Fisika Kuantum : Persamaan Schrödinger Atom Hidrogen

Massa proton m_p jauh lebih besar disbanding massa elektron m_e, m_p = 1836 m_e. Di dalam pembahasan pada potongan ini dilakukan penyederhanaan berupa perkiraan proton membisu di sentra koordinat dan elektron bergerak mengelilinginya di bawah imbas medan atau gaya Coulumb.




 

 

 

 

Gambar. 5.1. Posisi relatif antara proton dan elektron

Pendekatan yang lebih baik dilakukan dengan memandang kedua partikel proton dan elektron berotasi di sekitar sentra massa bersama yang berada (sedikit) di erat sentra proton. Tetapi, sekali lagi untuk penyederhanaan, imbas ini dihilangkan di sini.

Karena proton dianggap diam, maka bantuan energi sistem hanya diberikan oleh elektron adalah energi kinetik.

(5.1)

 

dan energi potensial

(5.2)

Yaitu

(5.3)

Dengan demikian, persamaan SchrÖdinger untuk atom hidrogen :

(5.4)

Mengingat sistem atom hidrogen memiliki simetri bola, analisis menjadi lebih sederhana bila operator Ѳ diungkapkan dalam koordinat bola. Di dalam koordinat bola (r,q,j), pers. (5.4) menjadi

(5.5)

Selanjutnya, untuk mendapat solusi untuk Persamaan(5.5) di atas dilakukan pemisahan variabel sebagai berikut

 

(5.6)

 

 

Substitusi ungkapan Persamaan (5.6) ke dalam Persamaan (5.5) kemudian dikalikan dan dibagi ungkapan Persamaan (5.6) didapatkan

(5.7)

Dari Persamaan (5.7) ini tampak bahwa suku pertama dan keempat hanya bergantung pada jari – jari r, suku kedua dan ketiga hanya bergantung sudut q dan j.

Penjumlahan suku – suku yang hanya bergantung pada jari – jari dan dua sudut ini akan selalu sama dengan nol untuk sembarang nilai r, q, dan j jikalau masing – masing suku sama dengan konstanta. Seperti pada Persamaan (5.9b), menetapkan keduanya sama dengan tetapan     . Suku yang hanya bergantung jari – jari menjadi

   

(5.8a)

Atau

(5.8b)

Sedangkan suku yang hanya mengandung sudut q dan j menjadi

(5.9a)

Setelah dikalikan dengan sin²q, pers. (5.9a) menjadi

(5.9b)

 

Tampak bahwa Persamaan (5.9b) juga terpisah menjadi dua potongan adalah potongan yang hanya bergantung pada azimut j dan potongan yang bergantung pada q. Selanjutnya menetapkan masing – masing potongan sama dengan konstanta –m², dan m². Dengan alasan yang akan menjadi terang kemudian, pilih

(5.10a)

Atau

(5.10b)

Sehingga

(5.11a)

Atau, sehabis dikalikan dengan diperoleh

 

(5.11b)

Dengan demikian, Persamaan (5.5) sanggup dipisah menjadi tiga persamaan deferensial biasa. Selanjutnya, kita tentukan solusi masing – masing persamaan tersebut.

Sumber http://fisika-indonesia.blogspot.com