Matematika Diskrit : Fungsi Lantai, Fungsi Atap, Fungsi Rekursif, Induksi Matematika, Dan Pola Soal

Matematika Diskrit : Fungsi Lantai, Fungsi Atap, Fungsi Rekursif, Induksi Matematika, dan Contoh Soal

Fungsi Atap

Fungsi atap f(x) yakni fungsi yang memetakan bilangan real x ke bilangan lingkaran yang sama dengan atau lebih dari x. 

Contoh : 

Fungsi Lantai

Fungsi atap f(x) yakni fungsi yang memetakan bilangan real x ke bilangan lingkaran yang sama dengan atau kurang dari x.

Contoh :

Diagram Fungsi atap dan Fungsi lantai

Latihan 1

Fungsi Rekursif

Fungsi f dikatakan fungsi rekursif kalau definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. 

Fungsi rekursif terdiri atas 2 bab : 

Basis 

Bagian yang berisi nilai awal, yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. 

Rekurens 

Bagian yang mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. 

Contoh Fungsi Rekursif I

Misalkan f(n) = n!, maka fungsi faktorial ini sanggup dituliskan sebagai fungsi rekursif berikut :

Basisnya yakni di ketika n = 0.

Sehingga

• n = 0, maka f(0) = 1 = 0!
• n = 1, maka f(1) = 1.f(0) = 1.1 = 1 = 1!
• n = 2, maka f(2) = 2.f(1) = 2.1 = 2 = 2!
• n = 3, maka f(3) = 3.f(2) = 3.2.1 = 6 = 3! dst

Contoh Fungsi Rekursif II

Fungsi Chebysev didefinisikan sebagai berikut : 

Fungsi ini mempunyai 2 basis, yaitu ketika n = 0 dan n= 1. 

Jika dituliskan nilai fungsinya : 

• n = 0, maka T(0,x) = 1 
• n = 1, maka T(1,x) = x 
• n = 2, maka 

Contoh Fungsi Rekursif III

Fungsi Fibonacci sanggup dituliskan sebagai fungsi rekursif sebagai berikut : 

Tentukan nilai fungsi untuk n = 0,1,2,3,4,5

Menyatakan sebagai Fungsi Rekursif

Misal, akan dinyatakan fungsi 

sebagai fungsi rekursif. 

Nyatakan f(n) dalam argumen rekursif

Tentukan basis, yaitu

Maka fungsi f (n) sanggup dinyatakan sebagai :

Latihan 2

Konsep Induksi Matematika

Metode pembuktian suatu proposisi yang berafiliasi dengan bilangan bulat.

Contoh proposisi :

• Untuk semua
• Banyaknya himpunan bab yang dibuat dari sebuah himpunan beranggotakan n elemen yakni 2n. 

Prinsip Induksi Sederhana

Misalkan p(n) yakni proposisi yang berafiliasi dengan bilangan lingkaran positif akan dibuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan lingkaran positif n. 

Untuk menandakan proposisi ini benar, tunjukkan: 

1. p(1) benar 
2. Asumsikan p(n) benar 
3. Tunjukkan p(n+1) benar 

Contoh 1

Tunjukkan bahwa untuk 

1. Tunjukkan p(1) benar. 

Untuk n = 1, p(1) benar karena 

2. Asumsikan p(n) benar. 

Maka 

3. Tunjukkan p(n+1) benar 

Contoh 2

Tunjukkan bahwa jumlah n bilangan ganjil positif pertama yakni n^2 

1. Tunjukkan p(1) benar 

Untuk n = 1, 1 = 1^2 maka p(1) benar 

2. Asumsikan p(n) benar

maka 1 + 3 + … + (2n-1) = n^2. 

3. Tunjukkan p(n+1) benar 

Latihan 3

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com