Persamaan Schrodinger : Bergantung Waktu

Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang Y bersesuaian dengan variabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, Y tidak menyerupai y, bukanlah suatu kuantitas yang sanggup terukur, sehingga sanggup berupa kuantitas kompleks. Karena itulah kita akan menganggap Y dalam arah x dinyatakan oleh

 

             (3.4)

 

Jika kita ganti w dalam rumus di atas dengan 2pV
dan v dengan lV, diperoleh

 

                     (3.5)

Yang bentuknya menguntungkan, alasannya yaitu kita telah mengetahui kekerabatan V dan l dinyatakan dalam energi total E dan momentum p dari partikel yang diperikan oleh Y. Karena

        dan    

 

 

Diperoleh

                     (3.6)

   

Persamaan (3.6) merupakan penggambaran matematis gelombang ekivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x.

    Pernyataan fungsi gelombang Y yang diberikan dalam Persamaan (3.6) hanya berlaku untuk partikel yang bergerak bebas, sedangkan kita lebih tertarik pada situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi banyak sekali pembatasan. Yang harus kita lakukan kini yaitu mendapat Persamaan diferensial pokok untuk Y, lalu memecahkan Y untuk situasi yang khusus. Persamaan ini, yang disebut Persamaan SchrÖdinger sanggup diperoleh dengan banyak sekali cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan yang sama : Persamaan itu tidak sanggup diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada alasannya yaitu Persamaan itu menyatakan sesuatu yang baru. Apa yang akan dilakukan di sini yaitu mengatakan suatu cara untuk memperoleh Persamaan gelombang Y, lalu membahas pentingnya hasil tersebut.

    Kita mulai dengan mendiferensiasi Persamaan (3.6) dua kali terhadap x yang menghasilkan

 

                     (3.7)

 

dan sekali terhadap t, diperoleh

                         (3.8)

 

Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah jumlah dari energi elektron p²/2m dan energi potensial V, dengan V pada umumnya merupakan fungsi kedudukan x dan waktu t :

 

                         (3.9)

 

Fungsi V menyatakan dampak dari sisa semesta pada partikel. Tentu saja, hanya sebagian dari semesta yang berinteraksi dengan partikel ; contohnya dalam kasus elektron dalam atom hidrogen, hanya medan listrik inti yang diperhitung-kan.

    Dengan mengalikan kedua suku Persamaan (3.9) dengan fungsi gelombang Y, akan menghasilkan :

           

             (3.10)

 

Dari Persamaan (3.7) dan (3.8), sanggup dilihat bahwa

 

                   (3.11)

Dan

             (3.12)

 

dengan mensubstitusikan pernyataan untuk E Y dan p ² Y dalam Persamaan (3.10) akan diperoleh

             (3.13)

 

Persamaan terakhir ini yaitu Persamaan SchrÖdinger yang Bergantung – Waktu. Dalam tiga dimensi, Persamaan SchrÖdinger bergantung – waktu diberikan oleh

 

         (3.14)

Di mana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z, dan t.

Persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial V (x, t) diberikan oleh

 

     (3.15)

   

Setiap pembatasan yang sanggup membatasi gerak partikel sanggup mempengaruhi fungsi energi potensial V. Sekali bentuk V diketahui, Persamaan Schrodinger – nya sanggup dipecahkan untuk mendapat fungsi gelombang partikel Y, sehingga kerapatan peluang |Y|² sanggup ditentukan untuk x, y, z, dan t tertentu.

Di sini Persamaan SchrÖdinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan Persamaan SchrÖdinger untuk kasus khusus partikel bebas (energi potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu [ V = V(x, y, z, t )] merupakan suatu kemungkinan yang sanggup ditempuh, tetapi tidak ada satu cara “a priori” yang menandakan ekspansi itu benar. Yang sanggup kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa Persamaan SchrÖdinger berlaku, pecahkan untuk banyak sekali situasi fisis dan bandingkan akhirnya dengan hasil eksperimen. Jika akhirnya sesuai, maka postulat yang terkait dalam Persamaan SchrÖdinger sah ; kalau tidak sesuai, postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijejaki. Dengan kata lain,  

Persamaan SchrÖdinger tidak sanggup diturunkan dari “prinsip pertama”, tetapi Persamaan itu merupakan prinsip pertama.

    Dalam kenyataannya, Persamaan SchrÖdinger telah menghasilkan ramalan yang sangat sempurna mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Tentu saja, harus kita ingat bahwa Persamaan (3.14) hanya sanggup digunakan untuk problem non – relativistik dan rumusan yang lebih memakan pikiran dibutuhkan kalau kelajuan partikel yang mendekati kecepatan cahaya tertkait. Karena Persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas-batas berlakunya, kita harus mengakui bahwa Persamaan SchrÖdinger menyatakan suatu postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis

Sumber http://fisika-indonesia.blogspot.com