Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Trigonometri

Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$

Pada buku matematika IPA kelas XI Penerbit Esis penulis Sulistiyono dan kawan-kawan halaman 169 disampaikan bahwa soal tersebut sudah pernah disajikan pada dikala UMPTN (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri) tahun 2001. Perbedaannya hanya pada buku matematika penerbit Yudistira soal disajikan dalam bentuk uraian sedangkan pada buku penerbit Esis disajikan pilihan ganda. Soalnya kurang lebih disajikan sebagai berikut;

Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \dfrac{\pi}{2}$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\
(B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\
(C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\
(D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\
(E)\ & 2a^{2}
\end{align}$

Sebagai informasi perhiasan bahwa soal diatas juga pernah disajikan pada dikala Ujian Masuk Universitas Gajah Mada pada tahun 2006 yang disajikan juga dalam bentuk pilihan ganda. Kurang lebih soalnya sebagai berikut;

1. Soal UM UGM 2006 (*Soal Lengkap)

Jika $\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}=a$ untuk $\theta\neq \frac{\pi}{2}+2k\pi$ maka $tan\ \dfrac{1}{2}\ \theta=...$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{a+1} \\
(B)\ & \dfrac{1}{a+1} \\
(C)\ & \dfrac{a+1}{a-1} \\
(D)\ & \dfrac{a-1}{a+1} \\
(E)\ & \dfrac{a}{a-1}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk mengerjakan soal diatas, ada beberapa data yang kita perlukan, yaitu:

• $cos\ 2\theta=cos^{2}\theta-sin^{2}\theta$
• $cos\ 4\theta=cos^{2}2\theta-sin^{2}2\theta$
• $cos\ \theta=cos^{2}\frac{1}{2}\theta-sin^{2}\frac{1}{2}\theta$
• $sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1$
• $sin^{2}\frac{1}{2}\theta+cos^{2}\frac{1}{2}\theta=1$
• $sin\ 2\theta=2\ sin\ \theta\ cos\ \theta$
• $sin\ 4\theta=2\ sin\ 2\theta\ cos\ 2\theta$
• $sin\ \theta=2\ sin\ \frac{1}{2}\theta\ cos\ \frac{1}{2}\theta$

Data-data yang kita peroleh diatas kita substituskan ke soal,
$a=\dfrac{cos\ \theta}{1-sin\ \theta}$
$a=\dfrac{cos^{2}\frac{1}{2}\theta-sin^{2}\frac{1}{2}\theta}{\left ( sin^{2}\frac{1}{2}\theta+cos^{2}\frac{1}{2}\theta \right )\left ( 2\ sin\ \frac{1}{2}\theta\ cos\ \frac{1}{2}\theta \right )}$
$a=\dfrac{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )\left ( cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )^{2}}$
$a=\dfrac{\left (cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )}{\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )}$
$a\left (cos\frac{1}{2}\theta-sin\frac{1}{2}\theta \right )=\left (cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta \right )$
$a\ cos\frac{1}{2}\theta-a\ sin\frac{1}{2}\theta=cos\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta$
$a\ cos\frac{1}{2}\theta-cos\frac{1}{2}\theta=a\ sin\frac{1}{2}\theta+sin\frac{1}{2}\theta$
$cos\frac{1}{2}\theta\left (a\ -1 \right )=sin\frac{1}{2}\theta \left (a\ +1 \right )$
$\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )}=\frac{sin\frac{1}{2}\theta}{cos\frac{1}{2}\theta}$
$\dfrac{\left (a\ -1 \right )}{\left (a\ +1 \right )}=tan\frac{1}{2}\theta$

Untuk melengkapi diskusi Matematika Dasar kita perihal Trigonometri beberapa soal perhiasan berikut mungkin bermanfaat;

2. Soal UM UGM 2009 (*Soal Lengkap)

JIka $sin\ A=\sqrt{2pq}$ dan $tan\ A=\dfrac{\sqrt{2pq}}{p-q}$, maka $p^{2}+q^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari soal ada beberapa data yang sanggup kita ambil dan kembangkan yaitu:
$ sin\ A =\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan diatas sama-sama dikuadratkan menjadi $ sin^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $ tan\ A=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$ \frac{sin\ A}{cos\ A}=\frac{sin\ A}{p-q}$
diperoleh persamaan $ cos\ A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $ cos\ A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$ \left (p-q \right )^{2}=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}-2pq=cos^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+2pqA$
$ p^{2}+q^{2}=cos^{2}+sin^{2}A$
$ p^{2}+q^{2}=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 1$

3. SIMAK UI 2015 Kode 302 (*Soal Lengkap)

Diketahui $sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$, dengan $0 \lt \alpha \lt 45^{\circ}$. Nilai dari $cos(10^{\circ}+\alpha)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}+b \right) \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{(1-b^{2})}-b \right) \\
(C)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{(1-b^{2})} \right) \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \left(b-\sqrt{3(1-b^{2})} \right) \\
(E)\ & \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kita coba kerjakan dengan memisalkan $m=40^{\circ}+ \alpha$ sehingga $m-40^{\circ}=\alpha$.
$sin(40^{\circ}+ \alpha)=b$
$sin\ m=b$
dengan memakai identitas dasar trigonometri atau defenisi trigonometri pada segitiga siku-siku, kita peroleh:
$ sin^{2}\ m+cos^{2}\ m=1$
$ b^{2}+cos^{2}\ m=1$
$ cos\ m=\pm \sqrt{1-b^{2}}$
Karena $m$ pada kwadran satu maka $ cos\ m=\sqrt{1-b^{2}}$

$\begin{align}
& cos(10^{\circ}+\alpha) \\
& = cos(10^{\circ}+m-40^{\circ}) \\
& = cos(m-30^{\circ}) \\
& = cos\ m\ cos\ 30^{\circ} + sin\ m\ sin\ 30^{\circ} \\
& = \sqrt{1-b^{2}} \left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3} \right) + b\ \left(\dfrac{1}{2} \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{1-b^{2}} \left(\sqrt{3} \right) + b \right) \\
& = \dfrac{1}{2} \left( \sqrt{3 \left(1-b^{2} \right)} + b \right)
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ \dfrac{1}{2} \left(\sqrt{3(1-b^{2})}-b \right)$

4. SIMAK UI 2015 Kode 354 (*Soal Lengkap)

Jika $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$, maka $9\left(sin^{6}A+cos^{6}A \right)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 3 \\
(C)\ & 4 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kita ketahui bahwa identitas aljabar atau identitas dasar trigonometri sebagai berikut;

• $ sin^{2}(2A)+cos^{2}(2A)=1$
• $ sin(2A)=2 sin\ A\ cos\ A$
• $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
• $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$
• $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
• $a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})^{3}-3a^{2}b^{2} \left( a^{2}+b^{2} \right)$

$\begin{align}
& \left(sin^{6}A+cos^{6}A \right) \\
& = (sin^{2}A+cos^{2}A)^{3}-3sin^{2}A\ cos^{2}A \left( sin^{2}A+cos^{2}A \right) \\
& = (1)^{3}-3sin^{2}A\ cos^{2}A \left( 1 \right) \\
& = 1-3sin^{2}A\ cos^{2}A \\
& = 1-3(sin\ A\ cos\ A)^{2}
\end{align}$
Dari data yang kita punya yaitu $cos(2A)=-\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ kita peroleh
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-cos^{2}(2A)}$
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-\left(-\dfrac{\sqrt{5}}{3} \right)^{2}}$
$sin(2A)=\pm \sqrt{1-\left(\dfrac{5}{9} \right) }$
$sin(2A)=\pm \sqrt{\dfrac{4}{9}}$
$2 sin\ A\ cos\ A=\pm \dfrac{2}{3}$
$sin\ A\ cos\ A=\pm \dfrac{1}{3}$
$\begin{align}
& 9 \left(sin^{6} A+cos^{6} A \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( sin\ A\ cos\ A\ \right)^{2} \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( \pm \dfrac{1}{3} \right)^{2} \right) \\
& = 9 \left(1 -3 \left( \dfrac{1}{9} \right) \right) \\
& = 9 \left(1 - \dfrac{1}{3} \right) \\
& = 9 \left( \dfrac{2}{3} \right) \\
& = 6
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ 6$

5. SIMAK UI 2015 Kode 354 (*Soal Lengkap)

Bentuk identitas trigonometri berikut yang benar adalah...
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}=tan\ 2x-sec\ 2x \\
(2)\ & tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)} \\
(3)\ & \dfrac{1+2sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}=-1 \\
(4)\ & \dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x=sin\ 8x
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dengan memakai beberapa identitas dasar trigonometri dan manipulais alajabar, maka akan kita peroleh;
$\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}$
$=\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x} \times \dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x+sin\ x}$
$=\dfrac{cos^{2}x+sin^{2}x+2sin\ x\ cos\ x}{cos^{2}x-sin^{2}x}$
$=\dfrac{1+2sin\ x\ cos\ x}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{2sin\ x\ cos\ x}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+tan(2x) \neq tan\ 2x-sec\ 2x $
Pernyataan $(1)$ Salah.

$\dfrac{1-sin(-2x)}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1+sin(2x)}{cos(2x)}$
$=\dfrac{1}{cos(2x)}+\dfrac{sin(2x)}{cos(2x)}$
$=sec(2x)+tan(2x)$
$=\dfrac{cos\ x+sin\ x}{cos\ x-sin\ x}$
$=\dfrac{1+\dfrac{sin\ x}{cos\ x}}{1-\dfrac{sin\ x}{cos\ x}}$
$=\dfrac{1+tan\ x}{1-tan\ x}$
$=\dfrac{tan\ \frac{\pi}{4}+tan\ x}{tan\ \frac{\pi}{4}-tan\ x}$
$=tan\ \left( \frac{\pi}{4} + x \right)$
Pernyataan $(2)$ Benar.

$\dfrac{1+2sin^{2}x}{2cot(\frac{\pi}{4}+x)cos^{2}(\frac{\pi}{4}-x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{2 \cdot \dfrac{cos\ x -sin\ x}{cos\ x +sin\ x} \left(\frac{1}{2}\sqrt{2} \right)^{2} (cos\ x +sin\ x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{(cos\ x -sin\ x)(cos\ x +sin\ x)}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{cos^{2} x -sin^{2} x}$
$=\dfrac{1+2sin^{2}x}{1-2sin^{2} x} \neq -1$
Pernyataan $(3)$ Salah.

$\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cot^{2}2x-1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cot\ 2x}{2} - \dfrac{1}{2cot\ 2x}-cos\ 8x\ cot\ 4x $
$=\dfrac{cos\ 2x}{2sin\ 2x} - \dfrac{sin\ 2x}{2cos\ 2x}-cos\ 8x\ \dfrac{cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{2cos^{2} 2x-2sin^{2} 2x}{4sin\ 2x\ cos\ 2x} -\dfrac{cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{2cos\ 4x}{2 sin\ 4x} -\dfrac{cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x-cos\ 8x\ cos\ 4x}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\left (1-cos\ 8x\ \right )}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\left (sin^{2}4x+cos^{2}4x-cos^{2}4x+sin^{2}4x \right )}{sin\ 4x} $
$=\dfrac{cos\ 4x\ 2sin^{2}4x}{sin\ 4x} $
$=2sin 4x\ cos\ 4x\ $
$=sin\ 8x$
Pernyataan $(4)$ Benar.

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ (2)\ \text{dan}\ (4)$

6. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2sin^{2}x-cos\ x=1$, $0 \leq x \leq \pi$, nilai $x_{1}+x_{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{\pi}{3} \\
(B)\ & \dfrac{2\pi}{3} \\
(C)\ & \pi \\
(D)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\
(E)\ & 2\pi
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$2sin^{2}x-cos\ x=1$ dengan proteksi identitas trigonometri $sin^{2}x=1-cos^{2}$ sehingga pertidaksamaan sanggup kita rubah menjadi:
$\begin{align}
2(1-cos^{2})-cos\ x & =1 \\
2-2cos^{2}-cos\ x & =1 \\
2cos^{2}+cos\ x-2+1 & = 0 \\
2cos^{2}+cos\ x-1 & = 0 \\
(2cos\ x -1)(cos\ x +1) & = 0 \\
\hline
2cos\ x -1 & = 0 \\
cos\ x & = \dfrac{1}{2} \\
x_{1} & = \dfrac{\pi}{3} \\
\hline
cos\ x +1 & = 0 \\
cos\ x & = -1 \\
x_{2} & = \pi \\
x_{1}+x_{2} & = \dfrac{\pi}{3}+\pi=\dfrac{4}{3}\pi
\end{align}$

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ \dfrac{4}{3}\pi $

7. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)

Jika sudut $\alpha$ memenuhi:
$cos^{2}\alpha+2 sin\left ( \pi-\alpha \right )=sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1\frac{1}{2}$ maka $sin\ \alpha=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
(D)\ & \sqrt{3} \\
(E)\ & 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Identitas trigonometri yang mungkin kita gunakan adalah;

• $sin\left ( \pi-\alpha \right )=sin\ \alpha$
• $sin\left ( \pi+\alpha \right )=-sin\ \alpha$
• $cos^{2}\alpha =1-sin^{2}\alpha$

$\begin{align}
cos^{2}\alpha+2 sin\left ( \pi-\alpha \right ) & = sin^{2}\left ( \pi+\alpha \right )+1 \dfrac{1}{2} \\
1-sin^{2}\alpha+2 sin\ \alpha & = sin^{2}\alpha +1 \dfrac{1}{2} \\
2sin^{2}\alpha - 2 sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} & = 0 \\
sin^{2}\alpha - sin\ \alpha - \dfrac{1}{4} & = 0 \\
\left ( sin\ \alpha - \dfrac{1}{2} \right )^{2} & = 0 \\
sin\ \alpha & = \dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ \dfrac{1}{2}$

8. Soal SBMPTN 2014 Kode 663 (*Soal Lengkap)

Diketahui segitiga $ABC$ memiliki panjang sisi $AC=b\ cm$, $BC=a\ cm$, $a+b=12\ cm$. Jika sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$, maka panjang sisi $AB=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -12\sqrt{3}-12 \\
(B)\ & 12\sqrt{3}-12 \\
(C)\ & 12-6\sqrt{3} \\
(D)\ & 12+6\sqrt{3} \\
(E)\ & 12\sqrt{3}+12
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Segitiga $ABC$ ialah segitiga siku-siku di $C$, sebab sudut $A$ sebesar $60^{\circ}$ dan sudut $B$ sebesar $30^{\circ}$ sehingga berlaku Teorema Pythagoras.

Dari segitiga $ABC$ dan $a+b=12$ kita peroleh:
$\begin{align}
tan\ 60^{\circ} & = \dfrac{b}{a} \\
\sqrt{3} & = \dfrac{a}{b} \\
a & = b\sqrt{3} \\
\hline
b\sqrt{3}+b & = 12 \\
b \left( \sqrt{3}+1 \right) & = 12 \\
b & = \dfrac{12}{\sqrt{3}+1} \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \\
& = 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \\
a & = 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \cdot \sqrt{3} \\
& = 6 \left(3-\sqrt{3} \right)
\end{align}$

Dengan memakai Teorema Pythagoras, kita peroleh:
$\begin{align}
AB^{2} & = a^{2}+b^{2} \\
& = (a+b)^{2}-2ab \\
& = 12^{2}-2 \cdot 6 \left(3-\sqrt{3} \right) \cdot 6 \left(\sqrt{3}-1 \right) \\
& = 144-72 \left( 3\sqrt{3} -3-3+\sqrt{3} \right) \\
& = 144-72 \left( 4\sqrt{3} -6 \right) \\
& = 144-288\sqrt{3} +432 \\
& = 576-288\sqrt{3} \\
AB & = \sqrt{ 576-288\sqrt{3} } \\
& = \sqrt{ 144 (4-2\sqrt{3} ) } \\
& = 12 \sqrt{4-2\sqrt{3}} \\
& = 12 \sqrt{(3+1)-2\sqrt{3\cdot 1}} \\
& = 12 \left( \sqrt{3} - 1 \right) \\
& = 12 \sqrt{3} - 12
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 12\sqrt{3}-12$

9. Soal SBMPTN 2014 Kode 683 (*Soal Lengkap)

Jika $cos\ x=2sin\ x$, maka nilai $sin\ x\ cos\ x$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{5} \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & \dfrac{1}{3} \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \\
(E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
cos\ x &= 2sin\ x \\
\dfrac{cos\ x}{sin\ x} &= 2 \\
cot\ x &= \dfrac{2}{1}
\end{align}$
Jika $cot\ x= \dfrac{2}{1}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku menyerupai gambar berikut ini;

Dari segitiga $ABC$ dan defenisi perbandingan trigonometri maka kita peroleh:
$\begin{align}
sin\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\
cos\ x & = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
\hline
sin\ x\ \cdot cos\ x & = \dfrac{1}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{2}{5}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ \dfrac{2}{5}$

10. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $\sqrt[3]{sin^{2}x}+\sqrt[3]{cos^{2}x}=\sqrt[3]{2}$, maka $cos^{2}2x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{27} \\
(B)\ & \dfrac{8}{27} \\
(C)\ & \dfrac{9}{27} \\
(D)\ & \dfrac{25}{27} \\
(E)\ & 1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menuntaskan soal ini kita coba dengan memisalkan $\sqrt[3]{sin^{2}x}=m$ dan $\sqrt[3]{cos^{2}x}=n$ sehingga $m^{3}+n^{3}=sin^{2}x+cos^{2}x=1$ dan manipulasi aljabar yang sanggup kita lakukan pada soal kurang lebih menyerupai berikut ini:
$\begin{align}
m+n & = \sqrt[3]{2} \\
(m+n)^{3} & = \left(\sqrt[3]{2} \right)^{3} \\
m^{3}+n^{3}+3mn(m+n) & = 2 \\
1+3\cdot \sqrt[3]{sin^{2}x} \cdot \sqrt[3]{cos^{2}x} \left( \sqrt[3]{2} \right) & = 2 \\
3\cdot \sqrt[3]{2sin^{2}x\ cos^{2}x} & = 2-1 \\
\sqrt[3]{2sin^{2}x\ cos^{2}x} & = \dfrac{1}{3} \\
2sin^{2}xcos^{2}x & = \dfrac{1}{27} \\
\hline
sin\ 2x & = 2sin\ x\ cos\ x \\
\dfrac{1}{2}sin\ 2x & = sin\ x\ cos\ x \\
\hline
2 \left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\
2 \left( \dfrac{1}{2}sin\ 2x \right)^{2} & = \dfrac{1}{27} \\
2 \cdot \dfrac{1}{4}sin^{2}2x & = \dfrac{1}{27} \\
\dfrac{1}{2} \left(1-cos^{2}2x \right) & = \dfrac{1}{27} \\
1-cos^{2}2x & = \dfrac{2}{27} \\
1-\dfrac{2}{27} & = cos^{2}2x \\
\dfrac{25}{27} & = cos^{2}2x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ \dfrac{25}{27}$

11. Soal SIMAK UI 2013 Kode 334 (*Soal Lengkap)

Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $cos^{6}x + sin^{4}x-1 \geq 4x^{4}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{3} \\
(C)\ & 0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\
(D)\ & \dfrac{\pi}{3} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \\
(E)\ & 0 \lt x \lt \infty
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
cos^{6}x + sin^{4}x-1 & \geq 4x^{4} \\
cos^{6}x + sin^{4}x-sin^{2}x - cos^{2}x & \geq 4x^{4} \\
cos^{6}x- cos^{2}x + sin^{4}x-sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + sin^{2}x \left( sin^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x\left(cos^{4}x- 1 \right) + sin^{2}x \left( cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x \left(cos^{4}x- 1 + sin^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{2}x \left(cos^{4}x-cos^{2}x \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{4}x \left(cos^{2}x-1 \right) & \geq 4x^{4} \\
cos^{4}x\ sin^{2}x & \geq 4x^{4} \\
cos^{4}x\ sin^{2}x - 4x^{4} & \geq 0 \\
\left( cos^{2}x\ sin\ x - 2x^{2} \right)\left( cos^{2}x\ sin\ x + 2x^{2} \right) & \geq 0 \\
\end{align}$
Pembuat nol
$\begin{align}
cos^{2}x\ sin\ x - 2x^{2} & = 0 \\
cos^{2}x\ sin\ x & = 2x^{2} \\
x & = 0 \\
\hline
cos^{2}x\ sin\ x + 2x^{2} & = 0 \\
cos^{2}x\ sin\ x & = -2x^{2} \\
x & = 0
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 0$

12. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui bahwa $2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} = 3 \cdot 2^{-cos\ 2\pi}$, nilai $x$ ialah ....
$\begin{align}
(1)\ & \dfrac{\pi}{2} \\
(2)\ & \dfrac{\pi}{3} \\
(3)\ & \dfrac{3\pi}{2} \\
(4)\ & \pi
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-cos\ 2\pi} \\
2^{cos\ 2x} + 2^{cos^{2}x} & = 3 \cdot 2^{-1} \\
2 \cdot 2^{cos\ 2x} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
2^{cos\ 2x+1} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
2^{2cos^{2}x-1+1} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
2^{2cos^{2}x} + 2 \cdot 2^{cos^{2}x} & = 3 \\
\left( 2^{cos^{2}x} \right)^{2}+ 2 \cdot 2^{cos^{2}x} - 3 & = 0 \\
\hline
m^{2}+ 2 \cdot m - 3 & = 0 \\
(m+3)(m-1) & = 0 \\
m=-3\ \text{atau}\ m= 1 & \\
\hline
\Rightarrow 2^{cos^{2}x} & = -3\ \text{(TM)} \\
\Rightarrow 2^{cos^{2}x} & = 1 \\
2^{cos^{2}x} & = 2^{0} \\
cos^{2}x & = 0 \\
x & = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}, \cdots \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ (1)(3)\ \text{Benar}$

13. Soal SIMAK UI 2013 Kode 332 (*Soal Lengkap)

Diketahui bahwa $\dfrac{cos^{2}x-sin^{2}x}{sin\ x\ cos\ x}=a$, maka $cot^{2}x+tan^{2}x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & a^{2}+2 \\
(B)\ & a^{2}+1 \\
(C)\ & a^{2} \\
(D)\ & 1-a^{2} \\
(E)\ & 2-a^{2} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
\dfrac{cos^{2}x-sin^{2}x}{sin\ x\ cos\ x} & = a \\
\dfrac{cos\ 2x}{\frac{1}{2} \cdot sin\ 2x} & = a \\
\dfrac{cos\ 2x}{sin\ 2x} & = \dfrac{1}{2}a \\
cot\ 2x & = \dfrac{1}{2}a
\end{align}$
Jika $cot\ 2x= \dfrac{a}{2}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku menyerupai gambar berikut ini;

$\begin{align}
cot^{2}x+tan^{2}x & = \dfrac{cos^{2}x}{sin^{2}x}+\dfrac{sin^{2}x}{cos^{2}x} \\
& = \dfrac{cos^{4}x+sin^{4}x}{sin^{2}x-cos^{2}x} \\
& = \dfrac{\left( sin^{2}x+cos^{2}x \right)^{2}-2sin^{2}x\ cos^{2}x}{\left( cos^{2}x\ cos^{2}x \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1-2 \left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2}}{\left( sin\ x\ cos\ x \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1-2 \left( \frac{1}{2} sin\ 2x \right)^{2}}{\left( \frac{1}{2}sin\ 2x \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot sin^{2}2x}{ \frac{1}{4}sin^{2} 2x} \\
& = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2} }{ \frac{1}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{a^{2}+4}} \right)^{2}} \\
& = \dfrac{1- \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{a^{2}+4}} \\
& = \dfrac{1- \frac{2}{a^{2}+4}}{ \frac{1}{a^{2}+4}} \\
& = \dfrac{a^{2}+4-2}{a^{2}+4} \cdot \dfrac{a^{2}+4}{1} \\
& = a^{2}+2 \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ a^{2}+2$

14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)

Jika diketahui bahwa $cos\ \frac{1}{2} \theta =\sqrt{\dfrac{x+1}{2x}}$, maka $x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & tan^{2}\theta+sin^{2}\theta \\
(B)\ & tan^{2}\theta-sin^{2}\theta \\
(C)\ & sin^{2}\theta-cos^{2}\theta \\
(D)\ & cos^{2} \frac{1}{2}\theta+tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\
(E)\ & sin^{2} \frac{1}{2}\theta+tan^{2} \frac{1}{2}\theta \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
cos\ \frac{1}{2} \theta & = \sqrt{\dfrac{x+1}{2x}} \\
cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = \dfrac{x+1}{2x} \\
2x \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta & = x+1 \\
2x \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta - x& = 1 \\
x \left( 2 \cdot cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1 \right) & = 1
\end{align}$
Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $x$, yaitu:
$\begin{align}
x & = \dfrac{1}{ 2\ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - 1} \\
x & = \dfrac{1}{ 2\ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - sin^{2} \frac{1}{2} \theta-cos^{2} \frac{1}{2} \theta} \\
x & = \dfrac{1}{ cos^{2} \frac{1}{2} \theta - sin^{2} \frac{1}{2} \theta} \\
x & = \dfrac{1}{ cos\ \theta}
\end{align}$

$\begin{align}
x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}
& = \left( \dfrac{1}{ cos\ \theta} \right)^{2}- \left( cos\ \theta \right)^{2} \\
& = \dfrac{1}{ cos^{2} \theta} - cos^{2} \theta \\
& = \dfrac{1-cos^{4} \theta}{ cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{\left( 1-cos^{2} \theta \right)\left( 1+cos^{2} \theta \right)}{ cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{sin^{2} \theta \cdot \left( 1+cos^{2} \theta \right)}{ cos^{2} \theta} \\
& = \dfrac{sin^{2} \theta}{cos^{2} \theta} \cdot \left( 1+cos^{2} \theta \right) \\
& = \dfrac{sin^{2} \theta}{cos^{2} \theta}+sin^{2} \theta \\
& = tan^{2} \theta +sin^{2} \theta \\
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ tan^{2}\theta+sin^{2}\theta$

15. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

Jika $1-cotan\ a=-\dfrac{1}{3}$ maka nilai $sin\ 2a+cos\ 2a=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{17}{25} \\
(B)\ & 1 \\
(C)\ & \dfrac{6}{5} \\
(D)\ & \dfrac{31}{25} \\
(E)\ & \dfrac{7}{5}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
1-cotan\ a & = -\dfrac{1}{3} \\
1+\dfrac{1}{3} & = cotan\ a \\
\dfrac{4}{3} & = cotan\ a
\end{align}$
Jika $cotan\ a = \dfrac{4}{3}$ kita terapkan pada sebuah segitiga siku-siku, maka akan berlaku menyerupai gambar berikut ini;

$\begin{align}
& sin\ 2a+cos\ 2a
\\ & = 2\ sin\ a\ cos\ a + cos^{2}a-sin^{2}a \\
& = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} + \left( \dfrac{4}{5} \right)^{2} - \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\
& = \dfrac{24}{25} + \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} \\
& = \dfrac{31}{25}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ \dfrac{31}{25}$

16. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

Hasil penjumlahan semua penyelesaian $sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{1}{2}$ untuk $0 \lt x \lt 2\pi$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{4}{3}\pi \\
(B)\ & 2\pi \\
(C)\ & \dfrac{8}{3}\pi \\
(D)\ & \dfrac{10}{3}\pi \\
(E)\ & \dfrac{14}{3}\pi
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
sin^{2}\left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2} \\
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{2}} \\
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{2}
\end{align}$

Dengan menggunkan persamaan trigonometri untuk sinus:
Jika $sin\ x = sin\ \alpha$ maka $x=\alpha+k \cdot 360$ atau $x=180-\alpha+k \cdot 360$

$\begin{align}
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
sin \left( x- 30 \right) &= sin\ 45 \\
\hline
x- 30 &= 45+k \cdot 360 \\
x &= 75+k \cdot 360 \\
x &= 75 \\
\hline
x- 30 &= 180-45+k \cdot 360 \\
x &= 165+k \cdot 360 \\
x &= 165
\end{align}$

$\begin{align}
sin \left( x- \dfrac{\pi}{6} \right) &= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\
sin \left( x- 30 \right) &= sin\ 225 \\
\hline
x- 30 &= 225+k \cdot 360 \\
x &= 255+k \cdot 360 \\
x &= 255 \\
\hline
x- 30 &= 180-225+k \cdot 360 \\
x &= -15+k \cdot 360 \\
x &= 345
\end{align}$
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi ialah $345+225+165+75=840$ atau $\dfrac{14}{3}\pi$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ \dfrac{14}{3}\pi$

17. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 (*Soal Lengkap)

$cot\ 105^{\circ}\ tan\ 15^{\circ}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -7+4\sqrt{3} \\
(B)\ & 7+4\sqrt{3} \\
(C)\ & 7-4\sqrt{3} \\
(D)\ & -7-4\sqrt{3} \\
(E)\ & -7+2\sqrt{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menuntaskan soal di atas, antara lain:

• $cot\ (90+\alpha)= -tan\ \alpha$
• $tan\ (\alpha-\beta)= \dfrac{tan\ \alpha -tan\ \beta}{1+tan\ \alpha \cdot tan\ \beta}$

$\begin{align}
cot\ 105^{\circ}\ tan\ 15^{\circ} & = cot\ \left( 90^{\circ}+15^{\circ} \right)\ tan\ 15^{\circ} \\
& = -tan\ 15^{\circ}\ tan\ 15^{\circ} \\
& = -tan^{2} 15^{\circ} \\
& = - tan^{2}\left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)\\
& = - \left( \dfrac{tan\ 45^{\circ}-tan\ 30^{\circ}}{1+tan\ 45^{\circ} \cdot tan\ 30^{\circ}} \right)^{2} \\
& = - \left( \dfrac{1- \frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1 \cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}} \right)^{2} \\
& = - \left( \dfrac{1+ \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}}{1+ \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{3} } \right)^{2} \\
&= - \left( \dfrac{ \frac{4}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}}{ \frac{4}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{3} } \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 2- \sqrt{3}}{ 2+ \sqrt{3} } \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 2- \sqrt{3}}{ 2+ \sqrt{3} } \cdot \dfrac{ 2- \sqrt{3}}{ 2- \sqrt{3} } \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 4-4 \sqrt{3}+3}{4-3} \right)\\
&= - \left( \dfrac{ 7-4 \sqrt{3}}{-1} \right)\\
&= 7-4 \sqrt{3}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 7-4\sqrt{3}$

18. Soal SBMPTN 2013 Kode 130 (*Soal Lengkap)

Jika $sin\ \alpha -sin\ \beta =\sqrt{A}$ dan $cos\ \alpha +cos\ \beta =\sqrt{B}$, maka $cos(\alpha + \beta)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & A+B-1 \\
(B)\ & \dfrac{A+B-1}{2} \\
(C)\ & A+B-2 \\
(D)\ & \dfrac{A+B-2}{2} \\
(E)\ & \dfrac{A+B-2}{4}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan sederhana yang mungkin kita perlukan dalam menuntaskan soal di atas, antara lain:

• $cos\ \left(\alpha+\beta \right)= cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta$
• $sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha= 1$

$\begin{array} \\
sin\ \alpha -sin\ \beta =\sqrt{A} & \\
cos\ \alpha +cos\ \beta =\sqrt{B} & \\
\hline
sin^{2}\alpha +sin^{2}\beta-2\ sin\ \alpha\ sin \beta = A & \\
cos^{2}\alpha +cos^{2}\beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta = B & (+) \\
\hline
1+1-2\ sin\ \alpha\ sin \beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta=A+B \\
-2\ sin\ \alpha\ sin \beta+2\ cos\ \alpha\ cos \beta=A+B-2 \\
2\left(cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta \right)=A+B-2 \\
\left(cos\ \alpha\ cos \beta - sin\ \alpha\ sin \beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2} \\
cos\ \left(\alpha+\beta \right)=\dfrac{A+B-2}{2}
\end{array} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ \dfrac{A+B-2}{2}$

19. Soal UMB 2013 Kode 372 (*Soal Lengkap)

Perhatikan kurva fungsi trigonometri di bawah

Jika $f(x)=a+b\ sin\ cx$, maka $a+b+c=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2} \\
(B)\ & 0 \\
(C)\ & \dfrac{1}{4} \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 4\dfrac{1}{4}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kurva Fungsi Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus berlaku:
$y=A\ sin\ k(x \pm \theta) \pm C$

• $A$ ialah Amplitudo
• $T$ ialah periode fungsi, waktu yang dibutuhkan untuk membentuk satu gelombang $T=\dfrac{2 \pi}{k}$ atau $T=\dfrac{360}{k}$
• $(x\ \pm \theta)$, kalau $(x\ +\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kiri dari titik asal sedangkan kalau $(x\ -\ \theta)$ grafik fungsi bergeser sejauh $\theta$ ke kanan dari titik asal.
• $\pm C$, kalau $+\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke atas dari titik asal sedangkan kalau $-\ C$ grafik fungsi bergeser sejauh $C$ ke bawah dari titik asal.
• Nilai Maksimum fungsi: $\left |A \right | \pm C$
• Nilai Minimum fungsi: $-\left |A \right | \pm C$
• Jika melalui titik $(0,0)$ kemudian fungsi naik maka fungsi ialah fungsi sinus.
• Jika melalui titik $(0,0)$ kemudian fungsi turun maka fungsi ialah fungsi cosinus.

Kita coba perhatikan gambar;

• Kurva melalui titik $(0,2)$ kemudian kurva turun, seharusnya ialah kurva cosinus, tetapi sebab diinginkan menjadi $f(x)=a+b\ sin\ cx$ maka kurva ialah fungsi $f(x)=a-b\ sin\ cx$.
• Kurva bergeser sejauh $+\ 2$ ke atas dari titik asal sehingga untuk $f(x)=a-b\ sin\ cx$ nilai $a=2$
• Nilai Maksimum fungsi $f(x)=2-b\ sin\ cx$ ialah $4$ sehingga $\left | b \right | +2=4$ atau $b= 2$
• Periode kurva $T=4\pi=\dfrac{2 \pi}{k}$ maka $k=\dfrac{2 \pi}{4 \pi}=\dfrac{1}{2}$
• Kurva lengkap $f(x)=2-2\ sin\ \dfrac{1}{2}x$, nilai $a+b+c=2-2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ \dfrac{1}{2}$

20. Soal UMB 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap)

Grafik fungsi $y=-2-cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$
$(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$
$(B)\ $ Terletak di atas sumbu $x$
$(C)\ $ Menyinggung sumbu $x$ di banyak titik
$(D)\ $ Memotong sumbu $x$ di banyak titik
$(E)\ $ Tidak memotong sumbu $y$

Alternatif Pembahasan: show

Grafik Fungsi $y=-2-cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$.

• Amplitudo ialah $-1$
• Nilai Maksimum fungsi: $\left |-1 \right | - 2=-1 $
• Nilai Minimum fungsi: $-\left |-1 \right | -2=-3$
• Periode kurva $T=\dfrac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4$

Grafik fungsi $y=-2-cos\ \left( \dfrac{x}{2}\right)$ terletak di bawah sumbu $x$ sebab nilai maksimumny ialah $-1$ dan nilai minimumnya ialah $-3$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ $ Terletak di bawah sumbu $x$

21. Soal UM STIS 2011 (*Soal Lengkap)

Diketahui $A$ dan $B$ ialah sudut lancip yang memenuhi $tan\ (A+B)=\dfrac{1}{2}$ dan $tan\ (A-B)=\dfrac{1}{3}$. Nilai $tan\ A $ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{2}+1 \\
(B)\ & \sqrt{2}-1 \\
(C)\ & -\sqrt{2}-1 \\
(D)\ & \dfrac{1}{12} \\
(E)\ & \dfrac{5}{12}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal Trigonometri yang mungkin membantu yaitu $tan\ (A+B)=\dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B}$ dan $tan\ (A-B)=\dfrac{tan\ A-tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B}$.

$\begin{align}
tan\ (A+B) &= \dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B} \\
\dfrac{1}{2} &= \dfrac{tan\ A+tan\ B}{1-tan\ A \cdot tan\ B} \\
1-tan\ A \cdot tan\ B &= 2tan\ A+2tan\ B\ \cdots\ pers.(1) \\
\hline
tan\ (A-B) &= \dfrac{tan\ A - tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B} \\
\dfrac{1}{3} &= \dfrac{tan\ A - tan\ B}{1+tan\ A \cdot tan\ B} \\
1+tan\ A \cdot tan\ B &= 3tan\ A-3tan\ B\ \cdots\ pers.(2) \\
\end{align}$

$\begin{array}{c|c|cc}
1-tan\ A \cdot tan\ B = 2tan\ A+2tan\ B & (\times 3)\\
1+tan\ A \cdot tan\ B = 3tan\ A-3tan\ B & (\times 2)\\
\hline
3-3tan\ A \cdot tan\ B = 6tan\ A+6tan\ B & \\
2+2tan\ A \cdot tan\ B = 6tan\ A-6tan\ B & (-)/(+)\\
\hline
1-5tan\ A \cdot tan\ B = 12tan\ B & (-) \\
12tan\ B + 5tan\ A \cdot tan\ B = 1 & \\
tan\ B \left( 12 + 5 tan\ A \right) = 1 & \\
tan\ B = \dfrac{1}{12 + 5 tan\ A} & pers.(3)\\
\hline
5- tan\ A \cdot tan\ B = 12tan\ A & (+) \\
12tan\ A + tan\ A \cdot tan\ B = 5 & pers.(4)
\end{array} $

Dari persamaan $(3)$ dan $(4)$ kita peroleh:
$\begin{align}
12tan\ A + tan\ A \cdot tan\ B &= 5 \\
12tan\ A + tan\ A \cdot \dfrac{1}{12 + 5 tan\ A} &= 5 \\
12tan\ A (12 + 5 tan\ A) + tan\ A &= 5 (12 + 5 tan\ A) \\
144 tan\ A + 60 tan^{2} A + tan\ A &= 60 + 25 tan\ A \\
144 tan\ A + 60 tan^{2} A + tan\ A -60 -25 tan\ A &= 0 \\
60 tan^{2} A+120 tan\ A - 60 &= 0 \\
tan^{2} A+2 tan\ A - 1 &= 0 \\
\end{align}$

Akar-akar persamaan kuadrat dengan variabel $tan\ A$ adalah:
$\begin{align}
tan\ A &= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\
&= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^{2}-4(1)(-1)}}{2(1)} \\
&= \dfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \\
&= \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\
&= -1 \pm \sqrt{2}
\end{align}$
Karena $A$ ialah sudut lancip maka nilai $tan\ A$ ialah positif yaitu $-1 + \sqrt{2}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ \sqrt{2}-1 $

22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Diketahui $sin\ A=\dfrac{1}{a}$, $A$ ialah sudut tumpul. Nilai $cos\ A=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+1}} \\
(B)\ & \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+1}} \\
(C)\ & \dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\
(D)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a} \\
(E)\ & -\dfrac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Masalah trigonometri di atas sanggup kita selesaikan dengan memakai proteksi segitiga siku-siku kemudian defenisi sinus dan cosinus. Tetapi berikut ini kita coba selesaikan dengan memakai identitas trigonometri dasar yaitu:
$\begin{align}
sin^{2}A+cos^{2}A &=1 \\
cos^{2}A &=1-sin^{2}A \\
&=1-\left( \dfrac{1}{a} \right)^{2} \\
&=1- \dfrac{1}{a^{2}} \\
&=\dfrac{a^{2}}{a^{2}}-\dfrac{1}{a^{2}} \\
&=\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}} \\
cos\ A &=\pm \sqrt{\dfrac{a^{2}-1}{a^{2}}} \\
cos\ A &=\pm \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}
\end{align}$
Karena $A$ ialah sudut tumpul, maka $A$ berada di kwadran kedua sehingga $cos\ A$ bernilai negatif, $cos\ A =- \dfrac{\sqrt{ a^{2}-1}}{a}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ -\dfrac{\sqrt{a^{2}+1}}{a}$

23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$ adalah...

Alternatif Pembahasan: show

Grafik fungsi trigonometri $y=sin \left( 2x-90^{\circ} \right)$

• Aplitudo ialah $1$,
  
  • Nilai maksimum ialah $1$ dikala $x=90^{\circ},270^{\circ},\cdots$
  • Nilai minimum ialah $-1$ dikala $x=0^{\circ},180^{\circ},\cdots$
• Pembuat fungsi nol atau $y=0$ dikala $x=45^{\circ},135^{\circ},225^{\circ},\cdots$

Silahkan disimak, soal perhiasan untuk grafik fungsi trigonometri

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)$

24. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan setiap titik sudutnya diberi tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$. Jika jarak antara tonggak $A$ dan $B$ ialah $300\ m$, sudut $ABC=45^{\circ}$, dan sudut $BCA=60^{\circ}$, jarak antara tonggak $A$ dan $C$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 50\sqrt{6}\ m \\
(B)\ & 100\sqrt{3}\ m \\
(C)\ & 150\sqrt{2}\ m \\
(D)\ & 100\sqrt{6}\ m \\
(E)\ & 300\sqrt{6}\ m
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Sebagai ilustrasi kalau kita gambarkan tonggak pembatas $A, B,\ \text{dan}\ C$ beserta ukurannya, sanggup digambarkan menyerupai berikut:

Dengan menggunkan Aturan Sinus sanggup kita hitung, $AC$ yaitu:
$\begin{align}
\dfrac{AC}{sin\ ABC} & = \dfrac{AB}{sin\ ACB} \\
\dfrac{AC}{sin\ 45^{\circ}} & = \dfrac{300}{sin\ 60^{\circ}} \\
AC & = \dfrac{300}{sin\ 60^{\circ}} \cdot sin\ 45^{\circ} \\
& = \dfrac{300}{\frac{1}{2} \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \\
& = \dfrac{300\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{ \sqrt{3}}\\
& = 100 \sqrt{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 100 \sqrt{6}$

25. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Perhatikan gambar berikut.

Sumber :

Tiga orang petugas dinas lingkungan hidup akan mengukur panjang Danau Tanralili di Kabupaten Goa. Orang pertama berada di titik $A$, orang kedua berada di titik $B$, dan orang ketiga berada di titik $C$. Ketiga petugas tersebut mengukur panjang Danau Tanralili dengan proteksi drone. Dari titik $A$ orang pertama menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $045^{\circ}$ ke titik $B$ dan tercatat drone terbang selama $15$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Kemudian dari titik $B$ orang kedua menerbangkan drone dengan jurusan tiga angka $105^{\circ}$ ke titik $C$ dan tercatat drone terbang selama $20$ menit dengan kecepatan $1,2\ km/jam$. Jika $p$ ialah jarak titik $A$ ke titik $C$ atau panjang Danau Tanralili dalam meter, nilai $p^{2}=\cdots$

Alternatif Pembahasan: show

Drone begerak dengan arah $045^{\circ}$ artinya diukur $45^{\circ}$ dari Utara dan searah jarum jam (Jurusan Tiga Angka). Jika apa yang disampaikan di atas kita gambarkan kembali, menyerupai berikut ini:

$\therefore$ Jawaban yang sesuai ialah $670$

26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
sin\left ( x+y \right )=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\left ( x-y \right )=-1+cos\ y\\
\end{matrix}\right.$
dengan $0 \lt y \lt \dfrac{\pi}{2}$. maka $cos\ 2x=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{7}{25} \\
(B)\ & \dfrac{7}{24} \\
(C)\ & -\dfrac{7}{25} \\
(D)\ & -\dfrac{7}{24} \\
(E)\ & -\dfrac{17}{25}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $sin\left ( A+B \right )=sin\ A\ cos\ B + sin\ B\ cos\ A$
• $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$
• $cos\ 2A = 1 - 2\ sin^{2}A$

$\begin{align}
sin\left ( x+y \right ) &=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\left ( x-y \right ) &=-1+cos\ y\\
\hline
sin\ x\ cos\ y + sin\ y\ cos\ x &=1+\dfrac{1}{5}cos\ y\\
sin\ x\ cos\ y - sin\ y\ cos\ x &=-1+cos\ y\ [+] \\
\hline
2\ sin\ x\ cos\ y &= \dfrac{6}{5}\ cos\ y \\
2\ sin\ x &= \dfrac{6}{5} \\
sin\ x &= \dfrac{3}{5} \\
\hline
cos\ 2x &= 1 - 2\ sin^{2}x \\
&= 1 - 2\ \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2} \\
&= 1 - 2\ \cdot \dfrac{9}{25} \\
&= 1 - \dfrac{18}{25} \\
&= \dfrac{7}{25}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ \dfrac{7}{25}$

27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\ 2x+cos\ 2y= \dfrac{2}{5} \\
sin\ x=2\ sin\ y\\
\end{matrix}\right.$
Untuk $x \gt 0$ dan $y \gt \pi$. Nilai $3\ sin\ x-5\ sin\ y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{3}{5} \\
(B)\ & -\dfrac{2}{5} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{2}{5} \\
(E)\ & \dfrac{3}{5}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $cos \left ( 2A \right )=cos^{2} A-sin^{2} A$
• $sin^{2} A+cos^{2} A=1$

$\begin{align}
cos\ 2x+cos\ 2y &= \dfrac{2}{5} \\
cos^{2} x-sin^{2} x+cos^{2} y-sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
1-sin^{2} x-sin^{2} x+1-sin^{2} y-sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
2-2sin^{2} x-2sin^{2} y &= \dfrac{2}{5} \\
-2\left( 2\ sin\ y \right)^{2}-2sin^{2} y &= \dfrac{2}{5}-2 \\
-8\ sin^{2} y -2sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
-10\ sin^{2} y &= -\dfrac{8}{5} \\
sin^{2} y &= \dfrac{4}{25} \\
sin\ y &= \pm \sqrt{\dfrac{4}{25}} \\
sin\ y &= \pm \dfrac{2}{5} \\
\hline
\text{karena}\ y \gt \pi\ \text{maka}\ sin\ y &= -\dfrac{2}{5} \\
\hline
3\ sin\ x-5\ sin\ y &= 3 \cdot 2\ sin\ y - 5 \cdot -\dfrac{2}{5} \\
&= 3 \cdot 2\ \cdot -\dfrac{2}{5} + 2 \\
&= \dfrac{-12}{5}+2 \\
&= -\dfrac{2}{5}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ -\dfrac{2}{5}$

28. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\left ( a-b \right )=\dfrac{4}{5}sin\left ( a+b \right )\\
sin\ 2a+sin\ 2b=\dfrac{9}{10} \\
\end{matrix}\right.$
Nilai dari $sin\left ( a+b \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{5}{7} \\
(B)\ & \dfrac{7}{10} \\
(C)\ & \dfrac{2}{5} \\
(D)\ & \dfrac{3}{4} \\
(E)\ & \dfrac{3}{5}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $sin\ A+ sin\ B=2\ sin\ \left (\dfrac{A+B}{2}\right )\ cos\ \left (\dfrac{A-B}{2}\right ) $
• $cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$

$\begin{align}
sin\ 2a+sin\ 2b &= \dfrac{9}{10} \\
2\ sin\ \left (\dfrac{2a+2b}{2}\right )\ cos\ \left (\dfrac{2a-2b}{2}\right ) &= \dfrac{9}{10} \\
2\ sin\ \left( a+b \right)\ cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{10} \\
sin\ \left( a+b \right)\ cos\ \left( a-b \right) &= \dfrac{9}{20} \\
sin\ \left( a+b \right)\ \cdot \dfrac{4}{5}sin\left ( a+b \right ) &= \dfrac{9}{20} \\
sin^{2} \left( a+b \right) &= \dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{5}{4}\\
sin \left( a+b \right) &= \pm \sqrt{ \dfrac{9}{16}} \\
&= \pm \dfrac{3}{4}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ \dfrac{3}{4}$

29. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =cos\ A - 2 sin\ B\\
y =sin\ A + 2 cos\ B
\end{matrix}\right.$
Nilai minimum dari $x^{2}+y^{2}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 7
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
• $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$

$\begin{align}
x &=cos\ A - 2 sin\ B \\
y &=sin\ A + 2 cos\ B \\
\hline
x^{2} &=cos^{2}\ A + 4 sin^{2} B-4\ cos\ A\ sin\ B \\
y^{2} &=sin^{2}\ A + 4 cos^{2} B+4\ sin\ A\ cos\ B \, \, [+]\\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 4 -4\ cos\ A\ sin\ B+4\ sin\ A\ cos\ B \\
&=5 +4 \left( sin\ A\ cos\ B - cos\ A\ sin\ B \right) \\
&=5 +4 sin\left ( A-B \right )
\end{align} $
Nilai minimum $x^{2}+y^{2}$ terjadi dikala $sin\left ( A-B \right )=-1$ minimum, sehingga nilai minimum $x^{2}+y^{2}=5 +4 \left ( -1 \right )=5-4=1$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ 1$

30. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =sin\ \alpha + \sqrt{3}\ sin\ \beta \\
y =cos\ \alpha + \sqrt{3}\ cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
Nilai maximum dari $x^{2}+y^{2}$ ialah $a+b\sqrt{3}$. Nilai $a+b=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
• $cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$

$\begin{align}
x &= sin\ \alpha + \sqrt{3}\ sin\ \beta \\
y &= cos\ \alpha + \sqrt{3}\ cos\ \beta \\
\hline
x^{2} &= sin^{2} \alpha +3\ sin^{2} \beta+2\sqrt{3}\ sin\ \alpha\ sin\ \beta \\
y^{2} &= cos^{2} \alpha +3\ cos^{2} \beta+2\sqrt{3}\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \, \, [+]\\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 3 +2\sqrt{3}\ sin\ \alpha\ sin\ \beta+2\sqrt{3}\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \\
&=4 +2\sqrt{3} \left( sin\ \alpha\ sin\ \beta+cos\ \alpha\ cos\ \beta \right) \\
&=4 +2\sqrt{3}\ cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $x^{2}+y^{2}$ terjadi dikala $cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $x^{2}+y^{2} =4 +2\sqrt{3}(1)$.

Nilai $a+b\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}$, maka $a+b=4+2=6$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 6$

31. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
a =sin\ x + cos\ y\\
b =cos\ x - sin\ y
\end{matrix}\right.$
Nilai miaximum dari $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 16 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 28 \\
(E)\ & 32
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
• $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$

$\begin{align}
a &=sin\ x + cos\ y\\
b &=cos\ x - sin\ y \\
\hline
a^{2} &=sin^{2}\ x + cos^{2} y+2\ sin\ x\ cos\ y \\
b^{2} &=cos^{2}\ x + sin^{2} y-2\ cos\ x\ sin\ y \, \, [+]\\
\hline
a^{2}+b^{2} &=1 + 1+2\ sin\ x\ cos\ y -2\ cos\ x\ sin\ y \\
&=2+2\ \left( sin\ x\ cos\ y - cos\ x\ sin\ y \right) \\
&=2 +2\ sin\left ( x-y \right ) \\
\end{align} $
Nilai maximum $a^{2}+b^{2}$ terjadi dikala $sin\left ( x-y \right )=1$ maximum, sehingga nilai maximum $a^{2}+b^{2}=2 +2 \left ( 1 \right )=4$

Nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ terjadi dikala $a^{2}+b^{2}$ maximum, sehingga nilai maximum $4a^{2}+4b^{2}+4$ adalah:
$\begin{align}
4a^{2}+4b^{2}+4 &= 4 \left( a^{2}+ b^{2} \right)+4 \\
&= 4 \left( 4 \right)+4 \\
&= 20
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ 20$

32. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $(x,y)$ dengan $0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}$, merupakan penyelesaian dari sistem persamaan:
$\left\{\begin{matrix}
cos\ 2x+cos\ 2y= -\dfrac{2}{5} \\
cos\ y=2\ cos\ x\\
\end{matrix}\right.$
maka $cos\ x+cos\ y=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{6}{5} \\
(B)\ & -\dfrac{3}{5} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{3}{5} \\
(E)\ & \dfrac{6}{5}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $cos \left ( 2A \right )=cos^{2} A-sin^{2} A$
• $cos \left ( 2A \right )=2cos^{2} A-1$

$\begin{align}
cos\ 2x+cos\ 2y &= -\dfrac{2}{5} \\
2cos^{2} x-1+2cos^{2} y-1 &= -\dfrac{2}{5} \\
2cos^{2} x +2cos^{2} y &= -\dfrac{2}{5}+2 \\
2cos^{2} x +2 \left(2 cos\ x \right)^{2} &= \dfrac{8}{5} \\
2cos^{2} x +8 cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
10 cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \\
cos^{2}x &= \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{1}{10} \\
cos\ x &= \pm \sqrt{ \dfrac{4}{25}} \\
cos\ x &= \pm \dfrac{2}{5} \\
\hline
\text{karena}\ 0 \lt x,\ y \lt \dfrac{\pi}{2}\ & \text{maka}\ cos\ x = \dfrac{2}{5} \\
\hline
cos\ x + cos\ y &= \dfrac{2}{5} + 2 \cdot \dfrac{2}{5} \\
&= \dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ \dfrac{6}{5}$

33. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui:
$\left\{\begin{matrix}
x =sin\ \alpha - sin\ \beta \\
y =cos\ \alpha + cos\ \beta
\end{matrix}\right.$
maka nilai terbesar dari $x^{2}+y^{2}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
• $cos\left ( A-B \right )=cos\ A\ cos\ B + sin\ A\ sin\ B$

$\begin{align}
x &= sin\ \alpha - sin\ \beta \\
y &= cos\ \alpha + cos\ \beta \\
\hline
x^{2} &= sin^{2} \alpha + sin^{2} \beta-2\ sin\ \alpha\ sin\ \beta \\
y^{2} &= cos^{2} \alpha + cos^{2} \beta-2\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \, \, [+] \\
\hline
x^{2}+y^{2} &=1 + 1 +2\ sin\ \alpha\ sin\ \beta+2\ cos\ \alpha\ cos\ \beta \\
&=2 +2\ \left( sin\ \alpha\ sin\ \beta+ cos\ \alpha\ cos\ \beta \right) \\
&=2 +2\ cos\left ( \alpha-\beta \right ) \\
\end{align} $
Nilai terbesar $x^{2}+y^{2}$ terjadi dikala $cos\left ( \alpha-\beta \right )=1$ terbesar, sehingga nilai terbesar $x^{2}+y^{2} =2 +2(1)=4$.

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 4$

34. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Diketahui $0 \lt x,y \lt \pi $, $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $, memenuhi:
$\left\{\begin{matrix}
2sin\ x+cos\ y =2\\
2cos\ x-sin\ y =\sqrt{3}\\
\end{matrix}\right.$
adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\
(B)\ & \dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(E)\ & -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru perihal trigonometri yang mungkin dibutuhkan adalah:

• $sin^{2} A+cos^{2} A=1$
• $sin\left ( A-B \right )=sin\ A\ cos\ B - sin\ B\ cos\ A$

$\begin{align}
2sin\ x+cos\ y &=2\\
2cos\ x-sin\ y &=\sqrt{3}\\
\hline
4sin^{2}\ x +cos^{2} y+4\ sin\ x\ cos\ y &=4\\
4cos^{2}\ x +sin^{2} y-4\ cos\ x\ sin\ y &=3\, \, [+]\\
\hline
4+1+4\ sin\ x\ cos\ y\ - 4\ cos\ x\ sin\ y &= 7 \\
4\left( sin\ x\ cos\ y\ - cos\ x\ sin\ y \right) &= 7-5 \\
4\ sin\ \left( x-y \right) &= 2 \\
sin\ \left( x-y \right) &= \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \\
\end{align} $

$\begin{align}
sin^{2}A +cos^{2}A&=1\\
sin^{2}\left( x-y \right) +cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} +cos^{2}\left( x-y \right)&=1\\
cos^{2}\left( x-y \right)&=1- \dfrac{1}{4} \\
cos \left( x-y \right) &=\pm \sqrt{\dfrac{3}{4}} \\
&=\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{3}
\end{align} $
Karena $\dfrac{\pi}{2} \lt x-y \lt \pi $ maka $cos \left( x-y \right) = -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(E)\ -\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Trigonometri (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas ialah coretan kreatif siswa pada

• lembar tanggapan evaluasi harian matematika,
• lembar tanggapan evaluasi selesai semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait persoalan alternatif penyelesaian soal Trigonometri sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Masih menganggap matematika hanya hitung-hitungan semata, mari kita lihat kreativitas siswa ini;

Sumber http://www.defantri.com