i).$ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $
ii). $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $
iii). $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $
iv). $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $
v). $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x . \tan x $
vi). $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x . \cot x $
Selanjutnya kita akan lihat beberapa pola soal dan pembahasan ihwal turunan trigonometri dasar.
Tentukan turunan pertama dari fungsi,
$$a) \ y = \sin x . \cos x \\ b) \ y = ( \sin x + 1 )(\tan x - \sec x ) \\ c) \ y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } $$
Pembahasan :
a.) Turunan dari y=sin x.cos x
Karena ada dua suku maka kita harus gunakan rumus turunan perkalian. $$ (u.v) ^ \prime = u^ \prime v+uv^ \prime \\ u = \sin x \rightarrow u^\prime = \cos x \\ v = \cos x \rightarrow V^\prime = -\sin x $$
Kita susun sesuai rumus turunan perkalian, $$y = \sin x . \cos x \\ y = U.V \\ y^\prime = U^\prime . V + U.V^\prime \\ y ^\prime = \cos x . \cos x + \sin x . (-\sin x ) \\ y^\prime = \cos ^2 x - \sin ^2 x \\ y^ \prime = \cos 2x $$
Kaprikornus turunan dari y=sinx.cosx ialah y’=cos 2x.
b.) Turunan dari y=(sinx+1)(tan x-sec x)
Hampir sama dengan cara yang dilakukan pada soal yang (a). Kita kembali memakai rumus turunan perkalian. $$U = \sin x + 1 \\ U^\prime = \cos x \\ V = \tan x - \sec x \\ V^\prime = \sec ^2 x - \sec x . \tan x = \sec x ( \sec x - \tan x ) $$
Sekarang kita susun ke rumus perkalian turunan, $$ y = ( \sin x + 1 )(\tan x - \sec x ) \\ y = U.V \\ y^\prime = U^\prime . V + U.V^\prime \\ y^\prime= \cos x . (\tan x - \sec x) + ( \sin x + 1 ).\sec x ( \sec x - \tan x ) $$
Jadi, turunan dari y=(sin x+1)(tan x- sec x) ialah y’=cos x(tanc x-sec x_ + sec x (sec x-tan x)(sin x+1).
c.) Untuk soal yang c, alasannya ialah bentuk fungsi pecahan (pembagian). Maka kita gunakan rumus turunan fungsi pecahan atau fungsi pembagian. Rumus pembagian yang dimaksud adalah: $$ ( \frac {u}{v} )^ \prime = \frac {u’v-uv’}{v^2}$$
Dari fungsi yang diketahui kita akan buat permisalan $$ U = 1 + \cot x \rightarrow U^\prime = -\csc ^2 x \\ V = \sin x + \cos x \rightarrow V^\prime = \cos x - \sin x $$
Selanjutnya kita akan susun sesuai rumus turunan pembagian tersebut. Akan di dapat:
$$\begin{align} y & = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \\ y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{-\csc ^2 x . (\sin x + \cos x) - (1 + \cot x). ( \cos x - \sin x ) }{(\sin x + \cos x )^2} \\ & = \frac{ -\csc ^2 x \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cot x \sin x }{ \sin ^2 x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin ^2 x} . \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \frac{\cos x}{\sin x} . \sin x }{ 1 + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align}$$
Jadi, turunan $$ y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \\ y^\prime = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } $$ Selanjutnya Baca juga: Aturan Turunan Rantai Fungsi Trigonometri. Sumber http://www.marthamatika.com/
EmoticonEmoticon