Metode Gauss Jordan Dalam Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Pada pola soal dan pembahasan kali ini, sesuai judul postingan yaitu menggunakan metode Gauss-Jordan dalam penyelesaian persamaan linear. Dalam aplikasi metode Gauss-Jordan ini akan berkaitan dengan operasi OBE matriks. Sebelum lebih lanjut mempelajari cara menuntaskan persaman linear dengan metode Gauss Jordan, maka sebaiknya di baca dulu pengertian dan dasar cara melaksanakan OBE pada artikel : Cara Melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) Matriks.

Kelebihan memakai metode Gauss Jordan ini yakni dimana kita sanggup menuntaskan persamaan linear dengan banyak variabel. Mungkin untuk persamaan linear dua variabel sanggup dipakai metode subtitusi, eliminasi. Tapi untuk persamaan linear dengan 7 variabel tentu sangat repot. Adapun Langkah Menyelesaikan Persamaan Linear dengan Metode Gauss-Jordan sebagai berikut:

1. Pindahkan persamaan linear ke dalam bentuk matriks.
2. Lakukan OBE
3. Jika sudah terbentuk identitas maka, nilai kolom final matriks yakni penyelesaian.

Keterangan: Untuk memudahkan memindahkan persamaan linear ke matriks, perhatikan cara berikut.

Susun persaman linear, kemudian hapus variabel , tanda tambah dan sama dengan. Contoh :

x+2y-2z=4

3x-y+z= 1

2x+3y+3z=2. Jika kita hapus variabel dan tanda tambah serta sama dengan [untuk negatif ubah jadi ..+(-..) ] maka diperolehlah $ \begin{pmatrix} 1 &2  &-2  &4 \\   3&  -1&  1& 1\\   2&3  &3  &2 \end{pmatrix}$.

Contoh Soal dan Pembahasan Metode Gauss-Jordan

Tentukan nilai x, y, z dari persamaan linear berikut ini.  2x+3y-2z= 2;  x-2y+3z = 6 ; 3y-4x+2y = 1.

Pembahasan :

Langkah 1 : Memindahkan dalam bentuk Matriks

Berdasarkan persamaan yang kita miliki sanggup didapat matriks:

$ \begin{pmatrix} 2&3  &-2  &2 \\  1&  -2&  3& 6\\   3&-4  &2  &1 \end{pmatrix}$.

Langkah 2 : Lakukan OBE Matriks

$ \begin{pmatrix} 2&3  &-2  &2 \\  1&  -2&  3& 6\\   3&-4  &2  &1 \end{pmatrix}$.

$R_1\Leftrightarrow R_2  \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\ 2&3  &-2  &2 \\  3&-4  &2  &1 \end{pmatrix}$

$R_2-2R_1\rightarrow R_2 ; R_3-3R_1\rightarrow R_3 \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\ 0&7  &-8 &-10 \\  0&2  &-7  &-17 \end{pmatrix}$.

$R_2\Leftrightarrow R_3  \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\   0&2  &-7  &-17\\ 0&7  &-8  &-10 \end{pmatrix}$.

$ \frac{1}{2} R_2 \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\   0&1  & \frac{-7}{2}  &\frac{-17}{2}\\ 0&7  &-8  &-10  \end{pmatrix} $

$ R_3-7R_2 \rightarrow R_3 \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\   0&1  & \frac{-7}{2}  &\frac{-17}{2}\\ 0&0  & \frac{33}{2}  &\frac{99}{2}  \end{pmatrix} $.

$   \frac {2}{33} R_3 \begin{pmatrix}   1&  -2&  3& 6\\   0&1  & \frac{-7}{2}  &\frac{-17}{2}\\ 0& 0  & 1 &3  \end{pmatrix}  $

 PENTING !!! Jika diminta hanya dengan cara Gauss,  Maka lakukan hal berikut :
Perhatikan baris ke tiga yang dikotak merah:

$ \diamond $ z = 3, sesudah sanggup z =3. Selanjutnya pada baris kedua persamaaanya :
$ \diamond$ y+ (-7/2 z) = -17/2
y - 7/2 . 3 = - 17/2 , didapat y = 2. Lanjut pada persamaan pertama,
$\diamond $  x + (-2y) +3z = 6  $ \rightarrow $ x - 2(2) + 3(3) = 6 , didapat x = 1.
Tetapi jikalau diminta memakai metode Gauss Jordan anda harus melanjutkan bab tadi dengan cara berikut.

$R_1+2R_2 \rightarrow R_1  \begin{pmatrix}   1&  0&  -4& -11\\   0&1  & \frac{-7}{2}  &\frac{-17}{2}\\ 0& 0  & 1 &3  \end{pmatrix}$
$R_1+4R_3 \rightarrow R_1 ; R_2 + \frac{7}{2} R_3 \rightarrow R_2 \begin{pmatrix}   1&  0&  0& 1\\   0&1  & 0  &2\\ 0& 0  & 1 &3  \end{pmatrix}$.

Langkah 3: Menentukan Nilai Penyelesaian
Sekarang matriks persamaan telah membentuk identitas. Bagian kolom ke-empat (hasil/konstanta persamaan awal) mengatakan nilai 1,2,3 dan itulah nilai x, y dan z. Untuk menguji kebenaran ini anda sanggup memakai : Kalkulator Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV).
Sumber http://www.marthamatika.com/