Contoh Soal Sbmptn Sifat Determinan Matriks

Rumus di atas yaitu rumus perihal sifat sifat determinan matriks. Anda harus benar benar memahami rumus di atas untuk menuntaskan dan memahami soal-soal di bawah ini. Selain itu, anda harus ingat jikalau : $$A= \begin{pmatrix}  a& b\\  c&d \end{pmatrix} \\ |A| =ad-bc$$ Sementara untuk mencari determinan matriks 3x3, 4x4 anda dapat baca dan lihat materinya di daftar isi blog ini.

Soal 1. Diketahui $$A= \begin{pmatrix}  -1& 50\\ -2&105 \end{pmatrix} \\ |A^3| =...$$
Pembahasan:
Perhatikan sifat (i). A³ = A.A.A. Makara | A³ | = |A||A||A|. Kita akan cari |A|.
|A| = (-1)(105) -(50)(-2) = -5.
 | A³ |= (-5)(-5)(-5) =-125.

Soal 2. Diketahui matriks $$A= \begin{pmatrix}  1& 2\\ 3&4 \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} 2& 3\\ 0&1 \end{pmatrix} \\ |A+B|^3 =...$$
Pembahasan:
Terlebih dahulu kita car A+B $$A= \begin{pmatrix}  1& 2\\ 3&4 \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} 2& 3\\ 0&1 \end{pmatrix} \\  A+B \\
 \begin{pmatrix}  1& 2\\ 3&4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2& 3\\ 0&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3& 5\\ 3&5 \end{pmatrix} \\ |A+B| = (3)(5)-(3)(5)=0\\|A+B|^3 =0^3=0$$

Soal 3. Diketahui $$P= \begin{pmatrix}  p& q\\ r&s \end{pmatrix} $$ Jika  P^-1 = P^T . Maka ps-qr =...

Pembahasan $$\text {perhatikan sifat (ii) dan (iii)} \\ |P| = ps-qr \\ P^{-1} = \frac {1}{|P|} \, \, ,  |P^T|=|P| \\ P^{-1}= 2.P^T \\  \frac {1}{|P|} = 2|P| \\ |P|^2 = \frac {1}{2} \\ |P| = \sqrt { \frac {1}{2}} \\ ps-qr = \frac {1}{\sqrt 2} = \frac {1}{2} \sqrt 2$$

Soal 4. Matriks B memenuhi  persamaan: $$\begin{pmatrix}  3&1 \\ 3  &2  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  2&5\\ 1  & 3  \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}  2&1 \\ 4  &5 \end{pmatrix} B$$ maka determinan B^-1dari  =....

Pembahasan:
Kita akan buat permisalan dari persamaan yang diketahui. $$P= \begin{pmatrix}  3&1 \\ 3  &2  \end{pmatrix} \rightarrow |P|= 3 \\ Q= \begin{pmatrix}  2&5\\ 1  & 3  \end{pmatrix} \rightarrow |Q|=1 \\R = \begin{pmatrix}  2&1 \\ 4  &5 \end{pmatrix} \rightarrow |R|=6 \\ \text {sesuai sifat (i) berlaku :} \\ |P||Q|=|R|.|B| \\ 3.1=6.|B| \\ |B|=\frac {1}{2} \\ \text {sifat (iii)} \\ |B^{-1}| = \frac {1}{|B|} \\ |B^{-1}| = \frac {1}{ \frac {1}{2}} =2$$

Soal 5. $$C= \begin{pmatrix}  \frac {4}{7}& - \frac {1}{7} \\ - \frac {1}{7}   &\frac {2}{7} \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix}  4& 2 \\ 2   &8 \end{pmatrix} $$ Jika A= C^-1  , maka determinan matriks   A^T.B=...

Pembahasan:
- A= C^-1
  det A= det C^-1
  det A = 1/det C
  det A = 1/ (1/7) = 7
  det A^T=det A =7

-det B = 28
- det (A^T.B) =  det A^Tdet B= det A. det B = 7.28 = 196.

Soal 6. Diketahui matriks $$A= \begin{pmatrix} 1 &1  &2 \\  2&  -1& 1 \end{pmatrix} \\ B^T= \begin{pmatrix} 1 &2  &-1 \\  -1&  1& 2 \end{pmatrix} $$ Jika B^T  yaitu transpose dari matriks B dan det (2AB) = k det (AB)^-1 . maka nilai k  yang memenuhi adalah...

Pembahasan: $$ B^T= \begin{pmatrix} 1 &2  &-1 \\  -1&  1& 2 \end{pmatrix} \\ B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\  2 &1 \\ -1  & 2 \end{pmatrix} \\ A.B = \begin{pmatrix} 1 &1  &2 \\  2&  -1& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\  2 &1 \\ -1  & 2 \end{pmatrix} \\ AB = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1  & -1 \end{pmatrix} \\ detAB= 3 \\ det (2AB)=2.detAB = 2.3 =6 \\ det (AB)^{-1} =\frac {1}{detAB} =\frac {1}{6} \\ det (2AB)=k det(AB)^{-1} \\ 6 = k. \frac {1}{6} \\ k=36$$

Baca juga: Contoh Soal SBMPTN - Penjumlahan, Pengurangan dan Kesamaan Matriks.

Sumber http://www.marthamatika.com/