Contoh Soal Matriks Dan Operasinya + Penyelesaiannya

Pada kesempatan kali ini, akan diberikan 7 nomor untuk soal beserta cara penyelesaiannya perihal matriks dan operasinya.

Nomor 1
Soal: Diberikan mariks A dan B sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -1\\ 3 \end{pmatrix}$

Tentukan:
$(AB^{T}+I_{2})^{-1}$
Jawab:
Pertama-tama cari dahulu

$AB^{T}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.(-1)=-1 &1.3=3 \\ 2.(-1)=-2 & 3.3=6 \end{pmatrix}$

Setelah itu tambahkan hasil di atas dengan $I_{2}$ sehingga akan ibarat berikut:

Kemudian hasil di atas, di inverskan. Pertama-tama cari dahulu nilai determinan dari matriks yang sudah diperoleh yakni sebagai berikut:

$AB^{T}+I_{2}=0.7-3(-2)=6$

Dengan demikian:

$(AB^{T}+I_{2})^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 7 &-3 \\ 2 &0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7/6 &-1/2 \\ 1/3& 0 \end{pmatrix}$

Baca juga:

1. Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin] 
2. Transpos Matriks Dan Determinan Suatu Matriks Segi

Nomor 2
Soal: Diberikan matrik A berukuran 2x2 dan matriks B berukuran 3x2 sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 1 &-2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 &0 \\ 6 &1 \end{pmatrix}$

Tentukan:
a] $AB^{T}$
b] Pangkat matriks B, dan berikan alasannya.
Jawab:
a] Petama-tama, ubah dahulu matriks B menjadi matrik B yang di transpos sebagai berikut:

$B=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 & 0\\ 6 &1 \end{pmatrix}\rightarrow B^{T}=\begin{pmatrix} 1 &2 &6 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}$

Setelah itu, tentukan $AB^{T}$ sebagai berikut:
$AB^{T}=\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &2 &6 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}$
         $=\begin{pmatrix} 3(1)+(-1)(-1)=4 &3(2)+(-1)(0)=6 &3(6)+(-1)(1)=17 \\ 1(1)+(-2)(-1)=3 &1(2)+(-2)(0)=2 &1(6)+(-2)(1)=4 \end{pmatrix}$
b] Untuk menjawab pertanyaan b, ada 2 cara penyelesaian yakni sebagai berikut:

Cara 1: Ambil anak matriks dari matriks B berukuran 2x2 sebagai berikut:

$\hat{B}=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 &0 \end{pmatrix}$

sebab :
 $\left | \hat{B} \right |=2\neq 0$
maka p(B) = 2

Cara 2: Lakukan serangkaian Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks B sehingga menjadi matriks ibarat sgitiga atas. Seperti berikut ini:
$B=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 &0 \\ 6 &1 \end{pmatrix}$

Terlihat bahwa p(B) = 2

Nomor 3
Soal: Diberikan matriks B sebagai berikut:

$B=\begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ -1 &1 &1 \\ 1 &0 &0 \end{pmatrix}$

Tentukan: $B^{-1}$ dengan metode matriks adjoin.
Jawab:
Pertama-tama, tentukan dahulu matriks kofaktornya sebagai berikut:
Matriks kofaktor $C=(a_{ij})$ dengan:

Sehingga matriks kofaktornya sebagai berikut:

$C=\begin{pmatrix} 0 &1 &-1 \\ 0 &0 &1 \\ 1 &0 &1 \end{pmatrix}$

Dengan mengambil baris ke-3 dari matriks B, diperoleh:

$\left | B \right |=\alpha _{31}\alpha _{31}+\alpha _{32}\alpha _{32}+\alpha _{33}\alpha _{33}=1.1+0.0+0.0=1$

Maka:

$B^{-1}=\frac{1}{\left | B \right |}C^{T}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix} 0 &1 &-1 \\ 0 &0 &1 \\ 1 &0 &1 \end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 1 &0 &0 \\ -1 &1 &1 \end{pmatrix}$

Nomor 4
Soal: Diberikan matriks-matriks A dan B sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0 &3 &4 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 4 &0 &-3 \\ -1 &-2 &3 \end{pmatrix}$

Jika ada, tentukan:
a] $AB^{T}$
b] $(AB^{T})^{-1}$
Jawab:
a] Akan diperoleh ibarat dibawah ini:

$AB^{T}=\begin{pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0 &3 &4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 &-1 \\ 0 &-2 \\ -3 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 &7 \\ -12 &6 \end{pmatrix}$

b] Untuk mencari matriks invers dari balasan (a) maka terlebih dahulu tentukan nilai determinannya, yaitu: (-2)(6) - (-12)(7) = 72. Sehingga,

$(AB^{T})^{-1}=\frac{1}{72}\begin{pmatrix} 6 &-7 \\ 12 &-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/12 &-7/72 \\ 1/6 & -1/36 \end{pmatrix}$

Nomor 5
Soal: Diberikan matriks A dan B sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 3 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 &-4 \end{pmatrix}$

Tentukan:
a] 3BA - 2B
b] $det(5A^{T})$
Jawab:
a] Akan diperoleh sebagai berikut:
$3BA-2B=3\begin{pmatrix} 3 &-4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 3 &2 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 3 &-4 \end{pmatrix}$
$3BA-2B=\begin{pmatrix} 27 &-33 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 &-8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -33 &-25 \end{pmatrix}$
b] Pertama-tama cari dahulu

$5A^{T}=5\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 3 &2 \end{pmatrix}^{T}= 5\begin{pmatrix} 1 &3 \\ -1 &2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &15 \\ -5 &10 \end{pmatrix}$

Kemudian determinankan hasil matriks tersebut sebagai berikut:

$det(5A^{T})=5(10)-(-5)(15)=125$

Nomor 6
Soal: Diketahui matriks-matriks A dan B sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \end{pmatrix}$

Tentukan:
a] $AB^{T}$
b] pangkat matriks A
Jawab:
a] Akan diperoleh:

b] Karena baris ke tiga merupakan kelipatan baris ke dua maka |A| = 0 sehingga p(A) < 3. Dengan mengambil salah satu anak matriks berukuran 2 x 2 maka akan di peroleh sebagai berikut:

$\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 0 &1 \end{vmatrix}=2\neq 0$

Sehingga p(A) = 2.
Atau dengan cara lain, yakni melaksanakan Operasi Baris Dasar (OBD) sehingga A menjadi matriks segitiga atas ibarat di bawah ini:

$\begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \end{pmatrix}E_{32(-2)}\begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &2+1(-2)=0 &0 \end{pmatrix}$

Diperoleh, p(A) = 2

Baca Juga :

1. Matriks - Penjumlahan/Pengurangan Dan Perkalian Dengan Skalar
2. Operasi Baris Dasar Terhadap Matriks

Nomor 7
Soal: Diberikan matriks A dan C sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0&1 \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$

Tentukan: matriks X yang memenuhi

$AXC=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0&1 \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ \end{pmatrix}$

Jawab:

Sampai disini yaaa Gengs

Semoga Bermanfaat

Sumber http://easy-matematika.blogspot.com