Matematika Dasar : Aplikasi Integral Dan Pola Soal

Matematika Dasar : Aplikasi Integral dan Contoh Soal

Luas Daerah Bidang Datar

Perhatikan gambar berikut ini :

Untuk mencari luas tempat :

1. Partisilah tempat yang akan dihitung luasnya
2. Dekatilah luas wilayahnya dengan memakai pendekatan luas tempat persegi panjang
3. Integralkan dengan mengambil limit lebar partisinya menuju nol (banyaknya partisi menuju tak hingga)

Latihan 1

Volume Benda Putar

Ada 3 metode:

• Metode Cakram
• Metode Cincin
• Metode Kulit Tabung

Metode Cakram

Latihan 2

Metode Cincin

Latihan 3

Metode Kulit Tabung

Latihan 4

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com

Matematika Dasar : Integral Dan Pola Soal

Matematika Dasar : Integral dan Contoh Soal

Rumus Teknis

Latihan 1

Substitusi

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com

Integral Itu Apa Sih Sebenarnya?

Pada pembahasan matematika sub bab Kalkulus akan ditemukan istilah integral. Apa itu integral? Pengertian Integral itu Apa?

Mungkin itu akan menjadi pertanyaan bagi anda. Sedikit mengulas integral, integral ialah salah satu pokok penting dari kalkulus, dimana cabang ilmu ini dipelopori oleh Isaac Newton dan Leibniz. Lebih lengkap mengenai sejarah integral ini anda dapat baca: Sejarah Penemuan Integral. Kemudian mengenai Newto vs Leibniz pernah terjadi pertikaian. Lebih lengkap baca tentang Kontroversi dan Pertikaian Newton vs Leibniz.

Secara bahasa matematika, integral ini dapat didefeniskan sebagai anti-turunan atau invers dari derivative/diferensial. Misalkan A ialah turunan B. Maka dapat dikatakan B ialah integral dari A.

Dalam bahasa matematika, defenisi integral kurang lebih ibarat ini,

Misalkan $ f $ ialah fungsi turunan dari fungsi $ F $ yang kontinu pada suatu daerah. Dimana setiap $ x $ berada pada domain tersebut, maka berlaku
$ \begin{align} F^\prime (x) = \frac{dF(x)}{dx} = f(x) \end{align} , \, $
 artinya turunan fungsi
$ F(x) \, $ ialah $ f(x) $.

Perhatikan teladan bentu fungsi $ F(x) \, $ dengan turunannya $ f(x) $,

$ F(x) = x^2 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $

$ F(x) = x^2 + 10 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $

$ F(x) = x^2 - 17 \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $

$ F(x) = x^2 + \sqrt{2001} \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x $

$ F(x) = x^2 + c \rightarrow F^\prime (x) = f(x) = 2x \, $($c \, $ ialah sebuah konstanta).

Jika dikaitkan dengan integral, dari beberapa teladan turunan di atas, maka
Andaikan $ F(x) $ ialah sebuah fungsi dimana $ F^\prime (x) = f(x)$, maka $ F(x) $ ialah integral (anti-turunan)d ari $ f(x) $.

Dalam penulisannya, notasi penulisan integral tersebut ibarat berikut,

$ \int f(x) dx = F(x) + c $

dengan keterangan,
$ \int = \, $ lambang /notasi integral yang ditemukan oleh Leibniz
$ f(x) = \, $ fungsi integran
$ F(x) = \, $ fungsi integral
$ c = \, $ konstanta.

Sebagai teladan sebuah integral,
i) $ \int 4x dx $
ialah $2x^2+c$ alasannya ialah turunan dari fungsi ini hasilnya: $ \int 4x dx $. Dalam hal ini,  $2x^2$ disebut fungsi integral, dan 4x disebut fungsi integran. Selain itu, berikut salah satu kata-kata bijak dalam matematika ihwal integral.

Sumber http://www.marthamatika.com/

Cara Menuntaskan Integral Fungsi Mutlak

Salah satu bentuk permasalahan yang akan ditemui dalam integral ialah integral fungsi nilai mutlak. Pada halaman ini akan aku berikan bagaimana memilih integral fungsi mutlak tersebut. Untuk notasi yang dipakai sama saja dengan nilai mutlak dimana fungsi diapit oleh dua garis lurus menyerupai berikut. |f(x)|.

Defenisi Fungsi Mutlak

Sebelum lebih mendalam pada integral, sedikit akan aku ingatkan wacana pengertian atau defenisi fungsi nilai mutlak. Secara matematis, sebuah fungsi nilai mutlak sanggup ditulis defenisinya sebagai berikut,

$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , f(x) < 0 \end{array} \right. $

Dalam penulisan lain, fungsi nilai mutlak sanggup ditulis juga,

$ |f(x)| = \sqrt{(f(x))^2} \, $ dengan catatan anda dihentikan menyederhanakan menjadi f(x).

Mengenai syarat atau defenisi di atas, sanggup dilihat aplikasinya pada teladan di bawah ini,

Contoh 1. $ | 2x + 5| $

Positif ketika : $ 2x + 5 \geq 0 \rightarrow x \geq -\frac{5}{2} $,

negatif ketika : $ 2x + 5 < 0 \rightarrow x < -\frac{5}{2} $,

Sesuai defenisi fungsi mutlak maka, $ | 2x + 5 | \, $ sanggup ditulis:

$ | 2x + 5 | = \left\{ \begin{array}{cc} 2x + 5 & , x \geq -\frac{5}{2} \\ -(2x + 5 ) & , x < -\frac{5}{2} \end{array} \right. $

Contoh 2. $ |x^2 - x - 6 | $

Positif  saat: $ x^2 - x - 6 \geq 0 \rightarrow (x+2)(x-3) \geq 0 \rightarrow x = -2 \vee x = 3 $,

sehingga syarat positifnya ialah $ x \leq -2 \vee x \geq 3 $

negatif  saat: $ x^2 - x - 6 < 0 \rightarrow -2 < x < 3 $,

Sehingga sanggup ditulis $ | x^2 - x - 6 | \, $ tanpa mutlak,

$ | x^2 - x - 6 | = \left\{ \begin{array}{cc} x^2 - x - 6 & , x \leq -2 \vee x \geq 3 \\ -(x^2 - x - 6 ) & , -2 < x < 3 \end{array} \right. $

Integral Fungsi Mutlak

Defenisi matematis fungsi mutlak sanggup dijelaskan sebagai berikut,

Asumsikan |f(x)|, ingin diintegralkan dalam batas $ a \leq b \leq c \, $ maka sanggup diselesaikan dalam bentuk:

$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , x \geq b \\ -f(x) & , x < b \end{array} \right. $

Atau sanggup dihitung sebagai berikut,

$ \int \limits_a^c \, |f(x)| \, dx = \int \limits_a^b \, f(x) \, dx + \int \limits_b^c \, -f(x) \, dx $

Contoh Soal, Pembahasan Integral Fungsi Nilai Mutlak

Soal 1. $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx $

Jawab:

$ |2x + 5| = (2x + 5) \, $ untuk batas $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ atau

$ |2x + 5| = -(2x + 5) \, $ untuk batas $ x < -\frac{5}{2} , \, $

Hasil Integral :

Batas Integral [0,2] $ x \geq -\frac{5}{2} , \, $ maka yang diintegralkan hanya potongan konkret saja : $ |2x + 5| = (2x + 5) $

$ \begin{align} \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx & = \int \limits_0^2 ( 2x + 5) dx \\ & = [ x^2 + 5x]_0^2 \\   & = [ (2^2 + 5.2) - (0^2 + 5.0)] \\ & = [ (14) - ( 0)] \\ & = 14 \end{align} $

Diperoleh Hasil simpulan $ \int \limits_0^2 | 2x + 5| dx = 14 $.

Soal 2. $ \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx $
Jawab
$ |x^2 - x - 6 | = (x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ x \leq -2 \vee x \geq 3 , \, $ atau
$ |x^2 - x - 6 | = -(x^2 - x - 6 ) \, $ untuk batas $ -2 < x < 3 , \, $
Hasil Integral:
Sebab diminta pada interval -3 hingga 5, maka menurut bentuk nilai mutlak harus dibagi interval tersebut menjadi $ -3 < x < -2, \, -2 < x < 3 , \, $ dan $ 3 < x < 5 $.
$ |2x + 5| = (2x + 5) $
$ \begin{align} \int \limits_{-3}^5 |x^2 - x - 6 | dx & = \int \limits_{-3}^{-2} |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{-2}^3 |x^2 - x - 6 | dx + \int \limits_{3}^5 |x^2 - x - 6 | dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 -(x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \\ & = \int \limits_{-3}^{-2} (x^2 - x - 6 ) dx + \int \limits_{-2}^3 (-x^2 + x + 6 ) dx + \int \limits_{3}^5 (x^2 - x - 6 ) dx \end{align} $
Silakan dilanjutkan menghitung 3 potongan tersebut secara integral biasa.

Soal 3. Hitunglah Nilai a, kalau $ \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx =a$ ?

Jawab:
Mutlak hanya berada pada $ |x| \, $ , maka diubah bentuk $ |x| \, $ sesuai definisi harga mutlak:
$ | x | = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. $
 $ |x| \, $ terdefenisi sebagai berikut,
$ |x| = x \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ |x| = -x \, $ untuk batas $ x < 0 $

Maka keseluruhan fungsi $ 3x^2 - 2|x| + 5 \, $ akan jadi,
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(x) + 5 = 3x^2 - 2x + 5 \, $ untuk batas $ x \geq 0 , \, $ atau
$ 3x^2 - 2|x| + 5 = 3x^2 - 2(-x) + 5 = 3x^2 + 2x + 5 \, $ untuk batas $ x < 0 $

Hasil Integral
$ \begin{align} \int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 - 2|x| + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx \\ & = \int \limits_{-1}^0 3x^2 + 2x + 5 dx + \int \limits_{0}^2 3x^2 - 2x + 5 dx \\ & = [x^3 + x^2 + 5x]_{-1}^0 + [x^3 - x^2 + 5x]_{0}^2 \\ & = [(0^3 + 0^2 + 5.0) - ((-1)^3 + (-1)^2 + 5.(-1))] \\ & + [(2^3 - 2^2 + 5.2) - (0^3 - 0^2 + 5.0)] \\ & = [(0) - (-5)] + [(14) - ( 0)] \\ & = 5 + 14 \\ & = 19 \end{align} $
Maka diperolehlah $\int \limits_{-1}^2 3x^2 - 2|x| + 5 dx =a= 19 $.
Sumber Soal: (http://freemathlearn.tk)

Sumber http://www.marthamatika.com/

Cara Menghitung Panjang Busur Dengan Integral

Contoh Aplikasi Integral salah satunya ialah dipakai untuk mencari panjang tali busur sebuah kurva. Penggunaan integral dalam memilih panjang busur dengan integral ini ialah bentuk dari penerapan jumlah Riemann.

Menentukan Panjang Busur Kurva dengan Pendekatan Riemann

Sekarang coba anda perhatikan gambar di bawah ini,

Akan dihitung panjang busur kurva f(x) pada interval [a,b]. Atau dapat juga kalau ingin menghitung interval [C,D].

Untuk menghitungnya maka dibentuk garis yang berwarna merah. Sekarang fokus pada interval [C,D]. Di sini, panjang garis yang berwarna merah dan menghubungkan C dan D dimana

 $ C(x_{k-1}, y_{k-1}) \, $ ke titik $ D(x_{k}, y_{k}) \, $ dan gunakan rumus jarak antara dua titik. 

jarak $ = \sqrt{(x_k - x_{k-1})^2 + (y_k - y_{k-1})^2 } = \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } $.

Pendekatan ini dilakukan untuk menghitung busur kurva CD sehingga dapat ditulis, 

$ \, = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } $ 

Dengan mengambil nilai $ \Delta x_k \, $ dan $ \Delta y_k \, $ sedemikian sehingga kecil sekali akan diperoleh n bagian mendekati tak hingga. Ini dapat dirumuskan menjadi,

Panjang busur $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } \, $ 

atau Jumlah Riemann Panjang busur 

$ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ 1 + \left( \frac{\Delta y_k}{\Delta x_k} \right)^2 } \, \Delta x_k = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \, $ 

Atau 

$ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \left( \frac{\Delta x_k}{\Delta y_k} \right)^2 + 1 } \, \, \Delta y_k = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy $.

Pendekatan untuk menghitung panjang busur kurva di atas agak terlalu susah. Alternatif lain, anda dapat gunakan dengan Integral.

Rumus dan Cara Menghitung Panjang Busur dengan Integral

Akan dihitung panjang busur kurva dari P (a,c) dan Q (b,d). Ada dua pilihan dalam menghitungnya. Anda dapat hitung secara sumbu x atau sumbu y, dimana masing masingnya:

Panjang Kurva Sumbu X

$ \, = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx $

Panjang Kurva Sumbu Y

$ \, = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy $

Rasanya mungkin anda masih bingung. Agar lebih gampang silakan lihat pola soal dan pembahasan memilih panjang busur dengan integral berikut ini,

Contoh Soal dan Pembahasan Menghitung panjang Tali Busur Kurva

Soal 1. Hitung lah panjang busur kurva $ 9y^2 = 4x^3 \, $ dari titik $ P(0,0) \, $ ke titik $ Q(3, 2\sqrt{3}) $ ?

Pembahasan:

Pertama - Fungsi diubah bentuknya 

$ 9y^2 = 4x^3 \rightarrow y = \sqrt{\frac{4x^3}{9}} = \frac{2}{3} x^\frac{3}{2} $

Kedua - Tentukan turunan fungsi tersebut

$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} . \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} = x^\frac{1}{2} $

Ketiga - Menghitung Panjang Busur PQ,

$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 \sqrt{ 1 + \left( x^\frac{1}{2} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 \sqrt{ 1 + x } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 ( 1 + x )^\frac{1}{2} \, dx \\ & = [ \frac{2}{3} ( 1 + x )^\frac{3}{2} ]_0^3 \\ & = [ \frac{2}{3} ( 1 + 3 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{2}{3} ( 1 + 0 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{2}{3} . 8 ] - [ \frac{2}{3} . 1 ] \\ & = \frac{2}{3} . 7 \\ & = \frac{14}{3} \end{align} $

Soal 2. Hitunglah panjang dari busur y=3x  dari titik M (0,0) dan N (2,6).

Pembahasan:

Untuk soal ini akan kita lihat menghitung panjang busur menurut sumbu x dan sumbu y.

Untuk Sumbu x,

x [ 0,2]

Turunan:

$ y = 3x \rightarrow \frac{dy}{dx} = 3 $

Panjang Busur:

$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 1 + \left( 3 \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 1 + 9 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 10 } \, dx \\ & = [ \sqrt{ 10 } x ]_0^2 \\ & = [ \sqrt{ 10 } .2 ] - [ \sqrt{ 10 } . 0 ] \\ & = [ 2\sqrt{ 10 } ] - [ 0 ] \\ & = 2\sqrt{ 10 } \end{align} $

Sekarang untuk sumbu y, interval y= [0,6]

Fungsi dan Turunanya
$ y = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}y \rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{3} $
Menghitung Panjang Busur:
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \left( \frac{1}{3} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1}{9} + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1+9}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{10}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } \, \, dy \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }y ]_0^6 \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }. 6 ] - [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } . 0 ] \\ & = [ 2\sqrt{ 10 } ] - [ 0 ] \\ & = 2\sqrt{ 10 } \end{align} $

Menghitung Panjang Busur Kurva Fungsi parameter

Pengertian fungsi parameter secara sederhana saja yaitu yang mempunyai bentuk:
$ x = f(t) \, $ dan $ y = g(t) \, $

Untuk menghitung panjang busur (biasanya berupa soal dongeng dan ditanyakan panjang lintasan), maka dipakai rumus:
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \times \frac{dt}{dt} \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {dt} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {(dt)^2} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 + ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 } {(dt)^2} + \frac{ ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \end{align} $

Agar tahu maksud saya menyerupai apa perhatikan pola soal di bawah ini,
Soal 3. Seekor semut berjalan pada lintasan dimana dinyatakan posisi semut tersebut terhadap waktu yaitu: $ x = 3t \, $ dan $ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} $, dengan $ t \, $ dalam detik. Panjang lintasan yang ditempuh semut tersebut dalam waktu 1 detik adalah...

Pembahasan:
$ x = 3t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3 $
$ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} \rightarrow \frac{dy}{dt} = \frac{8}{3} . \frac{3}{2}t^\frac{1}{2} = 4t^\frac{1}{2}$

Panjang Lintasan:
$ \begin{align} \text{Panjang lintasan } & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( 3 \right)^2 + \left( 4t^\frac{1}{2} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 \sqrt{ 9 + 16t } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 ( 9 + 16t )^\frac{1}{2} \, \, dt \\ & = [ \frac{1}{6} . \frac{2}{3} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.1 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.0 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} ( 25 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{1}{9} ( 9 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} . 125 ] - [ \frac{1}{9} . 27 ] \\ & = \frac{1}{9} ( 125 - 27 ) \\ & = \frac{1}{9} ( 98 ) \\ & = \frac{98}{9} \\ & = 10\frac{8}{9} \end{align} $

Sumber http://www.marthamatika.com/

Materi Dan Soal, Pembahasan Perihal Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Mengenai apa itu integral atau pengertian integral anda dapat baca pada bab halaman: Integral itu Apa sih Sebenarnya? Pada halaman ini saya akan uraikan dengan singkat wacana integral tak tentu.

Defenisi integral tak tentu sebagai berikut,

Asumsikan fungsi f(x) merupakan turunan dari F(x)+C maka dapat ditulis  $ \int f(x) dx = F(x) + c $. Adapun rumus integral tak tentu fungsi aljabar secara umum sebagai berikut.

 $ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $

Dimana a≠0 dan n≠-1 , a, n ε Bilangan Real. Darimanakah rumus integral tersebut? Kembali anda harus ingat sebetulnya integral yaitu antiturunan. Coba perhatikan pembuktian rumus integral di atas berikut ini,
Akan dibuktikan $ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) & = (n+1) . \frac{a}{n+1}x^{(n+1) -1 } \\ & = ax^n \end{align} $
Terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) = ax^n $ .
Sementara itu, untuk pengecualian pangkat (n) = -1. Maka berlaku:

$ \int ax^{-1} dx = \int \frac{a}{x} dx = a \ln x + c $

dimana  $ \ln x \, $ dibaca "len $ x $" yang sama dengan fungsi logaritma dengan basis $ e = 2,718... $ Pembuktian dari rumus integral dengan pangkat -1 tersebut sebagai berikut,

Contoh Soal dan Penyelesaian Integral Tak Tentu Aljabar

Gunakan Rumus Integral tak tentu
$ \begin{align} a^{m+n} = a^m.a^n, \, \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \end{align} \, $ dan $ \begin{align} \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} \end{align} $

Soal 1. $ \int x^4 dx $
$ \int x^4 dx , \, $ nilai $ n = 4 $
$ \int x^3 dx = \frac{1}{4+1}x^{4+1} + c = \frac{1}{5}x^5 + c $.
Soal 2. $ \int \frac{3}{x} dx $ (gunakan pengecualian unutuk pangkat -1.
$ \int \frac{3}{x} dx , \, $ artinya $ n = -1 $
$ \int \frac{3}{x} dx = \int 3x^{-1} dx = 3 \ln x + c $
Soal 3. $ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx $
$ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx = \int 5 x^\frac{2}{3} dx , \, $ artinya $ n = \frac{2}{3} $
$ \begin{align} \int 5\sqrt[3]{x^2} dx & = \int 5 x^\frac{2}{3} dx \\ & = \frac{5}{\frac{2}{3} + 1} x^{\frac{2}{3} + 1} + c \\ & = \frac{5}{\frac{5}{3} } x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 5 . \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{1 + \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x^1.x^{ \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x\sqrt[3]{x^2} + c \end{align} $
Akan dibuktikan: $ \int \frac{a}{x} dx = a\ln x + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( a\ln x + c \right) & = a . \frac{1}{x} = \frac{a}{x} \end{align} $
Terbukti sebetulnya $ \frac{d}{dx} \left( \ln x + c \right) = \frac{a}{x} $ .
Berikutnya silakan baca juga: Sifat Sifat Integral tak Tentu Beserta Contoh Soal.
Sumber http://www.marthamatika.com/

Sifat Sifat Integral Tak Tentu Dengan Rujukan Soal

Jika anda telah memahami apa defenisi integral secara umum, dalam penyelesaian soal soal integral akan lebih gampang kalau anda memahami sifat sifat integral tak tentu. Adapun sifat sifat integral tak tentu yang aku maksud sebagai berikut,
i). $ \int k dx = kx + c \, $ dimana k yaitu sebuah konstanta
ii). $ \int k f(x) dx = k \int f(x) dx $
iii). $ \int [f(x) + g(x) ] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx $
iv). $ \int [f(x) - g(x) ] dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx $

Lalu pada bab mana ini akan mempermudah penyelesaian soal soal integral? Anda perhatikan pola soal penerapan sifat sifat integral di bawah ini,
Soal 1. $ \int 3 dx $
$ \int 3 dx = 3x + c \, $ (sifat i)

Soal 2. $ \int (x^2 + x) dx $
menurut sifat (iii) :
$ \int (x^2 + x) dx = \int x^2 dx + \int x dx = \frac{1}{2+1}x^{2+1} + \frac{1}{1+1}x^{1+1} + c = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + c $

Soal 3. $ \int (x^3 - 2x + 5) dx $
$ \begin{align} \int (x^3 - 2x + 5) dx & = \int x^3 dx - \int 2x dx + \int 5 dx \\ & = \frac{1}{3+1}x^{3+1} - \frac{2}{1+1}x^{1+1} + 5x + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{2}x^2 + 5 + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{2}x^2 + 5 + c \\ & = \frac{1}{4}x^4 - x^2 + 5 + c \end{align} $

Soal 4. $ \int \frac{x^3+2x^2-1}{3x^2} dx $
Sifat Perpangkatan : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ .

$ \begin{align} \int \frac{x^3+2x^2-1}{3x^2} dx & = \int \frac{x^3}{3x^2}+\frac{2x^2}{3x^2}-\frac{1}{3x^2} dx \\ & = \int \frac{x}{3 }+\frac{2 }{3 }-\frac{1}{3x^2} dx \\ & = \int \frac{1}{3}x +\frac{2 }{3 }-\frac{1}{3 } x^{-2} dx \\ & = \frac{1}{3}. \frac{1}{1+1}x^{1+1} +\frac{2 }{3 }x-\frac{1}{3 }. \frac{1}{-2+1} x^{-2+1} + c \\ & = \frac{1}{3}. \frac{1}{2}x^2 +\frac{2 }{3 }x-\frac{1}{3 }. \frac{1}{- 1} x^{- 1} + c \\ & = \frac{1}{6}x^2 +\frac{2 }{3 }x + \frac{1}{3 } . \frac{1}{x} + c \\ & = \frac{1}{6}x^2 +\frac{2 }{3 }x + \frac{1}{3 x} + c \end{align} $
Sumber http://www.marthamatika.com/

Cara Memilih Persamaan Kurva Memakai Integral

Salah satu teladan aplikasi kegunaan integral yaitu memilih persamaan kurva. Lebih lanjut ini dipakai pada banyak sekali ilmu terapan ibarat ekonomi, kedokteran dan lainnya. Misalkan dalam memilih persamaan kurva keseimbangan undangan dan penawaran. Dari jejak garis, akan terlihat gradien garis dan sanggup dicari persamaan kurva yang dilaluinya. Mungkin lebih luasnya akan dibahas dalam bahan ekonomi.

Pembahasan di sini saya batasi sekedar bagaimana memilih persamaan kurva dari sebuah fungsi/gradien garis yang diketahui dengan memakai integral.

Sebagai pengantar awal, anda harus ingat kembali pengertian dan defenisi integral. Integral yaitu bentuk anti-turunan dari sebuah fungsi, dimana,
$ \int f(x) dx = F(x) + c \Leftrightarrow \int F^\prime (x) dx = F(x) + c $

Berdasarkan defenisi integral dan turunan di atas, artinya kalau diketahui turunan maka untuk mencari F(x) cukup diintegralkan. Secara umum langkah memilih persamaan kurva atau grafik dengan integral sebagai berikut,

1. Integralkan Fungsi. Perlu diperhatikan apakah yang diberikan turunan pertama, turunan kedua atau turunan ke berapa.
2. Gunakan nilai yang diketahui di soal untuk memilih nilai konstanta C.
3. Tulis persamaan kurva dengan sempurna.

Agar lebih memudahkan pemahaman anda, silakan diperhatikan teladan soal dan pembahasan ihwal bagaimana cara memilih persamaan kurva dengan memakai integral di bawah ini.

Soal 1: Sebuah kurva yang melalui titik A (2, 1), mempunyai gradien sebagai berikut $ \frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) $ , tentukanlaj persamaan kurva tersebut.

Pembahasan:

Gradien=turunan pertama. Artinya  $ y^\prime = \frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) $.

Langkah 1: Integralkan Gradien (turunan fungsi)

$ \begin{align} y & = \int y^\prime dx \\ y & = \int 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) dx \\ & = \int 2\left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2\int \left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{-1}x^{-1} \right) + c \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} \right) + c \\ y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \end{align} $

Langkah 2: Nilai yang diketahui titik A (2,1) Gunakan ini untuk menemukan nilai C.

$ \begin{align} (x,y) = (2,1) \rightarrow y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \\ 1 & = 2^2 + \frac{2}{2} + c \\ 1 & = 4 + 1 + c \\ c & = -4 \end{align} $

Langkah 3: Tulis persamaan kurva dengan lengkap: $ y = x^2 + \frac{2}{x} - 4 $.

Soal 2: Diketahui biaya marginal (MC) dalam proses produksi suatu barang (Q) /bulan merupakan merupakan fungsi biaya terhadap banyaknya barang yang diproduksi dinyatakan dalam fungsi $ MC = \frac{dC}{dQ} = 2Q + 3 \, $. JIka Biaya Produksi 1 unitbarang yaitu Rp 300.000, maka fungsi biaya total per-bulan adalah... (sumber soal: freemathlearn.tk)

Dimana :

Q = banyak produksi (Quantity),

C = Biaya produksi total (Total Cost),

dan MC = Biaya marginal (Marginal Cost).

Pembahasan:

Fungsi $ MC = \frac{dC}{dQ} = C^\prime (Q) = 2Q + 3 $

Langkah 1: Integralkan fungsi untuk mencari Biaya total $ C(Q) $ :

$ \begin{align} C(Q) & = \int C^\prime (Q) dQ \\ C(Q) & = \int (2Q + 3) dQ \\ C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \end{align} $

Langkah2: Nilai yang diketahui, untuk produksi 1 unit= 3 (dalam ribu) artinya  $ C(1) = 3 $.

Dan kita hitung konstanta

$ \begin{align} C(1) = 3 \rightarrow C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \\ C(1) & = 1^2 + 3.1 + k \\ 3 & = 1 + 3 + k \\ k & = 1 \end{align} $

Langkah 3: Menulis Persamaan Fungsi dengan lengkap $ C(Q) = Q^2 + 3Q + 1 $

Soal 3: Sebuah kurva $ y = f(x) \, $ melalui titik (1,2) dengan gradien garis singgungnya yaitu -5 di titik tersebut. Jika $ f^{\prime \prime } (x) = 6x + 4 \, $ , tentukanlah persamaan kurva?

Pembahasan:

Karena diketahui turunan kedua, artinya anda harus mengintegralkan dua kali nantinya. Baca selengkapnya: Cara Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva dengan Turunan

Langkah 1a: $ f^\prime (x) \, $ didapat dari hasil integral $ f^{\prime \prime } (x) $

$ \begin{align} f^\prime (x) & = \int f^{\prime \prime } (x) dx \\ f^\prime (x) & = \int ( 6x + 4 ) (x) dx \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \end{align} $

Langkah 2a. Nilai lain, gradien yaitu turunan pertama dimana- 5 sehingga di ketika x = 1 , nilainya $ f^\prime (1) = -5 $ Bisa anda cari nilai C

$ \begin{align} f^\prime (1) = - 5 \rightarrow f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \\ f^\prime (1) & = 3.1^2 + 4.1 + c_1 \\ -5 & = 3 + 4 + c_1 \\ c_1 & = -12 \end{align} $

Langkah 3a: Menulis Persamaan kurva$ f^\prime (x) = 3x^2 + 4x - 12 $.

 Hingga disini anda gres menemukan turunan pertama. Lanjutkan dengan mencari fungsi dimana akan diintegralkan turunan pertama yang gres saja anda peroleh.

Langkah 1b: Dapatkan $ f(x) \, $ dari hasil integral $ f^\prime (x) $ :

$ \begin{align} f(x) & = \int f^{\prime } (x) dx \\ f(x) & = \int (3x^2 + 4x - 12) dx \\ f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \end{align} $

Langkah 2b: Nilai konstanta, Karena kurva melalui (1,2), artinya $ f(1) = 2 $ :

$ \begin{align} f(1) = 2 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 - 12.1 + c_2 \\ 2 & = 1 + 2 - 12 + c_2 \\ c_2 & = 11 \end{align} $

Langkah 3b: Persamaan Kurva lengkapnya $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 12x + 11 $ .

Intinya langkah nya tetap 3, lakukan pengulangan hingga anda temukan F(x) bergantung turunan keberapa yang diberitahu.

Soal 4: Sebuah kendaraan beroda empat bergerak dengan fungsi percepatan $ a(t) = -2t^2 + 3t +1 $, dimana t dalam detik . Tentukanlah fungsi lintasan kendaraan beroda empat tersebut kalau diketahui $ v_0 = 2 \, $ dan $ s_0 = 1 $.

Pembahasan:

Dalam kinematika gerak fisika berlaku:

S(t) = Perpindahan

V(t)= S'(t)= Kecepatan

a(t)= V'(t)= S"(t)= percepatan

Jika anda perhatikan persamaan ke-tiga di atas. Yang ditanyakan yaitu S(t), sementara anda gres mempunyai a(t)=S"(t). Untuk itu dari S"(t) ke S(t) anda harus melaksanakan 2 kali integral ibarat soal sebelumnya.

Mencari V(t)=S'(t) integralkan a(t)

 Langkah 1 : Integralkan $ a(t) = -3t^2 + 4t +1 $

$ \begin{align} v(t) & = \int a(t) dt \\ v(t) & = \int ( -3t^2 + 4t +1 ) dt \\ v(t) & = \frac{-3}{2+1}t^3 + \frac{4}{1+1}t^2 + t + c_1 \\ v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \end{align} $

Langkah 2: Diketahui nilai $ v_0 = 2 \, $ atau $ v(0) = 2 $. Bisa anda cari konstanta

$ \begin{align} v(0) = 2 \rightarrow v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \\ v(0) & = -0^3 + 2.0^2 + 0 + c_1 \\ 2 & = -0 + 0 + 0 + c_1 \\ c_1 & = 2 \end{align} $

Langkah 3: Persamaan kecepatan lengkap $S'(t)= v(t) = -t^3 + 2t^2 + t + 2 $

Menentukan Perpindahan S(t) anda integralkan V(t) atau S'(t):

Langkah 1: Integralkan V(t)

$ \begin{align} s(t) & = \int v(t) dt \\ s(t) & = \int -t^3 + 2t^2 + t + 2 dt \\ s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \end{align} $

Langkah 2: Diketahui nilai $ s_0 = 1 \, $ atau $ s(0) = 1 $. Bisa anda cari konstanta

$ \begin{align} s(0) = 1 \rightarrow s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \\ s(0) & = -\frac{1}{4}.0^4 + \frac{2}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 + 2.0 + c_2 \\ 1 & = 0 + 0 + 0 + 0 + c_2 \\ c_2 & = 1 \end{align} $

Langkah 3: Fungsi Lengkap $ s(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1 $.

Sumber http://www.marthamatika.com/

Cara Menuntaskan Integral Dengan Teknik Substitusi

Arti dari subtitusi ialah menganti atau pergantian (subtitution). Pada konteks penyelesaian soal soal integral dengan metode subtitusi ini maksudnya variabel dari soal akan diganti. Lebih tepatnya diberi sebuah permisalan.

Sebagai contoh, akan diintegralkan  $ \int [f(x)]^n g(x) dx \, $ maka dilakukan langkah sebagai berikut:

1. Misalkan $ u = f(x) \, , $ 

2. Turunakan u $ \frac{du}{dx} = f^\prime (x) \rightarrow dx = \frac{du}{u^\prime} \, $ atau $ \, dx = \frac{du}{f^\prime (x) } $ .

3. Soal diubah semua dalam bentuk u dan integralkan menyerupai biasanya. $ \int [f(x)]^n g(x) dx = \int [u]^n g(x) \frac{du}{u^\prime } \, $ atau $ \int [f(x)]^n g(x) dx = \int [u]^n g(x) \frac{du}{ f^\prime (x) } $

Perlu diperhatikan, tidak semua soal dapat diselesaikan dengan teknik subtitusi. Ciri Ciri soal yang dapat diselesaikan dengan metode ini ialah selisih pangkat tertinggi variabel x pada f(x) dan g(x) ialah 1. Atau salah satunya merupakan kelipatan turunan dari yang lainnya. Jika anda sulit memahami kalimat terakhir ini, maka perhatikan contoh soal dan pembahasan integral subtitusi di bawah ini.

Soal 1. Hasil dari : $ \int 2x (4x^2 + 5)^{15} dx $ ?

Pembahasan:

Langkah 1. Misalkan $ u = 4x^2 + 5 $

Langkah 2. Turunan u:

$ \frac{du}{dx} = 8x \rightarrow dx = \frac{du}{8x} $

Langkah 3. Semua Diubah dalam variabel u dan integralkan.

$ \begin{align} \int 2x (4x^2 + 5)^{15} dx & = \int 2x (u)^{15} \frac{du}{8x} \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int (u)^{15} \frac{du}{4} \\ & = \frac{1}{4} \int (u)^{15} du \\ & = \frac{1}{4} . \frac{1}{16} u^{16} + c \\ & = \frac{1}{64} u^{16} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \frac{1}{64} (4x^2 + 5)^{16} + c \end{align} $

Soal 2. Hasil dari integral: $ \int \frac{3x-1}{\sqrt{3x^2 - 2x + 7}} dx $ ?

Pembahasan:

Langkah 1. Misalkan $ u = 3x^2 - 2x + 7 $

Langkah 2 Turunan u:

$\frac{du}{dx} = 6x - 2 = 2(3x - 1) \\  dx=\frac {du}{2(3x-1)}$ $

Langkah 3. Semua diubah dalam variabel u dan integralkan.

$ \begin{align} \int \frac{3x-1}{\sqrt{3x^2 - 2x + 7}} dx & = \int \frac{3x-1}{\sqrt{u}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{3x-1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2(3x - 1) } \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2 } \\ & = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du \\ & = \frac{1}{2} \frac{1}{-\frac{1}{2} + 1} u^{-\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} } u^{\frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{1}{2} .2 \sqrt{u} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \sqrt{3x^2 - 2x + 7} + c \end{align} $

Soal 3. Hasil dari: $ \int 6x^2 \sin 3x^3 dx $ ?

Pembahasan:

Langkah 1. Misalkan $ u = 3x^3 $

Langkah 2. Turunan u: 

$ \frac{du}{dx} = 9x^2 \rightarrow dx=\frac {du}{9x^2}$

Langkah 3. Ubah semua dalam u dan integralkan.

$ \begin{align} \int 6x^2 \sin 3x^3 dx & = \int 6x^2 \sin u \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int 6x^2 \sin u   \frac{du}{9x^2} \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int 2 \sin u \frac{du}{3} \\ & = \frac{2}{3} \int \sin u du \\ & = \frac{2}{3} (-\cos u) + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = -\frac{2}{3} \cos 3x^3 + c \end{align} $

Biar Praktis untuk Beberapa Soal:

1) Untuk $ \int k(ax+b)^n dx \, $ dimana $ n \neq -1 $

misalkan : $ u = ax + b \rightarrow \frac {du}{dx}=a $

$ \begin{align} \int k(ax+b)^n dx & = \int k(ax+b)^n dx \\ & = \int k(u)^n \frac{du}{a} \\ & = \frac{k}{a} \int (u)^n du \\ & = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c \end{align} $

Anda dapat gunakan rumus berikut secara langsung:

$ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $

Contoh $ \int 4(2x-5)^{31} dx $

$ \begin{align} \int 4(2x-5)^{31} dx & = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+ 1} (ax+b)^{n+1} + c \\ & = \frac{4}{2} . \frac{1}{31+ 1} (2x-5)^{31+1} + c \\ & = 2.\frac{1}{32} (2x-5)^{32} + c \\ & = \frac{1}{16} (2x-5)^{32} + c \end{align} $

2) Untuk $ \int k(ax+b)^n dx \, $ dimana $ n = -1 $

Misalkan: $ u = ax + b \rightarrow \frac {du}{dx} = a $

$ \begin{align} \int k(ax+b)^{-1} dx & = \int \frac{k}{ax+b} dx \\ & = \int \frac{k}{u} \frac{du}{a}   \\ & = \frac{k}{a} \int \frac{1}{u} du \\ & = \frac{k}{a} \ln (u) + c \\ & = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c \end{align} $

Anda dapat pribadi gunakan rumus:

$ \int k(ax+b)^{-1} dx = \int \frac{k}{ax+b} dx = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c $.

Contoh $ \int \frac{3}{2x-5} dx $

$ \begin{align} \int \frac{3}{2x-5} dx & = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c \\ & = \frac{3}{2} \ln (2x-5) + c \end{align} $

 $ \int \frac{3}{2x-5} dx = \frac{3}{2} \ln (2x-5) + c $ 

Baca juga: Cara Menghitung Panjang Busur dengan Integral

Sumber http://www.marthamatika.com/

Rumus Dan Teladan Soal Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Saya tak akan menjelaskan lebih lagi perihal apa itu pengertian integral. Anda dapat baca pada halaman terkait: Pengertian dan Dasar Integral. Khusus pada halaman ini aku akan jelaskan perihal integral trigonometri.

Adapun rumus rumus integral trigonometri sebagai berikut,

1. Rumus Dasar Integral Trigonometri

1). $ f(x) = \sin x \rightarrow f^\prime (x) = \cos x $

artinya $ \int \cos x dx = \sin x + c $

2). $ f(x) = \cos x \rightarrow f^\prime (x) = -\sin x $

artinya $ \int - \sin x dx = \cos x + c \, $ atau $ \, \int \sin x dx = -\cos x + c $

3). $ f(x) = \tan x \rightarrow f^\prime (x) = \sec ^2 x $

artinya $ \int \sec ^2 x dx = \tan x + c $

4). $ f(x) = \cot x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc ^2 x $

artinya $ \int - \csc ^2 x dx = \cot x + c \, $ atau $ \, \int \csc ^2 x dx = -\cot x + c $

5). $ f(x) = \sec x \rightarrow f^\prime (x) = \sec x \tan x $

artinya $ \int \sec x \tan x dx = \sec x + c $

6). $ f(x) = \csc x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc x \cot x $

artinya $ \int -\csc x \cot x dx = \csc x + c \, $

atau $ \, \int \csc x \cot x dx = -\csc x + c $

Contoh Soal Integral Trigonometri Dasar:

Catatan: Anda harus ingat rumus identitas trigonometri:

$ \sec x = \frac{1}{\cos x }, \, \csc x = \frac{1}{\sin x}, \, \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \, \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $

Soal 1. $ \int \sin x - \cos x dx $

$ \int \sin x - \cos x dx = -\cos x - \sin x + c $

Soal 2. $ \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx $

$ \begin{align} \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx & = \int \frac{\sin x + \csc x}{ \frac{\sin x}{\cos x} } dx \\ & = \int (\sin x + \csc x) \times \frac{\cos x}{\sin x} dx \\ & = \int ( \sin x . \times \frac{\cos x}{\sin x} + \csc x \times \frac{\cos x}{\sin x} ) dx \\ & = \int ( \cos x + \csc x \cot x ) dx \\ & = \sin x - \csc x + c \end{align} $

2. Rumus Integral Trigonometri bentuk ax+b

Pada dasarnya ini sama saja. Tetapi perlu anda perhatikan imbas konstanta a sebagaimana rumus rumus berikut,

1). $ f(x) = \sin (ax+b) \rightarrow f^\prime (x) = a\cos (ax + b) $

artinya $ \int a\cos (ax + b) dx = \sin (ax+b) + c $

atau $ \int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax+b) + c $

2). $ f(x) = \cos (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\sin (ax + b) $

artinya $ \int - a\sin (ax + b) dx = \cos (ax + b) + c \, $

atau $ \, \int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a}\cos (ax + b) + c $

3). $ f(x) = \tan (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a \sec ^2 (ax + b) $

artinya $ \int a \sec ^2 (ax + b) dx = \tan (ax + b) + c $

atau $ \int \sec ^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + c $

4). $ f(x) = \cot (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc ^2 (ax + b) $

artinya $ \int - a\csc ^2 (ax + b) dx = \cot (ax + b) + c \, $

atau $ \, \int \csc ^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + c $

5). $ f(x) = \sec (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a\sec (ax + b) \tan (ax + b) $

artinya $ \int a\sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \sec (ax + b) + c $

atau $ \int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + c $

6). $ f(x) = \csc (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) $

artinya $ \int -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = \csc (ax + b) + c $

atau $ \int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = - \frac{1}{a} \csc (ax + b) + c $

Contoh Soal yang berkaitan dengan integral trigonometri bentuk ax+b  ini sebagai berikut,

Soal 1. $ \int \sin (2x + 3) dx $

 $ \int \sin (2x + 3) dx = -\frac{1}{2} \cos (2x + 3) + c $

Soal 2. $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx $

 $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx = -\frac{1}{-2} \cot (-2x + 1) - \frac{1}{2} \cos (2x) + c $

$ = \frac{1}{2} \cot (-2x + 1) - \frac{1}{2} \cos (2x) + c $

Dari soal di atas terlihat hanya operasi penjumlahan. kemudian bagaimana jikalau soal ditemukan dalam bentuk operasi perkalian.

Integral Trigonometri dalam Bentuk Perkalian

Pada suatu kondisi anda harus ingat perihal beberapa rumus perkalian dan sudut rangkap pada trigonometri. Rumus trigonometri yang aku maksud,

$ 2 \sin A \cos B = \sin (A+B) + \sin (A-B) \, $

atau $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $

$ 2 \cos A \sin B = \sin (A+B) - \sin (A-B) \, $

atau $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) - \sin (A-B)] $

$ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) \, $

atau $ \, \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $

$ -2 \sin A \sin B = \cos (A+B) - \cos (A-B) \, $

atau $ \, \sin A \sin B = -\frac{1}{2} [\cos (A+B) - \cos (A-B)] $

Sudut Rangkap/Ganda

$ \cos ^2 A f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2A f(x) ] $

$ \sin ^2 A f(x) = \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2A f(x) ] $

Contoh penggunaan rumus di atas saat anda menemukan soal soal menyerupai berikut,

Soal 1. $ \int \sin 5x \cos 2x dx $

Tinjau dan Pergunakan Rumus : $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $

$ \begin{align} \int \sin 5x \cos 2x dx & = \int \frac{1}{2} [ \sin (5x+2x) + \sin (5x-2x)] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} \int [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} [ -\frac{1}{7}\cos (7x) - \frac{1}{3} \cos (3x)] + c \\ & = -\frac{1}{14}\cos (7x) - \frac{1}{6} \cos (3x) + c \end{align} $

Soal 2. $ \int \cos ^2 3x dx $

Tinjau dan Pergunakan Rumus : $ \, \cos ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $

$ \int \cos ^2 3x dx $

$ \begin{align} \int \cos ^2 3x dx & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 3x ] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 6x ] dx \\ & = \frac{1}{2} [ x + \frac{1}{6} \sin 6x ] + c \\ & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} \sin 6x + c \end{align} $

Soal 3. $ \int \sin ^4 5x dx $

Tinjau dan Pergunakan Rumus: $ \, \sin ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2p f(x) ] $

$ \begin{align} \int \sin ^4 5x dx & = \int \sin ^2 5x \sin ^2 5x dx \\ & = \int (\sin ^2 5x)^2 dx \\ & = \int (\frac{1}{2} [ 1 - \cos 2 . 5x ])^2 dx \\ & = \int \frac{1}{4} [ 1 - \cos 10x ]^2 dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \cos ^2 10 x ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 10x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 20x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 20x ] dx \\ & = \frac{1}{4} [ x - \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} . \frac{1}{20} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{1}{4} [ \frac{3}{2}x - \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{40} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x - \frac{2}{40} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x - \frac{1}{20} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \end{align} $

Sumber http://www.marthamatika.com/

Penyelesaian Integral Fungsi Khusus Dengan Subtitusi Trigonometri

Sebelum lebih lanjut mengenai integral subtitusi untuk fungsi trigonometri ini ada baiknya anda harus paham mengenai integral trigonometri dasar dan rumusnya. Pada dasarnya teknik subtitusi ini yakni memisalkan sebuah fungsi dengan variabel lain. Kemudian fungsi dibutuhkan lebih sederhana dan gampang di integralkan.

Penyederhanaan fungsi yang dimaksud merujuk pada identitas dan invers trigonometri. Rumus identitas yang harus anda ingat kembali adalah,

$ \sin ^2 t + \cos ^2 t = 1 $.

$ 1 + \tan ^2 t = \sec ^2 t $.

$ 1 + \cot ^2 t = \csc ^2 t $.

Sementara rumus invers trigonometri yang saya maksud adalah,

 $ \sin t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \sin f(x) $

 $ \cos t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \cos f(x) $

 $ \tan t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \tan f(x) $

 $ \cot t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \cot f(x) $

 $ \sec t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \sec f(x) $

 $ \csc t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \csc f(x) $

Contoh penggunaan invers ini sebagai berikut,

$ \sin t = \frac{1}{2} \rightarrow t = arc \sin \frac{1}{2} \rightarrow t = 30^\circ $

$ \cos t = 3x \rightarrow t = arc \cos (3x) $

$ \tan t = \frac{x - 2}{5} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x - 2}{5} \right) $

Bentuk Subtitusi Trigonometri

Bentuk umum trigonometri yang akan disubtitusikan sebagai beriku,

Bentuk $ \sqrt{a^2 - b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sin t \, $

Bentuk $ \sqrt{a^2 + b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \tan t \, $ 

Bentuk $ \sqrt{b^2x^2 - a^2 } , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sec t \, $ 

Atau secara umum anda perhatikan tabel di bawah ini,

Lebih gampang kalau anda perhatikan pola soal dan pembahasan integral subtitusi trigonometri di bawah ini.

Soal 1: Hasil dari integral $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx $ 

Jawab:

Berdasarkan bentuk $ \sqrt{1-x^2} , \, $ ini yakni bentuk pertama dimana a=1. Oleh lantaran itu anda akan gunakan pen-substitusi $ x = \sin t \, $ 

Ubah/subtitusikan $ x = \sin t $ pada soal.

$ x = \sin t \rightarrow t = arc \sin x $

$ x = \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \cos t \rightarrow dx = \cos t dt $.

$ \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-(\sin t) ^2 } = \sqrt{\cos ^2 t } = \cos t $.

Gunakan rumus identitas trigonometri: $ \sin ^2 t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t $.

juga $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.

dan $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 - x^2 } $

Perhatikan semua penggantian variabel   x  dan  dx menjadi t:

$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx & = \int \frac{(\sin t)^2}{ \cos t } \cos t dt \\ & = \int (\sin t)^2 dt \\ & = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \sin t \cos t + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{1}{2} x \sqrt{ 1 - x^2 } + c \\ & = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{x}{2} \sqrt{ 1 - x^2 } + c \end{align} $

Maka diperoleh hasil : $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{x}{2} \sqrt{ 1 - x^2 } + c $

Soal 2: Tentukanlah hasil integral $ \int \frac{1}{4 + x^2} dx $ ?

Jawab:

Bentuknya $ 4 + x^2 , \, $ kedua, dimana a=2 sehingga anda perlu substitusi $ x = 2 \tan t $.

$ x = 2 \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x}{2} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) $

$ x = 2 \tan t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 2 \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.

$ \begin{align} 4 + x^2 & = 4 + (2 \tan t)^2 = 4 + 4 \tan ^2 t = 4(1+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \end{align} $.

Semua x dan dx pada soal diubah dalam t:

$ \begin{align} \int \frac{1}{4 + x^2} dx & = \int \frac{1}{4 \sec ^2 t} . 2 \sec ^2 t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{2} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $

Maka diperoleh hasil: $ \int \frac{1}{4 + x^2} dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c $ 

Soal 3: $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx=... $ ?

Jawab:

Agar gampang fungsi diubah dalam bentuk kuadrat sempurna ,

$ \begin{align} x^2 + 2x + 5 & = (x^2 + 2x + 1 ) + 4 \\ & = (x+1)^2 + 4 \end{align} $

Bentuk $ (x+1)^2 + 4 , \, $ menyerupai bentuk umum kedua, maka anda substitusi $ x + 1 = 2 \tan t $.

$ x + 1 = 2 \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x+1}{2} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \right) $

$ x + 1= 2 \tan t \rightarrow x = 2\tan t - 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = 2 \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.

$ \begin{align} (x+1)^2 + 4 & = (2\tan t)^2 + 4 = 4\tan ^2 t + 4 = 4(1+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \end{align} $.

Semua variabel x diubah dalam t:

$ \begin{align} \int \frac{1}{(x+1)^2 + 4} dx & = \int \frac{1}{4 \sec ^2 t} . 2 \sec ^2 t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{2} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x+ 1}{2} \right) + c \end{align} $

Maka diperoleh hasil: $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \right) + c $

Sumber http://www.marthamatika.com/

Langkah Dan Cara Menuntaskan Integral Dengan Teknik Integral Parsial

Teknik integral parsial yaitu metode penyelesaian integral yang sedikit lebih ampuh dibanding integral dengan teknik subtitusi . Ini akan sangat memudahkan anda dalam penyelesaian soal soal integral.

Apa rumus penyelesaian integral parsial ini?

Rumus yang dipakai adalah:

 $ \int udv = uv - \int vdu $

Dengan melihat rumus saja tentu akan samar-samar bagi anda. Lebih rinci langkah penyelesaian integral dengan parsial ini sebagai berikut,

1. Fungsi dibagi menjadi dua bagian, lalu dilakukan permisalan bab pertama u  dan bab ke dua dv. Perlu diperhatikan, u dipilih pada fungsi yang mungkin akan habis jikalau diturunkan.
2. Kemudian gunakan rumus di atas dan sederhanakan hasil yang diperoleh.

Lebih gampang bila anda perhatikan tumpuan soal dan pembahasan integral parsial berikut,

Soal 1: $ \int x\sqrt{x+2} dx=.. $.

Pembahasan:

Langkah 1. Bisa anda liha sesungguhnya Ada dua fungsi yaitu $ x \, $ dan $ \sqrt{x+2} $.

disini saya gunakan permisalan:  $ u = x \, $ , lantaran jikalau diturunkan akan hingga pada 0 nantinya

Sementara itu $ \sqrt{x+2} \, $ , jikalau anda turunkan tidak akan hingga pada nol, bahkan akan ditemukan hasil yang lebih sulit. Oleh lantaran itu maka fungsi kedua ini sebagai permisalan $ dv = \sqrt{x+2} dx $ .

Langkah 2. Menggunakan rumus integral parsial dan menyederhanakan

$ u = x \rightarrow \frac{du}{dx} = 1 \rightarrow du = dx $.

$ dv = \sqrt{x+2} dx $ , maka $ v $ :

dicari menurut rumus integral secara biasa $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $ ,

$ \begin{align} dv = \sqrt{x+2} dx \rightarrow \int dv & = \int \sqrt{x+2} dx \\ v & = \int \sqrt{x+2} dx \\ & = \int (x+2)^\frac{1}{2} dx \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} (x+2)^{\frac{1}{2} + 1} \\ & = \frac{1}{\frac{3}{2} } (x+2)^{\frac{3}{2} } \\ & = \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } \end{align} $

$ \begin{align} \int udv & = uv - \int vdu \\ \int udv & = x. \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } - \int \frac{2}{3} (x+2)^{\frac{3}{2} } dx \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} \int (x+2)^{\frac{3}{2} } dx \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{3}{2} + 1} (x+2)^{\frac{3}{2} + 1} + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{1}{\frac{5}{2} } (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{2}{3} . \frac{2}{5} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \\ & = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{4}{15} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c \end{align} $

Maka anda akan peroleh hasil $ \int x\sqrt{x+2} dx = \frac{2}{3} x (x+2)^{\frac{3}{2} } - \frac{4}{15} (x+2)^{\frac{5}{2} } + c $

Terlihat susah dan ribet bukan? Ini lantaran penulisan kurang rapi. Agar lebih rapi dan efektif, penyelesaian integral parsial ini dapat memakai teknik integral parsial tanjalin. Bisa anda baca: Cara dan Langkah Menyelesaikan Integral dengan Metode Tanjalin

Sumber http://www.marthamatika.com/

Aturan Integral Parsial Tanjalin

Integral Parsial Tanjalin merupakan bentuk penyederhanaan penulisan integral parsial biasa semoga lebih efektif sehingga lebih gampang untuk diselesaikan. Langkah Penyelesaian Soal Integral dengan aturan Integral Parsial Tanjalin ini sebagai berikut,

1. Fungsi dibagi menjadi dua bagian. Misalkan fungsi pertama f(x) dan fungsi kedua g(x) . Fungsi pertama dipilih dimana fungsi yang berkemungkinan diturunkan akan jadi nol dan fungsi ke dua sisanya.
2. Bagi menjadi dua kolom. Kolom pertama f(x)  dan kolom kedua g(x). Turunkan f(x) sampai nol. Kemudian integralkan g(x) sampai sebanyak berapa kali menurunkan f tadi. Beri tanda selang seling + dan - pada mulai dari baris pertama.
3. Hasil integral yaitu hasil perkalian 'secara diagonal ke bawah'.

Lebih gampang perhatikan denah hukum integral parsial tanjalin berikut,

Kolom kiri yaitu f(x) yang aku turunkan sampai 0. Dan kolom kanan hasil integral g(x) sebanyak berapa kali aku turunkan. Perhatikan tanda di sebelah f(x). Mulai dari kasatmata pada baris pertama. Kemudian garis merah merupakan denah perkalian 'diagonal' yang aku maksud. Sehingga hasil kesudahannya akan jadi:

$ \begin{align} \int f(x) . g(x) dx & = +f(x) \times g_1(x) + (- f^\prime (x)) \times g_2 (x) + \\ & (+f^{\prime \prime } (x)) \times g_3 (x) +(- f^{\prime \prime \prime }) \times g_4(x) + c \\ \int f(x) . g(x) dx & = f(x) g_1(x) - f^\prime (x) g_2 (x) + \\ & f^{\prime \prime } (x) g_3 (x) - f^{\prime \prime  \prime } g_4(x) + c \end{align} $

Akan lebih gampang kalau anda perhatikan pola soal dan pembahasan integral parsial tanjalin di bawah ini.

Soal 1: $ \int x^2 \cos 2x dx $

$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x^2 \, \, \, & | \, \, \, \cos 2x \\ (-) \, \, 2x \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} \sin 2x \\ (+) \, \, 2 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2}. (-\frac{1}{2} \cos 2x ) = - \frac{1}{4} \cos 2x \\ (-) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{4} . \frac{1}{2} \sin 2x = -\frac{1}{8} \sin 2x \end{align} $

Kalikan secara diagonal dan hasilnya

$ \begin{align} \int x^2 \cos 2x dx & = (+x^2) \times \frac{1}{2} \sin 2x + (-2x) \times - \frac{1}{4} \cos 2x + (+2) \times -\frac{1}{8} \sin 2x + c \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x -\frac{1}{4} \sin 2x + c \\ & = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x + c \end{align} $

Soal 2:  Hasil dari integral $ \int 2x^3 \cos x dx $ ?

Pembahasan :

Skema Aturan Tanjalin :

$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 2x^3 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 6x^2 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 12x \, \, \, & | \, \, \, -\cos x \\ (-) \, \, 12 \, \, \, & | \, \, \, - \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \end{align} $

Perkalian dan hasil akan diperoleh

$ \begin{align} \int 2x^3 \cos x dx & = (+2x^3) \times \sin x + (-6x^2) \times (-\cos x) + (+12x) \times (- \sin x) \\ & \, \, \, \, \, + (-12) \times \cos x + c \\ & = 2x^3 \sin x + 6x^2 \cos x - 12x \sin x -12 \cos x + c \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = ( 2x^3 - 12x) \sin x + (6x^2 -12) \cos x + c \end{align} $

Soal 3:  $ \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx $

Pembahasan:

Gunakan Rumus Perkalian trigonometri : $ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) $,

Fungsi dan Soal anda akan jadi

$ 6x \cos (3x) \cos (2x) = 3x . 2\cos (3x) \cos (2x) = 3x (\cos 5x + \cos x ) = 3x \cos 5x + 3x \cos x $.

$ \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx = \int 3x \cos 5x + 3x \cos x dx = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx $

Sesuai Aturan Tanjalin:

Bentuk I : $ \int 3x \cos 5x dx $

$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos 5x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} \sin 5x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} . -\frac{1}{5} \cos 5x = - \frac{1}{25} \cos 5x \end{align} $

Perkalian secara diagonal

$ \begin{align} \int 3x \cos 5x dx & = (+3x ) \times (\frac{1}{5} \sin 5x) + (-3) \times (- \frac{1}{25} \cos 5x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + c \end{align} $

Bentuk II: $ \int 3x \cos x dx $

$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, - \cos x \end{align} $

Perkalian secara diagonal

$ \begin{align} \int 3x \cos x dx & = (+3x ) \times ( \sin x) + (-3) \times (- \cos x ) + c \\ & = 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align} $

Maka hasil selesai yang anda peroleh

$ \begin{align} \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx & = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx \\ & = (\frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x ) + (3 x \sin x + 3 \cos x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align} $

Soal 4: Hasil dari $ \int 2x^3 \cos x^2 dx $

Penyelesaian :

Bentuk soal ibarat ini agak sedikit rumit, lantaran tak dapat eksklusif dimisalkan  $ g(x)=\cos x^2 \, $ Sebab saat diintegralkan bentuk ini tidak dapat eksklusif diintegralkan secara trigonometri sederhana.

Oleh alasannya yaitu itu maka misalkan $ u = x^2 $.

Gunakan sentuhan teknik substitusi aljabar :

$ u = x^2 \rightarrow u^\prime = 2x $

$ \begin{align} \int 2x^3 \cos x^2 dx & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{2x} \, \, \, \, \, \text{(disederhanakan)} \\ & = \int x^2 \cos u du \, \, \, \, \, \text{(ganti } x^2 = u) \\ & = \int u \cos u du \end{align} $

Lanjutkan dengan tanjalin, alasannya yaitu untuk cos u anda dapat integralkan secara langsung.

 $ \int u \cos u du \, $ 

Skema tanjalin :

$ \begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, u \, \, \, & | \, \, \, \cos u \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \sin u \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\cos u \end{align} $

Kalikan secara diagonal

$ \begin{align} \int u \cos u du & = (+u) \times \sin u + (-1) \times (-\cos u) + c \\ & = u \sin u + \cos u + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk }u) \\ & = x^2 \sin x^2 + \cos x^2 + c \end{align} $

Terakhir anda peroleh: $ \int 2x^3 \cos x^2 dx = x^2 \sin x^2 + \cos x^2 + c $.

Sumber http://www.marthamatika.com/

Langkah Dan Cara Menuntaskan Integral Fungsi Pecah

Salah satu teknik integral yang akan dipakai dalam penyelesaian soal integral yaitu integral fungsi pecah atau dikenal juga dengan istilah partial fractions. Dalam teknik ini agak sedikit menguji kreativitas untuk memecah bentuk pecahan menjadi dua bagian.

Cara Memecah Fungsi menjadi Partial Fractions

Semisal anda mempunyai fungsi dalam bentuk pecahan, maka fungsi yang berperan sebagai penyebut difaktorkan, kemudian dibentuk dalam bentuk umum

$ \frac{1}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} $

$ \frac{1}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^2} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2} $

$ \frac{1}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^3} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2} + \frac{D}{(a_2x + b_2)^3} $

$ \frac{1}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3) } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3} $

$ \frac{1}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2 } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3} + \frac{Dx + E}{(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2} $dst

Akan sedikit membingungkan bagi anda bila hanya melihat rumus di atas. Coba anda perhatikan teladan soal fungsi pecah di bawah ini,

Contoh 1: $ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} $

Penyebut difaktorkan:

$ x^2 - 2x - 8 = (x+2)(x-4) $.

Bagi menjadi dua bagian,

$ \begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{ x - 3}{(x+2)(x-4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} \\ & = \frac{A(x-4) + B(x+2)}{(x+2)(x-4)} \\ & = \frac{Ax - 4A + Bx + 2B}{(x+2)(x-4)} \\ & = \frac{(A+B)x - 4A + 2B}{x^2 - 2x - 8} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{(A+B)x - 4A + 2B}{x^2 - 2x - 8} \\ x - 3 & = (A+B)x - 4A + 2B \end{align} $

Tentukan nilai A dan B dari kesamaan

 $ x - 3 = (A+B)x - 4A + 2B $,

$ A + B = 1 \, $ ....pers(i)

$ - 4A + 2B = -3 \, $ ....pers(ii)

Gunakan Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :

$ \begin{array}{c|c|cc} A + B = 1 & \times 2 & 2A + 2B = 2 & \\ - 4A + 2B = -3 & \times 1 & - 4A + 2B = -3 & - \\ \hline & & 6A = 5 & \\ & & A = \frac{5}{6} & \end{array} $

Pers(i) : $ A + B = 1 \rightarrow \frac{5}{6} + B = 1 \rightarrow B = \frac{1}{6} $

Bentuk fungsi pecah

$ \begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{\frac{5}{6} }{x+2} + \frac{\frac{1}{6} }{x-4} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) \end{align} $

Makara $ \begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) \end{align} $

Jika anda sudah paham bagaimana pemecahan fungsi di atas, maka kita akan lanjutkan dengan,

Integral Fungsi Pecah

Rumus dasar integral dan sifat logartima natural (ln) yang harus anda kembali ingat,

 $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $

 $ \int \frac{k}{ax+b} dx = \frac{k}{a} . \ln (ax+b)+ c $

Juga anda ingat kembali sifat logarima yang diterapkan pada logaritma natural (ln).

$ \ln a + \ln b = \ln (a.b) $

$ \ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b} $

Kita akan gabungkan pengunaannya dengan fungsi pecah pada bab awal tadi. Berikut teladan soal dan penyelesaian integral fungsi pecah.

Soal 1: $ \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx =...$ 

Langkah 1: Pecah fungsi menyerupai cara di atas. Dan diperoleh

$ \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx = \int \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) dx $

Langkah 2 Lanjutkan dengan mengintegralkan,

$ \begin{align} \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx & = \int \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) dx \\ & = \frac{1}{6} \left( \int \frac{5}{x+2} dx + \int \frac{1 }{x-4} dx \right) \\ & =  \frac{1}{6} \left( 5 \ln (x+2) + \ln (x-4) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln (x+2)^5 + \ln (x-4) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \ln [ (x+2)^5 (x-4) ] + c \end{align} $

Jadi, $ \begin{align} \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx & = \frac{1}{6} \ln [ (x+2)^5 (x-4) ] + c \end{align} $

Soal 2: Hasil dari integral $ \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } dx $

Pembahasan;

Faktorkan penyebut

$ x^3 - x^2 + 4x - 4 = (x^3 + 4x) - (x^2 + 4) = x(x^2 + 4) - (x^2 + 4) = (x-1)(x^2+4) $

Pecah jadi dua bagian:

$ \begin{align} \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{x^2 + x + 3 }{(x-1)(x^2+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ & = \frac{A(x^2+4) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+4)} \\ & = \frac{Ax^2 + 4A + Bx^2 - Bx + Cx - C }{(x-1)(x^2+4)} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{(x-1)(x^2+4)} & = \frac{(A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C }{(x-1)(x^2+4)} \\ x^2 + x + 3 & = (A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C \end{align} $

Nilai dari A, B dan C dengan memakai kesamaan:

 $ x^2 + x + 3 = (A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C $,

$ A + B = 1 \rightarrow B = 1 - A \, $ ....pers(i)

$ C - B = 1 \, $ ....pers(ii)

$ 4A - C = 3 \rightarrow C = 4A - 3 \, $ ....pers(iii)

Substitusi pers(i) dan (iii) ke pers(ii)

$ \begin{align} C - B & = 1 \\ (4A - 3 ) - (1 - A) & = 1 \\ 5A - 4 & = 1 \\ A & = 1 \end{align} $

Persamaan(i) : $ B = 1 - A = 1 - 1 = 0 $

Persamaan(iii) : $ C = 4A - 3 = 4.1 - 3 = 1 $

Makara bentuk fungsi pecah,

$ \begin{align} \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{1}{x-1} + \frac{0x+1}{x^2+4} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{1}{x-1} + \frac{ 1}{x^2+4} \end{align} $

Bagian $ \int \frac{ 1}{x^2+4} dx \, $, kita memakai teknik substitusi trigonometri dan akan didapat hasil

$ \int \frac{1}{4 + x^2} dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c $

Integral bab lain :

$ \begin{align} \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } dx & = \int \frac{1}{x-1} + \frac{ 1}{x^2+4} dx \\ & = \int \frac{1}{x-1} dx + \int \frac{ 1}{x^2+4} dx \\ & = \ln (x-1) + \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $

Makara $ \begin{align} \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } dx & = \ln (x-1) + \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $

Sumber http://www.marthamatika.com/