Bank Soal Dan Pembahasan Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar

Catatan calon guru yang kita diskusikan ketika ini akan membahas wacana Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar. Tetapi untuk melengkapi matematika dasar limit fungsi, ada dua materi limit yang juga harus kita pahami yaitu Limit Fungsi Trigonometri dan Limit Fungsi Tak hingga. Penerapan limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari mungkin tidak terlihat eksklusif tetapi limit fungsi ini merupakan dasar dalam mempelajari turunan dan hingga kepada integral.

Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada limit fungsi aljabar juga sangatlah mudah, bila Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan dibawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal limit fungsi aljabar dan menemukan solusinya.

Limit fungsi ini termasuk materi yang sangat penting dalam kehidupan kita sehari-hari. Hanya saja kita tidak sadar ternyata sedang menggunakan konsep limit fungsi.

Contoh sederhananya ketika kita mengukur berat tubuh dan kesannya terlihat ialah $70,5\ kg$. Hasil $70,5\ kg$ ini bekerjsama belum hasil pengukuran yang paling tepat tetapi sudah sanggup mewakili hasil pengukuran, alasannya ialah berat tubuh kita ialah mendekati $70,5\ kg$. Kata "mendekati" ialah salah satu kata kunci dalam mencar ilmu limit fungsi.

Limit Fungsi Aljabar ini merupakan dasar atau modal kita dalam mencoba menuntaskan problem yang berkaitan dengan Limit Fungsi Trigonometri, Limit Fungsi Tak hingga, Diferensial Fungsi (Turunan) dan hingga kepada Integral Fungsi.

Beberapa sampel soal Limit Fungsi Aljabar untuk kita diskusikan kita sadur dari soal-soal SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal SMMPTN (Seleksi Mandiri Masuk Perguruan Tinggi Negeri), soal UN (Ujian Nasional) atau soal ujian yang dilaksanakan di sekolah.

Pembahasan limit fungsi aljabar yang kita jabarkan di bawah ini masih jauh dari sempurna, jadi bila ada masukan yang sifatnya membangun silahkan disampaikan.

Sedikit gosip suplemen yang mungkin tidak terlalu penting, kemarin siswa gres selesai evaluasi harian wacana limit dan ada beberapa siswa yang menerima nilai sempurna, sehingga sebagai kenang-kenangan hasil pekerjaan siswa kita photo dan ditampilkan sebagai photo dari artikel ini alasannya ialah hasil sempurna.

Sebagai catatan sederhana wacana limit fungsi yaitu baik untuk limit fungsi aljabar dan trigonometri.

Berdasarkan defenisi limit, Jika nilai Limit Kiri = Limit Kanan=L secara simbol dituliskan $\lim\limits_{x \to a^{+}}f(x)=\lim\limits_{x \to a^{-}}f(x)=L$ maka nilai $\lim\limits_{x \to a}f(x)=L$.

Nilai limit fungsi $\lim\limits_{x \to a}f(x)$ sanggup ditentukan dengan cara mensubstitusi nilai $x=a$ ke fungsi $f(x)$.

Tetapi bila nilai yang dihasilkan ialah bentuk tak tentu antara lain $\dfrac{0}{0}, \, \dfrac{\infty}{\infty} , \, \infty - \infty , \, 0^0 , \, \infty ^ \infty $ maka dilakukan manipulasi aljabar dengan cara memfaktorkan atau mengalikan dengan akar sekawan atau dengan manipulasi aljabar lainnya, selama tidak menyalahi aturan-aturan pada matematika.

Menyelesaikan Limit fungsi aljabar dengan pemfaktoran

Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering dipakai antara lain:

• $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b) $
• $ a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2}) $
• $ a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$

Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar dengan mengalikan akar sekawan

Berikut beberapa bentuk akar sekawan dari beberapa fungsi:

• $ \sqrt{x} + \sqrt{a} \, $ akar sekawannya : $ \sqrt{x} - \sqrt{a} $
• $ a\sqrt{x} - b \sqrt{y} \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} + b \sqrt{y} $
• $ a\sqrt{x} + b \, $ akar sekawannya : $ a\sqrt{x} - b $

Teorema Limit Fungsi Yang Sangat Penting Dalam menuntaskan Masalah Limit Fungsi

Andaikan $n$ bilangan lingkaran positif, $k$ konstanta, dan $f$ dan $f$ dan $g$ ialah fungsi yang memiliki limit di $c$. Maka berlaku:

• $\lim\limits_{x \to c} k=k$
• $\lim\limits_{x \to c} c=c$
• $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$
• $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

Menyelesaikan Limit Fungsi dengan Metode L'Hospital atau Menggunakan Turunan

Cara menuntaskan limit dengan turunan ini ialah suplemen alasannya ialah kita harus sudah mengenal atau mencar ilmu Turunan Fungsi. Tetapi bila belum mengenal atau mencar ilmu Fungsi Turunan, menggunakan cara ini tidak dianjurkan.
Jika nilai $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{0}{0} \,$
Maka manipulasi aljabar pada limit fungsi tersebut diselesaikan dengan turunan, yaitu:
$ \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime} (x)}{g^{\prime} (x)} =
\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f^{\prime \prime} (x)}{g^{\prime \prime} (x)}=L$

Mari kita simak rujukan Soal Limit Fungsi dan Pembahasannya 😊

1. Soal UM UNDIP 2009 Kode 192 (*Soal Lengkap)

Jika $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$, maka $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & -1 \\
(D)\ & -2 \\
(E)\ & \infty
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Karena $f(x)=\dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}$ maka:
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} f(x) & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x}}-1}{\dfrac{x}{\sqrt{x}}+1} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} \\
& = \dfrac{\sqrt{0}-1}{\sqrt{0}+1} \\
& = \dfrac{-1}{1}=-1
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ -1$

2. Soal UM UNDIP 2011 Kode 111 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{6} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{3} \\
(C)\ & \dfrac{1}{6} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{2}{3}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{3-\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{2x} \cdot \dfrac{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}}{3+\sqrt{3x^{2}+2x+9}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( 3-\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)}{ \left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{9- \left( 3x^{2}+2x+9 \right)}{\left( 2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(3x^{2}+2x \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(2x \right) \left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left(2x \right) \left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}x + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3x^{2}+2x+9} \right)} \\
& = \dfrac{-\left(\dfrac{3}{2}(0) + 1 \right)}{\left( 3+\sqrt{3(0)+2(0)+9} \right)} \\
& = \dfrac{-1}{3+\sqrt{9}} = - \dfrac{1}{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -\dfrac{1}{6}$

3. Soal UM UPI 2009

Nilai dari $ \lim\limits_{x \to 2}\ \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2}$ adalah$ \cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & 1 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 4 \dfrac{1}{4}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{8x}-4}{\sqrt{x+2}-2} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{8x}+4 \right)+\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left(8x-16 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x+2-4 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(x-2 \right)\left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)\left(x-2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ 8 \left(\sqrt{x+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8x}+4 \right)} \\
& = \dfrac{ 8 \left(\sqrt{2+2}+2 \right)}{\left(\sqrt{8(2)}+4 \right)} \\
& = \dfrac{ 8 \left(2+2 \right)}{\left(4+4 \right)}=4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 4$

4. Soal UM UNPAD 2006

$ \lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $ maka $2a+4b= \cdots $
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(B)\ & \dfrac{1}{4} \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 20 \\
(E)\ & 21
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Nilai $\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+a}-2}{x+6}=b $.
Jika kita substitusi eksklusif nilai $x=-6$ maka nilai $\sqrt{-6+a}-2$ harus $0$, alasannya ialah bila $\sqrt{-6+a}-2$ tidak nol maka nilai limit ialah $\infty$.
$\begin{align}
\sqrt{-6+a}-2 &= 0 \\
\sqrt{-6+a} &= 2 \\
-6+a &= 4 \\
a &= 6+4=10
\end{align}$

Untuk $a=10$ maka
$\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6}=b $

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{\sqrt{x+10}-2}{x+6} \cdot \dfrac{ \left(\sqrt{x+10}+2 \right)}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+10-4}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{x+6}{(x+6)\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\lim\limits_{x \to -6} \dfrac{1}{\left(\sqrt{x+10}+2 \right)} &= b \\
\dfrac{1}{\left(\sqrt{-6+10}+2 \right)} &= b \\
\dfrac{1}{4} &= b \\
2a+4b &= 2(10)+4(\dfrac{1}{4}) \\
&= 21
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 21$

5. Soal SBMPTN 2016 Kode 355 (*Soal Lengkap)

Jika $a$ dan $b$ ialah dua bilangan real dengan $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka $ab=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -35 \\
(B)\ & -30 \\
(C)\ & -15 \\
(D)\ & -3 \\
(E)\ & -1
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$.
Jika kita substitusi eksklusif nilai $x=2$ maka nilai $x^{2}+2ax+b$ harus $0$, alasannya ialah bila $x^{2}+2ax+b$ tidak nol maka nilai limit ialah $\infty$.

Karena nilai $x^{2}+2ax+b$ untuk $x=2$ ialah $0$ maka $x-2$ ialah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
x^{2}+2ax+b & \equiv (x-2)(mx+n) \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+nx-2mx-2n \\
x^{2}+2ax+b & \equiv mx^{2}+(n-2m)x-2n \\
1 &= m \\
2a &= n-2m=n-2 \\
b &= -2n
\end{align}$

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}+2ax+b}{x-2}=-3$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+n)}{x-2} & =-3 \\
\lim\limits_{x \to 2} (x+n) & =-3 \\
2+n & =-3 \\
n &= -3-2 \\
n &= -5
\end{align}$

Untuk $n=-5$ maka $b=10$ dan $a=-\dfrac{7}{2}$

Nilai $ab=-\dfrac{7}{2} \cdot 10 = -35$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -35$

6. Soal SBMPTN 2014 Kode 542 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & B=A^{2} \\
(B)\ & 4B^{2}=A \\
(C)\ & 4B=A^{2} \\
(D)\ & 4B=A \\
(E)\ & A+B=0
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$.
Jika kita substitusi eksklusif nilai $x=0$ maka nilai $ \sqrt{Ax+B}-2$ harus $0$, alasannya ialah bila $\sqrt{Ax+B}-2$ tidak nol maka nilai limit ialah $\infty$.
Untuk $x=0$
$\begin{align}
\sqrt{Ax+B}-2 & = 0 \\
\sqrt{A(0)+B}-2 & = 0\\
\sqrt{B} & = 2\\
B & = 4
\end{align}$

Untuk $B=4$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0}{lim} \dfrac{\sqrt{Ax+B}-2}{x}=1$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{Ax+4}-2}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{Ax+4}+2}{\sqrt{Ax+4}+2} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( \sqrt{Ax+4}-2 \right) \left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left( Ax+4 -4 \right)}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{Ax}{x\left( \sqrt{Ax+4}+2 \right)} & = 1 \\
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{A}{ \sqrt{Ax+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{A(0)+4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{ \sqrt{4}+2 } & = 1 \\
\dfrac{A}{4} & = 1 \\
A & = 4
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 4B=A^{2}$

7. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{4} \\
(C)\ & -\dfrac{1}{8} \\
(D)\ & \dfrac{1}{4} \\
(E)\ & \dfrac{1}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah
$\begin{align}
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 5-x-4 \right) \left( \sqrt{2+x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right) \left(1-x \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\
& = \dfrac{ \sqrt{2-(1)}+1 }{ \sqrt{5-(1)}+2 } \\
& = \dfrac{2}{ \sqrt{4}+2 } \\
& = \dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{1}{2}$

8. Soal SBMPTN 2017 Kode 226(*Soal Lengkap)

Jika kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ dan $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x-1}=-4$ maka $\dfrac{b+c}{a}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -1 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & \dfrac{3}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Kurva $f(x)=ax^{2}+bx+c$ memotong sumbu-$y$ di titik $(0,1)$ maka nilai $c=1$ sehingga $f(x)=ax^{2}+bx+1$.

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$
Jika kita substitusi eksklusif nilai $x=1$ maka nilai $ax^{2}+bx+1$ harus $0$, alasannya ialah bila $ax^{2}+bx+1$ tidak nol maka nilai limit ialah $\infty$.

Karena nilai $ax^{2}+bx+1$ untuk $x=1$ adalh $0$ maka $x-1$ ialah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
ax^{2}+bx+1 & \equiv (x-1)(mx+n) \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+nx-mx-n \\
ax^{2}+bx+1 & \equiv mx^{2}+(n-m)x-n \\
-1 &= n \\
b &= n-m \\
b &= -1-m \\
a &= m
\end{align}$

Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ax^{2}+bx+1}{x-1}=-4$, maka
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(mx+n)}{x-1} & =-4 \\
\lim\limits_{x \to 1} (mx+n) & =-4 \\
\lim\limits_{x \to 1} (mx-1) & =-4 \\
m-1 & =-4 \\
m &= -4+1 \\
m &=-3
\end{align}$

Untuk $m=-3$ nilai $a=-3$, $b=2$ dan $c=1$, maka $\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{2+1}{-3}=-1$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(A)\ -1$

9. Soal UM UGM 2014 Kode 531 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$.
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & \dfrac{6}{7} \\
(D)\ & \dfrac{9}{8} \\
(E)\ & \dfrac{5}{4}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Fungsi $f(x)=\sqrt{1+x}$, maka
$\begin{align}
f(3+2h^{2}) & = \sqrt{1+3+2h^{2}} \\
& = \sqrt{4+2h^{2}} \\
f(3-3h^{2}) & = \sqrt{1+3-3h^{2}} \\
& = \sqrt{4-3h^{2}}
\end{align}$
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f(3+2h^{2})-f(3-3h^{2})}{h^{2}}$ adalah
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-3h^{2}}}{h^{2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}-\sqrt{4-2h^{2}}}{h^{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}}{\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left(4+2h^{2}\right) -\left(4-3h^{2}\right)}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4+2h^{2}-4+3h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5h^{2}}{h^{2} \left(\sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} \right)}\\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{5}{ \sqrt{4+2h^{2}}+\sqrt{4-3h^{2}} }\\
& = \dfrac{5}{\sqrt{4+0}+\sqrt{4-0} } \\
& = \dfrac{5}{4}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ \dfrac{5}{4}$

10. Soal USM STIS 2017 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ adalah$\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{2} \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{2}{3} \\
(E)\ & -\dfrac{3}{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menuntaskan limit ini untuk menghemat penulisan kita coba dengan memisalkan $m=\sqrt{1-x}$, alasannya ialah $x \to 0$ maka $m \to 1$.
Soal limit $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{1-\sqrt[3]{1-x}}$ sudah sanggup kita tuliskan menjadi $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-\sqrt[3]{m^{2}}}$ atau $\lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}}$.

Soal ini sanggup kita kerjakan dengan mengalikan akar sekawan tetapi prosesnya lebih panjang jadi untuk soal ini kita coba dengan menggunakan turunan;
turunan $m-1$ ialah $1-0=1$.
turunan $1-m^{\frac{2}{3}}$ ialah $0-\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}=-\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}$
$\begin{align}
& \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{m-1}{1-m^{\frac{2}{3}}} \\
& = \lim\limits_{m \to 1} \dfrac{1}{\dfrac{2}{3}m^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\frac{2}{3}(1)^{-\frac{1}{3}}} \\
& = \dfrac{1}{-\dfrac{2}{3}} = - \dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ - \dfrac{3}{2}$

11. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)

Diketahui $O(0,0)$, $A(1,0)$, $B(2,0)$, $C(2,y)$, dan $D(0,y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{2}(2\sqrt{3}+3) \\
(B)\ & \dfrac{1}{4}(3\sqrt{2}+2) \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}( \sqrt{3}+1) \\
(D)\ & \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2}-2) \\
(E)\ & \dfrac{1}{4}(3\sqrt{2}-2)
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD}$, coba kita hitung keliling $\square ABCD$ dan keliling $\bigtriangleup ACD$.

Jarak dua titik sanggup kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,

• Jarak titik $A(1,0)$ ke $B(2,0)$ ialah $AB=\sqrt{(2-1)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{1}=1$
• Jarak titik $B(2,0)$ ke $C(2,y)$ ialah $BC=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
• Jarak titik $C(2,y)$ ke $D(0,y)$ ialah $CD=\sqrt{(0-2)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
• Jarak titik $A(1,0)$ ke $D(0,y)$ ialah $AD=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-y)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$
• Jarak titik $A(1,0)$ ke $C(2,y)$ ialah $AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{1+y^{2}}$

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \square ABCD \\
& = AB+BC+CD+DA \\
& = 1+y+2+\sqrt{1+y^{2}} \\
& = 3+y+\sqrt{1+y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \bigtriangleup ACD \\
& = AC+CD+DA \\
& = \sqrt{1+y^{2}} +2+\sqrt{1+y^{2}} \\
& = 2+2\sqrt{1+y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{keliling\ \square ABCD}{keliling\ \bigtriangleup ACD} \\
& = \lim\limits_{y \to 1} \dfrac{3+y+\sqrt{1+y^{2}}}{2+2\sqrt{1+y^{2}}} \\
& = \dfrac{3+1+\sqrt{1+1^{2}}}{2+2\sqrt{1+1^{2}}} \\
& = \dfrac{4+\sqrt{2}}{2+2\sqrt{2}} \times \dfrac{2-2\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{8-8\sqrt{2}+2\sqrt{2}-4}{4-8} \\
& = \dfrac{4-6\sqrt{2}}{-4} \\
& = \dfrac{2-3\sqrt{2}}{-2} \\
& =\dfrac{1}{2}\left(3\sqrt{2}-2 \right)
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ \dfrac{1}{2}(3\sqrt{2}-2)$

12. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)

Diketahui $O(0,0)$, $A(2,0)$, $B(2,y)$, $C(0,y)$, dan $D(0,\frac{1}{2}y)$. Nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$ adalah...
$ \begin{align}
(A)\ & \dfrac{5+2\sqrt{5}}{5} \\
(B)\ & \dfrac{5+\sqrt{5}}{10} \\
(C)\ & \dfrac{1}{2}\sqrt{5} \\
(D)\ & \dfrac{5-2\sqrt{5}}{5} \\
(E)\ & \dfrac{5-\sqrt{5}}{5}
\end{align} $

Alternatif Pembahasan: show

Sebelum kita hitung nilai $\lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD}$, coba kita hitung keliling $\square OABD$ dan keliling $\bigtriangleup BCD$.

Jarak dua titik sanggup kita hitung dengan $d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$,

• Jarak titik $O(0,0)$ ke $A(2,0)$ ialah $OA=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-0)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
• Jarak titik $A(2,0)$ ke $B(2,y)$ ialah $AB=\sqrt{(2-2)^{2}+(y-0)^{2}}$$=\sqrt{y^{2}}=y$
• Jarak titik $B(2,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ ialah $BD=\sqrt{(0-2)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}$
• Jarak titik $O(0,0)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ ialah $OD=\sqrt{(0-0)^{2}+(0-\frac{1}{2}y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$
• Jarak titik $B(2,y)$ ke $C(0,y)$ ialah $BC=\sqrt{(2-0)^{2}+(y-y)^{2}}$$=\sqrt{4}=2$
• Jarak titik $C(0,y)$ ke $D(0,\frac{1}{2}y)$ ialah $CD=\sqrt{(0-0)^{2}+(\frac{1}{2}y-y)^{2}}$$=\sqrt{\frac{1}{4}y^{2}}=\frac{1}{2}y$

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \bigtriangleup BCD \\
& = BC+CD+DB \\
& = 2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \text{keliling}\ \square OABD \\
& = OA+AB+BD+DO \\
& = 2+y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}+\frac{1}{2}y \\
& = 2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{keliling\ \bigtriangleup BCD}{keliling\ \square OABD} \\
& = \lim\limits_{y \to 2} \dfrac{2+\frac{1}{2}y +\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}}{2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}y^{2}}} \\
& = \dfrac{2+\frac{1}{2}(2) +\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}}{2+\frac{3}{2}(2)+\sqrt{4+\frac{1}{4}(2)^{2}}} \\
& = \dfrac{2+1+\sqrt{4+1}}{2+3+\sqrt{4+1}} \\
& = \dfrac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} \times \dfrac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{15-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-5}{25-5} \\
& = \dfrac{10+2\sqrt{5}}{20} \\
& = \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}
\end{align} $

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(B)\ \dfrac{5+\sqrt{5}}{10}$

13. Soal SIMAK UI 2018 Kode 416 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27}=-\dfrac{1}{3^{5}}$, nilai $a+b$ untuk $a$ dan $b$ lingkaran positif adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -4 \\
(B)\ & -2 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 2 \\
(E)\ & 4
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menuntaskan soal limit di atas sehingga kesannya menyerupai yang diharapkan, kita coba dengan menggunakan turunan. Kita anggap pada turunan pertama nilai limit untuk $x \to -3$ kesannya ialah $-\dfrac{1}{3^{5}}$.
$\begin{align}
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{\frac{1}{a}x^{-1}+\frac{1}{3}}{bx^{3}+27} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-\frac{1}{ax^{2}}}{3bx^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3bx^{2} \cdot ax^{2}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
\lim\limits_{x \to -3} \dfrac{-1}{3abx^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
-\dfrac{1}{3ab(-3)^{4}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
-\dfrac{1}{ ab3^{5}} & = -\dfrac{1}{3^{5}} \\
ab & = 1
\end{align}$
Untuk $a$ dan $b$ bilangan lingkaran positif yang memenuhi $ab=1$ ialah $a=1$ dan $b=1$, maka $a+b=2$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 2$

14. Soal SIMAK UI 2018 Kode 421 (*Soal Lengkap)

Jika $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{64} \\
(B)\ & \dfrac{1}{128} \\
(C)\ & \dfrac{1}{256} \\
(D)\ & \dfrac{1}{512} \\
(E)\ & \dfrac{1}{1024}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk menuntaskan soal limit diatas, kita coba dengan memisalkan $\sqrt{x}=p$ sehingga $x^{2}=p^{4}$ dan alasannya ialah $x \to 4$ maka $p \to 2$, perubahan pada soal menjadi;
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{3\sqrt{x}-2}}{x^{2}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p-\sqrt{3p-2}}{p^{4}-16} \times \dfrac{p+\sqrt{3p-2}}{p+\sqrt{3p-2}} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{p^{2}-(3p-2)}{\left (p^{2}-4 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{(p-2)(p-1)}{\left (p-2 \right )\left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \lim\limits_{p \to 2} \dfrac{ (p-1)}{ \left (p+2 \right )\left (p^{2}+4 \right )\left (p+\sqrt{3p-2} \right )} \\
& = \dfrac{ (2-1)}{ \left (2+2 \right )\left (2^{2}+4 \right )\left (2+\sqrt{3(2)-2} \right )} \\
& = \dfrac{1}{ \left (4 \right )\left (8 \right )\left (4 \right )} = \dfrac{1}{128}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ \dfrac{1}{128}$

15. Soal UMB-PT 2014 Kode 573 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 4 \\
(E)\ & 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{4-x^{2}}{3-\sqrt{x^{2}+5}} \times \dfrac{3+\sqrt{x^{2}+5}}{3+\sqrt{x^{2}+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{9-\left( x^{2}+5 \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 4-x^{2} \right) \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{4- x^{2} } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ \left( 3+\sqrt{x^{2}+5} \right)}{1} \\
& = 3+\sqrt{2^{2}+5} \\
& = 3+\sqrt{9}=6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 6$

16. Soal UMB-PT 2014 Kode 672 (*Soal Lengkap)

$ \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -\dfrac{1}{2} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{2} \\
(E)\ & 2
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{3-\sqrt{x+1-\sqrt{2x+5}}} \times \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{3-x+1-\sqrt{2x+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3-\sqrt{2x+5}}{x+1-\sqrt{2x+5}} \times \dfrac{x+1+\sqrt{2x+5}}{x+1+\sqrt{2x+5}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{(x+1)^{2}-(2x+5)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-2x+1- 2x-5 } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (3-\sqrt{2x+5} \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ x^{2}-4 } \times \dfrac{\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) }{ \left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\left (9- 2x-5 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2\left (x-2 \right )\left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x-2)(x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{-2 \left (x+1+\sqrt{2x+5} \right )}{ (x+2)\left (3+\sqrt{2x+5} \right ) } \\
& = \dfrac{-2 \left( 2+1+\sqrt{2(2)+5 } \right )}{ (2+2)\left (3+\sqrt{2(2)+5} \right ) } \\
& = \dfrac{-2 \left( 3+3 \right)}{(2+2) \left( 3+3 \right)}=-\dfrac{1}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(B)\ -\dfrac{1}{2}$

17. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \sqrt{3}+\sqrt{2} \\
(B)\ & 5-2\sqrt{6} \\
(C)\ & 2\sqrt{6} \\
(D)\ & 5 \\
(E)\ & 5+2\sqrt{6}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x+2 \sqrt{ x+1}}}{\sqrt{x-2 \sqrt{ x+1}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{ 5+1}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{ 5+1}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{5+2 \sqrt{6}}}{\sqrt{5-2 \sqrt{6}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{(3+2)+2 \sqrt{3 \cdot 2}}}{\sqrt{(3+2)-2 \sqrt{3 \cdot 2}}} \\
& = \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}- \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+ \sqrt{2}}\\
& = \dfrac{3+2+2\sqrt{6}}{3- 2} \\
& = 5+2\sqrt{6}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 5+2\sqrt{6}$

18. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & -6 \\
(B)\ & -3 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & 6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-2x}{\sqrt{x^{2}+5}-3} \times \dfrac{\sqrt{x^{2}+5}+3}{\sqrt{x^{2}+5}+3} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ x^{2}+5-9} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x(x-2) \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x-2)(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x \left( \sqrt{x^{2}+5}+3 \right)}{ (x+2)} \\
& = \dfrac{2 \left( \sqrt{2^{2}+5}+3 \right)}{ (2+2)} \\
& = \dfrac{2 \left( 3+3 \right)}{ 4}= 3
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ 3$

19. Soal UM UGM 2013 Kode 251 (*Soal Lengkap)

Jika $a=\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}}$ maka nilai $4-a$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -20 \\
(B)\ & -12 \\
(C)\ & -4 \\
(D)\ & 12 \\
(E)\ & 20
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
a & = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{2-\sqrt{x+2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{2-\sqrt{x+2}} \times \dfrac{2+\sqrt{x+2}}{2+\sqrt{x+2}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{4-(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-(x-2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x+2) \left( 2+\sqrt{x+2} \right)}{-1} \\
& = \dfrac{ (2+2) \left( 2+\sqrt{2+2} \right)}{-1} \\
& = -16 \\
4-a & = 4-(-16)=20
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(E)\ 20$

20. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224 (*Soal Lengkap)

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2}{2\sqrt{5}} \\
(B)\ & 2\sqrt{5} \\
(C)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\
(D)\ & \dfrac{4}{5\sqrt{5}} \\
(E)\ & \dfrac{4}{5} \sqrt{5}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (5+2\sqrt{x} \right )-\left (5-2\sqrt{x} \right )}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\
& = \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{0}}+\sqrt{5-2\sqrt{0}} \right )} \\
& = \dfrac{4 }{ \sqrt{5} +\sqrt{5}} \\
& = \dfrac{4 }{ 2\sqrt{5} } = \dfrac{2}{\sqrt{5} }
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ \dfrac{2}{5}\sqrt{5} $

21. Soal SIMAK UI 2012 Kode 222 (*Soal Lengkap)

Misalkan $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16}=\dfrac{1}{2} $, maka bilangan lingkaran terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $a-2b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -5 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Nilai $\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16}=\dfrac{1}{2}$.
Jika kita substitusi eksklusif nilai $x=4$ maka nilai $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ harus $0$, alasannya ialah bila $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ tidak nol maka nilai limit ialah $\infty$.
Untuk $x=4$
$\begin{align}
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & = 0 \\
a(4)^{2}+b(4)-\sqrt{4} & = 0\\
16a +4b -2 & = 0\\
16a +4b & = 2 \\
8a +2b & = 1
\end{align}$

Karena nilai $ax^{2}+bx-\sqrt{x}$ untuk $x=4$ ialah $0$ maka $x-4$ ialah salah satu faktornya sehingga berlaku;
$\begin{align}
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv (x-4)(mx+n) \\
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv mx^{2}+nx-4mx-4n \\
ax^{2}+bx-\sqrt{x} & \equiv mx^{2}+(n-4m)x-4n \\
a &= m \\
\sqrt{x} &= 4n
\end{align}$

$\begin{align}
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ax^{2}+bx-\sqrt{x}}{x^{2}-16} &=\dfrac{1}{2} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{(x-4)(ax+\dfrac{1}{4}\sqrt{x}) }{(x-4)(x+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
\lim\limits_{x \to 4} \dfrac{ (ax+\dfrac{1}{4}\sqrt{x}) }{ (x+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
\dfrac{ (a(4)+\dfrac{1}{4}\sqrt{4}) }{ (4+4) } &=\dfrac{1}{2} \\
4a+\dfrac{1}{2} &= 4 \\
4a &= \dfrac{7}{2} \\
a &= \dfrac{7}{8} \\
\hline
8 \left( \dfrac{7}{8} \right) +2b & = 1 \\
7 +2b & = 1 \\
2b & = -6 \\
b & = -3
\end{align}$

Nilai bilangan lingkaran terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $a-2b$ dinotasikan $\left \lfloor a-2b \right \rfloor$
$\begin{align}
\left \lfloor a-2b \right \rfloor & = \left \lfloor \dfrac{7}{8}-2(-3) \right \rfloor \\
& = \left \lfloor \dfrac{7}{8}+6 \right \rfloor \\
& = 6
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 6$

22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Diketahui $f(x)=5x^{2}+3$. Hasil dari $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 0 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 10x \\
(E)\ & 5x^{2}
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Dari gosip pada soal, yang ditanyakan ialah $\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ dari sebuah fungsi $f(x)$. Jika kita teliti dalam membaca soal bahwa yang ditanyakan pada soal ialah turunan fungsi $f(x)$.
Defenisi turunan fungsi $f(x)$ ialah $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
$ \begin{align}
f(x) &=5x^{2}+3 \\
f'(x) &=10x
\end{align}$

Tetapi bila ingin mengerjakannya dengan proses limit fungsi,
$\begin{align}
& \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5(x+h)^{2}+3 -\left( 5x^{2}+3 \right)}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 \left(x^{2}+2hx+h^{2} \right) +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ 5 x^{2}+10hx+5h^{2} +3 - 5x^{2}-3}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{ +10hx+5h^{2}}{h} \\
& = \lim\limits_{h \to 0} \left( +10 x+5h \right) \\
& = 10 x+5(0) \\
& = 10x
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai ialah $(D)\ 10x$

23. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)

Nilai $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 6 \\
(B)\ & \dfrac{2}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & -\dfrac{3}{2} \\
(E)\ & -6
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Bentuk soal limit fungsi di atas sanggup kita kerjakan dengan menggunakan turunan atau dengan akar sekawan, disini kita coba dengan mengalikan dengan akar sekawan.
$\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-6x+8}{3-\sqrt{17-2x^{2}}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{17-2x^{2}}}{3+\sqrt{17-2x^{2}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{9-\left( 17-2x^{2} \right)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2x^{2}-8} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2(x-2)(x+2)} \\
& = \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{ (x-4)\left( 3+\sqrt{17-2x^{2}} \right)}{ 2 (x+2)} \\
& = \dfrac{ (2-4)\left( 3+\sqrt{17-2(2)^{2}} \right)}{ 2 (2+2)} \\
& = \dfrac{ (-2)\left( 3+3 \right)}{8} \\
& = -\dfrac{3}{2}
\end{align}$

$\therefore$ Pilihan yang sesuai $(D)\ -\dfrac{3}{2}$

24. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{8t^{3}}}-t+1 \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{A}{2} \\
(B)\ & \dfrac{A}{3} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{A+2}{2} \\
(E)\ & \dfrac{A+3}{3} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru wacana limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

• $\lim\limits_{x \to c} k=k$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

$ \begin{align}
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right ) &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (2 \right ) &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )- 2 &= A \\
\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right ) &= A+2
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{t^{3}}}-t+1 \right ) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (t \right )+\lim\limits_{t \to 2} \left (1 \right ) \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot \left (A+2 \right )-2+1 \\
&= \dfrac{A}{2}+1-1 = \dfrac{A}{2}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(A)\ \dfrac{A}{2}$

25. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{2-A}{2} \\
(B)\ & -\dfrac{A}{2} \\
(C)\ & \dfrac{A-2}{4} \\
(D)\ & \dfrac{A}{4} \\
(E)\ & \dfrac{A+2}{4} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru wacana limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

• $\lim\limits_{x \to c} k=k$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{x^{2}+2x-3} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2+2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left (\dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2 }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)}+\dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{(x+3)} \right) \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{ax^{4}+b}-2}{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1} {(x+3)}+\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{2-2x }{(x-1)} \cdot \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{(x+3)} \\
& = A \cdot \dfrac{1} {4}+ \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{-2(x-1) }{(x-1)} \cdot \dfrac{1}{4} \\
& = A \cdot \dfrac{1} {4}+ (-2) \cdot \dfrac{1}{4} \\
& = \dfrac{A}{4}- \dfrac{2}{4} = \dfrac{A-2}{4}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ \dfrac{A-2}{4}$

26. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right )=2$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right )=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & -\dfrac{2}{15} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{15} \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & \dfrac{1}{15} \\
(E)\ & \dfrac{2}{15} \\
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru wacana limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

• $\lim\limits_{x \to c} k=k$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} \right ) &= 2 \\
\dfrac{\sqrt[3]{2a+b}}{2+1} &= 2 \\
\sqrt[3]{2a+b} &= 6
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x+1}{x^{2}+4x+3} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ ax + b }-2x+1}{(x+1)(x+3)} \right ) \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ 2a + b }-2(2) +1}{(2+1)(2+3)} \\
&= \dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot 6-3}{15} \\
&= \dfrac{0}{15}=0
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $(C)\ 0$

27. Soal UTBK Tes Kompetensi Akademik SAINTEK 2019

Jika $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right )=\cdots $
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{12}A \\
(B)\ & \dfrac{1}{12}(A-2) \\
(C)\ & \dfrac{1}{12}(A-1) \\
(D)\ & \dfrac{1}{12}(A-6) \\
(E)\ & \dfrac{1}{12}(A-8)
\end{align}$

Alternatif Pembahasan: show

Catatan calon guru wacana limit fungsi yang mungkin kita butuhkan adalah:

• $\lim\limits_{x \to c} k=k$
• $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)\pm g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$
• $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ bilamana $n$ genap

$ \begin{align}
\lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{ax^{3}+b}}{x-1} \right ) &= A \\
\dfrac{\sqrt[3]{a(2)^{3}+b}}{2-1} &= A \\
\sqrt[3]{8a +b} &= A
\end{align} $

$ \begin{align}
& \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\sqrt[3]{\dfrac{ax^{3}}{8}+\dfrac{b}{8}}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\
&= \lim\limits_{x \to 2} \left (\dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{ax^{3}+b}-2x}{x^{2}+2x-2} \right ) \\
&= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{8a +b}-2(2)}{(2)^{2}+2(2)-2} \\
&= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot A-4}{6} \\
&= \dfrac{A-8}{12}
\end{align} $

$ \therefore $ Pilihan yang sesuai ialah $\dfrac{1}{12}(A-8)$

Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras

Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Limit Fungsi Aljabar (*Soal Dari Berbagai Sumber) di atas ialah coretan kreatif siswa pada

• lembar balasan evaluasi harian matematika,
• lembar balasan evaluasi selesai semester matematika,
• presentasi hasil diskusi matematika atau
• pembahasan quiz matematika di kelas.

Jadi saran, kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait problem alternatif penyelesaian soal Limit Fungsi Aljabar sangat diharapkan😊CMIIW

Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊

Bagaimana Matematika sanggup menghipnotis huruf kita, mari kita simak penjelasannya pada video berikut;

Sumber http://www.defantri.com