4=a^{2}$. Garis singgung kurva melalui titik $P(a,b)$ dan $Q(0,-2)$ maka garis singgung adalah; $\begin{align} \dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{0-a} \\ \dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{-a} \\ -ay+ab = & -2x+2a-bx+ab \\ -ay+2x+bx-2a = & 0 \\ -ay+(2+b)x-2a = & 0 \\ m = & \dfrac{2+b}{a} \\ \end{align}$ Karena garis merupakan garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ maka gradien $m=y'=\dfrac{1}{2}x$ dan gradien garis singgung kurva di titik $P(a,b)$ yaitu $m=\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}a$. Dari kedua nilai $m$ di atas kita peroleh persamaan, sebagai berikut; $\begin{align} \dfrac{1}{2}a = & \dfrac{2+b}{a} \\ \dfrac{1}{2}a^{2} = & 2+b \\ \dfrac{1}{2}(4b+4) = & 2+b \\ 2b+2 = & 2+b \\ b = & 0 \end{align}$ Untuk $b=0$ maka $a^{2}=4b+4=4$, nilai $a=-2$ atau $a=2$ (TM). Nilai $a+b=-2+0=-2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -2$2. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (*Soal Lengkap)Suatu garis yang melalui titi $(0,0)$ membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut $(1,0),(5,0),(1,12)$ dan $(5,12)$ menjadi dua bab yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & \dfrac{12}{5} \\ (E)\ & 3 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Suatu garis yang membagi persegi panjang jadi dua bab yang sama yaitu melalui titik $(0,0)$ maka yaitu $y=mx$. Jika kita gambarkan kurang lebih menyerupai berikut ini; Persegi panjang yang terbentuk luasnya yaitu $4 \times 12=48$ satuan luas dan luas trapesium yaitu setengah luas persegi panjang yaitu $24$ satuan luas. $\begin{align} 24 & = \dfrac{1}{2}\ jumlah\ garis\ sejajar\ \cdot t \\ 24 & = \dfrac{1}{2}\ (m+5m)(5-1) \\ 24 & = 2(6m) \\ 24 & = 12m \\ m & = 2 \\ \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 2$3. Soal SBMPTN 2017 Kode 124 (*Soal Lengkap)Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x-8y-9=0 \\ (B)\ & x+4y+3=0 \\ (C)\ & 2x-8y-10=0 \\ (D)\ & x+8y+7=0 \\ (E)\ & x-4y-5=0 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ kita misalkan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, sehingga berlaku $y-(-1)=m(x-1)$ $y+1=mx-m$ $y=mx-m-1$ Karena garis $y=mx-m-1$ menyinggung kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ maka diskriminan persamaan kuadrat komplotan yaitu nol $(D = 0)$; $\begin{align} y = & y \\ mx-m-1 = & \dfrac{x}{2-2x} \\ (mx-m-1)(2-2x) = & x \\ 2mx-2m-2-2mx^{2}+2mx+2x -x = & 0 \\ -2mx^{2}+4mx+x-2m-2 = & 0 \\ 2mx^{2}-4mx-x+2m+2 = & 0 \\ 2mx^{2}+(-4m-1)x+2m+2 = & 0 \end{align}$ $\begin{align} D = & b^{2}-4ac \\ 0 = & (-4m-1)^{2}-4(2m)(2m+2) \\ 0 = & 16m^{2}+8m+1 -16m^{2}-16m \\ 0 = & -8m+1 \\ 8m = & 1 \\ m = & \dfrac{1}{8} \end{align}$ Persamaan garis yaitu $y=mx-m-1$ sehingga $y=\dfrac{1}{8} x-\dfrac{1}{8}-1$ atau $8y=x-9$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ x-8y-9=0$4. Soal SBMPTN 2016 Kode 255 (*Soal Lengkap)Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang menciptakan segitiga $PQR$ sma sisi adalah... $\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & \sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4}\sqrt{3} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Gradien garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ yaitu $m=y'=-2x$, Pada dikala garis singgung melalui titik $P(-a,b)$ dan $R$ maka $m_{PR}=2a$ Pada dikala garis singgung melalui titik $Q(a,b)$ dan $R$ maka $m_{QR}=-2a$ Garis singgung $PR$ dan $QR$ berpotongan dan membentuk segitiga sama sisi maka sudut yang dibuat oleh $PR$ dan $QR$ masing-masing terhadap sumbu-$x$ positif yaitu $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$, sehingga gradien garis $PR$ yaitu $m_{PR}=tan\ 60^{\circ}=\sqrt{3}$. Gradien $PR$ yaitu $m_{PR}=2a$ dan $m_{PR}=\sqrt{3}$ maka $2a=\sqrt{3}$ atau $a=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$5. Soal SBMPTN 2015 Kode 605 (*Soal Lengkap)Jika garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ dan menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$, maka garis $g$ emeotong sumbu-$y$ di titik... $\begin{align} (A)\ & (0,-4) \\ (B)\ & (0,-1) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (0,1) \\ (E)\ & (0,4) \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Garis yang sejajar memiliki gradien yang sama, dan garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ maka gradien garis $g$ yaitu $m_{g}=2$. Diketahui juga bahwa garis $g$ menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$ maka $m_{g}=y'=2x+4$. Dari nilai $m_{g}=y'=2x+4$ dan $m_{g}=2$ sanggup kita tentukan nilai $x$ dan $y$ dikala $m=2$ yaitu $\begin{align} m_{g} & = m_{g} \\ 2x+4 & = 2 \\ 2x & =-2 \\ x & =-1 \\ y & = x^{2}+4x+5 \\ y & = (-1)^{2}+4(-1)+5 \\ y & = 1-4+5 \\ y & = 2 \end{align}$ Garis $g$ yaitu garis yang melalui titik $(-1,2)$ dan gradien $m=2$, maka persamaan garis $g$ adalah... $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 2(x-(-1)) \\ y-2 & = 2x+2 \\ y-2x & = 4 \end{align}$ Garis $g: y-2x = 4$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,4)$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ (0,4)$6. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di titik $P$. Persamaan garis singgung kurva di titik $P$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x-9y-9=0 \\ (B)\ & x-9y+9=0 \\ (C)\ & 9x-y-9=0 \\ (D)\ & 9x-y+9=0 \\ (E)\ & 9x+y-9=0 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di $P$ maka berlaku $\begin{align} 3x-\dfrac{3}{x^{2}} & = 0 \\ 3x^{3}-3 & = 0 \\ x^{3}-1 & = 0 \\ (x-1)(x^{2}+x+1) & = 0 \end{align}$ Salah satu nilai $x$ yang memenuhi yaitu $x=1$ maka titik $P$ yaitu $(1,0)$ Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ yaitu turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga sanggup kita peroleh: $\begin{align} m & = f'(x) \\ & = 3+\dfrac{6}{x^{3}} \\ m & = 3+\dfrac{6}{(1)^{3}} \\ m & = 9 \end{align}$ Garis singgung kurva di titik $P(1,0)$ adalah: $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = 9(x-1) \\ y & = 9x-9 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9x-y-9=0$7. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)Titik $P$ dan $Q$ masing-masing memiliki absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$. Jika garis $g$ tegak lurus $PQ$ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik berordinat... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}+1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\ (D)\ & \dfrac{p^{2}-1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}+1 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Karena absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$ maka titik $P$ yaitu $(2p, 4p^{2}-1)$ dan titik $Q$ yaitu $(-3p, 9p^{2}-1)$. Gradien garis $PQ$ yaitu $\begin{align} m_{PQ} & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ & = \dfrac{9p^{2}-1-(4p^{2}-1)}{-3p-(2p)} \\ & = \dfrac{9p^{2}-1-4p^{2}+1 }{-3p-2p } \\ & = \dfrac{5p^{2} }{5p } \\ & = p \end{align}$ Garis $g$ kita misalkan $g:y=mx+n$ dan garis $PQ$ tegak lurus maka $\begin{align} m_{PQ} \cdot m_{g} & = -1 \\ p \cdot m_{g} & = -1 \\ m_{g} & = -\dfrac{1}{p } \end{align}$ Diketahui juga bahwa garis $g:y=-\dfrac{1}{p}x+n$ menyinggung $y=x^{2}-1$ maka $\begin{align} -\dfrac{1}{p}x+n & = x^{2}-1 \\ x^{2}-1 +\dfrac{1}{p}x-n & = 0 \\ x^{2} +\dfrac{1}{p}x-n-1 & = 0 \\ D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ \dfrac{1}{p^{2}}-4(1)(-n-1) & = 0 \\ \dfrac{1}{p^{2}}+4n+4 & = 0 \\ 4n & = -\dfrac{1}{p^{2}}-4 \\ n & = -\dfrac{1}{4p^{2}}-1 \end{align}$ Persamaan garis $g$ yaitu $y=-\dfrac{1}{p}x -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$8. Soal SBMPTN 2014 Kode 677 (*Soal Lengkap)Garis $l$ memiliki gradien $2$. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-x^{2}+px+l$ di $x=1$, maka persamaan $l$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y=2x-3 \\ (B)\ & y=2x-1 \\ (C)\ & y=2x \\ (D)\ & y=2x+2 \\ (E)\ & y=2x+4 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Gradien garis $l$ yaitu $2$, maka sanggup kita misalkan garis $l$ yaitu $l: y=2x+n$ Karena garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+px+1$ di $x=1$ maka: $\begin{align} m_{l} & = y' \\ 2 & = -2x+p \\ 2 & = -2+p \\ 4 & = p \end{align}$ Garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+4x+1$ di $x=1$ maka $y=-(1)^{2}+4(1)+1=4$. Untuk $x=1$ nilai $y=4$ maka: $\begin{align} y & = 2x+n \\ 4 & = 2(1) + n \\ 2 & = n \\ y & = 2x+n \\ y & = 2x+2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ y=2x+2$9. Soal SIMAK UI 2012 Kode 221 (*Soal Lengkap)Jika garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Gradien garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ yaitu $m=4-2x=4-2(1)=2$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-3 & = 2(x-1) \\ y-3 & = 2x-2 \\ y & = 2x+1 \end{align}$ Karena $y = 2x+1$ juga merupakan garis singgung $y=x^{2}-6x+k$ maka $\begin{align} m & = y' \\ 2 & = 2x-6 \\ 8 & = 2x \\ x & = 4 \\ y & = 2x+1 \\ y & = 2(4)+1=9 \\ y & = x^{2}-6x+k \\ 9 & = 4^{2}-6(4)+k \\ 9 & = 16-24+k \\ k & = 9+8=17 \end{align}$ Nilai $5-\sqrt{k-1}= 5-\sqrt{17-1}=1$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 1$ 10. Soal UMB 2012 Kode 270 (*Soal Lengkap)Garis lurus dengan gradien positif memotong parabola $y=(x-2)^{2}$ di titik $P$ dan $Q$. Jika $T(3,5)$ yaitu titik tengah ruas garis $PQ$, maka garis $PQ$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y=4x-7 \\ (B)\ & y=3x-4 \\ (C)\ & y=2x-1 \\ (D)\ & y=x+2 \\ (E)\ & y=\dfrac{1}{2}x+3\dfrac{1}{2} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Misal titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$. Titik $T(3,5)$ yaitu titik tengah $PQ$ sehingga berlaku $3=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$ atau $ x_{1}+x_{2}=6$ dan $5=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}$ atau $ y_{1}+y_{2}=10$ Karena titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$ terletak pada parabola $y=x^{2}-4x+4$ sehingga berlaku: $\begin{array}{c|c|cc} x_{1}^{2}-4x_{1}+4 = y_{1} & \\ x_{2}^{2}-4x_{2}+4 = y_{2} & (+) \\ \hline x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 = y_{1}+y_{2} & \\ (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(6)+8 = 10 & \\ 6^{2}-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\ 36-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\ 2x_{1}x_{2} = 10 & \\ x_{1}x_{2} = 5 & \\ x_{1} = 1 & \\ x_{2} = 5 & \end{array} $ $\begin{align} y_{2} & = x_{2}^{2}-4x_{2}+4 \\ & = 5^{2}-4(5)+4 \\ & = 9 \\ y_{1} & = x_{1}^{2}-4x_{1}+4 \\ & = 1^{2}-4(1)+4 \\ & = 1 \end{align}$ Persamaan garis $PQ$ $\begin{align} m & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ m & = \dfrac{5-1}{3-1} =2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2+1 \\ y & = 2x-1 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ y=2x-1$11. Soal SIMAK UI 2011 Kode 213 (*Soal Lengkap)Titik pada garis $y=3x+10$ yang terdekat dengan titik $(3,8)$ yaitu titik $P$. Jarak titik $P$ dan $(3,8)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{11}{10} \\ (B)\ & \dfrac{11\sqrt{10}}{10} \\ (C)\ & \dfrac{91}{10} \\ (D)\ & \dfrac{91\sqrt{10}}{10} \\ (E)\ & \dfrac{121\sqrt{10}}{10} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Titik $P$ terletak pada garis $y=3x+10$ dan merupakan jarak yang terdekat dengan titik $(3,8)$, sehingga jarak titik $P$ dengan titik $(3,5)$ merupakan jarak titik $(3,5)$ dengan garis $y=3x+10$. Jarak titik $(x_{1}, y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ yaitu $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$ Jarak titik $(3,5)$ dengan garis $-3x+y-10=0$ adalah: $\begin{align} d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{(-3)(3)+(1)(8)-10}{\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{-9+8-10}{\sqrt{9+1}} \right| \\ & = \left| \dfrac{-11}{\sqrt{10}} \right| \\ & = \dfrac{11}{10}\sqrt{10} \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{11}{10}\sqrt{10}$12. Soal SIMAK UI 2011 Kode 214 (*Soal Lengkap)Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ memiliki gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$. Ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ di titik yang sama. Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ dari ketiga garis yaitu $\dfrac{1}{9}$, maka persamaan garis $l_{2}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 117x-39=4 \\ (B)\ & 117x+39=4 \\ (C)\ & 117x-39=-4 \\ (D)\ & 39x+117y=4 \\ (E)\ & 39x-117y=-4 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ memiliki gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$ dan ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ di titik yang sama sehingga sanggup kita misalkan: $l_{1}: y=2x+a $ $l_{2}: y=3x+a $ $l_{3}: y=4x+a $ Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ $(y=0)$ dari ketiga garis yaitu $\dfrac{1}{9}$, maka sanggup kita tuliskan: Untuk $l_{1}: y=2x+a $ dikala $y=0$ maka berlaku $0=2x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{2}a$ Untuk $l_{2}: y=3x+a $ dikala $y=0$ maka berlaku $0=3x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{3}a$ Untuk $l_{3}: y=4x+a $ dikala $y=0$ maka berlaku $0=4x+a $ atau $x=-\dfrac{1}{4}a$ $\dfrac{1}{9}=-\dfrac{1}{2}a- \dfrac{1}{3}a-\dfrac{1}{4}a$ $\dfrac{1}{9}=-\dfrac{6+4+3}{12}a$ $\dfrac{1}{9}=-\dfrac{13a}{12} $ $a=-\dfrac{12}{9 \cdot 13}= -\dfrac{4}{39}$ Persamaan $l_{2}: y=3x+a $ yaitu $l_{2}: y=3x-\dfrac{4}{39} $ atau $39y=117x-4$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 117x-39=4$13. Soal SIMAK UI 2010 Kode 208 (*Soal Lengkap)Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}-4x+5$. Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)$ dan garis $y=5$ membentuk sebuah segitiga dengan garis $y=5$. Maka titik potong kedua garis singgung tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & (-3,2) \\ (B)\ & (-2,3) \\ (C)\ & (2,-3) \\ (D)\ & (3,-2) \\ (E)\ & (3,2) \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)=x^{2}-4x+5$ dan garis $y=5$, maka titik potong tersebut adalah: $\begin{align} y & = x^{2}-4x+5 \\ 5 & = x^{2}-4x+5 \\ 0 & = x^{2}-4x \\ 0 & = (x-4)x \\ x & = 4 \\ x & = 0 \\ \end{align}$ Dua buah garis singgung menyinggung $f(x)$ di titik $(0,5)$ dan $(4,5)$ dengan $m=2x-4$. Persamaan garis singgung pada $(0,5)$ $\begin{align} m & = 2x-4=-4 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = -4(x-0) \\ y-5 & = -4x \\ y+4x & = 5 \end{align}$ Persamaan garis singgung pada $(4,5)$ $\begin{align} m & = 2x-4=4 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = 4(x-4) \\ y-5 & = 4x-16 \\ y-4x & = -11 \end{align}$ Titik potong kedua garis singgung $\begin{array}{c|c|cc} y+4x = 5 & \\ y-4x = -11 & (+) \\ \hline 2y = -6 & \\ y = -3 & \\ y+4x = 5 & \\ -3+4x = 5 & \\ 4x = 5+3 & \\ x = 2 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ (2,-3)$14. Soal UM UGM 2010 Kode 461 (*Soal Lengkap)Garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ berpotongan di $(a,b)$. Nilai $a-b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Dua buah garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ meiliki gradien $m=4x^{3}-2x$. Persamaan garis singgung pada $(1,0)$ $\begin{align} m = 4x^{3}-2x & = 4(1)^{3}-2(1)=2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2 \end{align}$ Persamaan garis singgung pada $(-1,0)$ $\begin{align} m = 4x^{3}-2x & = 4(-1)^{3}-2(-1)=-2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = -2(x+1) \\ y & = -2x-2 \end{align}$ Titik potong kedua garis singgung $\begin{array}{c|c|cc} y-2x = -2 & \\ y+2x = -2 & (+) \\ \hline 2y = -4 & \\ y = -2 & \\ y+2x = -2 & \\ -2+4x = -2 & \\ 4x = 0 & \\ x = 0 \end{array} $ Titik potong $(a,b)=(0,-2)$ maka nilai $a-b=0-(-2)=2$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2$15. Soal SIMAK UI 2009 Kode 931 (*Soal Lengkap)Diketahui $l$ yaitu garis yang dinyatakan oleh $det(A)=0$ dimana $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $(3,4)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x+y-7=0 \\ (B)\ & x-y+7=0 \\ (C)\ & x-y+1=0 \\ (D)\ & x+y-1=0 \\ (E)\ & x+y+1=0 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk mendapat persamaan garis $l$ kita butuh sedikit catatan untuk menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya yaitu nol. $0=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} 1 & 1\\ x & y\\ 2 & 1 \end{matrix}\right|$ Persamaan garis $l$ adalah $(1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1)-(2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3)=0$ $(3y+2+2x)-(4y+1+3x)=0$ $ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$ $ 1-y-x=0$ $ 1-x=y$ Persamaan garis sejajar $l$ melalui $(3,4)$ $\begin{align} m & = -1 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -1(x-3) \\ y-4 & = -x+3 \\ y & = -x+7 \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ x+y-7=0$16. Soal SIMAK UI 2009 Kode 921 (*Soal Lengkap)Diketahui $P=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ yaitu $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 6x+y-20=0 \\ (B)\ & 2x-3y-6=0 \\ (C)\ & 3x-2y-4=0 \\ (D)\ & x-6y+16=0 \\ (E)\ & 6x-y-16=0 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Unsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis yaitu sebuah titik dan gradien. Tetapi gradien sanggup kita ketahui sesudah sedikit berguru kembali wacana perkalian matriks dan determinan matrisk ordo $2 \times 2$, dimana $m=k=|PQ|$ $\begin{align} m & = |PQ| \\ & = \left | \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right | \\ & = \begin{vmatrix} -1 & -4\\ 0 & -6 \end{vmatrix} \\ & = 6-0=6 \end{align}$ Titik $A$ $\begin{array}{c|c|cc} 2x-y = 4 & (\times 2) \\ 3x-2y = 5 & (\times 1) \\ \hline 4x-2y = 8 & \\ 3x-2y = 5 & (-) \\ \hline x = 3 & \\ 3x-2y = 5 & \\ 3(3)-2y = 5 & \\ y = 2 \end{array} $ Persamaan garis melalui $A(3,2)$ dengan $m=6$ $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 6(x-3) \\ y & = 6x-18+2 \\ y & = 6x-16 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 6x-y-16=0$17. Soal UMB 2012 Kode 270 (*Soal Lengkap)Jika garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ di titik $(1,-1)$ sejajar dengan garis $2x+y=1$, maka $a=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -\dfrac{3}{2} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Karena garis singgung sejajar dengan garis $2x+y=1$ $(m=-2)$ maka gradien garis singgung yaitu $m=-2$, sehingga berlaku: $\begin{align} m & = f'(x) \\ m & = 2ax+b \\ -2 & = 2a(1)+b \\ -2 & = 2a +b \end{align}$ Pada titik $(1,-1)$ maka $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ berlaku $-1=a(1)^{2}+b(1)+(a+b)$ atau $2a+2b=-1$ $\begin{array}{c|c|cc} 2a+b=-2 & \\ 2a+2b=-1 & (-) \\ \hline -b=-1\ & 2a+b=-2 \\ b= 1\ & 2a+1=-2\\ & a=\dfrac{-1}{2} \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -\dfrac{1}{2}$18. Soal UM UGM 2008 Kode 482 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis $6x-10y-7=0$ dan $3x+4y-8=0$ dan tegak lurus dengan garis yang ke-2 adalah... $\begin{align} (A)\ & 3y-4x+13=0 \\ (B)\ & 3y-4x+\dfrac{13}{2}=0 \\ (C)\ & 3y+4x-13=0 \\ (D)\ & 3y+4x-\dfrac{13}{2}=0 \\ (E)\ & 3y-4x+10=0 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} 6x-10y-7=0 & (\times 1) \\ 3x+4y-8=0 & (\times 2) \\ \hline 6x-10y-7=0 & \\ 6x+8y-16=0 & (-) \\ \hline -18y+9=0 & 6x+8y-16=0 \\ 18y = 9 & 6x+8 \cdot \dfrac{1}{2} -16=0 \\ y =\dfrac{1}{2} & x=2 \end{array} $ Garis yang akan kita tentukan melalui $(2,\dfrac{1}{2})$ dan tegak lurus dengan $3x+4y-8=0$ $(m=-\dfrac{3}{4})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=\dfrac{4}{3}$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3}(x-2) \\ y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3} x- \dfrac{8}{3} \\ 3y-\dfrac{3}{2} & = 4 x- 8 \\ 3y-4x-\dfrac{3}{2}+8 & = 0 \\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} & = 0 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} = 0$ 19. Soal UM UGM 2008 Kode 482 (*Soal Lengkap)Agar ketiga garis $3x+2y+4=0$, $x-3y+5=0$ dan $2x+(m+1)y-1=0$ berpotongan di satu titik, maka nilai $m$ haruslah... $\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 6 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Agar ketiga garis berpotongan di satu titik, kita coba dengan mencari titik potong dua garis, yaitu: $\begin{array}{c|c|cc} 3x+2y+4=0 & (\times 1) \\ x-3y+5=0 & (\times 3) \\ \hline 3x+2y+4=0 & \\ 3x-9y+15=0 & (-) \\ \hline 11y-11=0 & 3x-9y+15=0 \\ 11y = 11 & 3x-9 +15=0 \\ y =1 & x=-2 \end{array} $ Titik potong kedua garis di atas juga harus berlaku pada $2x+(m+1)y-1=0$ supaya ketiga garis tersebut berpotongan pada satu titik. $\begin{align} 2x+(m+1)y-1 & = 0 \\ 2(-2)+(m+1)(1)-1 & = 0 \\ -4+ m+1 -1 & = 0 \\ m -4 & = 0 \\ m & = 4 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 4$20. Soal SNMPTN 2008 Kode 201 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung pada parabola $y=x^{2}-16x+24$ di titik portongnya dengan sumbu $Y$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y=-8x+16 \\ (B)\ & y= 8x-48 \\ (C)\ & y=-16x+24 \\ (D)\ & y=-8x+48 \\ (E)\ & y=16x+24 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Parabola $y=x^{2}-16x+24$ memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ yaitu pada titik $(0,24)$ Persamaan garis singgung adalah: $\begin{align} m & = f'(x) \\ & = 4x-16 \\ m & = 4(0)-16 =-16 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-24 & = -16(x-0) \\ y & = -16x+24 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -16x+24$21. Soal SNMPTN 2008 Kode 211 (*Soal Lengkap)Jika $P(2,5)$ merupakan titik singgung dari garis $y=ax+b$ pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ maka $a+b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Gradien dan garis singgung pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ di titik $P(2,5)$ adalah $\begin{align} m & = f'(x) \\ m & = \dfrac{3}{2}x^{2}+x-1 \\ & = \dfrac{3}{2}(2)^{2}+(2)-1 \\ & = 7 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = 7(x-2) \\ y & = 7x-14+5 \\ y & = 7x-9 \\ \end{align}$ Karena $y=ax+b \equiv y=7x-9$ maka $a+b=-2$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -2$22. Soal UM UGM 2007 Kode 741 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui titik potong garis $2x+2y-4=0$ dan $x-2y-5=0$ dan tegak lurus pada garis $12x+6y-3=0$ yaitu $x+by+c=0$ nilai $b+c$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -7 \\ (B)\ & -3\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -1\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} 2x+2y-4=0 & \\ x-2y-5=0 & (+) \\ \hline 3x-9=0 & \\ x=3 & \\ \hline 2x+2y-4=0 & 2(3)+2y-4=0 \\ 2y+2=0 & y=-1 \end{array} $ Garis yang akan kita tentukan melalui $(3,-1)$ dan tegak lurus dengan $12x+6y-3=0$ $(m=-\dfrac{12}{6}=-2)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=\dfrac{1}{2}$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-(-1) & = \dfrac{1}{2}(x-3) \\ y+1 & = \dfrac{1}{2} x - \dfrac{3}{2} \\ 2y+2 & = x - 3 \\ x-2y-5 & = 0 \\ b+c & = -7 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -7$23. Soal SPMB 2006 Kode 510 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui titik potong garis $4x+7y-15=0$ dan $14y =9x-4$ serta tegak lurus pada garis $21x+5y=3$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 21x-5y=3 \\ (B)\ & 11x-21y=5 \\ (C)\ & 5x-21y=-11 \\ (D)\ & 5x+21y=-11 \\ (E)\ & 5x-21y=11 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} 4x+7y-15=0 & (\times 2) \\ -9x+14y+4=0 & (\times 1) \\ \hline 8x+14y-30=0 & \\ -9x+14y+4=0 & (-) \\ \hline 17x-34=0 & \\ x=2 & \\ \hline 4x+7y-15=0 & 4(2)+7y-15=0 \\ 7y-7=0 & y=1 \end{array} $ Garis yang akan kita tentukan melalui $(2, 1)$ dan tegak lurus dengan $21x+5y+3$ $(m=-\dfrac{21}{5})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=\dfrac{5}{21}$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = \dfrac{5}{21}(x-2) \\ y-1 & = \dfrac{5}{21} x - \dfrac{10}{21} \\ 21y-21 & = 5x - 10 \\ 5x-21y & = -11 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 5x-21y = -11$24. Soal SPMB 2006 Kode 411 (*Soal Lengkap)Jika garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ berpotongan tegak lurus di titik $A$, maka koordinat $A$ adalah... $\begin{align} (A)\ & (1,1) \\ (B)\ & \left( \dfrac{1}{2},0 \right) \\ (C)\ & \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right) \\ (D)\ & \left( 1\dfrac{1}{4}, 1\dfrac{1}{2} \right) \\ (E)\ & \left( -1, -3 \right) \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ saling tegak lurus sehingga perkalian gradien kedua garis yaitu $-1$. $m_{h} \cdot m_{g}=-1$ $m_{h} \cdot 2=-1$ $m_{h} = \dfrac{-1}{2}$ Gradien garis $h$ yaitu $\dfrac{-1}{2}$ maka $h:\ y=-\dfrac{1}{2}x+1$ atau $h:\ 2y=-x+2$ Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} 2y=-x+2 & (\times 1) \\ y=2x-1 & (\times 2) \\ \hline 2y=-x+2 & \\ 2y=4x-2 & (-) \\ \hline 0=-5x+4 & \\ x=\dfrac{4}{5} & \\ \hline y=2x-1 & y=2x-1 \\ y=2(\dfrac{4}{5})-1 & y=\dfrac{3}{5} \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right)$25. Soal SPMB 2006 Kode 111 (*Soal Lengkap)Jika garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$ dan tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka $h$ memotong $g$ di titik... $\begin{align} (A)\ & \left( 2,1 \right) \\ (B)\ & \left( 4,0 \right) \\ (C)\ & \left( 3, 0 \right) \\ (D)\ & \left( 5, -1 \right) \\ (E)\ & \left( 6, -1 \right) \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$, sehingga sanggup kita misalkan $h:\ y=mx-8$. Garis $h:\ y=mx-8$ tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka perkalian gradien kedua garis yaitu $-1$. $m_{h} \cdot m_{g}=-1$ $m_{h} \cdot \dfrac{-1}{2}=-1$ $m_{h} = 2$ Gradien garis $h$ yaitu $2$ maka $h:\ y=2x-8$ atau $h:\ 2x-y=8$ Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} x+2y=4 & (\times 2) \\ 2x-y=8 & (\times 1) \\ \hline 2x+4y=8 & \\ 2x-y=8 & (-) \\ \hline 5y=0 & \\ y=0 & \\ \hline x+2y=4 & x=4 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \left( 4,0 \right)$26. Soal SPMB 2005 Kode 610 (*Soal Lengkap)Jika garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ sejajar dengan garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ maka konstanta $a=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{5} \\ (C)\ & \dfrac{1}{5} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & 5 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ sanggup kita sederhanakan menjadi $\begin{align} (x-2y)+a(x+y) & =a \\ x-2y +ax+ay & =a \\ (1+a)x+(a -2)y & =a \\ m\ & = -\dfrac{1+a}{a-2} \end{align}$ Garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ sanggup kita sederhanakan menjadi $\begin{align} (5y-x)+3a(x+y) & =2a \\ 5y-x +3a x+3ay & =2a \\ (3a-1)x+(5+3a)y & =a \\ m\ & = -\dfrac{3a-1}{5+3a} \end{align}$ Kedau garis di atas yaitu sejajar maka gradien kedua garis yaitu sama. $\begin{align} -\dfrac{1+a}{a-2} & = -\dfrac{3a-1}{5+3a} \\ (1+a)(5+3a) & = (3a-1)(a-2) \\ 5+3a+5a+3a^{2} & = 3a^{2}-6a-a+2 \\ 5+8a+ & = -7a+2 \\ 15a & = -3 \\ a & = \dfrac{-3}{15}=-\dfrac{1}{ 5} \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -\dfrac{1}{5}$27. Soal SPMB 2005 Kode 610 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y=x+1 \\ (B)\ & y=x-1 \\ (C)\ & y=-x+1 \\ (D)\ & y=-x-1 \\ (E)\ & y=2x-1 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk memilih garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$, kita cari koordinat titik potongnya secara lengkap. $\begin{align} (x=1) & y =x^{2}+2x-1 \\ & y =1^{2}+2(1)-1 \\ & y =2 \\ (x=-2) & y =x^{2}+2x-1 \\ & y =(-2)^{2}+2(-2)-1 \\ & y =-1 \end{align}$ Garis yang melalui $(1,2)$ dan $(-2,-1)$ adalah: $\begin{align} m & = \dfrac{-1-2}{-2-1} \\ & = \dfrac{-3}{-3}=1 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 1(x-1) \\ y & = x-1+2 \\ y & = x+1 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ y=x+1 $ 28. Soal UM UGM 2005 Kode 621 (*Soal Lengkap)Diketahui titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$. Persamaan garis melalui $P$ dan tegak lurus garis $l$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2x+3y-8=0 \\ (B)\ & 2x+3y-7=0 \\ (C)\ & 2x+3y+2=0 \\ (D)\ & 2x+3y+7=0 \\ (E)\ & 2x+3y+8=0 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$ sehingga berlaku: $3(a)-2(2)+1=0$ $3a-3=0$ $a=1$ Garis yang akan kita tentukan melalui $P(1, 2)$ dan tegak lurus dengan $3x-2y+1=0$ $(m=\dfrac{3}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=-\dfrac{2}{3}$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = -\dfrac{2}{3}(x-1) \\ y-2 & = -\dfrac{2}{3} x + \dfrac{2}{3} \\ 3y-6 & = -2 x + 2 \\ 3y+2x & = 8 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 2x+3y-8=0$29. Soal UM UGM 2005 Kode 821 (*Soal Lengkap)Garis yang melalui titik potong garis $x+2y-6=0$ dan $3x+2y-2=0$ serta tegak lurus garis $x-2y=5$ memotong sumbu $x$ di titik... $\begin{align} (A)\ & (-5,0) \\ (B)\ & (-2,0) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (2,0) \\ (E)\ & (5,0) \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} x+2y-6=0 & \\ 3x+2y-2=0 & (-) \\ \hline -2x-4=0 & \\ x =-2 & \\ \hline x+2y-6=0 & -2+2y-6=0 \\ 2y-8=0 & y=4 \end{array} $ Garis yang akan kita tentukan melalui $(-2, 4)$ dan tegak lurus dengan $x-2y=5$ $(m=\dfrac{1}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=-2 $. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -2(x+2) \\ y & = -2x-4+4 \\ y & = -2x \end{align}$ Garis $y = -2x$ memotong sumbu $X$ di titik $(0,0)$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ (0,0)$30. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Garis $g:\ y=-2x+3$ dan $h:\ y=2x-5$ berpotongan di titik $A$. Garis $k$ melalui $A$ dan sejajar dengan $l:\ y=3x+7$. Jika garis $k$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -7 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 5 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} y=-2x+3 & \\ y=2x-5 & (-) \\ \hline -4x+8=0 & \\ x = 2 & \\ \hline y=2x-5 & y=2(2)-5 \\ & y=-1 \end{array} $ Garis yang akan kita tentukan melalui $A(2, -1)$ dan sejajar dengan $y=3x+7$ $(m=3)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=3 $. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y+1 & = 3(x-2) \\ y & = 3x-6-1 \\ y & = 3x-7 \end{align}$ Garis $y = 3x-7$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=-7$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -7$31. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Jika $A(3,2)$, $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$, maka persamaan garis yang melelui titik $A$ dan tegak lurus $BC$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y=-4x+10 \\ (B)\ & y=-4x+5 \\ (C)\ & y= 4x-1 \\ (D)\ & y=-4x+14 \\ (E)\ & y= 4x-14 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Gradien garis $BC$ melalui $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$ adalah: $\begin{align} m & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ m_{BC} & = \dfrac{1-0}{2+2} \\ & = \dfrac{1}{4} \end{align}$ Garis yang akan kita tentukan melalui $A(3,2)$ dan tegak lurus $BC$ dimana $ m_{BC}=\dfrac{1}{4}$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=-4$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = -4(x-3) \\ y & = -4x+12+2 \\ y & = -4x+14 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ y=-4x+14$32. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Parabola $y=ax^{2}+bx+1$ menyinggung sumbu $X$. Jika garis singgung pada parabola tersebut di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$, maka $a=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \\ \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Gradien garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ adalah: $\begin{align} m & = f'(x) \\ m & = 2ax+b \\ m & = b \end{align}$ Diketahui bahwa garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$ $m=\dfrac{1}{2}$ sehingga gradien garis singgung parabola yaitu $m=-2$ maka nilai $b=-2$. Parabola $y=ax^{2}-2x+1$ menyinggung sumbu $X$ sehingga $D=b^{2}-4ac=0$ $\begin{align} b^{2}-4ac & = 0 \\ (-2)^{2}-4(a)(1) & = 0 \\ 4-4a & = 0 \\ 4 & = 4a \\ a & = 1 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 1$33. Soal SPMB 2005 Kode 270 (*Soal Lengkap)Jika $f'(x)=x^{2}+2x$ dan garis $g$ menyinggung kurva $f$ di titik singguung $(1,2)$, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik... $\begin{align} (A)\ & (0,-2) \\ (B)\ & (0,-1) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (0,1) \\ (E)\ & (0, 2) \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Gradien garis $g$ yang menyinggung $f$ di titik $(1,2)$ adalah: $\begin{align} m & = f'(x) \\ m & = x^{2}+2x \\ m & = 1^{2}+2(1) \\ m & = 3 \end{align}$ Persamaan garis $g$ yang melalui titik $(1,2)$ dengan $m=3$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 3(x-1) \\ y & = 3x-3+2 \\ y & = 3x-1 \\ \end{align}$ Garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-1)$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ (0,-1)$34. Soal SPMB 2005 Kode 270 (*Soal Lengkap)Jika garis $y=1$ menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka $b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\ (C)\ & -1\ \text{atau}\ 3 \\ (D)\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\ (E)\ & -2\ \text{atau}\ 2 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Garis $y=1$ merupakan garis horizontal, sehingga jikalau menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka sanggup kita simpulkan bahwa titik $(-b,1)$ merupakan puncak parabola $(x_{p},y_{p})$ $\begin{array}{c|c|cc} x_{p} = \dfrac{-b}{2a} & y_{p} = \dfrac{-D}{4a} \\ -b = \dfrac{-b}{2a} & 1 = -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ -2ab = -b & -4a = b^{2}-4ac \\ 2a = 1 & -4 \cdot \dfrac{1}{2} = b^{2}-4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3\\ a = \dfrac{1}{2} & -2 = b^{2}-6\\ & b^{2} = 4 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -2\ \text{atau}\ 2 $35. Soal SPMB 2005 Kode 370 (*Soal Lengkap)Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ dan menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$. Jika garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$ maka $b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ maka gradien garis $g$ yaitu $m_{g}=-3$, maka sanggup kita misalkan garis $g$ yaitu $g:\ y=-3x+n$ Garis $g:\ y=-3x+n$ juga menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$, maka diskriminan persamaan kuadrat komplotan yaitu nol $(D = 0)$; $\begin{align} y = & y \\ 2x^{2}+x-3 = & -3x+n \\ 2x^{2}+x+3x-3-n = & 0 \\ 2x^{2}+4x-3-n = & 0 \\ D = & b^{2}-4ac \\ 0 = & (4)^{2}-4(2)(-3-n) \\ 0 = & 16+24+8n \\ 8n = & -40 \\ n = & -5 \end{align}$ Garis $g:\ y=-3x+n$ yaitu $y=-3x-5$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-5)$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -5$36. Soal UM UGM 2004 Kode 332 (*Soal Lengkap)Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left(-1\dfrac{1}{2},-3\dfrac{1}{2} \right) \\ (B)\ & \left(0,-3 \right) \\ (C)\ & \left( 1\dfrac{1}{2},-2\dfrac{1}{2} \right) \\ (D)\ & \left( 3,-2 \right) \\ (E)\ & \left(9,0 \right) \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ yaitu titik potong garis yang melalui $(1,4)$ dan tegak lurus $2x-6y=18$. Garis yang akan kita tentukan melalui $(1,4)$ dan tegak lurus dengan $2x-6y=18$ $(m= \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=- 3 $. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -3(x-1) \\ y-4 & = -3x +3 \\ y & = -3 x+7 \end{align}$ Titik potong kedua garis singgung $\begin{array}{c|c|cc} 2x-6y=18 & (\times 3) \\ 3x+y = 7 & (\times 2) \\ \hline 6x-18y=54 & \\ 6x+2y = 14 & (-) \\ \hline -20y = 40 & \\ y = -2 & 3x+y = 7 \\ & 3x-2 = 7 \\ & 3x = 9 \\ & x=3 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \left( 3,-2 \right)$ 37. Soal UM UGM 2004 Kode 322 (*Soal Lengkap)Garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$. Jika $l \perp h $, dan $0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}$ maka $b-c=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 3-2\sqrt{3} \\ (B)\ & 3- \sqrt{3} \\ (C)\ & \sqrt{3}-3 \\ (D)\ & 2\sqrt{3}-3 \\ (E)\ & 3\sqrt{3}-3 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk menuntaskan soal ini kita perlu sedikit catatan wacana turunan yaitu jikalau $y=k\ \text{k=konstanta}$ maka $y'=0$ dan jikalau $y=cos\ ax$ maka $y'=-a\ sin\ ax$. Gradien garis $l$ yang menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ adalah: $\begin{align} m & = y' \\ m & = 2sin\ x \\ m & = 2sin\ a \end{align}$ Gradien garis $h$ yang menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ adalah: $\begin{align} m & = y' \\ m & = -2sin\ x \\ m & = -2sin\ a \end{align}$ Karena garis $l \perp h $ maka: $\begin{align} m_{l} \cdot m_{h} & = -1 \\ 2sin\ a \cdot -2sin\ a & = -1 \\ -4sin^{2}a & = -1 \\ sin^{2}a & = \dfrac{1}{4} \\ sin\ a & = \dfrac{1}{2} \\ a & = 30^{\circ} \end{align}$ Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ sehingga: $\begin{align} y & = 3-2 cos\ x \\ b & = 3-2 cos\ 30^{\circ} \\ & = 3-2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = 3- \sqrt{3} \end{align}$ Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ sehingga: $\begin{align} y & = 2cos\ x \\ c & = 2cos\ 30^{\circ} \\ & = 2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = \sqrt{3} \end{align}$ Nilai $b-c$ yaitu $3- \sqrt{3}-\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 3-2\sqrt{3}$38. Soal UM UGM 2004 Kode 121 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}$ di titik potong kurva tersebut dengan kurva $y=\dfrac{1}{x}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y+2x+1=0 \\ (B)\ & y+2x-1=0 \\ (C)\ & y-2x+1=0 \\ (D)\ & y-2x-1=0 \\ (E)\ & 2y-x+1=0 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Titik potong kurva $y=x^{2}$ dan kurva $y=\dfrac{1}{x}$ $\begin{align} y & = y \\ x^{2} & = \dfrac{1}{x} \\ x^{3} & = 1 \\ x^{3} -1 & = 0 \\ x^{3}-1 & = 0 \\ (x-1)(x^{2}+x+1) & = 0 \end{align}$ Salah satu nilai $x$ yang memenuhi yaitu $x=1$ maka $y=x^{2}=1^{2}=1$ sehingga titik potong yaitu $(1,1)$ Persamaan garis singgug kurva $y=x^{2}$ di titik $(1,1)$ adalah: $\begin{align} m & = y' \\ & = 2x \\ m & = 2(1)=2 \\ \hline y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2+1 \\ y & = 2x-1 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ y-2x+1=0$39. Soal SPMB 2004 Kode 440 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2x-y+2=0 \\ (B)\ & 2x+y-6=0 \\ (C)\ & 4x-y =0 \\ (D)\ & -2x+y-2=0 \\ (E)\ & -4x-y+6=0 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$, maka ordinatnya yaitu $y=1+\dfrac{3}{1}=4$ Persamaan garis singgug kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik $(1,4)$ adalah: $\begin{align} m & = y' \\ & = 1-\dfrac{3}{x^{2}} \\ m & = 1-\dfrac{3}{1^{2}} \\ & = 1-3=-2 \\ \hline y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -2(x-1) \\ y & = -2x+2+4 \\ y & = -2x+6 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2x+y-2=0$40. Soal SPMB 2004 Kode 541 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung pada kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 4x+2y-5=0 \\ (B)\ & 2x+ y+5=0 \\ (C)\ & 4x+2y+5=0 \\ (D)\ & 2x+y-5=0 \\ (E)\ & 8x+4y-5=0 \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Garis singgung kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ $(m=-\dfrac{6}{3}=-2)$ sehingga: $\begin{align} m & = y' \\ -2 & = 2x+2 \\ -2-2 & = 2x \\ x & = -2 \\ \hline y & = x^{2}+2x-1 \\ y & = (-2)^{2}+2(-2)-1 \\ y & = 4-4-1=-1 \end{align}$ Persamaan garis singgung yang akan kita tentukan melalui $(-2,-1)$ dan $m=-2$ $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y+1 & = -2(x+2) \\ y & = -2x-4-1 \\ y & = -2x-5 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2x+y+5=0$41. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{2x+7}$ yang tegak lurus dengan garis $5x+y-10=0$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x-5y+4=0 \\ (B)\ & x-5y+16=0 \\ (C)\ & x-5y+34=0 \\ (D)\ & x+5y-4=0 \\ (E)\ & x+5y-16=0 \\ \\ \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Jika gradien garis singgung kurva yaitu $m_{1}$, gradien garis $5x+y-10=0$ yaitu $m_{2}=-5$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku: $\begin{align} m_{1} \times m_{2}=-1 \\ m_{1} \times -5=-1 \\ m_{1} = \dfrac{1}{5} \end{align}$ Untuk mendapat Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis. Gradien persamaan garis singgung pada kurva $y=\sqrt{2x+7}$ gradiennya yaitu $m=\dfrac{1}{5}$. $\begin{align} y & = \sqrt{2x+7} \\ y & = \left( 2x+7 \right)^{\frac{1}{2}} \\ m=y' & = \frac{1}{2} \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \\ \dfrac{1}{5} & = \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ \dfrac{1}{5} & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+7}} \\ \sqrt{2x+7} & = 5 \\ 2x+7 & = 25 \\ 2x & = 18 \\ x & = 9 \\ y & = \sqrt{2x+7}\\ &=\sqrt{2(9)+7}=5 \end{align} $ Persamaan garis singgung kurva melalui titik $(9,5)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{5}$ $\begin{align} y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\ y-5 & = \dfrac{1}{5} (x-9) \\ 5y-25 & = x-9 \\ 5y-x-25+9 & = 0 \\ 5y-x-16 & = 0 \\ x-5y+16 & = 0 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ x-5y+16=0$42. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)Persamaan garis yang melalui $A(2,-4)$ dan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y=2x^{2}-3x-6$ pada titik tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & 5x-y-14=0 \\ (B)\ & 5x+y-6=0 \\ (C)\ & x+5y-27=0 \\ (D)\ & x+5y+18=0 \\ (E)\ & x-5y-22=0 \\ \\ \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk mendapat Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis. $\begin{align} y & = 2x^{2}-3x-6 \\ m=y' & = 4x-3 \\ \hline x=2 \\ \hline m=4(2)-3=5 \end{align} $ Jika gradien garis singgung kurva yaitu $m_{1}=5$, gradien garis yaitu $m_{2}$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku: $\begin{align} m_{1} \times m_{2}=-1 \\ 5 \times m_{2}=-1 \\ m_{2} = -\dfrac{1}{5} \end{align}$ Persamaan garis singgung kurva melalui titik $A(2,-4)$ dengan gradien $m=-\dfrac{1}{5}$ $\begin{align} y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\ y-(-4) & = -\dfrac{1}{5} (x-2) \\ -5y-20 & = x-2 \\ -5y-20-x+2 & = 0 \\ -5y-x-18 & = 0 \\ x+5y+18 & = 0 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ x+5y+18=0$43. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019Diberikan fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$. Garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=a$ dan $x=a+1$ saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{\sqrt{37}} \\ (B)\ & \dfrac{4}{\sqrt{37}} \\ (C)\ & \dfrac{3}{\sqrt{37}} \\ (D)\ & \dfrac{2}{\sqrt{37}} \\ (E)\ & \dfrac{1}{\sqrt{37}} \end{align}$Alternatif Pembahasan: show Untuk menuntaskan soal ini kita perlu sedikit catatan wacana turunan yaitu jikalau $y=f(x)$ maka $m=y'=f'(x)$. Garis yang menyinggung fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$ di $x=a$ dan $x=a+1$ yaitu sejajar sehingga gradien kedua garis yaitu sama, sehingga berlaku: $\begin{align} m = f'(x) & = 6x^{2}+6x+6 \\ \hline x=a\ & \rightarrow m= 6a^{2}+6a+6 \\ x=a+1\ & \rightarrow m= 6(a+1)^{2}+6(a+1)+6 \end{align}$ $\begin{align} 6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+12a+6+6 a+6+6 \\ 6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+18a+18 \\ -12 & = 12a \\ a & = -1 \end{align}$ Untuk $x=-1$ maka $y=0$ dan gradien garis singgung yaitu $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah: $\begin{align} y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-0 & = 6 \left( x+1 \right) \\ y & = 6 x+ 6 \end{align}$ Untuk $x=0$ maka $y=5$ dan gradien garis singgung yaitu $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah: $\begin{align} y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-5 & = 6 \left( x+0 \right) \\ y & = 6 x+5 \end{align}$ Jarak kedua garis yaitu jarak titik (-1,0) pada garis $y = 6 x+6$ ke garis $y = 6 x+5$, yaitu: $\begin{align} d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{(-6)(-1)+(1)(0)-5}{\sqrt{(-6)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{1}{\sqrt{36+1}} \right| \\ & = \left| \dfrac{1}{\sqrt{37}} \right| \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ \dfrac{1}{\sqrt{37}}$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagorasBeberapa pembahasan soal Matematika Dasar Persamaan Garis (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas yaitu coretan kreatif siswa pada lembar tanggapan evaluasi harian matematika, lembar tanggapan evaluasi simpulan semester matematika, presentasi hasil diskusi matematika atau pembahasan quiz matematika di kelas. Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait duduk kasus alternatif penyelesaian soal Persamaan Garis diatas sangat diharapkan😊CMIIW Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊 Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, coba llihta video berikut; Sumber http://www.defantri.com
Jika garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ di titik $P(a,b)$ dengan $a \lt 0 $ memotong sumbu-y di titik $Q(0,-2)$, maka $a+b$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 7-4\sqrt{2} \\ (B)\ & 2-2\sqrt{2} \\ (C)\ & 1-2\sqrt{2} \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & -8 \end{align}$
Kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ melalui titik $P(a,b)$ sehingga berlaku $b=\dfrac{1}{4}a^{2}-1$ atau $4b+4=a^{2}$. Garis singgung kurva melalui titik $P(a,b)$ dan $Q(0,-2)$ maka garis singgung adalah; $\begin{align} \dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{0-a} \\ \dfrac{y-b}{-2-b} = & \dfrac{x-a}{-a} \\ -ay+ab = & -2x+2a-bx+ab \\ -ay+2x+bx-2a = & 0 \\ -ay+(2+b)x-2a = & 0 \\ m = & \dfrac{2+b}{a} \\ \end{align}$ Karena garis merupakan garis singgung kurva $y=\dfrac{1}{4}x^{2}-1$ maka gradien $m=y'=\dfrac{1}{2}x$ dan gradien garis singgung kurva di titik $P(a,b)$ yaitu $m=\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}a$. Dari kedua nilai $m$ di atas kita peroleh persamaan, sebagai berikut; $\begin{align} \dfrac{1}{2}a = & \dfrac{2+b}{a} \\ \dfrac{1}{2}a^{2} = & 2+b \\ \dfrac{1}{2}(4b+4) = & 2+b \\ 2b+2 = & 2+b \\ b = & 0 \end{align}$ Untuk $b=0$ maka $a^{2}=4b+4=4$, nilai $a=-2$ atau $a=2$ (TM). Nilai $a+b=-2+0=-2$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -2$
Suatu garis yang melalui titi $(0,0)$ membagi persegi panjang dengan titik-titik sudut $(1,0),(5,0),(1,12)$ dan $(5,12)$ menjadi dua bab yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & \dfrac{12}{5} \\ (E)\ & 3 \end{align}$
Suatu garis yang membagi persegi panjang jadi dua bab yang sama yaitu melalui titik $(0,0)$ maka yaitu $y=mx$. Jika kita gambarkan kurang lebih menyerupai berikut ini;
Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x-8y-9=0 \\ (B)\ & x+4y+3=0 \\ (C)\ & 2x-8y-10=0 \\ (D)\ & x+8y+7=0 \\ (E)\ & x-4y-5=0 \end{align}$
Garis singgung dari kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ yang melalui titik $(1,-1)$ kita misalkan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$, sehingga berlaku $y-(-1)=m(x-1)$ $y+1=mx-m$ $y=mx-m-1$ Karena garis $y=mx-m-1$ menyinggung kurva $y=\dfrac{x}{2-2x}$ maka diskriminan persamaan kuadrat komplotan yaitu nol $(D = 0)$; $\begin{align} y = & y \\ mx-m-1 = & \dfrac{x}{2-2x} \\ (mx-m-1)(2-2x) = & x \\ 2mx-2m-2-2mx^{2}+2mx+2x -x = & 0 \\ -2mx^{2}+4mx+x-2m-2 = & 0 \\ 2mx^{2}-4mx-x+2m+2 = & 0 \\ 2mx^{2}+(-4m-1)x+2m+2 = & 0 \end{align}$ $\begin{align} D = & b^{2}-4ac \\ 0 = & (-4m-1)^{2}-4(2m)(2m+2) \\ 0 = & 16m^{2}+8m+1 -16m^{2}-16m \\ 0 = & -8m+1 \\ 8m = & 1 \\ m = & \dfrac{1}{8} \end{align}$ Persamaan garis yaitu $y=mx-m-1$ sehingga $y=\dfrac{1}{8} x-\dfrac{1}{8}-1$ atau $8y=x-9$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ x-8y-9=0$
Garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-y di titik $R$. Nilai $a$ yang menciptakan segitiga $PQR$ sma sisi adalah... $\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{3} \\ (B)\ & \sqrt{3} \\ (C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4}\sqrt{3} \end{align}$
Gradien garis singgung kurva $y=3-x^{2}$ yaitu $m=y'=-2x$, Pada dikala garis singgung melalui titik $P(-a,b)$ dan $R$ maka $m_{PR}=2a$ Pada dikala garis singgung melalui titik $Q(a,b)$ dan $R$ maka $m_{QR}=-2a$ Garis singgung $PR$ dan $QR$ berpotongan dan membentuk segitiga sama sisi maka sudut yang dibuat oleh $PR$ dan $QR$ masing-masing terhadap sumbu-$x$ positif yaitu $60^{\circ}$ dan $120^{\circ}$, sehingga gradien garis $PR$ yaitu $m_{PR}=tan\ 60^{\circ}=\sqrt{3}$. Gradien $PR$ yaitu $m_{PR}=2a$ dan $m_{PR}=\sqrt{3}$ maka $2a=\sqrt{3}$ atau $a=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{1}{2}\sqrt{3}$
Jika garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ dan menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$, maka garis $g$ emeotong sumbu-$y$ di titik... $\begin{align} (A)\ & (0,-4) \\ (B)\ & (0,-1) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (0,1) \\ (E)\ & (0,4) \end{align}$
Garis yang sejajar memiliki gradien yang sama, dan garis $g$ sejajar dengan garis $y=2x+7$ maka gradien garis $g$ yaitu $m_{g}=2$. Diketahui juga bahwa garis $g$ menyinggung kurva $y=x^{2}+4x+5$ maka $m_{g}=y'=2x+4$. Dari nilai $m_{g}=y'=2x+4$ dan $m_{g}=2$ sanggup kita tentukan nilai $x$ dan $y$ dikala $m=2$ yaitu $\begin{align} m_{g} & = m_{g} \\ 2x+4 & = 2 \\ 2x & =-2 \\ x & =-1 \\ y & = x^{2}+4x+5 \\ y & = (-1)^{2}+4(-1)+5 \\ y & = 1-4+5 \\ y & = 2 \end{align}$ Garis $g$ yaitu garis yang melalui titik $(-1,2)$ dan gradien $m=2$, maka persamaan garis $g$ adalah... $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 2(x-(-1)) \\ y-2 & = 2x+2 \\ y-2x & = 4 \end{align}$ Garis $g: y-2x = 4$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,4)$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ (0,4)$
Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di titik $P$. Persamaan garis singgung kurva di titik $P$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x-9y-9=0 \\ (B)\ & x-9y+9=0 \\ (C)\ & 9x-y-9=0 \\ (D)\ & 9x-y+9=0 \\ (E)\ & 9x+y-9=0 \end{align}$
Kurva $y=3x-\dfrac{3}{x^{2}}$ memotong sumbu $X$ di $P$ maka berlaku $\begin{align} 3x-\dfrac{3}{x^{2}} & = 0 \\ 3x^{3}-3 & = 0 \\ x^{3}-1 & = 0 \\ (x-1)(x^{2}+x+1) & = 0 \end{align}$ Salah satu nilai $x$ yang memenuhi yaitu $x=1$ maka titik $P$ yaitu $(1,0)$ Untuk sebuah fungsi $f(x)$ gradien di titik $(a,b)$ yaitu turunan pertama fungsi untuk $x=a$ yaitu $m=f'(a)$, sehingga sanggup kita peroleh: $\begin{align} m & = f'(x) \\ & = 3+\dfrac{6}{x^{3}} \\ m & = 3+\dfrac{6}{(1)^{3}} \\ m & = 9 \end{align}$ Garis singgung kurva di titik $P(1,0)$ adalah: $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = 9(x-1) \\ y & = 9x-9 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 9x-y-9=0$
Titik $P$ dan $Q$ masing-masing memiliki absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$. Jika garis $g$ tegak lurus $PQ$ dan menyinggung parabola tersebut, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik berordinat... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}+1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{4p^{2}}-1 \\ (D)\ & \dfrac{p^{2}-1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{1}{4p^{2}}+1 \end{align}$
Karena absis $2p$ dan $-3p$ terletak pada parabola $y=x^{2}-1$ maka titik $P$ yaitu $(2p, 4p^{2}-1)$ dan titik $Q$ yaitu $(-3p, 9p^{2}-1)$. Gradien garis $PQ$ yaitu $\begin{align} m_{PQ} & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ & = \dfrac{9p^{2}-1-(4p^{2}-1)}{-3p-(2p)} \\ & = \dfrac{9p^{2}-1-4p^{2}+1 }{-3p-2p } \\ & = \dfrac{5p^{2} }{5p } \\ & = p \end{align}$ Garis $g$ kita misalkan $g:y=mx+n$ dan garis $PQ$ tegak lurus maka $\begin{align} m_{PQ} \cdot m_{g} & = -1 \\ p \cdot m_{g} & = -1 \\ m_{g} & = -\dfrac{1}{p } \end{align}$ Diketahui juga bahwa garis $g:y=-\dfrac{1}{p}x+n$ menyinggung $y=x^{2}-1$ maka $\begin{align} -\dfrac{1}{p}x+n & = x^{2}-1 \\ x^{2}-1 +\dfrac{1}{p}x-n & = 0 \\ x^{2} +\dfrac{1}{p}x-n-1 & = 0 \\ D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ \dfrac{1}{p^{2}}-4(1)(-n-1) & = 0 \\ \dfrac{1}{p^{2}}+4n+4 & = 0 \\ 4n & = -\dfrac{1}{p^{2}}-4 \\ n & = -\dfrac{1}{4p^{2}}-1 \end{align}$ Persamaan garis $g$ yaitu $y=-\dfrac{1}{p}x -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -\dfrac{1}{4p^{2}}-1$
Garis $l$ memiliki gradien $2$. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-x^{2}+px+l$ di $x=1$, maka persamaan $l$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y=2x-3 \\ (B)\ & y=2x-1 \\ (C)\ & y=2x \\ (D)\ & y=2x+2 \\ (E)\ & y=2x+4 \end{align}$
Gradien garis $l$ yaitu $2$, maka sanggup kita misalkan garis $l$ yaitu $l: y=2x+n$ Karena garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+px+1$ di $x=1$ maka: $\begin{align} m_{l} & = y' \\ 2 & = -2x+p \\ 2 & = -2+p \\ 4 & = p \end{align}$ Garis $l:y=2x+n$ menyinggung $y=-x^{2}+4x+1$ di $x=1$ maka $y=-(1)^{2}+4(1)+1=4$. Untuk $x=1$ nilai $y=4$ maka: $\begin{align} y & = 2x+n \\ 4 & = 2(1) + n \\ 2 & = n \\ y & = 2x+n \\ y & = 2x+2 \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ y=2x+2$
Jika garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align}$
Gradien garis singgung parabola $y=4x-x^{2}$ di titik $M(1,3)$ yaitu $m=4-2x=4-2(1)=2$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-3 & = 2(x-1) \\ y-3 & = 2x-2 \\ y & = 2x+1 \end{align}$ Karena $y = 2x+1$ juga merupakan garis singgung $y=x^{2}-6x+k$ maka $\begin{align} m & = y' \\ 2 & = 2x-6 \\ 8 & = 2x \\ x & = 4 \\ y & = 2x+1 \\ y & = 2(4)+1=9 \\ y & = x^{2}-6x+k \\ 9 & = 4^{2}-6(4)+k \\ 9 & = 16-24+k \\ k & = 9+8=17 \end{align}$ Nilai $5-\sqrt{k-1}= 5-\sqrt{17-1}=1$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 1$
Garis lurus dengan gradien positif memotong parabola $y=(x-2)^{2}$ di titik $P$ dan $Q$. Jika $T(3,5)$ yaitu titik tengah ruas garis $PQ$, maka garis $PQ$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y=4x-7 \\ (B)\ & y=3x-4 \\ (C)\ & y=2x-1 \\ (D)\ & y=x+2 \\ (E)\ & y=\dfrac{1}{2}x+3\dfrac{1}{2} \end{align}$
Misal titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$. Titik $T(3,5)$ yaitu titik tengah $PQ$ sehingga berlaku $3=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}$ atau $ x_{1}+x_{2}=6$ dan $5=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}$ atau $ y_{1}+y_{2}=10$ Karena titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$ terletak pada parabola $y=x^{2}-4x+4$ sehingga berlaku: $\begin{array}{c|c|cc} x_{1}^{2}-4x_{1}+4 = y_{1} & \\ x_{2}^{2}-4x_{2}+4 = y_{2} & (+) \\ \hline x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4(x_{1}+x_{2})+8 = y_{1}+y_{2} & \\ (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}-4(6)+8 = 10 & \\ 6^{2}-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\ 36-2x_{1}x_{2}-24 = 2 & \\ 2x_{1}x_{2} = 10 & \\ x_{1}x_{2} = 5 & \\ x_{1} = 1 & \\ x_{2} = 5 & \end{array} $ $\begin{align} y_{2} & = x_{2}^{2}-4x_{2}+4 \\ & = 5^{2}-4(5)+4 \\ & = 9 \\ y_{1} & = x_{1}^{2}-4x_{1}+4 \\ & = 1^{2}-4(1)+4 \\ & = 1 \end{align}$ Persamaan garis $PQ$ $\begin{align} m & = \dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ m & = \dfrac{5-1}{3-1} =2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2+1 \\ y & = 2x-1 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ y=2x-1$
Titik pada garis $y=3x+10$ yang terdekat dengan titik $(3,8)$ yaitu titik $P$. Jarak titik $P$ dan $(3,8)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{11}{10} \\ (B)\ & \dfrac{11\sqrt{10}}{10} \\ (C)\ & \dfrac{91}{10} \\ (D)\ & \dfrac{91\sqrt{10}}{10} \\ (E)\ & \dfrac{121\sqrt{10}}{10} \end{align}$
Titik $P$ terletak pada garis $y=3x+10$ dan merupakan jarak yang terdekat dengan titik $(3,8)$, sehingga jarak titik $P$ dengan titik $(3,5)$ merupakan jarak titik $(3,5)$ dengan garis $y=3x+10$. Jarak titik $(x_{1}, y_{1})$ dengan garis $ax+by+c=0$ yaitu $d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right|$ Jarak titik $(3,5)$ dengan garis $-3x+y-10=0$ adalah: $\begin{align} d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{(-3)(3)+(1)(8)-10}{\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{-9+8-10}{\sqrt{9+1}} \right| \\ & = \left| \dfrac{-11}{\sqrt{10}} \right| \\ & = \dfrac{11}{10}\sqrt{10} \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{11}{10}\sqrt{10}$
Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ memiliki gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$. Ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ di titik yang sama. Jika jumlah nilai $x$ dari titik potong dengan sumbu $X$ dari ketiga garis yaitu $\dfrac{1}{9}$, maka persamaan garis $l_{2}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 117x-39=4 \\ (B)\ & 117x+39=4 \\ (C)\ & 117x-39=-4 \\ (D)\ & 39x+117y=4 \\ (E)\ & 39x-117y=-4 \end{align}$
Tiga buah garis lurus $l_{1},\ l_{2},\ \text{dan}\ l_{3}$ memiliki gradien masing-masing $2,\ 3,\ 4$ dan ketiga garis ini memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ di titik yang sama sehingga sanggup kita misalkan:
Diketahui fungsi kuadrat $f(x)=x^{2}-4x+5$. Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)$ dan garis $y=5$ membentuk sebuah segitiga dengan garis $y=5$. Maka titik potong kedua garis singgung tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & (-3,2) \\ (B)\ & (-2,3) \\ (C)\ & (2,-3) \\ (D)\ & (3,-2) \\ (E)\ & (3,2) \end{align}$
Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara $f(x)=x^{2}-4x+5$ dan garis $y=5$, maka titik potong tersebut adalah: $\begin{align} y & = x^{2}-4x+5 \\ 5 & = x^{2}-4x+5 \\ 0 & = x^{2}-4x \\ 0 & = (x-4)x \\ x & = 4 \\ x & = 0 \\ \end{align}$ Dua buah garis singgung menyinggung $f(x)$ di titik $(0,5)$ dan $(4,5)$ dengan $m=2x-4$. Persamaan garis singgung pada $(0,5)$ $\begin{align} m & = 2x-4=-4 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = -4(x-0) \\ y-5 & = -4x \\ y+4x & = 5 \end{align}$ Persamaan garis singgung pada $(4,5)$ $\begin{align} m & = 2x-4=4 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = 4(x-4) \\ y-5 & = 4x-16 \\ y-4x & = -11 \end{align}$ Titik potong kedua garis singgung $\begin{array}{c|c|cc} y+4x = 5 & \\ y-4x = -11 & (+) \\ \hline 2y = -6 & \\ y = -3 & \\ y+4x = 5 & \\ -3+4x = 5 & \\ 4x = 5+3 & \\ x = 2 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ (2,-3)$
Garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ berpotongan di $(a,b)$. Nilai $a-b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Dua buah garis singgung kurva $y=x^{4}-x^{2}$ di titik $(1,0)$ dan $(-1,0)$ meiliki gradien $m=4x^{3}-2x$. Persamaan garis singgung pada $(1,0)$ $\begin{align} m = 4x^{3}-2x & = 4(1)^{3}-2(1)=2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2 \end{align}$ Persamaan garis singgung pada $(-1,0)$ $\begin{align} m = 4x^{3}-2x & = 4(-1)^{3}-2(-1)=-2 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-0 & = -2(x+1) \\ y & = -2x-2 \end{align}$ Titik potong kedua garis singgung $\begin{array}{c|c|cc} y-2x = -2 & \\ y+2x = -2 & (+) \\ \hline 2y = -4 & \\ y = -2 & \\ y+2x = -2 & \\ -2+4x = -2 & \\ 4x = 0 & \\ x = 0 \end{array} $ Titik potong $(a,b)=(0,-2)$ maka nilai $a-b=0-(-2)=2$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2$
Diketahui $l$ yaitu garis yang dinyatakan oleh $det(A)=0$ dimana $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, persamaan garis yang sejajar $l$ dan melalui titik $(3,4)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x+y-7=0 \\ (B)\ & x-y+7=0 \\ (C)\ & x-y+1=0 \\ (D)\ & x+y-1=0 \\ (E)\ & x+y+1=0 \end{align}$
Untuk mendapat persamaan garis $l$ kita butuh sedikit catatan untuk menentukan determinan matrisk ordo $3 \times 3$ yang nilainya yaitu nol. $0=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\ x & y & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} 1 & 1\\ x & y\\ 2 & 1 \end{matrix}\right|$ Persamaan garis $l$ adalah $(1 \cdot y \cdot 3+1 \cdot 1 \cdot 2+2 \cdot x \cdot 1)-(2 \cdot y \cdot 2+1 \cdot 1 \cdot 1+1 \cdot x \cdot 3)=0$ $(3y+2+2x)-(4y+1+3x)=0$ $ 3y+2+2x-4y-1-3x=0$ $ 1-y-x=0$ $ 1-x=y$ Persamaan garis sejajar $l$ melalui $(3,4)$ $\begin{align} m & = -1 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -1(x-3) \\ y-4 & = -x+3 \\ y & = -x+7 \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ x+y-7=0$
Diketahui $P=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, dan determinan dari matriks $PQ$ yaitu $k$. Jika garis $2x-y=4$ dan $3x-2y=5$ berpotongan di $A$, maka persamaan garis yang melalui $A$ dengan gradien $k$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 6x+y-20=0 \\ (B)\ & 2x-3y-6=0 \\ (C)\ & 3x-2y-4=0 \\ (D)\ & x-6y+16=0 \\ (E)\ & 6x-y-16=0 \end{align}$
Unsur-unsur yang dibutuhkan untuk membentuk sebuah persamaan garis yaitu sebuah titik dan gradien. Tetapi gradien sanggup kita ketahui sesudah sedikit berguru kembali wacana perkalian matriks dan determinan matrisk ordo $2 \times 2$, dimana $m=k=|PQ|$ $\begin{align} m & = |PQ| \\ & = \left | \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right | \\ & = \begin{vmatrix} -1 & -4\\ 0 & -6 \end{vmatrix} \\ & = 6-0=6 \end{align}$ Titik $A$ $\begin{array}{c|c|cc} 2x-y = 4 & (\times 2) \\ 3x-2y = 5 & (\times 1) \\ \hline 4x-2y = 8 & \\ 3x-2y = 5 & (-) \\ \hline x = 3 & \\ 3x-2y = 5 & \\ 3(3)-2y = 5 & \\ y = 2 \end{array} $ Persamaan garis melalui $A(3,2)$ dengan $m=6$ $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 6(x-3) \\ y & = 6x-18+2 \\ y & = 6x-16 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 6x-y-16=0$
Jika garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ di titik $(1,-1)$ sejajar dengan garis $2x+y=1$, maka $a=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -\dfrac{3}{2} \end{align}$
Karena garis singgung sejajar dengan garis $2x+y=1$ $(m=-2)$ maka gradien garis singgung yaitu $m=-2$, sehingga berlaku: $\begin{align} m & = f'(x) \\ m & = 2ax+b \\ -2 & = 2a(1)+b \\ -2 & = 2a +b \end{align}$ Pada titik $(1,-1)$ maka $y=ax^{2}+bx+(a+b)$ berlaku $-1=a(1)^{2}+b(1)+(a+b)$ atau $2a+2b=-1$ $\begin{array}{c|c|cc} 2a+b=-2 & \\ 2a+2b=-1 & (-) \\ \hline -b=-1\ & 2a+b=-2 \\ b= 1\ & 2a+1=-2\\ & a=\dfrac{-1}{2} \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -\dfrac{1}{2}$
Persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis $6x-10y-7=0$ dan $3x+4y-8=0$ dan tegak lurus dengan garis yang ke-2 adalah... $\begin{align} (A)\ & 3y-4x+13=0 \\ (B)\ & 3y-4x+\dfrac{13}{2}=0 \\ (C)\ & 3y+4x-13=0 \\ (D)\ & 3y+4x-\dfrac{13}{2}=0 \\ (E)\ & 3y-4x+10=0 \end{align}$
Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} 6x-10y-7=0 & (\times 1) \\ 3x+4y-8=0 & (\times 2) \\ \hline 6x-10y-7=0 & \\ 6x+8y-16=0 & (-) \\ \hline -18y+9=0 & 6x+8y-16=0 \\ 18y = 9 & 6x+8 \cdot \dfrac{1}{2} -16=0 \\ y =\dfrac{1}{2} & x=2 \end{array} $ Garis yang akan kita tentukan melalui $(2,\dfrac{1}{2})$ dan tegak lurus dengan $3x+4y-8=0$ $(m=-\dfrac{3}{4})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=\dfrac{4}{3}$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3}(x-2) \\ y-\dfrac{1}{2} & = \dfrac{4}{3} x- \dfrac{8}{3} \\ 3y-\dfrac{3}{2} & = 4 x- 8 \\ 3y-4x-\dfrac{3}{2}+8 & = 0 \\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} & = 0 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 3y-4x+\dfrac{13}{2} = 0$
Agar ketiga garis $3x+2y+4=0$, $x-3y+5=0$ dan $2x+(m+1)y-1=0$ berpotongan di satu titik, maka nilai $m$ haruslah... $\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 6 \end{align}$
Agar ketiga garis berpotongan di satu titik, kita coba dengan mencari titik potong dua garis, yaitu: $\begin{array}{c|c|cc} 3x+2y+4=0 & (\times 1) \\ x-3y+5=0 & (\times 3) \\ \hline 3x+2y+4=0 & \\ 3x-9y+15=0 & (-) \\ \hline 11y-11=0 & 3x-9y+15=0 \\ 11y = 11 & 3x-9 +15=0 \\ y =1 & x=-2 \end{array} $ Titik potong kedua garis di atas juga harus berlaku pada $2x+(m+1)y-1=0$ supaya ketiga garis tersebut berpotongan pada satu titik. $\begin{align} 2x+(m+1)y-1 & = 0 \\ 2(-2)+(m+1)(1)-1 & = 0 \\ -4+ m+1 -1 & = 0 \\ m -4 & = 0 \\ m & = 4 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 4$
Persamaan garis singgung pada parabola $y=x^{2}-16x+24$ di titik portongnya dengan sumbu $Y$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y=-8x+16 \\ (B)\ & y= 8x-48 \\ (C)\ & y=-16x+24 \\ (D)\ & y=-8x+48 \\ (E)\ & y=16x+24 \end{align}$
Parabola $y=x^{2}-16x+24$ memotong sumbu $Y$ $(x=0)$ yaitu pada titik $(0,24)$ Persamaan garis singgung adalah: $\begin{align} m & = f'(x) \\ & = 4x-16 \\ m & = 4(0)-16 =-16 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-24 & = -16(x-0) \\ y & = -16x+24 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ -16x+24$
Jika $P(2,5)$ merupakan titik singgung dari garis $y=ax+b$ pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ maka $a+b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & -1 \\ (E)\ & -2 \end{align}$
Gradien dan garis singgung pada kurva $f(x)=\dfrac{1}{2}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2}-x+1$ di titik $P(2,5)$ adalah $\begin{align} m & = f'(x) \\ m & = \dfrac{3}{2}x^{2}+x-1 \\ & = \dfrac{3}{2}(2)^{2}+(2)-1 \\ & = 7 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-5 & = 7(x-2) \\ y & = 7x-14+5 \\ y & = 7x-9 \\ \end{align}$ Karena $y=ax+b \equiv y=7x-9$ maka $a+b=-2$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -2$
Persamaan garis yang melalui titik potong garis $2x+2y-4=0$ dan $x-2y-5=0$ dan tegak lurus pada garis $12x+6y-3=0$ yaitu $x+by+c=0$ nilai $b+c$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -7 \\ (B)\ & -3\dfrac{1}{2} \\ (C)\ & -1\dfrac{1}{2} \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} 2x+2y-4=0 & \\ x-2y-5=0 & (+) \\ \hline 3x-9=0 & \\ x=3 & \\ \hline 2x+2y-4=0 & 2(3)+2y-4=0 \\ 2y+2=0 & y=-1 \end{array} $ Garis yang akan kita tentukan melalui $(3,-1)$ dan tegak lurus dengan $12x+6y-3=0$ $(m=-\dfrac{12}{6}=-2)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=\dfrac{1}{2}$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-(-1) & = \dfrac{1}{2}(x-3) \\ y+1 & = \dfrac{1}{2} x - \dfrac{3}{2} \\ 2y+2 & = x - 3 \\ x-2y-5 & = 0 \\ b+c & = -7 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -7$
Persamaan garis yang melalui titik potong garis $4x+7y-15=0$ dan $14y =9x-4$ serta tegak lurus pada garis $21x+5y=3$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 21x-5y=3 \\ (B)\ & 11x-21y=5 \\ (C)\ & 5x-21y=-11 \\ (D)\ & 5x+21y=-11 \\ (E)\ & 5x-21y=11 \end{align}$
Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} 4x+7y-15=0 & (\times 2) \\ -9x+14y+4=0 & (\times 1) \\ \hline 8x+14y-30=0 & \\ -9x+14y+4=0 & (-) \\ \hline 17x-34=0 & \\ x=2 & \\ \hline 4x+7y-15=0 & 4(2)+7y-15=0 \\ 7y-7=0 & y=1 \end{array} $ Garis yang akan kita tentukan melalui $(2, 1)$ dan tegak lurus dengan $21x+5y+3$ $(m=-\dfrac{21}{5})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=\dfrac{5}{21}$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = \dfrac{5}{21}(x-2) \\ y-1 & = \dfrac{5}{21} x - \dfrac{10}{21} \\ 21y-21 & = 5x - 10 \\ 5x-21y & = -11 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 5x-21y = -11$
Jika garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ berpotongan tegak lurus di titik $A$, maka koordinat $A$ adalah... $\begin{align} (A)\ & (1,1) \\ (B)\ & \left( \dfrac{1}{2},0 \right) \\ (C)\ & \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right) \\ (D)\ & \left( 1\dfrac{1}{4}, 1\dfrac{1}{2} \right) \\ (E)\ & \left( -1, -3 \right) \end{align}$
Garis $h:\ y=ax+1$ dan $g:\ y=2x-1$ saling tegak lurus sehingga perkalian gradien kedua garis yaitu $-1$. $m_{h} \cdot m_{g}=-1$ $m_{h} \cdot 2=-1$ $m_{h} = \dfrac{-1}{2}$ Gradien garis $h$ yaitu $\dfrac{-1}{2}$ maka $h:\ y=-\dfrac{1}{2}x+1$ atau $h:\ 2y=-x+2$ Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} 2y=-x+2 & (\times 1) \\ y=2x-1 & (\times 2) \\ \hline 2y=-x+2 & \\ 2y=4x-2 & (-) \\ \hline 0=-5x+4 & \\ x=\dfrac{4}{5} & \\ \hline y=2x-1 & y=2x-1 \\ y=2(\dfrac{4}{5})-1 & y=\dfrac{3}{5} \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \left( \dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5} \right)$
Jika garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$ dan tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka $h$ memotong $g$ di titik... $\begin{align} (A)\ & \left( 2,1 \right) \\ (B)\ & \left( 4,0 \right) \\ (C)\ & \left( 3, 0 \right) \\ (D)\ & \left( 5, -1 \right) \\ (E)\ & \left( 6, -1 \right) \end{align}$
Garis $h$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-8)$, sehingga sanggup kita misalkan $h:\ y=mx-8$. Garis $h:\ y=mx-8$ tegak lurus $g:\ x+2y=4$ maka perkalian gradien kedua garis yaitu $-1$. $m_{h} \cdot m_{g}=-1$ $m_{h} \cdot \dfrac{-1}{2}=-1$ $m_{h} = 2$ Gradien garis $h$ yaitu $2$ maka $h:\ y=2x-8$ atau $h:\ 2x-y=8$ Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} x+2y=4 & (\times 2) \\ 2x-y=8 & (\times 1) \\ \hline 2x+4y=8 & \\ 2x-y=8 & (-) \\ \hline 5y=0 & \\ y=0 & \\ \hline x+2y=4 & x=4 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \left( 4,0 \right)$
Jika garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ sejajar dengan garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ maka konstanta $a=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -5 \\ (B)\ & -\dfrac{1}{5} \\ (C)\ & \dfrac{1}{5} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3} \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Garis $(x-2y)+a(x+y)=a$ sanggup kita sederhanakan menjadi $\begin{align} (x-2y)+a(x+y) & =a \\ x-2y +ax+ay & =a \\ (1+a)x+(a -2)y & =a \\ m\ & = -\dfrac{1+a}{a-2} \end{align}$ Garis $(5y-x)+3a(x+y)=2a$ sanggup kita sederhanakan menjadi $\begin{align} (5y-x)+3a(x+y) & =2a \\ 5y-x +3a x+3ay & =2a \\ (3a-1)x+(5+3a)y & =a \\ m\ & = -\dfrac{3a-1}{5+3a} \end{align}$ Kedau garis di atas yaitu sejajar maka gradien kedua garis yaitu sama. $\begin{align} -\dfrac{1+a}{a-2} & = -\dfrac{3a-1}{5+3a} \\ (1+a)(5+3a) & = (3a-1)(a-2) \\ 5+3a+5a+3a^{2} & = 3a^{2}-6a-a+2 \\ 5+8a+ & = -7a+2 \\ 15a & = -3 \\ a & = \dfrac{-3}{15}=-\dfrac{1}{ 5} \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -\dfrac{1}{5}$
Persamaan garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y=x+1 \\ (B)\ & y=x-1 \\ (C)\ & y=-x+1 \\ (D)\ & y=-x-1 \\ (E)\ & y=2x-1 \end{align}$
Untuk memilih garis yang memotong parabola $y=x^{2}+2x-1$ di $x=1$ dan $x=-2$, kita cari koordinat titik potongnya secara lengkap. $\begin{align} (x=1) & y =x^{2}+2x-1 \\ & y =1^{2}+2(1)-1 \\ & y =2 \\ (x=-2) & y =x^{2}+2x-1 \\ & y =(-2)^{2}+2(-2)-1 \\ & y =-1 \end{align}$ Garis yang melalui $(1,2)$ dan $(-2,-1)$ adalah: $\begin{align} m & = \dfrac{-1-2}{-2-1} \\ & = \dfrac{-3}{-3}=1 \\ y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 1(x-1) \\ y & = x-1+2 \\ y & = x+1 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ y=x+1 $
Diketahui titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$. Persamaan garis melalui $P$ dan tegak lurus garis $l$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2x+3y-8=0 \\ (B)\ & 2x+3y-7=0 \\ (C)\ & 2x+3y+2=0 \\ (D)\ & 2x+3y+7=0 \\ (E)\ & 2x+3y+8=0 \end{align}$
Titik $P(a,2)$ terletak pada garis $l:3x-2y+1=0$ sehingga berlaku: $3(a)-2(2)+1=0$ $3a-3=0$ $a=1$ Garis yang akan kita tentukan melalui $P(1, 2)$ dan tegak lurus dengan $3x-2y+1=0$ $(m=\dfrac{3}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=-\dfrac{2}{3}$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = -\dfrac{2}{3}(x-1) \\ y-2 & = -\dfrac{2}{3} x + \dfrac{2}{3} \\ 3y-6 & = -2 x + 2 \\ 3y+2x & = 8 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 2x+3y-8=0$
Garis yang melalui titik potong garis $x+2y-6=0$ dan $3x+2y-2=0$ serta tegak lurus garis $x-2y=5$ memotong sumbu $x$ di titik... $\begin{align} (A)\ & (-5,0) \\ (B)\ & (-2,0) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (2,0) \\ (E)\ & (5,0) \end{align}$
Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} x+2y-6=0 & \\ 3x+2y-2=0 & (-) \\ \hline -2x-4=0 & \\ x =-2 & \\ \hline x+2y-6=0 & -2+2y-6=0 \\ 2y-8=0 & y=4 \end{array} $ Garis yang akan kita tentukan melalui $(-2, 4)$ dan tegak lurus dengan $x-2y=5$ $(m=\dfrac{1}{2})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=-2 $. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -2(x+2) \\ y & = -2x-4+4 \\ y & = -2x \end{align}$ Garis $y = -2x$ memotong sumbu $X$ di titik $(0,0)$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ (0,0)$
Garis $g:\ y=-2x+3$ dan $h:\ y=2x-5$ berpotongan di titik $A$. Garis $k$ melalui $A$ dan sejajar dengan $l:\ y=3x+7$. Jika garis $k$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -7 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & -2 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Titik potong kedua garis adalah: $\begin{array}{c|c|cc} y=-2x+3 & \\ y=2x-5 & (-) \\ \hline -4x+8=0 & \\ x = 2 & \\ \hline y=2x-5 & y=2(2)-5 \\ & y=-1 \end{array} $ Garis yang akan kita tentukan melalui $A(2, -1)$ dan sejajar dengan $y=3x+7$ $(m=3)$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=3 $. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y+1 & = 3(x-2) \\ y & = 3x-6-1 \\ y & = 3x-7 \end{align}$ Garis $y = 3x-7$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$, maka $b=-7$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -7$
Jika $A(3,2)$, $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$, maka persamaan garis yang melelui titik $A$ dan tegak lurus $BC$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y=-4x+10 \\ (B)\ & y=-4x+5 \\ (C)\ & y= 4x-1 \\ (D)\ & y=-4x+14 \\ (E)\ & y= 4x-14 \end{align}$
Gradien garis $BC$ melalui $B(-2,0)$ dan $C(2,1)$ adalah: $\begin{align} m & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ m_{BC} & = \dfrac{1-0}{2+2} \\ & = \dfrac{1}{4} \end{align}$ Garis yang akan kita tentukan melalui $A(3,2)$ dan tegak lurus $BC$ dimana $ m_{BC}=\dfrac{1}{4}$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=-4$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = -4(x-3) \\ y & = -4x+12+2 \\ y & = -4x+14 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ y=-4x+14$
Parabola $y=ax^{2}+bx+1$ menyinggung sumbu $X$. Jika garis singgung pada parabola tersebut di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$, maka $a=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \\ \end{align}$
Gradien garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ adalah: $\begin{align} m & = f'(x) \\ m & = 2ax+b \\ m & = b \end{align}$ Diketahui bahwa garis singgung pada parabola $y=ax^{2}+bx+1$ di titik $(0,1)$ tegak lurus $2y=x-1$ $m=\dfrac{1}{2}$ sehingga gradien garis singgung parabola yaitu $m=-2$ maka nilai $b=-2$. Parabola $y=ax^{2}-2x+1$ menyinggung sumbu $X$ sehingga $D=b^{2}-4ac=0$ $\begin{align} b^{2}-4ac & = 0 \\ (-2)^{2}-4(a)(1) & = 0 \\ 4-4a & = 0 \\ 4 & = 4a \\ a & = 1 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 1$
Jika $f'(x)=x^{2}+2x$ dan garis $g$ menyinggung kurva $f$ di titik singguung $(1,2)$, maka garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik... $\begin{align} (A)\ & (0,-2) \\ (B)\ & (0,-1) \\ (C)\ & (0,0) \\ (D)\ & (0,1) \\ (E)\ & (0, 2) \end{align}$
Gradien garis $g$ yang menyinggung $f$ di titik $(1,2)$ adalah: $\begin{align} m & = f'(x) \\ m & = x^{2}+2x \\ m & = 1^{2}+2(1) \\ m & = 3 \end{align}$ Persamaan garis $g$ yang melalui titik $(1,2)$ dengan $m=3$. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-2 & = 3(x-1) \\ y & = 3x-3+2 \\ y & = 3x-1 \\ \end{align}$ Garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-1)$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ (0,-1)$
Jika garis $y=1$ menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka $b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{2}\ \text{atau}\ \dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -1\ \text{atau}\ 1 \\ (C)\ & -1\ \text{atau}\ 3 \\ (D)\ & 1\ \text{atau}\ 3 \\ (E)\ & -2\ \text{atau}\ 2 \end{align}$
Garis $y=1$ merupakan garis horizontal, sehingga jikalau menyinggung parabola $y=ax^{2}+bx+3$ di titik $(-b,1)$, maka sanggup kita simpulkan bahwa titik $(-b,1)$ merupakan puncak parabola $(x_{p},y_{p})$ $\begin{array}{c|c|cc} x_{p} = \dfrac{-b}{2a} & y_{p} = \dfrac{-D}{4a} \\ -b = \dfrac{-b}{2a} & 1 = -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ -2ab = -b & -4a = b^{2}-4ac \\ 2a = 1 & -4 \cdot \dfrac{1}{2} = b^{2}-4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3\\ a = \dfrac{1}{2} & -2 = b^{2}-6\\ & b^{2} = 4 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ -2\ \text{atau}\ 2 $
Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ dan menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$. Jika garis $g$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,b)$ maka $b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align}$
Garis $g$ sejajar dengan garis $y=-3x+3$ maka gradien garis $g$ yaitu $m_{g}=-3$, maka sanggup kita misalkan garis $g$ yaitu $g:\ y=-3x+n$ Garis $g:\ y=-3x+n$ juga menyinggung kurva $y=2x^{2}+x-3$, maka diskriminan persamaan kuadrat komplotan yaitu nol $(D = 0)$; $\begin{align} y = & y \\ 2x^{2}+x-3 = & -3x+n \\ 2x^{2}+x+3x-3-n = & 0 \\ 2x^{2}+4x-3-n = & 0 \\ D = & b^{2}-4ac \\ 0 = & (4)^{2}-4(2)(-3-n) \\ 0 = & 16+24+8n \\ 8n = & -40 \\ n = & -5 \end{align}$ Garis $g:\ y=-3x+n$ yaitu $y=-3x-5$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0,-5)$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -5$
Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & \left(-1\dfrac{1}{2},-3\dfrac{1}{2} \right) \\ (B)\ & \left(0,-3 \right) \\ (C)\ & \left( 1\dfrac{1}{2},-2\dfrac{1}{2} \right) \\ (D)\ & \left( 3,-2 \right) \\ (E)\ & \left(9,0 \right) \end{align}$
Titik terdekat pada garis $2x-6y=18$ terhadap titik $(1,4)$ yaitu titik potong garis yang melalui $(1,4)$ dan tegak lurus $2x-6y=18$. Garis yang akan kita tentukan melalui $(1,4)$ dan tegak lurus dengan $2x-6y=18$ $(m= \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3})$ sehingga gradien garis yang akan kita tentukan yaitu $m=- 3 $. $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -3(x-1) \\ y-4 & = -3x +3 \\ y & = -3 x+7 \end{align}$ Titik potong kedua garis singgung $\begin{array}{c|c|cc} 2x-6y=18 & (\times 3) \\ 3x+y = 7 & (\times 2) \\ \hline 6x-18y=54 & \\ 6x+2y = 14 & (-) \\ \hline -20y = 40 & \\ y = -2 & 3x+y = 7 \\ & 3x-2 = 7 \\ & 3x = 9 \\ & x=3 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ \left( 3,-2 \right)$
Garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$. Jika $l \perp h $, dan $0 \lt a \lt \dfrac{\pi}{2}$ maka $b-c=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 3-2\sqrt{3} \\ (B)\ & 3- \sqrt{3} \\ (C)\ & \sqrt{3}-3 \\ (D)\ & 2\sqrt{3}-3 \\ (E)\ & 3\sqrt{3}-3 \end{align}$
Untuk menuntaskan soal ini kita perlu sedikit catatan wacana turunan yaitu jikalau $y=k\ \text{k=konstanta}$ maka $y'=0$ dan jikalau $y=cos\ ax$ maka $y'=-a\ sin\ ax$. Gradien garis $l$ yang menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ adalah: $\begin{align} m & = y' \\ m & = 2sin\ x \\ m & = 2sin\ a \end{align}$ Gradien garis $h$ yang menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ adalah: $\begin{align} m & = y' \\ m & = -2sin\ x \\ m & = -2sin\ a \end{align}$ Karena garis $l \perp h $ maka: $\begin{align} m_{l} \cdot m_{h} & = -1 \\ 2sin\ a \cdot -2sin\ a & = -1 \\ -4sin^{2}a & = -1 \\ sin^{2}a & = \dfrac{1}{4} \\ sin\ a & = \dfrac{1}{2} \\ a & = 30^{\circ} \end{align}$ Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $l$ menyinggung $y=3-2 cos\ x$ di $(a,b)$ sehingga: $\begin{align} y & = 3-2 cos\ x \\ b & = 3-2 cos\ 30^{\circ} \\ & = 3-2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = 3- \sqrt{3} \end{align}$ Untuk $a = 30^{\circ}$ garis $h$ menyinggung $y=2cos\ x$ di $(a,c)$ sehingga: $\begin{align} y & = 2cos\ x \\ c & = 2cos\ 30^{\circ} \\ & = 2 \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) = \sqrt{3} \end{align}$ Nilai $b-c$ yaitu $3- \sqrt{3}-\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 3-2\sqrt{3}$
Persamaan garis singgung kurva $y=x^{2}$ di titik potong kurva tersebut dengan kurva $y=\dfrac{1}{x}$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y+2x+1=0 \\ (B)\ & y+2x-1=0 \\ (C)\ & y-2x+1=0 \\ (D)\ & y-2x-1=0 \\ (E)\ & 2y-x+1=0 \end{align}$
Titik potong kurva $y=x^{2}$ dan kurva $y=\dfrac{1}{x}$ $\begin{align} y & = y \\ x^{2} & = \dfrac{1}{x} \\ x^{3} & = 1 \\ x^{3} -1 & = 0 \\ x^{3}-1 & = 0 \\ (x-1)(x^{2}+x+1) & = 0 \end{align}$ Salah satu nilai $x$ yang memenuhi yaitu $x=1$ maka $y=x^{2}=1^{2}=1$ sehingga titik potong yaitu $(1,1)$ Persamaan garis singgug kurva $y=x^{2}$ di titik $(1,1)$ adalah: $\begin{align} m & = y' \\ & = 2x \\ m & = 2(1)=2 \\ \hline y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-1 & = 2(x-1) \\ y & = 2x-2+1 \\ y & = 2x-1 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ y-2x+1=0$
Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 2x-y+2=0 \\ (B)\ & 2x+y-6=0 \\ (C)\ & 4x-y =0 \\ (D)\ & -2x+y-2=0 \\ (E)\ & -4x-y+6=0 \end{align}$
Persamaan garis singgung pada kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik yang berabsis $1$, maka ordinatnya yaitu $y=1+\dfrac{3}{1}=4$ Persamaan garis singgug kurva $y=x+\dfrac{3}{x}$ di titik $(1,4)$ adalah: $\begin{align} m & = y' \\ & = 1-\dfrac{3}{x^{2}} \\ m & = 1-\dfrac{3}{1^{2}} \\ & = 1-3=-2 \\ \hline y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y-4 & = -2(x-1) \\ y & = -2x+2+4 \\ y & = -2x+6 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2x+y-2=0$
Persamaan garis singgung pada kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 4x+2y-5=0 \\ (B)\ & 2x+ y+5=0 \\ (C)\ & 4x+2y+5=0 \\ (D)\ & 2x+y-5=0 \\ (E)\ & 8x+4y-5=0 \end{align}$
Garis singgung kurva $y=x^{2}+2x-1$ yang sejajar dengan garis $6x+3y-1=0$ $(m=-\dfrac{6}{3}=-2)$ sehingga: $\begin{align} m & = y' \\ -2 & = 2x+2 \\ -2-2 & = 2x \\ x & = -2 \\ \hline y & = x^{2}+2x-1 \\ y & = (-2)^{2}+2(-2)-1 \\ y & = 4-4-1=-1 \end{align}$ Persamaan garis singgung yang akan kita tentukan melalui $(-2,-1)$ dan $m=-2$ $\begin{align} y-y_{1} & = m(x-x_{1}) \\ y+1 & = -2(x+2) \\ y & = -2x-4-1 \\ y & = -2x-5 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2x+y+5=0$
Persamaan garis singgung kurva $y=\sqrt{2x+7}$ yang tegak lurus dengan garis $5x+y-10=0$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x-5y+4=0 \\ (B)\ & x-5y+16=0 \\ (C)\ & x-5y+34=0 \\ (D)\ & x+5y-4=0 \\ (E)\ & x+5y-16=0 \\ \\ \end{align}$
Jika gradien garis singgung kurva yaitu $m_{1}$, gradien garis $5x+y-10=0$ yaitu $m_{2}=-5$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku: $\begin{align} m_{1} \times m_{2}=-1 \\ m_{1} \times -5=-1 \\ m_{1} = \dfrac{1}{5} \end{align}$ Untuk mendapat Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis. Gradien persamaan garis singgung pada kurva $y=\sqrt{2x+7}$ gradiennya yaitu $m=\dfrac{1}{5}$. $\begin{align} y & = \sqrt{2x+7} \\ y & = \left( 2x+7 \right)^{\frac{1}{2}} \\ m=y' & = \frac{1}{2} \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 \\ \dfrac{1}{5} & = \left( 2x+7 \right)^{-\frac{1}{2}} \\ \dfrac{1}{5} & = \dfrac{1}{\sqrt{2x+7}} \\ \sqrt{2x+7} & = 5 \\ 2x+7 & = 25 \\ 2x & = 18 \\ x & = 9 \\ y & = \sqrt{2x+7}\\ &=\sqrt{2(9)+7}=5 \end{align} $ Persamaan garis singgung kurva melalui titik $(9,5)$ dengan gradien $m=\dfrac{1}{5}$ $\begin{align} y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\ y-5 & = \dfrac{1}{5} (x-9) \\ 5y-25 & = x-9 \\ 5y-x-25+9 & = 0 \\ 5y-x-16 & = 0 \\ x-5y+16 & = 0 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ x-5y+16=0$
Persamaan garis yang melalui $A(2,-4)$ dan tegak lurus dengan garis singgung kurva $y=2x^{2}-3x-6$ pada titik tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & 5x-y-14=0 \\ (B)\ & 5x+y-6=0 \\ (C)\ & x+5y-27=0 \\ (D)\ & x+5y+18=0 \\ (E)\ & x-5y-22=0 \\ \\ \end{align}$
Untuk mendapat Persamaan Garis Singgung Kurva kita perlu sebuah titik singgung pada kurva dan gradien garis. $\begin{align} y & = 2x^{2}-3x-6 \\ m=y' & = 4x-3 \\ \hline x=2 \\ \hline m=4(2)-3=5 \end{align} $ Jika gradien garis singgung kurva yaitu $m_{1}=5$, gradien garis yaitu $m_{2}$ dan kedua garis saling tegak lurus maka berlaku: $\begin{align} m_{1} \times m_{2}=-1 \\ 5 \times m_{2}=-1 \\ m_{2} = -\dfrac{1}{5} \end{align}$ Persamaan garis singgung kurva melalui titik $A(2,-4)$ dengan gradien $m=-\dfrac{1}{5}$ $\begin{align} y-y_{1} & = m (x-x_{1}) \\ y-(-4) & = -\dfrac{1}{5} (x-2) \\ -5y-20 & = x-2 \\ -5y-20-x+2 & = 0 \\ -5y-x-18 & = 0 \\ x+5y+18 & = 0 \end{align} $ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ x+5y+18=0$
Diberikan fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$. Garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=a$ dan $x=a+1$ saling sejajar. Jarak kedua garis singgung tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & \dfrac{5}{\sqrt{37}} \\ (B)\ & \dfrac{4}{\sqrt{37}} \\ (C)\ & \dfrac{3}{\sqrt{37}} \\ (D)\ & \dfrac{2}{\sqrt{37}} \\ (E)\ & \dfrac{1}{\sqrt{37}} \end{align}$
Untuk menuntaskan soal ini kita perlu sedikit catatan wacana turunan yaitu jikalau $y=f(x)$ maka $m=y'=f'(x)$. Garis yang menyinggung fungsi $f(x)=2x^{3}+3x^{2}+6x+5$ di $x=a$ dan $x=a+1$ yaitu sejajar sehingga gradien kedua garis yaitu sama, sehingga berlaku: $\begin{align} m = f'(x) & = 6x^{2}+6x+6 \\ \hline x=a\ & \rightarrow m= 6a^{2}+6a+6 \\ x=a+1\ & \rightarrow m= 6(a+1)^{2}+6(a+1)+6 \end{align}$ $\begin{align} 6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+12a+6+6 a+6+6 \\ 6a^{2}+6a+6 & = 6 a^{2}+18a+18 \\ -12 & = 12a \\ a & = -1 \end{align}$ Untuk $x=-1$ maka $y=0$ dan gradien garis singgung yaitu $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah: $\begin{align} y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-0 & = 6 \left( x+1 \right) \\ y & = 6 x+ 6 \end{align}$ Untuk $x=0$ maka $y=5$ dan gradien garis singgung yaitu $m=y'=6x^{2}+6x+6=6$, persamaan garis adalah: $\begin{align} y-y_{1} & = m \left( x-x_{1} \right) \\ y-5 & = 6 \left( x+0 \right) \\ y & = 6 x+5 \end{align}$ Jarak kedua garis yaitu jarak titik (-1,0) pada garis $y = 6 x+6$ ke garis $y = 6 x+5$, yaitu: $\begin{align} d & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{(-6)(-1)+(1)(0)-5}{\sqrt{(-6)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ & = \left| \dfrac{1}{\sqrt{36+1}} \right| \\ & = \left| \dfrac{1}{\sqrt{37}} \right| \end{align}$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ \dfrac{1}{\sqrt{37}}$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras
EmoticonEmoticon
![atatan calon guru yang kita diskusikan dikala ini akan membahas wacana Matematika Dasar Per Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Garis]( "Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Persamaan Garis")
EmoticonEmoticon