Soal Dan Pembahasan Osn 2018 Tingkat Kabupaten Matematika Smp (Kode: Osn.Kk.M.R3)

$(1).$ Suku keempat, suku ketujuh, suku kesepuluh, dan suku ke-1010 suatu barisan aritmatika berturut-turut ialah $t,\ t^{2},\ \text{dan}\ t+t^{2}$, dan 2018. Suku ke-100 dikurangi suku ke-10 barisan tersebut adalah...
$(A).$ 102
$(B).$ 150
$(C).$ 175
$(D).$ 180

Alternatif Pembahasan: show

Sekarang kita coba bermain dengan Barisan Aritmatika;
$U_{4}=a+3b=t$
$U_{7}=a+6b=t^{2}$
$U_{10}=a+9b=t+t^{2}$
$U_{1010}=a+1009b=2018$

$U_{4}+U_{7}=t+t^{2}$
$a+3b+a+6b=t+t^{2}$
$2a+9b=a+9b$
$a=0$

$a+1009b=2018$
$1009b=2018$
$b=\frac{2018}{1009}$
$b=2$

$\begin{align}
U_{100}-U_{10} & = a+99b-a+9b \\
& = 90b \\
& = 90(2) \\
& = 180 \\
\end{align}$

$(2).$ Jika $\frac{1}{n}-\frac{1}{3n}+\frac{n}{3}-\frac{1}{2n}=\frac{3}{2n}$, maka jumlah semua nilai $n$ yang mungkin adalah...
$(A).$ 2
$(B).$ 1
$(C).$ 0
$(D).$ -1

Alternatif Pembahasan: show

Soal tampaknya kembali mengajak kita untuk bermain-main di aljabar,..
\begin{split} \frac{1}{n}-\frac{1}{3n}+\frac{n}{3}-\frac{1}{2n} & =\frac{3}{2n} \\
\frac{1}{n}-\frac{1}{3n}+\frac{n}{3}-\frac{1}{2n}- \frac{3}{2n} & =0 \\
\frac{6}{6n}-\frac{2}{6n}+\frac{2n^{2}}{6n}-\frac{3}{6n}- \frac{9}{6n} & =0 \\
\frac{2n^{2}-8}{6n} & =0 \\
\frac{n^{2}-4}{3n} & =0 \\
n^{2}-4 & =0 \\
(n-2)(n+2) & =0 \\
n=2\ \text{atau}\ n=-2 \\
\text{Jumlah semua nilai $n$ adalah}\ 2 + (-2)=0 \end{split}

$(3).$ Dari gambar berikut ini diketahui $AP=11\ cm$, $OA=2\ cm$,

Pernyataan yang salah adalah...
$(A).$ keliling $DEFPD$ ialah 22 cm
$(B).$ $OP=5\sqrt{5}\ cm$
$(C).$ $EP=5\sqrt{5}-2\ cm$
$(D).$ $AD=DE$

Alternatif Pembahasan: show

Kita coba perhatikan gambar lingkaran dan garis singgung $AP$ dan $BP$ sehingga $\bigtriangleup OAP$ siku-siku di $A$ sehingga berlaku;
$\begin{align}
OP^{2} & = OA^{2} + AP^{2} \\
& = 2^{2} + 11^{2} \\
& = 125 \\
OP & = \sqrt{125} \\
& = 5 \sqrt{5}\ (B)\end{align}$

Lalu kita coba perhatikan segiempat $OADE$.
Dimana $AD$ dan $DE$ ialah garis singgung lingkaran maka sudut $\angle OED=\angle OAD=90^{\circ}$ dan $OA=OE=2$, maka $OADE$ ialah sebuah layang-layang sehingga $AD=DE$ $(D)$.

Jika kita perhatikan segiempat $OEFB$.
Dimana $EF$ dan $BF$ ialah garis singgung lingkaran maka sudut $\angle OEF=\angle OBF=90^{\circ}$ dan $OB=OE=2$, maka $OEFB$ ialah sebuah layang-layang sehingga $EF=BF$.
Keliling $DEFPD$
$\begin{align}
& = DE+EF+FP+PD \\
& = AD+BF+FP+PD \\
& = AD+PD+BF+FP \\
& = 11+11 \\
& = 22\ (A)\end{align}$

Sekarang kita perhatikan $\bigtriangleup OEP$ untuk memastikan kebenaran $EP=5\sqrt{5}-2\ cm$
Kita ketahui bahwa jumlah panjang dua sisi segitiga lebih dari panjang sisi yang lainnya, pada segitiga $OEP$ harus berlaku:
$OE+EP > OP$
$2+EP > 5 \sqrt{5}$
$EP > 5 \sqrt{5}-2$
Ini menunjukkan pernyataan yang menyampaikan $EP=5\sqrt{5}-2\ cm$ ialah pernyataan salah.

$(4).$ Bilangan prima $p$ dan $q$ masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan $p$ dan $q$ merupakan bilangan dua digit yang digitnya sama. Jika bilangan tiga digit $r$ merupakan perkalian $p$ dan $q$, maka dua nilai $r$ yang mungkin ialah ...
$(A).$ 121 atau 143
$(B).$ 169 atau 689
$(C).$ 403 atau 989
$(D).$ 481 atau 121

Alternatif Pembahasan: show

Disampaikan $p$ dan $q$ ialah bilangan prima dua digit, maka nilai $p$ dan $q$ ialah diantara: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, dan 97.

Bilangan prima dua digit ialah bilangan ganjil sehingga $p+q$ bilangan genap dua digit yang digitnya sama, sehingga $p+q=22,44,66, \text{atau}\ 88$

• Jika $p+q=22$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi ialah $(11,11)$
  Nilai dari $𝑟=pq$ yang memenuhi ialah 121.
• Jika $𝑝+𝑞=44$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi ialah $(13,31)$.
  Nilai dari 𝑟 yang memenuhi ialah 403.
• Jika $𝑝+𝑞=66$, maka pasangan $(𝑝,𝑞)$ yang memenuhi ialah $(13,53),\ (19,47),\ (23,43)$. Nilai dari $𝑟$ yang memenuhi ialah 689, 893, dan 989.
• Jika $𝑝+𝑞=88$, maka $𝑟$ bukan bilangan tiga digit.

$(5).$ Sebuah wadah memuat 5 buah bola merah dan 3 bola putih. Seseorang mengambil bola tersebut sebanyak 3 kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah....
$(A).\ \frac{1}{448}$
$(B).\ \frac{7}{280}$
$(C).\ \frac{1}{56}$
$(D).\ \frac{1}{7}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan kecil wacana hukum Combinasi $C_{r}^{p}=\binom{p}{r}=\frac{p!}{(p-r)!\ r!}$.
Bola diambil dua sekaligus tanpa pengembalian sebanyak tiga kali, maka peluang bahwa setiap pengambilan bola yang terambil beda warna dalam bahasa ialah peluang pertama beda warna dan peluang kedua beda warna dan peluang ketiga beda warna.

• Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
  $\begin{align} P(I) & = \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{3}{1}}{\binom{8}{2}} \\
  & = \frac{5 \cdot 3}{28}=\frac{15}{28} \end{align}$
• Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
  $\begin{align} P(II) & = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{2}{1}}{\binom{6}{2}} \\
  & = \frac{4 \cdot 2}{15}=\frac{8}{15} \end{align}$
• Peluang terambilnya bola dengan warna berbeda pada pengambilan pertama adalah;
  $\begin{align} P(III) & = \frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{1}{1}}{\binom{4}{2}} \\
  & = \frac{3 \cdot 1}{6}=\frac{1}{2} \end{align}$

$\therefore$ Peluang terambilnya bola warna berbeda ialah $\frac{15}{28} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{7}$

$(6).$ Diketahui $F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$ dan $G$ ialah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya sanggup dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan orisinil berurutan. Anggota $F\ \cap\ G$ sebanyak...
$(A).$ 14
$(B).$ 26
$(C).$ 29
$(D).$ 36

Alternatif Pembahasan: show

$F=\{9,10,11,12,13,.....,49,50\}$,
$n(F)=42$

$G$ ialah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya sanggup dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan orisinil berurutan.

• Hasil penjumlahan tiga bilangan orisinil berurutan. Untuk $𝑎=1,2,3,\cdots$ kita sanggup anggota bilangan $G$ ialah sebagai berikut:
  $𝑎+(𝑎+1)+(𝑎+2)=3𝑎+3$, [Bilangan habis dibagi 3=$3(a+1)$]
  $G=6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,\cdots $
• Hasil penjumlahan empat bilangan orisinil berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+(𝑎+2)+(𝑎+3)=4𝑎+6$, [Bilangan jikalau dibagi 4 sisa 2=$4(a+1)+2$]
  $𝐺=10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,\cdots $
• Hasil penjumlahan lima bilangan orisinil berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(𝑎+4)=5𝑎+10$, [Bilangan habis dibagi 5=$5(a+2)$]
  $𝐺=15,20,25,30,35,40,45,50,\cdots$
• Hasil penjumlahan enam bilangan orisinil berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(𝑎+5)=6𝑎+15$, [Bilangan jikalau dibagi 6 sisa 3=$6(a+2)+3$]
  $𝐺=21,27,33,39,45,\cdots$
• Hasil penjumlahan tujuh bilangan orisinil berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+6)=7𝑎+21$, [Bilangan habis dibagi 7=$7(a+3)$]
  $𝐺=28,35,42,49,\cdots$
• Hasil penjumlahan delapan bilangan orisinil berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+7)=8𝑎+28=$, [Bilangan jikalau dibagi 8 sisa 4=$8(a+3)+4$]
  $𝐺=36,44,\cdots$
• Hasil penjumlahan sembilan bilangan orisinil berurutan.
  $𝑎+(𝑎+1)+\cdots+(a+8)=9𝑎+36$, [Bilangan habis dibagi 9=$9(a+4)$]
  $𝐺=45,\cdots $

Banyak anggota $G$ tak hingga, tetapi anggota $G$ yang merupakan anggota $F$ ialah 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 45, 46, 49, dan 50.

$n(F\ \cap\ G)=29$

$(7).$ Kubus $ABCD\ PQRS$ mempunyai sisi-sisi yang panjangnya 4 cm. Jika $E$ titik tengah $PQ$ dan $F$ ialah titik tengah $QR$, maka luas tempat $ACFE$ ialah ... $cm^{2}$
$(A).\ 16$
$(B).\ 18$
$(C).\ 32$
$(D).\ 64$

Alternatif Pembahasan: show

$AD=4$, $AC=4\sqrt{2}$,

$\begin{align}
EF^{2} & = EQ^{2} + QF^{2} \\
& = 2^{2} + 2^{2} \\
& = 8 \\
EF & = \sqrt{8} \\
& = 2 \sqrt{2} \end{align}$

$\begin{align}
AE^{2} & = AP^{2} + PE^{2} \\
& = 4^{2} + 2^{2} \\
& = 20 \\
EF & = \sqrt{20} \\
& = 2 \sqrt{5} \end{align}$

$\begin{align}
EG^{2} & = AE^{2} - AG^{2} \\
& = (\sqrt{20})^{2} - (\sqrt{2})^{2} \\
& = 20 - 2 \\
EG & = \sqrt{18} \\
& = 3 \sqrt{2} \end{align}$

Luas $ACFE$ adalah:
$\begin{align}
[ACFE] & = \frac{1}{2} (EF+AC) \cdot EG \\
& = \frac{1}{2} (EF+AC) \cdot EG \\
& = \frac{1}{2} (2 \sqrt{2}+4 \sqrt{2}) \cdot 3 \sqrt{2} \\
& = \frac{1}{2} (6 \sqrt{2}) \cdot 3 \sqrt{2} \\
& = 18 \end{align}$

$(8).$ Grafik dibawah ini menggambarkan gerakan dua kendaraan bermotor.

Pernyataan berikut yang salah adalah...
$(A).$ Kecepatan terendah kedua untuk kendaraan A yaitu pada detik ke-4 hingga detik ke-10
$(B).$ Kecepatan tertinggi kendaraan B dicapai pada detik ke-18 hingga detik ke-23
$(C).$ Pada detik ke-10 hingga detik ke-15 kendaraan A dan B berhenti.
$(D).$ Sampai dengan Km 1 rata-rata kecepatan kendaraan A lebih besar daripada kecepatan kendaraan B

Alternatif Pembahasan: show

Dengan memperhatikan grafik dan pernyataan pada pilihan soal, kita sanggup menyimpulkan

• Pernyataan yang $(A)$ Benar, alasannya ialah kecepatan terendah pertama ada pada ketika detik ke-10 hingga ke-15;
• Pernyataan yang $(B)$ Salah, alasannya ialah kecepatan tertinggi kendaraan B ialah pada detik ke-2 hingga detik ke-8;
• Pernyataan yang $(C)$ Benar, alasannya ialah dari detik ke-10 hingga ke-15 tidak ada pertambahan jarak tempuh kedua kendaraan;
• Pernyataan yang $(D)$ Benar, Karena waktu yang dibutuhkan kendaraan A untuk menempuh 1 km lebih sedikit dari kendaraan B;

$(9).$ Perhatikan gambar berikut ini:

Persamaan garis hasil transformasi $R[0,180^{\circ}]$ dilanjutkan dengan pencerminan $y =-x$ terhadap garis $AB$ adalah...
$(A).\ y=2x+4$
$(B).\ y=2x-4$
$(C).\ y=-2x+4$
$(D).\ y=-2x-4$

Alternatif Pembahasan: show

Garis pada gambar melalui dua titik yaitu, $(0,2)$ dan $(4,4)$ maka persamaan garis yang terbentuk adalah:
\begin{align} \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} & = \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\
\frac{y-2}{4-2} & = \frac{x-0}{4-0} \\
\frac{y-2}{2} & = \frac{x}{4} \\
4y-8 & = 2x \\
2y-x-4 & = 0 \end{align}

Jika $(x,y)$ dirotasi dengan $R[0,180^{\circ}]$ maka bayangannya adalah:
$(x′,y′)=(-x,-y)$ $\Rightarrow$ $x′=-x$ dan $y′=-y$.

Jika $(x′,y′)$ dicerminkan terhadap garis $y=-x$ maka bayangannya adalah:
$(x′′,y′′)=(-y′,-x′)$ $\Rightarrow$ $x′′=-y′$ dan $y′′=-x′$.

Hasil rotasi dan pencerminan diatas kita substitusi ke persamaan garis;
\begin{align} 2y-x-4 & = 0 \\
2(-y′)-(-x′)-4 & = 0 \\
-2y′+x′-4 & = 0 \\
-2(-x′′)+(-y′′)-4 & = 0 \\
2x′′-y′′-4 & = 0 \end{align}
Arti double aksen $(′′)$ pada persamaan garis diatas ialah menyimbolkan bayangan garis sesudah dua kali di transformasikan. Persamaan bayangan garis sesudah ditransformasikan ialah dengan menghilangkan tanda double aksen $(′′)$ yaitu $2x-y-4 = 0$

$(10).$ Jika $0 < a < 1$ dan grafik fungsi kuadrat $y=a(x-1)^{2}+2a$ berada di bawah grafik fungsi $y=(a^{2}+2a)(x+1)-2a(2a+1)$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah...
$(A).$ $0 < x < 3$
$(B).$ $a < x < 3$
$(C).$ $a+1 < x < 3$
$(D).$ $3 < x < 3+a$

Alternatif Pembahasan: show

Sebelum kita mencari nilai $x$ yang memenuhi, fungsi kuadrat kita coba sederhanakan menjadi;
$\begin{align}
y_{1} & = a(x-1)^{2}+2a \\
& = a(x^{2}-2x+1)+2a \\
& = ax^{2}-2ax+3a \end{align}$

$\begin{align}
y_{2} & = (a^{2}+2a)(x+1)-2a(2a+1) \\
& = xa^{2}+2ax+a^{2}+2a-4a^{2}-2a \\
& = xa^{2}+2ax+a^{2}-4a^{2} \end{align}$

Disampaikan pada soal bahwa grafik $y_{1}$ berada dibawah grafik $y_{2}$ sehingga berlaku;
$y_{1} < y_{2}$
$ax^{2}-2ax+3a < xa^{2}+2ax+a^{2}-4a^{2}$
$ax^{2}-2ax+3a-xa^{2}-2ax-a^{2}+4a^{2} < 0$
$ax^{2}-(4a+a^{2})x+3a^{2}+3a < 0$
$x^{2}-(4+a)x+3a+3 < 0$

Dengan memakai rumus abc [Rumus Al-Kharizmi] kita coba cari pembuat nol pertidaksamaan;
$\begin{split} x_{12} & = \frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
& = \frac{4+a \pm \sqrt{(4+a)^{2}-4(3a+3)}}{2} \\
& = \frac{4+a \pm \sqrt{a^{2}+8a+16-12a-12}}{2} \\
& = \frac{4+a \pm \sqrt{a^{2}-4a+4}}{2} \\
& = \frac{4+a \pm \sqrt{(a-2)^{2}}}{2} \\
& = \frac{4+a \pm (a-2)}{2} \\
x_{1} & = \frac{4+a + (a-2)}{2}=a+1 \\
x_{2} & = \frac{4+a - (a-2)}{2}=3 \\
\end{split}$
Nilai $x$ yang memenuhi ialah $a+1 < x < 3$

$(11).$ Nilai sudut $x$ dan $y$ pada gambar berikut adalah...

$(A).$ $x=74^{\circ};\ y=104^{\circ}$
$(B).$ $x=37^{\circ};\ y=104^{\circ}$
$(C).$ $x=74^{\circ};\ y=114^{\circ}$
$(D).$ $x=37^{\circ};\ y=106^{\circ}$

Alternatif Pembahasan: show

Dengan memperhatikan gambar, kita mulai dari segitiga yang terbentuk. Besar sudut dalam sebuah segitiga ialah $180^{\circ}$ sehingga kita peroleh:
$61^{\circ}+2x+(180^{\circ}-135^{\circ})=180^{\circ}$
$61^{\circ}+2x+45^{\circ}=180^{\circ}$
$2x=180^{\circ}-106^{\circ}$
$2x=74^{\circ}$
$x=37^{\circ}$

$y=180^{\circ}-2x$
$y=180^{\circ}-74^{\circ}$
$y=106^{\circ}$

$(12).$ Grafik berikut menunjukkan persentase menurut jenis kelamin pada suatu ujian masuk perguruan dari tahun 2013 hingga 2017. Sedangkan tabel di bawahnya menunjukkan jumlah penerima ujian dan jumlah lulusan, serta komposisi lulusan menurut jenis kelamin.

Total penerima wanita yang tidak lulus ujian selama lima tahun adalah...orang
$(A).$ 454
$(B).$ 476
$(C).$ 494
$(D).$ 536

Alternatif Pembahasan: show

Informasi yang sanggup kita kumpulkan dari grafik dan tabel diatas untuk penerima Perempuan ialah sebagai berikut;

• Tahun 2013
  Perempuan: $\frac{40}{100} \times 1400 = 560$
  Lulus: $\frac{40}{100} \times 800 = 320$
  Tidak Lulus: $560-320=240$
• Tahun 2014
  Perempuan: $\frac{50}{100} \times 800 = 400$
  Lulus: $\frac{50}{100} \times 660 = 330$
  Tidak Lulus: $400-330=70$
• Tahun 2015
  Perempuan: $\frac{36}{100} \times 1000 = 360$
  Lulus: $\frac{55}{100} \times 500 = 275$
  Tidak Lulus: $360-275=85$
• Tahun 2016
  Perempuan: $\frac{45}{100} \times 500 = 225$
  Lulus: $\frac{52}{100} \times 400 = 208$
  Tidak Lulus: $225-208=17$
• Tahun 2017
  Perempuan: $\frac{30}{100} \times 1100 = 330$
  Lulus: $\frac{36}{100} \times 800 = 288$
  Tidak Lulus: $330-288=42$

Total penerima wanita tidak lulus adalah:
$240+70+85+17+42=454$

$(13).$ Menjelang tahun baru, harga sejenis pakaian olahraga dipotong [didiskon] dua kali menyerupai dinyatakan pada tanda di samping. Jika harga mula-mula suatu pakaian Rp400.000,00, maka seseorang yang membeli pakaian tersebut harus membayar sebesar...

$(A).$ Rp124.000,00
$(B).$ Rp136.000,00
$(C).$ Rp276.000,00
$(D).$ Rp300.000,00

Alternatif Pembahasan: show

Misal Harga sesudah diskon pertama ialah $H_{1}$ dan Harga sesudah diskon kedua ialah $H_{2}$
$\begin{split} H_{1} &= \frac{100-60}{100} \times 400.000 \\
&=\ \frac{40}{100} \times 400.000 \\
&=\ 160.000 \\

H_{2} &= \frac{100-15}{100} \times 160.000 \\
&=\ \frac{85}{100} \times 160.000 \\
&=\ 136.000 \end{split}$

$(14).$ Pada suatu data terdapat 21 bilangan bundar positif. Bilangan terbesar pada data tersebut ialah $16$. Median dari data ialah $10$. Rata-rata terkecil yang mungkin dari data tersebut adalah...
$(A).$ 5,0
$(B).$ 5,5
$(C).$ 6,0
$(D).$ 6,5

Alternatif Pembahasan: show

Kita misalkan 21 bilangan bundar positif sesudah diurutkan dari yang terkecil ialah $x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{21}$.
Bilangan terbesar: $x_{21}=16$
Median: $x_{11}=10$
Rata-rata:
$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{21}}{21}$
Agar rata-rata yang dihasilkan ialah yang terkecil dan masih memenuhi syarat yaitu bilangan terbesar $21$ dan median $10$, maka kita anggap saja $x_{1}$ hingga $x_{10}$ nilainya ialah $1$, kemudian $x_{11}$ hingga $x_{20}$ nilainya ialah $10$.

Rata-rata nilai terkecil adalah:
$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{21}}{21}$
$\bar{x}=\frac{10 \times 1+ 10 \times 10+16}{21}$
$\bar{x}=\frac{10+100+16}{21}$
$\bar{x}=\frac{126}{21}$
$\bar{x}=6$

$(15).$ Diberikan bilangan orisinil dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut mempunyai digit penyusun prima dan bersisa 3 jikalau dibagi 7 adalah...
$(A).$ $\frac{1}{45}$
$(B).$ $\frac{1}{30}$
$(C).$ $\frac{1}{8}$
$(D).$ $\frac{1}{4}$

Alternatif Pembahasan: show

Ruang Sampel ialah Banyak bilangan orisinil dua digit.
$S=\{10,11, \cdots , 99 \}$
$n(S)=90$

Kejadian yang diperlukan ialah bilangan yang mempunyai digit penyusun prima dan bersisa 3 jikalau dibagi 7.
Bilangan orisinil dua digit yang penyusunnya bilangan prima ialah
22, 23, 25, 27,
32, 33, 35, 37,
52, 53, 55, 57,
72, 73, 75, 77.
Diantara bilangan-bilangan tersebut, bilangan yang bersisa 3 jikalau dibagi 7 [*habis dibagi 7 jikalau ditambahkan 4] ialah 52 dan 73.
$n(E)=2$

$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
$P(E)=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$

$(16).$ Semua bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{2(x+3)-\sqrt{x+2}}{x+2} \geq 0$ adalah...
$(A).$ $x \leq - \frac{7}{4} \text{atau}\ x \geq 2$
$(B).$ $-2 < x \leq - \frac{7}{4} \text{atau}\ x\geq 2$
$(C).$ $0 < x \leq - \frac{7}{4} \text{atau}\ x\geq 12$
$(D).$ $- \frac{7}{4} \leq x \leq 2$

Alternatif Pembahasan: show

$\frac{2(x+3)-\sqrt{x+2}}{x+2} \geq 0$

Dari pertidaksamaan pecahan diatas, jikalau kita perhatikan bilangan pada penyebut sama dengan yang di dalam akar yaitu $x+2$.
Sehingga biar pertidaksamaan ini terdefenisi syarat yang dipenuhi pertama ialah $x+2 > 0$ atau $x > -2$

Kita coba bermain dengan memisalkan $x+2=m$
\begin{split}\frac{2(x+3)-\sqrt{x+2}}{x+2} & \geq 0\\
\frac{2(m+1)-5\sqrt{m}}{m} & \geq 0\\
\frac{2m+2-5 \sqrt{m}}{m} & \geq 0\\
2m+2-5 \sqrt{m} & \geq 0\\
2m+2 & \geq 5 \sqrt{m}\\
(2m+2)^{2} & \geq (5 \sqrt{m})^{2} \\
4m^{2}+8m+4 & \geq 25m \\
4m^{2}-17m+4 & \geq 0 \\
(4m-1)(m-4) & \geq 0 \\
\text{Nilai $m$ yang memenuhi adalah:}\\
m \leq \frac{1}{4} \text{atau}\ m \geq 4 \end{split}
Kita substitusikan kembali nilai $m=x+2$

• $m \leq \frac{1}{4} $
  $x+2 \leq \frac{1}{4} $
  $x \leq -\frac{7}{4} $
• $m \geq 4$
  $x+2 \geq 4$
  $x \geq 2$

Dengan mengabungkan kedua syarat diatas dan syarat awal $x > -2$ maka akan kita peroleh pertidaksamaan sebagai berikut:

$-2 < x \leq -\frac{7}{4}$ atau $x \geq 2$

$(17).$ Diketahui $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ ialah tiga bilangan bundar positif. Tiga terurut $(x,\ y,\ z)$ yang memenuhi $(x+2y)^{z} = 64$ ada sebanyak...
$(A).$ 4
$(B).$ 32
$(C).$ 35
$(D).$ 36

Alternatif Pembahasan: show

$(x+2y)^{z}=64=2^{6}=4^{3}=8^{2}$

• Kemungkinan I;
  $(x+2y)^{z}=2^{6}$, diperoleh nilai $z=6$ dan $(x+2y)=2$.
  Pada ketika ini tidak ada nilai $x$ dan $y$ bilangan bundar positif yang memenuhi $(x+2y)=2$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 0.
• Kemungkinan II;
  $(x+2y)^{z}=4^{3}$, diperoleh nilai $z=3$ dan $(x+2y)=4$.
  Pasangan $(x,y)$ ialah $(2,1)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 1.
• Kemungkinan III;
  $(x+2y)^{z}=8^{2}$, diperoleh nilai $z=2$ dan $(x+2y)=8$
  Pasangan $(x,y)$ ialah $(6,1),(4,2),(2,3)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 3.
• Kemungkinan IV;
  $(x+2y)^{z}=64^{1}$, diperoleh nilai $z=1$ dan $(x+2y)=64$
  Pasangan $(x,y)$ ialah $(62,1),(60,2),(58,3), \cdots ,(2,31)$. Tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak 31.

Total banyak kemungkinan tiga terurut $(x,y,z)$ ada sebanyak $0+1+3+31=35$

$(18).$ Rata-rata usia sepasang suami istri pada ketika mereka menikah ialah 25 tahun. Rata-rata usia keluarga pada ketika anak pertama mereka lahir ialah 18 tahun. Rata-rata usia keluarga pada ketika anak kedua lahir ialah 15 tahun. Rata-rata usia keluarga pada ketika anak ketiga dan keempat lahir [kembar] ialah 12 tahun. Jika ketika ini rata-rata usia enam orang ini ialah 16 tahun, maka usia anak pertama mereka adalah... tahun.
$(A).$ 7
$(B).$ 8
$(C).$ 9
$(D).$ 10

Alternatif Pembahasan: show

• Rata-rata usia suami istri ketika menikah ialah $25$ tahun.
  Misal usia suami ketika menikah ialah $s$, dan usia istri ketika menikah ialah $i$.
  $\frac{s+i}{2}=25$
  $s+i=50$
• Rata-rata usia keluarga ketika anak pertama lahir ialah $18$ tahun;
  Misal anak pertama lahir sesudah usia janji nikah $a$ tahun, dan anak gres lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
  $\frac{(s+a)+(i+a)+0}{3}=18$
  $s+i+2a=54$
  $50+2a=54$
  $2a=4\ \Rightarrow a=2$
  Anak pertama lahir sesudah perkawinan berumur $2$ tahun, sehingga umur $s+i=50+4=54$;
• Rata-rata usia keluarga ketika anak kedua lahir ialah $15$ tahun.
  Misal anak kedua lahir sesudah usia anak pertama $b$ tahun, dan anak gres lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
  $\frac{(s+b)+(i+b)+b+0}{4}=15$
  $s+i+3b=60$
  $54+3b=60$
  $3b=6\ \Rightarrow b=2$
  Anak kedua lahir sesudah anak pertama berusia $2$ tahun, sehingga usia $s+i=54+4=58$, dan usia anak kedua $0$ tahun
• Rata-rata usia keluarga ketika anak ketiga dan keempat lahir [kembar] ialah $12$ tahun.
  Misal anak ketiga dan keempat lahir sesudah usia anak kedua $c$ tahun, dan anak gres lahir kita anggap berusia $0$ tahun.
  $\frac{(s+c)+(i+c)+(2+c)+c+2 \times 0}{6}=12$
  $s+i+4c+2=72$
  $58+4c+2=72$
  $4c=12\ \Rightarrow c=3$
  Anak ketiga dan keempat lahir sesudah usia anak kedua $3$ tahun, sehingga umur $s+i=58+6=64$, dan usia anak pertama $5$ tahun;
• Rata-rata usia enam orang ketika ini ialah $16$ tahun.
  Misal usia anak ketiga dan keempat ketika ini ialah $d$ tahun, maka usia anak kedua $3+d$, usia anak pertama $5+d$, dan usia $s+i=64+2d$.
  $\frac{s+i+a1+a2+a3+a4}{6}=16$
  $\frac{(64+2d)+(5+d)+(3+d)+(d)+(d)}{6}=16$
  $\frac{64+2d+5+d+3+d+d+d}{6}=16$
  $\frac{72+6d}{6}=16$
  $72+6d=96$
  $6d=24\ \Rightarrow\ d=4$
  Pada ketika ini, usia anak pertama ialah $5+4=9$ tahun;

$(19).$ Perhatikan $\bigtriangleup ABC$ dan lingkaran dalam pada gambar di bawah.

Jika $\bigtriangleup ABC$ sama sisi dengan $CD=6\ cm$, maka luas tempat lingkaran dalam adalah...$cm^{2}$
$(A).$ 16 $\pi$
$(B).$ 12 $\pi$
$(C).$ 9 $\pi$
$(D).$ 4 $\pi$

Alternatif Pembahasan: show

Lingkaran menyinggung ketiga sisi segitiga sama sisi, maka sentra lingkaran titik $O$ juga merupakan sentra segitiga.
$\begin{align}
AD^{2} & = AC^{2}-DC^{2} \\
& = 12^{2}-6^{2} \\
& = 144-36 \\
& = 108 \\
AD & = \sqrt{108} \\
& = 6\sqrt{3} \end{align}$

Perbandingan $AO:OD=2:1$
$OD=\frac{1}{3} \times AD$
$OD=\frac{1}{3} \times 6\sqrt{3}$
$OD=2\sqrt{3}$

Luas Lingkaran adalah:
$\begin{align}
L & = \pi r^{2} \\
& = \pi (2\sqrt{3})^{2} \\
& = 12 \pi \end{align}$

$(20).$ Diberikan $\bigtriangleup ABC$. Jika $AC=AB=1\ cm$ dan $BC=\sqrt{3}\ cm$, maka luas $\bigtriangleup ABC$ ialah ... $cm^{2}$.
$(A).$ $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$(B).$ $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$(C).$ $\frac{1}{4}\sqrt{3}$
$(D).$ $\frac{1}{4}$

Alternatif Pembahasan: show

$\bigtriangleup ABC$ ialah segitiga sama kaki maka:
$\begin{align}
AD^{2} & = AC^{2} - CD^{2} \\
& = 1^{2} - (\frac{1}{2}\sqrt{3})^{2} \\
& = 1-\frac{3}{4} \\
AD & = \sqrt{\frac{1}{4}} \\
& = \frac{1}{2} \end{align}$

Luas $\bigtriangleup ABC$
$\begin{align}
[ABC] & = \frac{1}{2} BC \cdot AD \\
& = \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \\
& = \frac{1}{4} \sqrt{3} \end{align}$

$(21).$ Dealer sepeda motor menjual empat jenis sepeda motor yaitu $P,\ Q,\ R,\ S$. Persentase pajak dan ongkos kirim sepeda motor dihitung menurut harga pokok. Persentase keuntungan dihitung menurut hasil penjumlahan dari harga pokok, pajak, dan ongkos kirim sebagaimana tabel berikut.

Jika harga beli ialah penjumlahan dari harga pokok beserta pajak dan ongkos kirim, maka harga jual sepeda motor paling mahal ialah jenis...
$(A).\ P$
$(B).\ Q$
$(C).\ R$
$(D).\ S$

Alternatif Pembahasan: show

Mulai dari Harga pokok, Pajak, Ongkos kirim, Harga beli, Laba dan Harga jual sepeda motor diatas jikalau kita tuliskan dalam rupiah $(Rp)$ ialah sebagai berikut;

• Sepeda Motor $P$
  
  • Harga Pokok: 11.000.000
  • Pajak: 550.000
  • Ongkos Kirim: 770.000
  • Harga Beli:12.320.000
  • Laba:1.478.000
  • Harga Jual:13.798.400
• Sepeda Motor $Q$
  
  • Harga Pokok: 10.400.000
  • Pajak: 624.000
  • Ongkos Kirim: 1.040.000
  • Harga Beli:12.064.000
  • Laba:1.447.680
  • Harga Jual:13.511.680
• Sepeda Motor $Q$
  
  • Harga Pokok: 10.700.000
  • Pajak: 749.000
  • Ongkos Kirim: 963.000
  • Harga Beli:12.412.000
  • Laba:1.489.000
  • Harga Jual:13.901.440
• Sepeda Motor $Q$
  
  • Harga Pokok: 11.300.000
  • Pajak: 565.000
  • Ongkos Kirim: 678.000
  • Harga Beli:12.543.000
  • Laba:1.254.300
  • Harga Jual:13.797.300

Harga Jual sepeda motor yang paling mahal ialah sepeda motor $R$

$(22).$ Jika $x^{4}y^{5}z^{2} < 0$ dan $xz < 0$. Pernyataan berikut yang benar adalah...
$(A).$ $xyz < 0$, jikalau $ yz > 0$
$(B).$ $ \frac{yz}{x} < 0$, jikalau $xy < 0$
$(C).$ $xy < 0$, jikalau $yz > 0$
$(D).$ $xy > 0$, jikalau $yz > 0$

Alternatif Pembahasan: show

Kita coba bermain dari pertidaksamaan;
$x^{4}y^{5}z^{2} < 0$
$(xz)^{2} \cdot x^{2} \cdot y^{5} < 0$
Karena $xz < 0$ $\Rightarrow$ $(xz)^{2} > 0$
$ x^{2} \cdot y^{5} < 0$
Untuk sembarang $x$ $\Rightarrow$ $x^{2} > 0$
$y^{5} < 0$ $\Rightarrow$ $y < 0$

Dari $xz < 0$ dan $y < 0$, hal yang mungkin terjadi adalah;

• $x < 0$, $z > 0$ dan $y < 0$
• $x > 0$, $z < 0$ dan $y < 0$

Berdasarkan dua kemungkinan nilai $x,\ y,\ \text{dan}\ z$ diatas pernyataan yang benar pada soal ialah $xy < 0$, jikalau $yz > 0$.

$(23).$ Pada sebuah laci terdapat kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwarna putih ialah $\frac{1}{2}$. Jika banyak kaos kaki berwarna hitam ialah genap, maka paling sedikit kaos kaki berwarna putih ialah ...
$(A).\ 12$
$(B).\ 15$
$(C).\ 18$
$(D).\ 21$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan kecil wacana hukum Combinasi $C_{r}^{p}=\binom{p}{r}=\frac{p!}{(p-r)!\ r!}$.
Misal banyak kaos kaki putih ialah $p$ dan banyak kaos kaki hitam ialah $h$ maka banyak kaos kaki di dalam laci ialah $p+h$.

$S:$ diambil 2 kaos kaki sekaligus.
$n(S)= \binom{2}{p+h}$

$E:$ terpilih kedua kaos kaki putih.
$n(E) =\binom{2}{p}$

$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
$\frac{1}{2}=\frac{\binom{2}{p}}{\binom{2}{p+h}}$
$\frac{1}{2}=\frac{p(p-1)}{(p+h)(p+h-1)}$
$2p^{2}-2p=p^{2}+2ph+h^{2}-p-h$
$p^{2}-(2h+1)p+h-h^{2}=0$

Dengan memakai rumus abc [Rumus Al-Kharizmi]
$x_{12}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
$p=\frac{2h+1+\sqrt{8h^2+1}}{2}$.

Untuk $h$ bilangan genap

• $h=2$ maka $p=\frac{4+1+\sqrt{32+1}}{2}$
  $p$ bukan bilangan bulat, maka untuk $h=2$ tidak memenuhi.
• $h=4$ maka $p=\frac{8+1+\sqrt{128+1}}{2}$
  $p$ bukan bilangan bulat, maka untuk $h=4$ tidak memenuhi.
• $h=6$ maka $p=\frac{12+1+\sqrt{188+1}}{2}=15$
  $ \therefore $ Nilai minimum dari $p=15$

$(24).$ Jika $x$ dan $y$ ialah bilangan bundar positif dengan $y > 1$, sehingga $x^{y}=3^{18}5^{30}$, maka nilai $x-y$ yang mungkin adalah...
$(A).$ 84375
$(B).$ 84369
$(C).$ 84363
$(D).$ 84357

Alternatif Pembahasan: show

Kita coba mulai menuntaskan soal diatas dengan merubah $3^{18}5^{30}$ menjadi bilangan dengan bentuk $x^{y}$.
\begin{split}x^{y} &= 3^{18}5^{30}\\
&=\ (3^{3})^{6} \cdot (5^{5})^{6}\\
&=\ (3^{3} \cdot 5^{5})^{6}\\
&=\ (27 \cdot 3125)^{6}\\
&=\ 84375^{6}\end{split}
Dari bentuk bilangan berpangkat diatas kita peroleh nilai $x=84375$ dan $y=6$.
Nilai $x-y=84375-6=84369$

$(25).$ Salah satu teladan situasi untuk sistem persamaan $2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$ adalah...
$(A).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan buku tulis seharga Rp10.000,00. Salah seorang siswa tersebut membeli pensil dan tiga buku tulis seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(B).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp10.000,00. Selain itu, beliau juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(C).$ Seorang siswa akan membeli dua buah pulpen dan tiga buah buku tulis. Siswa tersebut mempunyai uang Rp30.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$(D).$ Seorang membeli sebuah pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp20.000,00. Selain itu, beliau juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp10.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?

Alternatif Pembahasan: show

Jika kalimat-kalimat pada pilihan soal diatas kita coba tulis dengan simbol-simbol, kurang lebih menyerupai berikut ini;
$(A).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan buku tulis seharga Rp10.000,00. Salah seorang siswa tersebut membeli pensil dan tiga buku tulis seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$x+y=10000$ dan $x+3y=20000$
$(B).$ Dua orang siswa membeli pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp10.000,00. Selain itu, beliau juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp20.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$x+3y=10000$ dan $2x+y=20000$
$(C).$ Seorang siswa akan membeli dua buah pulpen dan tiga buah buku tulis. Siswa tersebut mempunyai uang Rp30.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$2x+3y \leq 30000$
$(D).$ Seorang membeli sebuah pulpen dan tiga buah buku tulis seharga Rp20.000,00. Selain itu, beliau juga membeli dua buah pulpen dan sebuah buku tulis untuk adiknya seharga Rp10.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pulpen dan sebuah buku tulis?
$2x+y = 10000$ dan $x+3y=20000$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Ide, referensi, atau klasifikasi dari alternatif penyelesaian soal diatas dibantu oleh teman-teman guru matematika di Matematika Nusantara.

Terima kasih juga disampaikan kepada bapak Sukamto, S.Pd.,Gr Guru Matematika SMPN 1 Kambata Mapambuhang dan bapak Denih Handayani creatornya m4th-lab.net, alternatif penyelesaian soal diatas sedikit banyaknya juga dipengaruhi oleh ide-ide keren dari mereka.

Pembahasan soal diatas masih jauh dari sempurna, Kaprikornus jikalau ada masukan yang sifatnya membangun terkait problem alternatif penyelesaian atau request pembahasan soal, silahkan disampaikan, kami dengan bahagia hati segera menanggapinya😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Mengerjakan pembagian pecahan dengan cara pilar;

Sumber http://www.defantri.com