Cara Memilih Persamaan Kurva Memakai Integral

Salah satu teladan aplikasi kegunaan integral yaitu memilih persamaan kurva. Lebih lanjut ini dipakai pada banyak sekali ilmu terapan ibarat ekonomi, kedokteran dan lainnya. Misalkan dalam memilih persamaan kurva keseimbangan undangan dan penawaran. Dari jejak garis, akan terlihat gradien garis dan sanggup dicari persamaan kurva yang dilaluinya. Mungkin lebih luasnya akan dibahas dalam bahan ekonomi.

Pembahasan di sini saya batasi sekedar bagaimana memilih persamaan kurva dari sebuah fungsi/gradien garis yang diketahui dengan memakai integral.

Sebagai pengantar awal, anda harus ingat kembali pengertian dan defenisi integral. Integral yaitu bentuk anti-turunan dari sebuah fungsi, dimana,
$ \int f(x) dx = F(x) + c \Leftrightarrow \int F^\prime (x) dx = F(x) + c $

Berdasarkan defenisi integral dan turunan di atas, artinya kalau diketahui turunan maka untuk mencari F(x) cukup diintegralkan. Secara umum langkah memilih persamaan kurva atau grafik dengan integral sebagai berikut,

1. Integralkan Fungsi. Perlu diperhatikan apakah yang diberikan turunan pertama, turunan kedua atau turunan ke berapa.
2. Gunakan nilai yang diketahui di soal untuk memilih nilai konstanta C.
3. Tulis persamaan kurva dengan sempurna.

Agar lebih memudahkan pemahaman anda, silakan diperhatikan teladan soal dan pembahasan ihwal bagaimana cara memilih persamaan kurva dengan memakai integral di bawah ini.

Soal 1: Sebuah kurva yang melalui titik A (2, 1), mempunyai gradien sebagai berikut $ \frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) $ , tentukanlaj persamaan kurva tersebut.

Pembahasan:

Gradien=turunan pertama. Artinya  $ y^\prime = \frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) $.

Langkah 1: Integralkan Gradien (turunan fungsi)

$ \begin{align} y & = \int y^\prime dx \\ y & = \int 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) dx \\ & = \int 2\left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2\int \left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{-1}x^{-1} \right) + c \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} \right) + c \\ y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \end{align} $

Langkah 2: Nilai yang diketahui titik A (2,1) Gunakan ini untuk menemukan nilai C.

$ \begin{align} (x,y) = (2,1) \rightarrow y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \\ 1 & = 2^2 + \frac{2}{2} + c \\ 1 & = 4 + 1 + c \\ c & = -4 \end{align} $

Langkah 3: Tulis persamaan kurva dengan lengkap: $ y = x^2 + \frac{2}{x} - 4 $.

Soal 2: Diketahui biaya marginal (MC) dalam proses produksi suatu barang (Q) /bulan merupakan merupakan fungsi biaya terhadap banyaknya barang yang diproduksi dinyatakan dalam fungsi $ MC = \frac{dC}{dQ} = 2Q + 3 \, $. JIka Biaya Produksi 1 unitbarang yaitu Rp 300.000, maka fungsi biaya total per-bulan adalah... (sumber soal: freemathlearn.tk)

Dimana :

Q = banyak produksi (Quantity),

C = Biaya produksi total (Total Cost),

dan MC = Biaya marginal (Marginal Cost).

Pembahasan:

Fungsi $ MC = \frac{dC}{dQ} = C^\prime (Q) = 2Q + 3 $

Langkah 1: Integralkan fungsi untuk mencari Biaya total $ C(Q) $ :

$ \begin{align} C(Q) & = \int C^\prime (Q) dQ \\ C(Q) & = \int (2Q + 3) dQ \\ C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \end{align} $

Langkah2: Nilai yang diketahui, untuk produksi 1 unit= 3 (dalam ribu) artinya  $ C(1) = 3 $.

Dan kita hitung konstanta

$ \begin{align} C(1) = 3 \rightarrow C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \\ C(1) & = 1^2 + 3.1 + k \\ 3 & = 1 + 3 + k \\ k & = 1 \end{align} $

Langkah 3: Menulis Persamaan Fungsi dengan lengkap $ C(Q) = Q^2 + 3Q + 1 $

Soal 3: Sebuah kurva $ y = f(x) \, $ melalui titik (1,2) dengan gradien garis singgungnya yaitu -5 di titik tersebut. Jika $ f^{\prime \prime } (x) = 6x + 4 \, $ , tentukanlah persamaan kurva?

Pembahasan:

Karena diketahui turunan kedua, artinya anda harus mengintegralkan dua kali nantinya. Baca selengkapnya: Cara Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva dengan Turunan

Langkah 1a: $ f^\prime (x) \, $ didapat dari hasil integral $ f^{\prime \prime } (x) $

$ \begin{align} f^\prime (x) & = \int f^{\prime \prime } (x) dx \\ f^\prime (x) & = \int ( 6x + 4 ) (x) dx \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \end{align} $

Langkah 2a. Nilai lain, gradien yaitu turunan pertama dimana- 5 sehingga di ketika x = 1 , nilainya $ f^\prime (1) = -5 $ Bisa anda cari nilai C

$ \begin{align} f^\prime (1) = - 5 \rightarrow f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \\ f^\prime (1) & = 3.1^2 + 4.1 + c_1 \\ -5 & = 3 + 4 + c_1 \\ c_1 & = -12 \end{align} $

Langkah 3a: Menulis Persamaan kurva$ f^\prime (x) = 3x^2 + 4x - 12 $.

 Hingga disini anda gres menemukan turunan pertama. Lanjutkan dengan mencari fungsi dimana akan diintegralkan turunan pertama yang gres saja anda peroleh.

Langkah 1b: Dapatkan $ f(x) \, $ dari hasil integral $ f^\prime (x) $ :

$ \begin{align} f(x) & = \int f^{\prime } (x) dx \\ f(x) & = \int (3x^2 + 4x - 12) dx \\ f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \end{align} $

Langkah 2b: Nilai konstanta, Karena kurva melalui (1,2), artinya $ f(1) = 2 $ :

$ \begin{align} f(1) = 2 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 - 12.1 + c_2 \\ 2 & = 1 + 2 - 12 + c_2 \\ c_2 & = 11 \end{align} $

Langkah 3b: Persamaan Kurva lengkapnya $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 12x + 11 $ .

Intinya langkah nya tetap 3, lakukan pengulangan hingga anda temukan F(x) bergantung turunan keberapa yang diberitahu.

Soal 4: Sebuah kendaraan beroda empat bergerak dengan fungsi percepatan $ a(t) = -2t^2 + 3t +1 $, dimana t dalam detik . Tentukanlah fungsi lintasan kendaraan beroda empat tersebut kalau diketahui $ v_0 = 2 \, $ dan $ s_0 = 1 $.

Pembahasan:

Dalam kinematika gerak fisika berlaku:

S(t) = Perpindahan

V(t)= S'(t)= Kecepatan

a(t)= V'(t)= S"(t)= percepatan

Jika anda perhatikan persamaan ke-tiga di atas. Yang ditanyakan yaitu S(t), sementara anda gres mempunyai a(t)=S"(t). Untuk itu dari S"(t) ke S(t) anda harus melaksanakan 2 kali integral ibarat soal sebelumnya.

Mencari V(t)=S'(t) integralkan a(t)

 Langkah 1 : Integralkan $ a(t) = -3t^2 + 4t +1 $

$ \begin{align} v(t) & = \int a(t) dt \\ v(t) & = \int ( -3t^2 + 4t +1 ) dt \\ v(t) & = \frac{-3}{2+1}t^3 + \frac{4}{1+1}t^2 + t + c_1 \\ v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \end{align} $

Langkah 2: Diketahui nilai $ v_0 = 2 \, $ atau $ v(0) = 2 $. Bisa anda cari konstanta

$ \begin{align} v(0) = 2 \rightarrow v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \\ v(0) & = -0^3 + 2.0^2 + 0 + c_1 \\ 2 & = -0 + 0 + 0 + c_1 \\ c_1 & = 2 \end{align} $

Langkah 3: Persamaan kecepatan lengkap $S'(t)= v(t) = -t^3 + 2t^2 + t + 2 $

Menentukan Perpindahan S(t) anda integralkan V(t) atau S'(t):

Langkah 1: Integralkan V(t)

$ \begin{align} s(t) & = \int v(t) dt \\ s(t) & = \int -t^3 + 2t^2 + t + 2 dt \\ s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \end{align} $

Langkah 2: Diketahui nilai $ s_0 = 1 \, $ atau $ s(0) = 1 $. Bisa anda cari konstanta

$ \begin{align} s(0) = 1 \rightarrow s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \\ s(0) & = -\frac{1}{4}.0^4 + \frac{2}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 + 2.0 + c_2 \\ 1 & = 0 + 0 + 0 + 0 + c_2 \\ c_2 & = 1 \end{align} $

Langkah 3: Fungsi Lengkap $ s(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1 $.

Sumber http://www.marthamatika.com/