Rumus Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Kita telah mengetahui bahwa akar-akar suatu persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ ditentukan oleh rumus $\begin{align*}x_{1, 2}=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{align*}$. Berdasarkan rumus tersebut kita dapat menurunkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut.

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$, maka berlaku:

$\begin{align*}x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}\end{align*}$

Bukti
$\begin{align*}x_{1}+x_{2}&=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-b-b+\sqrt{b^{2}-4ac}-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-2b}{2a}\\&=\frac{-b}{a}\end{align*}$

Selanjutnya

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ ialah akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$, maka berlaku:

$\begin{align*}x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}\end{align*}$

Bukti
$\begin{align*}x_{1}.x_{2}&=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}×\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}\\&=\frac{4ac}{4a^{2}}\\&=\frac{c}{a}\end{align*}$

Selanjutnya perhatikan beberapa pola soal berikut.

Soal 1

Diketahui persamaan kuadrat $2x^{2}-10x+3=0$. Tentukan nilai:
(a).  $x_{1}+x_{2}$
(b).  $x_{1}.x_{2}$
(c).  $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$
(d).  $\begin{align*}\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}\end{align*}$

Pembahasan
Dari persamaan kuadrat $2x^{2}-10x+3=0$ diperoleh $a=2$, $b=-10$, dan $c=3$.
$\begin{align*}\textrm{a.}\;\;x_{1}+x_{2}&=\frac{-b}{a}\\&=\frac{-(-10)}{2}\\&=5\end{align*}$

$\begin{align*}\textrm{b.}\;\;x_{1}.x_{2}&=\frac{c}{a}\\&=\frac{3}{2}\end{align*}$

$\begin{align*}\textrm{c.}\;\;x_{1}^{2}+x_{2}^{2}&=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}\\&=\left(\frac{-b}{a}\right)^{2}-2\left(\frac{c}{a}\right)\\&=(5)^{2}-2\left(\frac{3}{2}\right)\\&=25-3\\&=22\end{align*}$

$\begin{align*}\textrm{d.}\;\;\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}&=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}.x_{2}}\\&=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}\\&=\frac{22}{\frac{3}{2}}\\&=\frac{44}{3}\end{align*}$

Soal 2

Diketahui jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-(2m+4)x+8m=0$ sama dengan $52$. Tentukan nilai $m$ yang memenuhi.

Pembahasan.
Dari persamaan kuadrat $x^{2}-(2m+4)x+8m=0$ diperoleh nilai $a=1$,  $b=-(2m+4)$, dan $c=8m$. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat tersebut ialah $p$ dan $q$, maka:
$\begin{align*}p^{2}+q^{2}&=52\\(p+q)^{2}-2pq&=52\\\left(\frac{-b}{a}\right)^{2}-2\left(\frac{c}{a}\right)&=52\\(2m+4)^{2}-2(8m)&=52\\4m^{2}+16m+16-16m&=52\\4m^{2}&=36\\m^{2}&=9\\m&=±3\end{align*}$
Jadi, nilai $m$ ialah $-3$ dan $3$.

Soal 3

Soal UN 2012
Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+ax-4=0$ ialah $p$ dan $q$. Jika $p^{2}-2pq+q^{2}=8a$, maka nilai $a=...$
A. $-8$
B. $-4$
C. $4$
D. $6$
E. $8$

Pembahasan.
Dari persamaan kuadrat $x^{2}+ax-4=0$ diperoleh $a=1$,  $b=a$, dan $c=-4$, dimana $p$ dan $q$  ialah akar-akarnya, maka:
$\begin{align*}p+q&=-a\\pq&=-4\end{align*}$
Selanjutnya;
$\begin{align*}p^{2}-2pq+q^{2}&=8a\\(p+q)^{2}-2pq-2pq&=8a\\(p+q)^{2}-4pq&=8a\\(-a)^{2}-4(-4)&=8a\\a^{2}+16&=8a\\a^{2}-8a+16&=0\\(a-4)^{2}&=0\\a&=4\end{align*}$
Jadi, nilai $a$ ialah $4$.

Demikian pembahasan mengenai Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat. Semoga bermanfaat.

Sumber http://yan-fardian.blogspot.com