Contoh Soal Pembuktian Induksi Matematika Habis Dibagi

Salah satu bentuk pembuktian kebenaran dalam matematika yaitu dengan induksi atau dikenal dengan induksi matematika. Dalam pembuktian ini akan dibuktikan  untuk kasu n = 1 (atau sembaran bilangan), n= k yang diasumsikan benar dan n= k+1 yang harus terbukti benar jikalau pernyataan tersebut bernilai benar.

Untuk ketika ini akan dibahas pembuktian suatu persamaan yang habis dibagi dengan memakai induksi matematika. Contoh Soal dan Pembahasan habis di bagi dengan memakai induksi matematika ini ada dua. Semoga dengan teladan soal berikut sanggup membantu pembelajaran matematika.

Contoh Soal dan Pembahasan Habis Dibagi dengan Induksi Matematika

Soal : Buktikan sesungguhnya 7ⁿ-2ⁿ habis dibagi 5, n = 1,2,3 ...

Pembuktian :

1) Akan dibuktikan untuk n=1 terlebih dahulu. Jika disubstitusikan n=1 pada persamaan 7ⁿ-2ⁿ akan diperoleh 7¹-2¹ ,hasilnya = 5. Kita tahu 5 habis dibagi 5. Artinya untuk n= 1, benar.

2) Berikutnya untuk n=k, di asumsikan benar. Jadi, 7^k-2^k habis dibagi 5 atau supaya lebih gampang sanggup ditulis menjadi 7ⁿ-2ⁿ = 5a, a Є bilangan asli. Untuk menerangkan pernyataan tersebut benar, maka akan dibuktikan untuk n=k+1.

3) Sekarang kita lihat untuk n= k+1 :
7ⁿ-2ⁿ = 7^k+1-2^k+1 = 7.7^k-2.2^k . Pada belahan ini gunakan sifat akar, dimana x^n.x^m =x^n+m
Perhatikan, koefesien tebesar yaitu 7. Kaprikornus semua dijadika berkoefisien 7.
7.7^k-2^k -5.2^k+5.2^k = 7.7^k-7.2^k -5^k tujuannya supaya di sanggup sebuah faktor berupa pernyataan ke (2). Dengan melaksanakan ini,bisa didapat,
7(7^k-2^k )-5.2^k = 7.5a -5.2^k  = 5.(7a-2^k) , sebab sudah terbentu 5 x ... maka 7ⁿ-2ⁿ habis dibagi 5. Terbukti.

Contoh Soal ke dua

Buktikan 3ⁿ-+7ⁿ habis dibagi 10, untuk  n ≥1,2,3 , n Є ganjil.

Pembahasan : Untuk soal ini ada sedikit ciri khas. Karena n yaitu bilangan ganjil, sementara antara satu bilangan ganjil dengan bilangan ganjil berikutnya berjarak dua ; maka dalam pembuktian dipakai : 1) n=1, 2 ) n= k dan 3) n= k+2. 

1) n =1, 3ⁿ+7ⁿ = 3+7 = 10. Dan 10 habis dibagi 10.
2) n = k, 3^k+7^k habis dibagi 10 = 10 a. Pernyataan ini diasumsikan benr, maka akan dibuktikan pada urutan berikutnya yaitu n= k+2.
3) n = k+2, 3ⁿ+7ⁿ =3^k+2-+7^k+2 = 9.3^k+49.7^k angka koefisien terbesar yaitu 49, maka untuk 3^k, juga harus berkoefeisen 49. Kaprikornus persamaan sanggup dbentuk menjadi,
9.3^k+49.7^k = 9.3ⁿ-+49.7ⁿ +403^k - 403^k = 493^k  +49.7ⁿ - 403^k = 49.10.a - 403^k = 10. (49a - 4.3^k ) , habis dibagi 10. Terbukti. Terkait Contoh Soal dan Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika.

Sumber http://www.marthamatika.com/