Contoh Soal Dan Pembahasan Sifat-Sifat Bilangan Lingkaran [Smp Kelas 7[Vii]] -Terbaru

Pada kesempatan kali ini, secara umum akan dibahas menyerupai sketsa di bawah ini:

Pengertian Bilangn Bulat

Dalam kehidupan sehari-haru, kita sering menyatakan banyaknya suatu benda, menyampaikan harga suatu barang, menyebutkan usia seseorang dan lain sebagainya. Uang saku Anisa Rp 5000, uang saku Cecep Rp 4000 dan uang saku Joko Rp 6500. Harga siomay di kantin sekolah yaitu Rp 4000. Jika mereka makan siomay di kantin tersebut, berapakah sisa uang masing-masing? Bilanga-bilangan yang didapat dari pertanyaan tersebut yaitu bilangan bulat.

Bilangan bundar terdiri atas bilangan-bilangan sebagai berikut ini:
a. Bilangan nol
b. Bilangan bundar positig. Seperti 1, 2, 3, dan seterusnya
c. Bilangan bundar negarif. Seperti -1, -2, -3, dan seterusnya

Kita sanggup meletakkan bilangan-bilangan bundar tersebut dalam suatu garis bilangan. Akan menyerupai berikut ini:

Jenis-jenis Bilangan

1. Bilangan orisinil   : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
2. Bilangan cacah   : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
3. Bilangan bundar   : ... ,-2, -1, 0, 1, 2, ...
4. Bilangan genap  : 0, 2, 4, 6, 8, ...
5. Bilangan ganjil  : 1, 3, 5, 7, 9, ...
6. Bilangan prima  : 2, 3, 5, 7, ...

Operasi Hitung pada Bilangan Bulat

Operasi Penjumlahan

1. Penjumlahan pada bilangan cacah
Pada garis bilangan menyerupai gambar di atas, a+b bermakna dari a kemudian bergerak ke kanan sepanjang b. Bentuk dari a + b kita sebut dengan penjumlahan.

2. Penjumlahan pada bilangan bulat
Seandainya  kita mempunyai m dan n dimana m, n yaitu bilangan bulat, maka:
a. Penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat
m + [-n] = m - n
m - [-n] = m + n
m + [+n] = m + n
m - [+n] = m - n

b. Perkalian dan pembagian bilangan bulat
m x n = p
m x [-n] = -p
[-m] x n = -p
-m x [-n] = p
m : n = q
m : [-n] = -q
[-m] : n = -q
-m : [-n] = q

NOTES
Hasil perkalian dan pembagian dari bilangan
1. + dengan + yaitu +
2. + dengan - yaitu -
3. - dengan + yaitu -
4. - dengan - yaitu +

3. Sifat-sifat pada penjumlahan dan perkalian bilangan bulat
Sifat-sifat pada penjumlahan bilangan bundar antara lain sebagai berikut.
Sifat komutatif
1. p + q = q + p
2. p x q = q x p
catatan: Sifat komutatif tidak berlaku untuk operasi pengurangan dan pembagian.
Contoh sifat komutatif penjumlahan:
2 + [-1] = 1
-1 + 2 = 1
Dari teladan ini kita sanggup lihat bahwa 2 + [-1] = -1 + 2
Contoh sifat komutatif perkalian:
-8 x 2 =  -16
2 x [-8] =-16
Dari teladan ini juga sanggup kita lihat bahwa  -8 x 12 = 12 x [-8]
Nahhh... dari dua teladan di atas sanggup kita simpulkan bahwa:
Misalkan a,b merupakan bilangan bundar sembarang maka a + b = b + a dan a x b = b x a
Atau apabila kita tuliskan dalam bentuk matematis akan menyerupai berikut:

a + b =b + a
a x b = b x a
dimana:
a,b  yaitu bilangan-bilangan bundar

Sifat asosiatif
1. [p + q] + r = p + [q + r]
2. [p x q] x r = p x [q x r]
catatan: sifat assosiatif tidak berlaku untuk operasi pengurangan dan pembagian.
 Contoh sifat asosiatif penjumlahan:
2 + 4 = 6
6 + 5 = 11
7 + [-5] = 2
Contoh sifat asosiatif perkalian:
2 x 4 = 8
8 x 1 = 8
2 x 5 = 10
Nahhh... dari teladan di atas sanggup kita simpulkan bahwa penjumlahan bilangan bundar akan selalu menghasilkan bilangan bundar juga. Atau apabila kita tuliskan dalam bentuk matematis akan menyerupai berikut:
a + b = c
a x b = c
dimana:
a,b dan c yaitu bilangan-bilangan bulat

Sifat Identitas
1. p + 0 = 0 + p = p
2. p x 1 = 1 x p = p
catatan: bilangan 0 [nol] yaitu unsur identitas penjumlahan sedangkan 1 [satu] yaitu unsur identitas perkalian
Contoh sifat identitan penjumlahan:
4 + 0 = 4
0 + 4 = 4
Dari teladan tersebut sanggup kita lihat bahwa kalau 0 ditambah  suatu bilangan maka akhirnya yaitu bilangan itu sendiri.
Contoh sifat identitan penjumlahan:
4 x 1 = 4
1 x 4 = 4
Dari teladan tersebut sanggup kita lihat bahwa kalau 0 dikali dengan suatu bilangan maka akhirnya yaitu bilangan itu sendiri.

Sifat Asosiatif
[a + b] + c = a + [b + c]
[a x b] x c = a x [b x c]
Contoh sifat asosiatif penjumlahan:
[4 + 2] + 1 = 6 + 1 = 7
4 + [2 + 1] = 4 + 3 = 7
Dari teladan ini kita sanggup lihat bahwa [4 + 2] + 1 = 6 + 1 = 4 + [2 + 1] = 4 + 3
Contoh sifat asosiatif perkalian:
[4 x 2] x 1 = 8 x 1 =8
4 x [2 x 1] = 4 x 2 =8
Dari teladan ini kita sanggup lihat bahwa [4 x 2] x 1 = 6 x 1 = 4 x [2 x 1] = 4 x 3

Sifat Invers 
a + [-a] = 0
-a + a = 0
a x [1/a] =1
[1/a] x a =1
Contoh sifat invers penjumlahan:
4 + [-4] = 0
-4 + 4 = 0
Dari teladan tersebut sanggup kita lihat bahwa suatu bilangan positif atau negatif bila dijumlahkan dengan lawannya [negatifnya] maka akhirnya selalu nol.
Contoh sifat invers perkalian:
3 x [1/3] = 1
[1/3] x 3 = 1
Dari teladan tersebut sanggup kita lihat bahwa suatu bilangan bila dikaliakan dengan lawannya [satu per bilangan tersebut] maka akhirnya selalu satu.

Contoh Soal
1. Hippo yaitu seorang pedagang pakaian. Pada hari pertama ia mengalami kerugian sebesar Rp100.000. Hari kedua ia menerima untung Rp150.000. Hari ketiga ia mengalami kerugian lagi sebesar Rp25.000. Apakah Hippo mengalami kerugian atau laba sehabis berjualan selama tiga hari tersebut?
Jawab:
Hari pertama Hippo mengalami kerugian = -Rp100.000
Hari kedua Hippo mengalami laba = Rp150.000
Hari ketinga Hippo mengalamai kerugian = -Rp25.000
Sehingga:
-100.000 + 150.000 + [-25.000] = 25.000
Jadi, selama tiga hari berjualan Hippo menerima laba sebesar Rp25.000

2. Tentukan nilai a dan b pada soalb berikut:
a. 7 + a = [-3] + 7
b. [8 + 4] + b = 8 + [4 + [-2]]
Jawab:
a. Untuk balasan a, coba Gengs kembali lihat sifat komutatif
    7 + a = [-3] + 7 maka a = -3
b. Untuk balasan b, coba Gengs lihat kembali sifat asosiatif
[8 + 4] + b = 8 + [4 + [-2]] maka b = -2

Operasi Perkalian

Misalkan kita mempunyai suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari menyerupai sebuah rumah berlantai tiga dengan tinggi tiap lantainya 6 meter maka berapakah tinggi rumah tersebut [tanpa atapnya]. Dari permasalahan kita tersebut, sanggup ditunjukkan bahwa ada tiga lantai dengan tinggi masing-masing 6 meter. Jika kita tuliskan secara matematis akan menyerupai berikut:
3 x 6 = 6 + 6 + 6 = 18
Dengan demikian tinggi rumah tersebut yaitu 18 m.

Dari uraian tersebut, kita sanggup menarik suatu kesimpulan secara matematis sebagai berikut:
a x b = b + b + b + ...+ b
dimana:
a,b bilangan bulat
b dijumlahkan sebanyak n kali

Arti perkalian dua bilangan cacah tersebut sanggup dipergunakan untuk mencari hasil perkalian tersebut
1. Perkalian bilangan bundar positif dengan bilangan bundar positif
    Contoh: 5 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25
2. Perkalian bilangan bundar positif dengan bilangan bundar negatif
    Contoh: 4 x [-2] = [-2] + [-2] + [-2] + [-2] = -8

Perhatikan contoh-contoh berikut:
1. Perkalian bilangan bundar negatif dengan bilangan bundar positif
    -1 x 4 = -4
    -5 x 1 = -5
2. Perkalian dua bilangan bundar negatif
    -2 x [-3] = 6
    -1 x [-2] = 2
3. Perkalian dengan bilangan nol
    -4 x 0 = 0
    2 x 0 = 0
4. Perkalian dengan bilangan 1
    3 x 1 = 3
    -6 x 1 = -6
5. Perkalian dengan bilangan -1
    8 x [-1] = -8
    -7 x [-1] = 7
Berdasarkan contoh-contoh tersebut, maka kesimpulan yang sanggup kita buat yaitu menyerupai berikut ini:
1. Hasil kali bilangan positif yaitu bilangan positif
2. Hasil kali dua bilangan berbeda tanda yaitu bilangan negatif
3. Suatu bilangan bila dikali dengan [-1] maka akhirnya yaitu lawan dari bilangan itu sendiri
4. Suatu bilangan bila dikali 0 maka akhirnya 0
5. Hasil kali dua bilangan negatif yaitu bilangan positif
6. Suatu bilangan bundar bila di kali 1 maka akhirnya yaitu bilangan itu sendiri.

Contoh Soal:
Suhu suatu larutan turun 3 derajat setiap 1 jam. Jika suhu kini 0 derajat. Tentukan suhu larutan tersebut sehabis 5 jam!?
Jawab:
Penurunan suhu setiap 1 jam = -3 derajat
Sehingga, suhu larutan sehabis 5 jam = 5 x [-3] = -15 derajat
Dapat diartikan bahwa suhu larutan turun 15 derajat dari suhu semula.

Operasi Pembagian

Coba Gengs perhatikan ilustrasi sederhana berikut ini:
Ada beberapa anak, masing-masing mempunyai 4 buah permen. Jika semua permen tersebut dikumpulkan maka terdapat 12 buah permen. Pertanyaannya: berapa orang jumlah anak?
Ilustrasi sederhana tersebut sanggup kita tuliskan sebagai berikut:
......... x 4 = 12, balasan yaitu 3 sehingga 3 x 4 = 12

Hubungan antara perkalian dan pembagian adalah:
3 x 4 = 12    <==> 12 : 4 = 3

Dengan cara yang sama kita peroleh:
3 x 6 = 18    <==> 3 =  18 : 6  atay 6 = 18 : 3
2 x y = 8     <==> y = 8 : 2

Dengan demikian, secara matematis sanggup kita tuliskan sebagai berikut:
a : b = c <==> c x b = a
              <==> a = b x c
Sehingga operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian


Dengan memakai sifat operasi pembagian yang merupakan kebalikan dari operasi perkalian, perhatikan contoh-contoh berikut:
1. 8 : 4 = 2 <==> 2 x 4 = 8 atau 4 x 2 = 8
2. 8 : [-4] = -2 <==> -2 x -4 = 8 atau -4 x -2 = 8
3. -8 : 4 = -2 <==> -2 x 4 = -8 atau 4 x [-2] = -8
4. -8 : [-4] = 2 <==> 2 x [-4] = -8 atau -4 x 2 = -8
Dari teladan tersebut sanggup disimpulkan sebagai berikut:
1. Hasil pembagian dua bilangan yang berbeda tanda yaitu bilangan negatif
2. Hasil pembagian dua bilangan negatif yaitu bilangan positif
3. Hasil pembagian dua bilangan positif yaitu bilangan positif.

Selanjutnya, bagaimana memilih hasil dari pembagian suatu bilangan oleh nol?
Misalkan: 8 dibagi nol akhirnya a. Jika soal tersebut benar maka akan berlaku:
8 : 0 = a <==> a x 8 = 0
Namun, ternyata tidak ada bilangan pengganti untuk a. Berarti membagi suatu bilangan dengan nol, tidak sanggup didefinisikan.

Contoh Soal
Usaha dagang Hippo dalam satu ahad menggalami kerugian sebesar Rp28.000 Tentukan rata-rata kerugian tiap harinya!
Jawab:
Kerugian dalam 1 ahad = Rp 28.000 [ 1 ahad = 7 hari]
Kerugian setiap hari: -28.000 : 7 = -4.000
Sehingga, rata-rata kerugiannya Hippo setiap harinya yaitu Rp4.000

Operasi Pengurangan

Bilangan manakah yang kalau ditambah 20 akan menghasilkan 80?
Jawabannya niscaya 60. Jawaban tersebut diperoleh dari: 80 - 20 = 60

Secara umum sanggup ditulis:
a - b = a + [-b]
Contoh:
1. 8 - 6 = 8 + [-6]
2. 10 - 7 = 10 + [-7] = 3
Operasi pengurangan sebagai lawan dari operasi penjumlahan.

Contoh Soal
Suhu di kota X pada pukul 23.00 yaitu -1 derajat, sedangkan pada pukul 12.00 yaitu 7 derajat. Tentukan beda suhu antara kedua waktu tersebut di kota X!
Jawab:
Permasalahan di atas sanggup kita sederhanakan sebagai berikut:
7 - [-1] = 8
Sehingga, beda suhu antara kedua waktu tersebut yaitu 8 derajat.

Operasi Berpangkat

a. Makna Pangkat sebagai Perkalian Berulang
Perhatikan perkalian berulang berikut ini:
234 sanggup dituliskan  sebagai perkalian berulang berikut ini:





Operasi perkalian berulang dengan faktor yang sama menyerupai kasus di atas disebut operasi berpangkat.
Perhatikan contoh-contoh berikut ini:
2 x 2 = $2^{2}$
a x a x a x a = $a^{4}$

Secara umum sanggup ditulis sebagai berikut:

Contoh:

Bilangan 27 sanggup dinyatakan sebagai perkalian berulang dari?
Jawab:
27 = 3 x 3 x 3

Contoh Soal
Tuliskan perkalian berulang berikut sebagai operasi berpangkat
a. 5 x 5
b. -5 x [-5]
c. 2 x 2 x 2
d. [-2] x [-2] x [-2]
Jawab:
a. 5 x 5 = $5^{2}$
b. -5 x [-5] = $[-5]^{2}$
    Karena 5 x 5 = 25 dan -5 x [-5] = 25
    maka $(-5)^{2}$ = $(5)^{2}$, ternyata pangkat 2 yaitu pangkat genap
c. 2 x 2 x 2 = $(2)^{3}$

d. -2 x [-2] x [-2] = $(-2)^{3}$
    Karena 2 x 2 x 2 = 8 dan -2 x [-2] x [-2] =-8
    maka $(-2)^{3}$ = -$(2)^{3}$, ternyata pangkat 3 yaitu pangkat ganjil.

b. Operasi Bilangan Berpangkat
1. Perkalian Bilangan Bulat Berpangkat
Coba perhatikan teladan berikut:
1. $3^{2}$= 3 x 3 dan $3^{3}$= 3 x 3 x 3
2. $a^{2}$= a x a dan $a^{3}$= a x a x a
Jawab:
1. $3^{2}$ x $3^{3}$= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = $3^{5}$
2. $a^{2}$ x $a^{3}$= a x a x a x a x a = $a^{5}$
2. $a^{m}$ x $a^{m}$=  = $a^{m+n}$
Kaprikornus sanggup disimpulkan bahwa:
Untuk bilangan bundar a berpangkat m dan b, berlaku rumus: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$

Contoh Soal
Sederhanakan perkalian berikut:
a. $3^{4}$ x $3^{5}$
b. $p^{2}$ x $p^{5}$ x $p$
Jawab:
a. $3^{4}$ x $3^{5}$ = $3^{4+5}$= $3^{9}$
b. $p^{2}$ x $p^{5}$ x $p$ = $3^{2+5+1}$=$3^{8}$

2. Pembagian Bilangan Bulat dan Berpangkat
Coba perhatikan teladan berikut:
$3^{5}$ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 dan  $3^{3}$ = 3 x 3 x 3
    $3^{5}$ : $3^{5}$ =$\frac{a\times 3\times 3\times 3\times 3}{3\times 3\times 3}$=    $3^{2}$=$3^{5-3}$
$a^{m}$  dan  $a^{n}$
    $a3^{m}$ : $a^{n}$ =$\frac{a\times a\times ...\times a}{a\times a\times ...\times a}$=$3^{m-n}$
Untuk m > n, bilangan bundar a berpangkat m dan n berlaku rumus: $a3^{m}$ : $a^{n}$=$3^{m-n}$

Contoh Soal:
Sederhanakan pembagian berikut :
1. $5^{6}$:$5^{6}$:5
2. $3^{7}$:$3^{4}$x$3^{2}$
Jawab:
1. $5^{6}$:$5^{6}$:5 = $5^{6-4-1}$=$5^{1}$=5
2. $3^{7}$:$3^{4}$x$3^{2}$=$3^{7-4+2}$=3^{5}

3. Pemangkatan Bilangan Bulat Berpangkat
Perhatikan uraian berikut ini:
$4^{2}=4\times 4$
$(4^{2})^{3}=4^{2}\times 4^{2}\times 4^{2}=4^{3\times 2}=4^{6}$
$(a^{2})^{3}=a^{2}\times a^{2}\times a^{2}=a^{3\times 2}=a^{6}$
Dengan memperhatikan pola di atas, diperoleh:
$(a^{m})^{n}=a^{m}\times a^{m}\times...\times  a^{m}=a^{m\times n}$
Kaprikornus sanggup disimpulkan bahwa:
untuk bilangan bundar berpangkat $a^{m}$ berpangkat n, berlaku rumus berikut: $(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$

Contoh Soal
$(5^{2})^{5}=5^{2\times 5}$
$(2^{3}\times 2^{4})^{2}=(2^{3+4})^{2}=(2^{7})^{2}=2^{14}$
$(3^{5}\div 3^{2})^{4}=(3^{5-2})^{4}=(3^{3})^{4}=3^{12}$

Operasi Hitung Campuran

Pada operasi hitung adonan bilangan bundar perlu diperhatikan prinsip pengerjaannya
1. Penyelesaian operasi di mulai dari kiri ke kanan
2. Aturan urutan operasinya
    a. tanda ( )
    b. perkalian atau pembagian
    c. penjumlahan atau pengurangan
Untuk lebih jelasnya, perhatikan teladan berikut:
1] 20 - 8 - 5 = 12 - 5 = 7
2] 8 x 3 x 2 = 24 x 2 = 48
3] 8 - 3 + 4 =  5 + 4 = 9
4] 8 : 2 x 3 = 4 x 3 = 12
5] 8 + 10 : 2 = 8 + 5 = 13
6] 15 + 56 : 8 x 2 = 15 + 7 x 2 = 15 + 14 = 29
7] 8 - [5 - 3] = 8 - 2 = 6
8] 4 x [2 + 3] : 10 = 4 x 5 : 10 = 20 : 10 = 2









Sumber http://easy-matematika.blogspot.com