Matriks dan Ruang Vektor : Basis, Koordinat, Dimensi, Null Space, Row Space, dan Solution Space
Basis
Definisi : Generalisasi ruang vektor suatu sistem koordinat pada ruang berdimensi 2 dan 3.
Koordinat : Koefisien-koefisien pada basis V.
Jika V ialah suatu ruang vektor sebarang dan S = {v1 ,v2 , . . . ,vn } ialah himpunan vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V bila dua syarat berikut berlaku:
- S bebas linear
- S merentang V
Basis dari ruang vektor itu tidak harus tunggal tetapi sanggup lebih dari satu basis. S itu termasuk bebas linear atau linear independent”. Maksudnya ialah bilangan – bilangan yang termasuk di dalam A harus bebas linier atau dengan kata lain dihentikan berkelipatan dengan himpunan yang lain.
Tetapi ada kalanya bagaimana bila kita menemukan dua himpunan vektor atau lebih yang berkelipatan.Kondisi ibarat ini disebut bergantung linier.
Tetapi suatu himpunan sanggup juga disebut bergantung linier bila terdapat himpunan vektor yang anggotanya mengandung nol.Jika ini terjadi berarti kedua himpunan tersebut bukan bersifat bebas linier dan berarti tidak sanggup disebut basis.
Contoh
Selidiki dan tentukan apakah himpunan vektor – vektor dibawah ini bebas linier atau bergantung linier ?
- A = {2,2,3} dan B = {3,1,2}
- B = {2,3,4} dan C = {4,6,8}
- U = {1,2,3} V = {2,3,7} dan W = {0,0,0}
Jawab
a. Himpunan vektor ini termasuk bebas linier alasannya ialah semua anggota himpunannya tidak berkelipatan.
b. Himpunan vektor ini disebut bergantung linier alasannya ialah semua anggota himpunannya berkelipatan satu sama lain yaitu C=2B.
c. Jika ada himpunan yang mengandung nol berarti disebut bergantung linier walaupun himpunan lain bebas linier tetapi bila ada himpunan yang mengandung nol tetap disebut bergantung linier.
Selain itu juga, untuk pertanda apakah vektor-vektor tersebut ialah bebas linier dan membangun, anda cukup dengan melaksanakan OBE--Operasi Baris Elementer--dengan ketentuan:
- Membangun bila mempunyai setidaknya satu solusi--solusi banyak masih membangun
- Bebas Linier apabila mempunyai solusi tunggal.
Contoh 2
Himpunan vektor-vektor , dimana v1= (2, -1, 0, 3), v2 = (1, 2, 5, -1), dan v3 = (7, -1, 5, 8) ialah himpunan tak bebas linier, alasannya ialah 3v1 + v2 – v3 = 0.
Contoh 3
Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) pada R3. Ruas komponen persamaan vector
K1 i + k2 j + k3 k = 0
K1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) = 0
Kaprikornus , K1 = 0, k2 = 0 dan k3 = 0; sehingga himpunan S = (i, j, k) bebas linier. Uraian serupa sanggup dipakai untuk mengatakan bahwa vector-vector e1 = (0, 0, 0, … , 1), e2 = (0, 1, 0, 0, …, 0), … ,en = (0, 0, 0, …,0) membentuk himpunan bebas linier pada Rn
Teorema :
Jika S = { v1, v2 , . . . , vn } ialah suatu basis dari ruang vektor V, maka setiap vektor v pada V sanggup dinyatakan dalam bentuk v = c1v1+c2v2 + . . . +cnvn dengan sempurna satu cara.
Dimensi
Definisi: Jumlah vektor pada suatu basis.
Dimensi Terhingga : Suatu ruang vektor taknol V terdiri dari himpunan terhingga vektor-vekor {v1 , v2 , . . . , vn } yang membentuk suatu basis.
Kita sanggup mengetahui nilai dari suatu dimensi pada suatu himpunan atau basis dari jumlah vektor – vektor tersebut. Dengan kata lain misalkan V ialah suatu ruang vektor A = {v1,v2,v3,…vn} basis dari V. Dimensi dari V itu = n (banyaknya vektor – vektor di A).
Contoh :
Tentukan basis dan dimensi dari ruang vektor yang dibuat oleh :
- A={1,2,3} B={2,2,3} C={2,1,2}
- A={1,2,3} B={2,4,6} C={2,3,5}
- A={2,3,4} B={4,6,8} C={6,9,12}
Jawab :
a. Ketiga himpunan diatas termasuk vektor yang bersifat bebas linier.Oleh alasannya ialah itu dimensinya ialah 3 dan basis ialah {A,B,C}.Ketiganya termasuk basis alasannya ialah bebas linier.
b. Dari himpunan – himpunan di atas,dua vektor yaitu {A,B} bergantung linier alasannya ialah berkelipatan.Karena lebih lebih banyak didominasi bergantung linier sehingga {A,B,C} bergantung linier.Tetapi alasannya ialah yang sanggup dikatakan sebagai basis harus bersifat bebas linier sehingga kita sanggup mengambil dua vektor yang bebas linier yaitu {A,C}.Berarti dimensi adlah 2 alasannya ialah vektor yang termasuk basis ada 2.Jadi basisnya ialah {A,C}.
c. Ketiga vektor – vektor diatas berkelipatan sehingga bergantung linier.Karena dari itu,kita hanya sanggup mengambil satu vektor yang bebas linier yaitu {C}.Jadi dimensi ialah 1 dan basisnya ialah {C}.
Koordinat
S={v_1,v_2,…,v_n} is a basis for a vector space V, and v = c_1 v_1+c_2 v_2+…+c_n v_n
Coordinate is the expression for a vector v in terms of the basis S. The scalars c_1, c_2,…,c_n are called the coordinates of v relative to the basis S
(v)_s=(c_1,c_2,…,c_n)
Special case: where V=R^n and S is the standard basis → v=(v)_s
Contoh
- We showed before that the vectors v_1 = (1, 2, 1), v_2 = (2, 9, 0), v_3 = (3, 3, 4) form a basis for R^3. Find the coordinate vector of v = (5, -1, 9) relative to the basis S = {v_1,v_2,v_3}
- Find the vector v in R^3 whose coordinate vector relative to S in (v)_s = (-1,3,2)
Reduce and Enlarge Basis
Let S be a finite set of vectors in a finite-dimensional vector space V
- If S spans V but is not a basis for V, then S can be reduced to a basis for V by removing appropriate vectors from S
- If S is a linearly independent set that is not already a basis for V, then S can be enlarged to a basis for V by inserting appropriate vectors into S
Example
- The vectors v_1 = (1, -2, 3) and v_2 = (0, 5, -3) are linearly independent. Enlarge {v_1,v_2} to a basis for R^3
- Find a basis for the subspace of R^3 that is spanned by the vectors v_1 = (1, 0, 0), v_2 = (1, 0, 1), v_3 = (2, 0, 1), v_4 = (0, 0, -1)
Row Space, Column Space, and Null Space
Definition
A is an m×n matrix
Row space: the subspace of R^n spanned by the row vectors of A
Column space: the subspace of R^m spanned by the column vectors of A
Null space: the solution space of the homogeneous system of equations Ax=0, which is a subspace of R^n
Solution Space
The solution set of a homogeneous linear system Ax=0 of m equations in n unknowns is a subspace of R^n . The solution set → solution space of the system.
Determine the solution space of the system:
Example
Find the solution space and basis for the solution space of the linear systems:
Find a basis for the row space and column space of the coefficient matrix for the linear system above
Rank, Nullity, and the Fundamental Matrix Spaces
Rank of A is denoted by rank(A): the common dimension of the row space and column space of a matrix A
Theorem: the row space and the column space of a matrix A have the same dimension
Nullity of A is denoted by nullity(A): the dimension of the null space of A
Example
Find the rank and nullity of the matrix :
If A is a matrix with n columns, then rank(A)+nullity(A)=n
Sumber
Slide MRV : Dimensi, Koordinat, dan Basis
EmoticonEmoticon