Hakikat Matematika Dan Pembelajarannya Di Sd

Matematika merupakan salah satu bidang studi yang dijarkan di SD. Seorang guru SD yang akan mengajarkan matematika kepada siswanya, hendaklah mengetahui dan memahami objek yang akan diajarkannya, yaitu matematika.

Untuk menjawab pertanyaan “Apakah matematika itu ?” tidak sanggup dengan gampang dijawab. Hal ini dikarenakan hingga ketika ini belum ada kepastian mengenai pengertian matematika alasannya ialah pengetahuan dan pandangan masing-masing dari para mahir yang berbeda-beda. Ada yang menyampaikan bahwa matematika ialah ilmu wacana bilangan dan ruang, matematika merupakan bahasa simbol, matematika ialah bahasa numerik, matematika ialah ilmu yang ajaib dan deduktif, matematika ialah metode berpikir logis, matematika ialah ilmu yang mempelajari kekerabatan pola, bentuk dan struktur, matematika ialah ratunya ilmu dan juga menjadi pelayan ilmu yang lain.

Pengertian Matematika
Kata 'matematika' berasal dari perkataan Latin 'mathematika' yang mulanya diambil dari perkataan Yunani 'mathematike' yang berarti mempelajari. Perkataan itu memiliki asal katanya 'mathema' yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge, science). Kata 'mathematike' bekerjasama pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu 'mathein' atau 'mathenein' yang artinya berguru (berpikir). Jadi, menurut asal katanya, maka perkataan 'matematika' berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar). Matematika lebih menekankan aktivitas dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk alasannya ialah pikiran-pikiran manusia, yang bekerjasama dengan idea, proses, dan pikiran sehat (Russeffendi ET, 1980 :148).

Matematika terbentuk dari pengalaman insan dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan pikiran sehat di dalam struktur kognitif sehingga hingga terbentuk konsep-konsep matematika supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu gampang dipahami oleh orang lain dan sanggup dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atau notasi matematika yang bernilai global (universal). Konsep matematika didapat alasannya ialah proses berpikir, alasannya ialah itu logika ialah dasar terbentuknya matematika.

Pada awalnya cabang matematika yang ditemukan ialah Aritmatika atau Berhitung, Aljabar, Geometri setelah itu ditemukan Kalkulus, Statistika, Topologi, Aljabar Abstrak, Aljabar Linear, Himpunan, Geometri Linier, Analisis Vektor, dll.

Beberapa Definisi Para Ahli Mengenai Matematika antara lain :
☛ Russefendi (1988 : 23)
Matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil di mana dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, alasannya ialah itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.

☛ James dan James (1976).
Matematika adalah ilmu wacana logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang bekerjasama satu dengan lainnya. Matematika terbagi dalam tiga belahan besar yaitu aljabar, analisis dan geometri. Tetapi ada pendapat yang menyampaikan bahwa
matematika terbagi menjadi empat belahan yaitu aritmatika, aljabar, geometris dan analisis dengan aritmatika meliputi teori bilangan dan statistika.

☛ Johnson dan Rising dalam Russefendi (1972)
Matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan,pembuktian yang logis, Matematika itu adalah bahasa yang memakai istilah yang didefinisikan dengan cermat, terang dan akurat representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol
mengenai pandangan gres daripada mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat dalam teori-teori dibentuk secara deduktif menurut kepada unsur yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya ialah ilmu wacana keteraturan pola atau ide, dan Matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya.

☛ Reys - dkk (1984)
Matematika adalah telaahan wacana pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat.

☛ Kline (1973)
Matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang sanggup tepat alasannya ialah dirinya sendiri, tetapi adanya Matematika itu terutama untuk membantu insan dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.

Matematika adalah Ilmu Deduktif
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, alasannya ialah proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode pencarian kebenaran yang digunakan ialah metode deduktif, tidak sanggup dengan cara induktif. Pada ilmu pengetahuan alam ialah metode induktif dan eksperimen.
Walaupun dalam matematika mencari kebenaran itu sanggup dimulai dengan cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus sanggup dibuktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu sanggup diterima kebenarannya sehabis dibuktikan secara deduktif.

Contoh dalam ilmu fisika, bila seorang melaksanakan percobaan (eksperimen) sebatang logam dipanaskan maka memuai dan dilanjutkan dengan logam-logam yang lainnya, dipanaskan ternyata memuai juga, maka ia sanggup menciptakan kesimpulan (generalisasi) bahwa setiap logam yang dipanaskan itu sanggup memuai. Generalisasi yang dibentuk secara induktif tersebut dalam ilmu fisika sanggup dibenarkan pola dalam ilmu fisika di atas, pada matematika contoh-contoh ibarat itu gres dianggap sebagai generalisasi bila kebenarannya sanggup dibuktikan secara deduktif.

Berikut ialah beberapa pola pembuktian dalil atau generalisasi pada matematika. Dalil atau generalisasi berikut dibenarkan dalam matematika alasannya ialah sudah sanggup dibuktikan secara deduktif.

Contoh 1:
Bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil ialah bilangan genap. Misalnya kita ambil beberapa buah bilangan ganjil, baik ganjil positif, atau ganjil negatif yaitu 1, 3, -5, 7.

Dari tabel disamping, terlihat bahwa untuk setiap dua bilangan ganjil bila dijumlahkan hasilnya selalu genap. Dalam matematika hasil di atas belum dianggap sebagai suatu generalisasi, walaupun anak menciptakan contoh-contoh dengan bilangan yang lebih banyak lagi. Pembuktian dengan cara induktif ini harus dibuktikan lagi dengan cara deduktif.

Pembuktian secara deduktif sebagai berikut :
Misalkan : a dan b ialah sembarang bilangan bulat, maka 2a bilangan genap dan 2b bilangan genap, maka 2a + 1 bilangan ganjil dan 2b + 1 bilangan ganjil.

Jika dijumlahkan:

(2a + 1) + (2b + 1)	= 2a + 1 + 2b + 1
	= 2a + 2b + 2
	= 2(a + b + 1)

Karena a dan b bilangan bundar maka (a + b + 1) juga bilangan bulat,
sehingga 2(a + b +1) ialah bilangan genap.
Jadi: bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap (generalisasi)

Contoh 2:
Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 180°. Misalnya siswa mengukur ketiga sudut sebuah segitiga dengan busur derajat dan menjumlahkan ketiga sudut tersebut, ternyata hasilnya sama dengan 180°. Walaupun proses pengukuran dan penjumlahan ketiga sudut ini diberlakukan kepada segitiga-segitiga yang lain dan hasilnya selalu sama dengan 180°, tetap kita tidak sanggup menyimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 180°, sebelum menandakan secara deduktif.
Pembuktian secara deduktif sebagai berikut:

Garis a // garis b, dipotong oleh garis c dan garis d, maka terbentuk $ \angle _{1}, \angle _{2}, \angle _{3}, \angle _{4}, \angle _{5}, \angle _{6}$
➊ $ \angle _{1} + \angle _{2} + \angle _{6} = 180^{\circ} $ (membentuk sudut lurus)
➋ $ \angle _{1} = \angle _{5} $ (dua sudut yang saling bertolak belakang)
➌ $ \angle _{2} = \angle _{4} $ (dua sudut yang saling bertolak belakang)
dari persamaan ➊, ➋, ➌ diperoleh: $ \angle _{1} + \angle _{2} + \angle _{6} = \angle _{5} + \angle _{4} + \angle _{6} = 180^{\circ} $
Karena: $ \angle _{4} + \angle _{5} + \angle _{6}$ merupakan Jumlah dari ketiga buah sudut pada sebuah segitiga, maka sanggup disimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 180°.

Kesimpulan yang didapat dengan cara deduktif ini barulah sanggup dikatakan dalil atau generalisasi. Dalil-dalil dan rumus matematika itu ditentukan secara induktif (eksperimen), tetapi begitu suatu dalil ditemukan maka generalisasi itu harus dibuktikan kebenarannya secara deduktif.

Pada pembelajaran matematika di SD pembuktian dengan cara deduktif masih sulit dilaksanakan. Karena itu siswa SD hanya melaksanakan eksperimen (metode induktif). Percobaan-percobaan inipun masih memakai benda-benda konkrit (nyata). Untuk pembuktian deduktif
masih sulit dilaksanakan alasannya ialah pembuktian deduktif lebih ajaib dan menuntut siswa memiliki pengetahuan-pengetahuan siswa yang sebelumnya. Contoh : Pada pembuktian bilangan ganjil ditambah ganjil sama dengan bilangan genap siswa harus sudah mengerti bilangan ganjil, genap, bundar dan sanggup menuntaskan dalam bentuk umum bilangan-bilangan tersebut.

Matematika Adalah Ilmu Terstruktur
Matematika merupakan ilmu terstruktur yang terorganisasikan. Hal ini alasannya ialah matematika dimulai dari unsur yang tidak didefinisikan, kemudian unsur yang didefinisikan ke aksioma/postulat dan balasannya pada teorema. Konsep-konsep matematika tersusun secara hierarkis, terstruktur, logis, dan sistimatis mulai dari konsep yang paling sederhana hingga pada konsep yang paling kompleks. Oleh alasannya ialah itu untuk mempelajari matematika, konsep sebelumnya yang menjadi prasyarat, harus benar-benar dikuasai biar sanggup memahami topik atau konsep selanjutnya.

Dalam pembelajaran matematika guru seharusnya menyiapkan kondisi siswanya biar bisa menguasai konsep-konsep yang akan dipelajari mulai dari yang sederhana hingga yang lebih kompleks.

Contoh seorang siswa yang akan mempelajari sebuah volume kerucut haruslah mempelajari mulai dari lingkaran, luas lingkaran, bangkit ruang dan balasannya volume kerucut. Untuk sanggup mempelajari topik volume balok, maka siswa harus mempelajari rusuk/garis, titik sudut, sudut, bidang datar persegi dan persegi panjang, luas persegi dan persegi panjang, dan balasannya volume balok.

Struktur matematika ialah sebagai berikut:
Ⓐ Unsur-unsur yang tidak didefinisikan
Misal : titik, garis, lengkungan, bidang, bilangan dll.
Unsur-unsur ini ada, tetapi kita tidak sanggup mendefinisikannya.

Ⓑ Unsur-unsur yang didefinisikan
Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan maka terbentuk unsur-unsur yang didefinisikan.
Misal : sudut, persegi panjang, segitiga, balok, lengkungan tertutup sederhana, bilangan ganjil, pecahan desimal, FPB dan KPK dll.

Ⓒ Aksioma dan postulat
Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan dan unsur-unsur yang didefinisikan sanggup dibentuk asumsi-asumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat.
Misal :
✓ Melalui 2 titik sembarang hanya sanggup dibentuk sebuah garis.
✓ Semua sudut siku-siku satu dengan lainnya sama besar.
✓ Melalui sebuah titik hanya sanggup dibentuk sebuah garis yang tegak lurus ke sebuah garis yang lain.
✓ Sebuah segitiga tumpul hanya memiliki sebuah sudut yang lebih besar dari 90°.
Aksioma tidak perlu dibuktikan kebenarannya tetapi sanggup diterima kebenarannya menurut pemikiran yang logis.

Ⓓ Dalil atau Teorema
Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan dan aksioma maka disusun teorema-teorema atau dalil-dalil yang kebenarannya harus dibuktikan dengan cara deduktif.
Misal :
✈ Jumlah 2 bilangan ganjil ialah genap
✈ Jumlah ketiga sudut pada sebuah segitiga sama dengan 180°
✈ Jumlah kuadrat sisi siku-siku pada sebuah segitiga siku-siku sama dengan Kuadrat sisi miringnya.

Matematika Adalah Ilmu Tentang Pola dan Hubungan
Matematika disebut sebagai ilmu wacana pola alasannya ialah pada matematika sering dicari keseragaman ibarat keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep tertentu atau model yang merupakan representasinya untuk menciptakan generalisasi.
Misal :
jumlah a bilangan ganjil positif berurutan dari yang pertama sama dengan a²
Contoh :
➀ a=1 ⇒ jumlahnya 1²=1
➁ a=2 yaitu 1 dan 3 ⇒ jumlahnya ialah 2²=4
➂ a=3 yaitu 1, 3, dan 5 ⇒ jumlahnya ialah 3²=9
➃ a=4 yaitu 1, 3, 5, dan 7 ⇒ jumlahnya ialah 4²=16. . . dan seterusnya

Dari contoh-contoh tersebut, maka sanggup dibentuk generalisasi yang berupa pola yaitu:
"jumlah a bilangan ganjil positif berurutan dari yang pertama sama dengan a²"

Matematika disebut ilmu wacana kekerabatan alasannya ialah konsep matematika satu dengan lainnya saling berhubungan.
Misalnya :
Antara persegi panjang dengan balok, antara persegi dengan kubus, antara kerucut dengan lingkaran, antara 5×6 = 30 dengan 30 : 5 = 6, antara 10² =100 dengan √100 = 10.
Demikian juga cabang matematika satu dengan lainnya saling bekerjasama ibarat aritmatika, aljabar, geometri dan statistika, dan analisis.

Matematika Adalah Bahasa Simbol
Matematika yang terdiri dari simbol-simbol yang sangat padat arti dan bersifat internasional. Padat arti berarti simbol-simbol matematika ditulis dengan cara singkat tetapi memiliki arti yang luas.
Misal:
$ \sqrt{9}=3,\ 3+5=8,\ 3!=3\cdot 2\cdot 1 $

$ log\ 100\ =2,\ \lim_{x\rightarrow 3} 2x\ =\ 6 $

$ \frac{\partial y}{\partial x}. \ sin\ x. \ cos\ x. \ tan\ x. \leftarrow. \leftrightarrow. >. <. \cup. \cap. \forall. \therefore\ dan\ sebagainya $

Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Matematika sebagai ratu ilmu artinya matematika sebagai alat dan pelayan ilmu yang lain.

Kegunaan Matematika
1. Matematika sebagai pelayan ilmu yang lain.
Banyak ilmu-ilmu yang inovasi dan pengembangannya bergantung dari matematika.
Contoh :
➲ Penemuan dan pengembangan Teori Mendel dalam Biologi melalui konsep Probabilitas.
➲ Perhitungan dengan bilangan imajiner digunakan untuk memecahkan kasus wacana kelistrikan.
➲ Dengan matematika, Einstein menciptakan rumus yang sanggup digunakan untuk menaksir jumlah energi yang sanggup diperoleh dari ledakan atom.
➲ Dalam ilmu pendidikan dan psikologi, khususnya dalam teori belajar, selain digunakan statistik juga digunakan persamaan matematis untuk menyajikan teori atau model dari penelitian
➲ Dalam ilmu kependudukan, matematika digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk dll.
➲ Dalam seni grafis, konsep transformasi geometric digunakan untuk melukis mosaik.
➲ Dalam seni musik, barisan bilangan digunakan untuk merancang alat musik.
➲ Banyak teori-teori dari Fisika dan Kimia (modern) yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep Kalkulus.
➲ Teori Ekonomi mengenai Permintaan dan Penawaran dikembangkan melalui konsep Fungsi Kalkulus wacana Diferensial dan Integral.

2. Matematika digunakan insan untuk memecahkan masalahnya dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh :
➲ Memecahkan dilema dunia nyata
➲ Mengadakan transaksi jual beli, maka insan memerlukan proses perhitungan matematika yang berkaitan dengan bilangan dan operasi hitungnya
➲ Menghitung luas daerah
➲ Menghitung jarak yang ditempuh dari suatu tempat ke tempat yang lain
➲ Menghitung laju kecepatan kendaraan
➲ Membentuk pola pikir menjadi pola pikir matematis, orang yang mempelajarinya kritis, sistimatis dan logis.
➲ Menggunakan perhitungan matematika baik dalam pertanian, perikanan, perdagangan, dan perindustrian.

=============
Hakikat Matematika dan Pembelajaran Matematika SD

• ➨ Pendahuluan
  
• ➨ Kegiatan Belajar 1
  Hakikat Matematika, yang meliputi pengertian matematika, beberapa pendapat dari para mahir mengenai matematika, matematika ialah ilmu deduktif, ilmu terstruktur, ilmu wacana pola dan hubungan, matematika ialah bahasa simbol dan kegunaan matematika.
  
• ➨ Kegiatan Belajar 2
  Hakikat Anak Didik yang meliputi anak sebagai suatu individu dan anak usia SD dalam pembelajaran matematika di SD, meningkatkan minat berguru matematika pada anak dan upaya peningkatan prestasi anak dalam pembelajaran matematika.
  
• ➨ Kegiatan Belajar 3
  Pembelajaran Matematika di SD yang meliputi ciri-ciri pembelajaran matematika di SD, yaitu pembelajaran matematika memakai pendekatan spiral, pembelajaran matematika bertahap, pembelajaran matematika memakai pendekatan indukktif, pembelajaran matematika kebenaran konsisten, dan pembelajaran matematika hendaknya bermakna.

DAFTAR PUSTAKA

• Andi Hakim, N. (1980). Landasan Matematika, Jakarta : Bharata Aksara.
• Erman, S dan Winataputra, U.S. (1993). Strategi Belajar Mengajar Matematika, Jakarta : Universitas Terbuka.
• Herman, H. (1990). Strategi Belajar Matematika, Malang : IKIP Malang.
• Lisnawaty, S. (1992). Metode Mengajar Matematika 1, Jakarta : PT. Rineka Cipta
• Ruseffendi, E.T. (1988). Pengajaran Matematika Modern dan Masa Kini Untuk Guru dan SPG, Bandung : Tarsito.
• Ruseffendi, E.T. (1988). Pengantar Kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika Untuk Meningkatkan CBSA, Bandung : Tarsito.
• Ruseffendi, E.T, dkk. (1992), Pendidikan Matematika 3, Jakarta : Depdikbud.
• Wragg, E.C. (1997). Keterampilan Mengajar Di Sekolah Dasar, Jakarta : Gramedia

Mengerjakan pembagian pecahan umumnya kita harus kembalikan ke perkalian pecahan, lihat pada video ini dikerjakan dengan cara pilar (pintar bernalar);

Sumber http://www.defantri.com