Matematika Diskrit : Operasi Pada Himpunan Dan Teladan Soal

Matematika Diskrit : Operasi pada Himpunan dan Contoh Soal

Irisan (intersection)

Irisan dari himpunan A dan B yaitu suatu himpunan yang setiap anggotanya yaitu anggota himpunan A dan B. 

Notasi :

Contoh : 

A = {1,5,7,9} 

B = {1,2,3} 

maka

Gabungan (union) 

Gabungan himpunan A dan B yaitu himpunan yang setiap anggota yaitu anggota himpunan A atau B 

Notasi : 

Contoh:

A = {1,2} dan B = {2,5,6}

Komplemen 

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu semesta U yaitu suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota U yang bukan anggota A 

Notasi : 

Contoh : 

Misalkan U = {1,2,3,…,10}. Jika A = {1,4,5}, maka 

Selisih (difference)

Selisih dua himpunan A dan B yaitu himpunan yang anggotanya merupakan anggota dari A namun bukan anggota dari B. 

Notasi :

Contoh :

A = {1,2,…,10} dan B = {1,2,3,11}

maka A-B = {4,5,…,10}

Beda setangkup (symmetric difference)

Beda setangkup dari himpunan A dan B yaitu suatu himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B tapi tidak pada keduanya.

Notasi :

Contoh : 

A = {1,2,3} dan B = {3,5,6}, maka hasilnya

Teorema Beda Setangkup (berkaitan dengan beda setangkup) 

( aturan komutatif ) 

( aturan asosiatif )

Perkalian Kartesian (cartesian product)

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B yaitu himpunan yang anggotanya semua pasangan berurut yang dibuat dari komponen dari A dan komponen dari B

Notasi :

Contoh :

A = {1,2,3} dan B = {a,b}

maka A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

Catatan (berkaitan dengan perkalian kartesian):

Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka |A x B| = |A||B|

(a,b) ≠ (b,a)

Latihan 1

1. Jika A = {1,2}, B = {x,y,z}, dan C = {3,4}. Tentukan |A x B x C| dan A x B x C. 

2. Misalkan 

• A = himpunan semua buah berwarna merah 
• B = himpunan semua buah yang diimpor 
• E = himpunan semua buah yang dijual di Toko X 

Notasikan : 

Himpunan buah di Toko X yang berwarna merah atau yang diimpor 

Latihan 2

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com

Matematika Diskrit : Hukum-Hukum Aljabar Himpunan, Prinsip Inklusi Dan Eksklusi, Dan Pembuktian Proposisi Himpunan

Matematika Diskrit : Hukum-Hukum Aljabar Himpunan, Prinsip Inklusi dan Eksklusi, Pembuktian Proposisi Himpunan, dan Contoh Soal

HUKUM-HUKUM ALJABAR HIMPUNAN DAN DUALNYA

Hukum identitas

Hukum null/dominasi

Hukum komplemen

Hukum idempoten 

Hukum involusi 

Hukum penyerapan (absorpsi)

Hukum komutatif  

Hukum asosiatif 

Hukum distributif

Hukum De Morgan 

Hukum 0/1 (atau aturan suplemen 2)

PRINSIP EKSKLUSI DAN INKLUSI

1. Misalkan A dan B yakni himpunan berhingga yang saling lepas (disjoint), maka

2. Misalkan A dan B yakni himpunan berhingga, maka 

          

berhingga dan

3. Misalkan A, B, dan C yakni himpunan berhingga, maka 

berhingga dan

Latihan 1

Dalam suatu survey pada 60 orang, didapatkan hasil bahwa 25 orang membaca majalah Elle, 26 orang membaca majalah Gadis, dan 26 orang membaca majalah Femina. Juga terdapat 9 orang membaca majalah Elle dan Femina, 11 orang membaca majalah Elle dan Gadis, 8 orang membaca majalah Gadis dan Femina, dan 8 orang tidak membaca majalah apapun. 

Berapa banyaknya orang yang membaca majalah Elle, Gadis, dan Femina sekaligus ?

PEMBUKTIAN PROPOSISI HIMPUNAN

Pembuktian dengan Diagram Venn 

Misalkan A, B, dan C yakni himpunan. Buktikanlah

Caranya :

• Gambarlah Diagram Venn pada satu proposisi. 
• Kemudian Gambarlah Proposisi Kedua
• Bandingkanlah !

Pembuktian dengan tabel keanggotaan

Misalkan A, B, dan C yakni himpunan. 

Buktikan

Caranya :

Pembuktian dengan aljabar himpunan 

Misalkan A, B, dan C yakni himpunan

Buktikan 

Bukti :

Latihan 1

Buktikan untuk himpunan A, B, dan C, bahwa :

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com

Matematika Diskrit : Fungsi Lantai, Fungsi Atap, Fungsi Rekursif, Induksi Matematika, Dan Pola Soal

Matematika Diskrit : Fungsi Lantai, Fungsi Atap, Fungsi Rekursif, Induksi Matematika, dan Contoh Soal

Fungsi Atap

Fungsi atap f(x) yakni fungsi yang memetakan bilangan real x ke bilangan lingkaran yang sama dengan atau lebih dari x. 

Contoh : 

Fungsi Lantai

Fungsi atap f(x) yakni fungsi yang memetakan bilangan real x ke bilangan lingkaran yang sama dengan atau kurang dari x.

Contoh :

Diagram Fungsi atap dan Fungsi lantai

Latihan 1

Fungsi Rekursif

Fungsi f dikatakan fungsi rekursif kalau definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. 

Fungsi rekursif terdiri atas 2 bab : 

Basis 

Bagian yang berisi nilai awal, yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. 

Rekurens 

Bagian yang mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. 

Contoh Fungsi Rekursif I

Misalkan f(n) = n!, maka fungsi faktorial ini sanggup dituliskan sebagai fungsi rekursif berikut :

Basisnya yakni di ketika n = 0.

Sehingga

• n = 0, maka f(0) = 1 = 0!
• n = 1, maka f(1) = 1.f(0) = 1.1 = 1 = 1!
• n = 2, maka f(2) = 2.f(1) = 2.1 = 2 = 2!
• n = 3, maka f(3) = 3.f(2) = 3.2.1 = 6 = 3! dst

Contoh Fungsi Rekursif II

Fungsi Chebysev didefinisikan sebagai berikut : 

Fungsi ini mempunyai 2 basis, yaitu ketika n = 0 dan n= 1. 

Jika dituliskan nilai fungsinya : 

• n = 0, maka T(0,x) = 1 
• n = 1, maka T(1,x) = x 
• n = 2, maka 

Contoh Fungsi Rekursif III

Fungsi Fibonacci sanggup dituliskan sebagai fungsi rekursif sebagai berikut : 

Tentukan nilai fungsi untuk n = 0,1,2,3,4,5

Menyatakan sebagai Fungsi Rekursif

Misal, akan dinyatakan fungsi 

sebagai fungsi rekursif. 

Nyatakan f(n) dalam argumen rekursif

Tentukan basis, yaitu

Maka fungsi f (n) sanggup dinyatakan sebagai :

Latihan 2

Konsep Induksi Matematika

Metode pembuktian suatu proposisi yang berafiliasi dengan bilangan bulat.

Contoh proposisi :

• Untuk semua
• Banyaknya himpunan bab yang dibuat dari sebuah himpunan beranggotakan n elemen yakni 2n. 

Prinsip Induksi Sederhana

Misalkan p(n) yakni proposisi yang berafiliasi dengan bilangan lingkaran positif akan dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan lingkaran positif n. 

Untuk menandakan proposisi ini benar, tunjukkan: 

1. p(1) benar 
2. Asumsikan p(n) benar 
3. Tunjukkan p(n+1) benar 

Contoh 1

Tunjukkan bahwa untuk 

1. Tunjukkan p(1) benar. 

Untuk n = 1, p(1) benar karena 

2. Asumsikan p(n) benar. 

Maka 

3. Tunjukkan p(n+1) benar 

Contoh 2

Tunjukkan bahwa jumlah n bilangan ganjil positif pertama yakni n^2 

1. Tunjukkan p(1) benar 

Untuk n = 1, 1 = 1^2 maka p(1) benar 

2. Asumsikan p(n) benar

maka 1 + 3 + … + (2n-1) = n^2. 

3. Tunjukkan p(n+1) benar 

Latihan 3

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com