Matematika Dasar : Aplikasi Turunan Dan Rujukan Soal

Matematika Dasar : Aplikasi Turunan dan Contoh Soal

Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (a,f(a)) : 

y-f(a)= m(x-a)

m = f′(a), jadi: 

y-f(a)= f′(a)(x-a)

Latihan 1

Solusi Latihan 1 No 1 dan 2

Aproksimasi

Tujuannya untuk menghitung nilai dari f( x+∆x ) kalau diketahui f(x) dan f′(x). Nilai f( x+∆x ) sanggup dihampiri dengan :

f( x+∆x ) ≅ f(x)+ f′(x)∆x

Latihan 2

Solusi Latihan 2 no 1

Maksimum dan Minimum

Definisi :

1. f(c) yakni nilai maksimum dari f pada S kalau f(c) ≥ f(x) untuk setiap nilai x di S
2. f(c) adalah nilai minimum dari f pada S kalau f(c) ≤ f(x) untuk setiap nilai x di S
3. Jika f(c) adalah nilai maksimum atau nilai minimum, maka f(c) dikatakan nilai ekstrim dari f pada S

Titik Kritis

Definisi: calon titik ekstrim 

Fungsi f terdefinisi pada interval I yang memuat c. Titik kritis: 

1. Titik ujung dari I 
2. Titik stasioner: ((x,f(x)) di ketika f′(x) = 0) 
3. Titik singular: ((x,f(x)) di ketika f′(x) tidak ada) 

Latihan 3

1. Tentukan titik kritis dan nilai ekstrim dari :

2. Joan mempunyai pagar dengan panjang 200 kaki. Pagar tersebut akan digunakan untuk menciptakan sebuah sangkar anjing yang berbentuk persegi panjang. Joan berharap luas yang dibentuk sanggup semaksimum mungkin, tentukan panjang dan lebar dari sangkar tersebut! 

3. Sebuah kotak tanpa tutup berbentuk balok akan dibentuk dari sebuah karton berukuran 24 cm×9 cm dengan menggunting persegi-persegi identik di keempat sudut karton. Tentukan dimensi dari kotak yang sanggup dibentuk semoga volumenya semaksimal mungkin. Berapakah volume maksimalnya?

4. Biaya operasi sebuah trus yakni 25-x/4 sen/mil kalau truk tersebut berkendara dengan kecepatan x mil/jam. Supir truk akan mendapat $12 per jam. Berapakah kecepatan yang harus ditempuh oleh truk unuk melaksanakan perjalanan sejauh 400 mil semoga biaya yang dikeluarkan seminimal mungkin. Kecepatan yang diperbolehkan yakni di antara 40 dan 55 mil/jam.

Kemonotonan dan Kecekungan

Teorema Kemonotonan 

Misal fungsi f kontinu pada I dan terdiferensialkan pada setiap titik pada I 

1. Jika f′ (x) > 0 untuk setiap x ∈ I, maka f monoton naik pada I 
2. Jika f′ (x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka f monoton turun pada I 
3. Titik (c,f(c)) adalah titik ekstrim kalau terjadi perubahan kemonotonan di sekitar c

Teorema Kecekungan 

Misal fungsi f kontinu pada I dan terdiferensialkan dua kali pada setiap titik pada I 

1. Jika f′′ (x) > 0 untuk setiap x ∈ I, maka f cekung atas pada I 
2. Jika f′′(x) < 0 untuk setiap x ∈ I, maka f cekung bawah pada I 
3. Titik (c,f(c)) yakni titik belok kalau terjadi perubahan kecekungan di sekitar c dan f′(c) nya ada

Latihan 4

Teorema L’Hopital

Digunakan untuk menuntaskan limit yang berbentuk 0/0 atau ∞/∞, untuk x menuju apa saja

Latihan 5

Sumber http://wikiwoh.blogspot.com