Catatan calon guru yang kita diskusikan dikala ini akan membahas perihal Matematika Dasar Barisan dan Deret Geometri. Untuk melengkapi matematika dasar barisan dan deret geometri, kita juga baiknya akan mempelajari matematika dasar barisan dan deret aritmetika dan matematika dasar barisan dan deret geometri tak hingga, dengan memahami ketiga topik ini maka duduk perkara barisan dan deret akan semakin gampang kita pelajari.
Penerapan barisan dan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, diantaranya sanggup dilihat pada soal-soal yang akan kita diskusikan. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada barisan dan deret geometri sangatlah mudah, bila Anda mengikuti step by step yang kita diskusikan di bawah ini, maka anda akan dengan gampang memahami soal-soal barisan dan deret geometri dan menemukan solusinya.
Barisan dan deret salah satu bahan matematika yang dipelajari pada Sekolah Menengan Atas dan SMP, bahkan dalam bentuk soal dongeng atau matematika realistik, soal perihal barisan dan deret sudah disisipkan pada bahan matematika untuk tingkat SD.
Barisan dan Deret Bilangan
Barisan Bilangan yaitu urutan bilangan-bilangan yang disusun menurut pola tertentu.Secara simbol sederhana barisan sanggup kita tuliskan;
$U_{1}, U_{2}, U_{3}, \cdots ,U_{n}$
$U_{1}$ kita sebut Bilangan Pertama/Suku Pertama,
$U_{2}$ kita sebut Bilangan Kedua/Suku Kedua,
$U_{3}$ kita sebut Bilangan ketiga/Suku Ketiga,
$ \cdots $
$U_{n}$ kita sebut Bilangan ke-n/Suku ke-n,
Penggunaan istilah Suku Pertama, Suku Kedua dan seterusnya lebih familiar dibanding istilah Bilangan Pertama, Bilangan Kedua, jadi untuk berikutnya kita pakai istilah Suku Pertama,$ \cdots $ Suku ke-n.
Deret Bilangan merupakan penjumlahan dari suku-suku barisan.
Secara simbol sederhana deret bilangan sanggup kita tuliskan;
$U_{1}+ U_{2}+ U_{3}+ \cdots +U_{n}$
$S_{1}$ kita sebut Jumlah satu suku pertama.
$S_{1}=U_{1}$
$S_{2}$ kita sebut Jumlah dua suku pertama.
$S_{2}=U_{1}+U_{2}$
$S_{3}$ kita sebut Jumlah tiga suku pertama.
$S_{3}=U_{1}+U_{2}+U_{3}$
$ \cdots $
$S_{n}$ kita sebut Jumlah $n$ suku pertama,
$S_{n}=U_{1}+U_{2}+U_{3}+ \cdots +U_{n}$
Barisan dan Deret Geometri
Setelah sanggup memahami perihal barisan dan deret bilangan, kini coba kita diskusikan perihal Barisan dan Deret Bilangan Geometri yang sering disebut hanya Barisan Geometri. Suatu barisan bilangan dikatakan sebagai Barisan Geometri ($BG$) bila perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya sama besar.Perbandingan antara suatu suku dan suku sebelumnya dinamakan dengan $rasio$ ($r$).
Contoh,
$2, 4, 8, 16, 32,...$ (Barisan Geometri dengan $r=2$)
$27, 9, 3, 1, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}...$ (Barisan Geometri dengan $r=\dfrac{1}{3}$)
Pada Barisan Geometri bila suku pertama diberi simbol dengan $a$ dan rasio dengan $r$ maka suku-suku Barisan Geometri secara umum sanggup kita tuliskan menjadi;
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\cdots, ar^{n-1}$
Sedangkan bila Barisan Geometri kita tuliskan menjadi Deret Geometri, penulisan menjadi;
$a+\ ar+\ ar^{2}+\ ar^{3}+\cdots+ ar^{n-1}$
Dari bentuk umum diatas kita peroleh,
- rasio=$r$
$r=\dfrac{U_{2}}{U_{1}}=\dfrac{U_{3}}{U_{2}}=\dfrac{U_{7}}{U_{6}}$
$r=\dfrac{U_{n}}{U_{n-1}}$ - Suku ke-n
$U_{n}=ar^{n-1}$ - Jumlah n suku pertama
$S_{n}=\dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1}$
$S_{n}=\dfrac{a \left (1-r^{n} \right )}{1-r}$ - Suku Tengah berlaku untuk n bilangan ganjil
$U_{t}=\sqrt{U_{1} \cdot U_{n}}$
$S_{n}=n \cdot U_{t}$
Barisan dan Deret Geometri untuk beberapa buku menggunakan istilah dengan sebutan Deret Ukur. untuk memahami Barisan dan Deret Geomtri ini coba kita diskusikan beberapa teladan soal yang pernah diujikan pada Ujian Nasional dan SBMPTN.
1. Soal Ujian Nasional 2007 (*Soal Lengkap)
Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit. Pada waktu lima belas menit pertama banyaknya basil ada 400. Banyak basil pada waktu tiga puluh lima menit pertama adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 640\ Bakteri \\
(B)\ & 3.200\ Bakteri \\
(C)\ & 6.400\ Bakteri \\
(D)\ & 12.800\ Bakteri \\
(E)\ & 32.000\ Bakteri \\
\end{align}$
Kita coba dengan memisalkan banyak basil awal atau mula-mula = $a$,
sehingga pada 5 menit berikut banyak basil yaitu $2a$,
5 menit berikutnya banyak basil yaitu $4a$ dan
5 menit berikutnya banyak basil yaitu $8a$.
Sehingga banyak basil pada 15 menit pertama yaitu suku ke-4 yaitu 400.
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{4}=a2^{3}$
$400=8a$
$a=50$
kita peroleh banyak basil mula-mula yaitu 50 bakteri.
Dengan mengikuti pola diatas juga banyak basil pada 50 menit pertama sama dengan suku ke-7, yaitu:
$U_{n}=ar^{n-1}$
$U_{7}=50 \cdot 2^{6}$
$U_{7}=50 \cdot 64$
$U_{7}=32.000$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 32.000\ Bakteri$
2. Soal SM-UNPAD 2007
Sepotong kawat yang panjangnya 124 cm dipotong menjadi 5 belahan sehingga panjang setiap potongnya membentuk Barisan Geometri. Jika potongan kawat yang paling pendek yaitu 4 cm, potongan kawat yang paling panjang adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 60\ cm\\
(B)\ & 64\ cm\\
(C)\ & 68\ cm\\
(D)\ & 72\ cm\\
(E)\ & 76\ cm
\end{align}$
Keterangan yang sanggup kita ambil dari soal yaitu panjang seluruh tali yang dibagi menjadi 5 belahan yaitu 124.
Karena tali dibagi menjadi 5 belahan dengan mengikuti pola Barisan Geometri, maka bila kita urutkan dari panjang tali yang terkecil menjadi,
$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4}$
barisan di atas panjang tali terpendek kita misalkan $a$ panjangnya yaitu 4 dan jumlah barisan yaitu 124, sehingga sanggup kita tuliskan menjadi,
$a+ ar+ ar^{2}+ ar^{3}+ ar^{4}=124$
$S_{5}=124$
$\dfrac{a \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\dfrac{4 \left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=124$
$\dfrac{\left (r^{5}-1 \right )}{r-1}=31$
$\dfrac{\left (r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1 \right )\left (r-1 \right )}{r-1}=31$
$r^{4}+r^{3}+r^{2}+r+1=31$
$\left (r^{3}+3r^{2}+7r+15 \right )\left ( r-2 \right )=0$
salah satu nilai $r$ yang memenuhi yaitu $r=2$
Potongan kawat yang paling panjang,
$U_{5}=ar^{5-1}$
$U_{5}=4 \cdot 2^{4}$
$U_{5}=4 \cdot 16$
$U_{5}=64$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 64\ cm$
3. Soal SPMB 2004 (*Soal Lengkap)
Suku ke-4 suatu Barisan Geometri sama dengan suku ke-8 suatu Barisan Aritmatika. Kedua barisan tersebut memiliki suku pertama sama dengan 2. Jika rasio Barisan Geometri sama dengan beda BA dan keduanya merupakan bilangan bulat, suku ke-5 Barisan Geometri dikurangi suku ke-11 BA sama dengan...
$\begin{align}
(A)\ & 2 \\
(B)\ & 8 \\
(C)\ & 10 \\
(D)\ & 14 \\
(E)\ & 16 \\
\end{align}$
$U_{4} [Barisan Geometri]=U_{8} [BA]$
$ar^{3}=a+7b$
untuk nilai $a=2$ dan $r=b$ maka kita peroleh,
$2r^{3}=2+7r$
$2r^{3}-7r-2=0$
$(r-2)(2r^{2}+4r+1)=0$
$(r-2)(2r-1)^{2}=0$
$r=2$ atau $r=\frac{1}{2}$
Nilai $r$ yang bundar yaitu yang memenuhi, $r=2$.
Nilai suku ke-5 Barisan Geometri dikurangi suku ke-11 BA adalah,
$\begin{align}
U_{5} [Barisan Geometri]-U_{11} [BA] &= ar^{4}-(a+10b) \\
&= (2)(2)^{4}-(2+10(2)) \\
&= 32-22 \\
&= 10
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 10$
4. Soal SBMPTN 2018 Kode 526 (*Soal Lengkap)
Empat bilangan membentuk suatu barisan aritmatika. Jika bilangan pertama dan bilangan kedua tetap, serta bilangan ketiga ditambah bilangan pertama dan bilangan keempat dikalikan 2, maka terbentuk suatu barisan geometri. Jika beda suku-suku pada barisan aritmetika yaitu 2, maka jumlah empat bilangan pertama pada barisan geometri tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 8 \\
(B)\ & 20 \\
(C)\ & 24 \\
(D)\ & 30 \\
(E)\ & 36 \\
\end{align}$
Untuk soal ini ada penggabungan bahan antara barisan aritmatika dan barisan geometri, jadi sedikit bahan dari barisan aritmatika harus kita ketahui;
Misalkan $BA$ dengan $b=2$ yaitu $(a),\ (a+2),\ (a+4),\ (a+6)$.
Barisan Geometri yang terbentuk:
$(a),\ (a+2),\ (a+4)+(a),\ 2(a+6)$.
$(a),\ (a+2),\ (2a+4),\ (2a+12)$.
dengan menggunakan ciri khas dari Barisan Geometri, kita peroleh
$\begin{align}
u_{2}^{2} & =u_{1} \cdot u_{3} \\
(a+2)^{2} & = a \cdot (2a+4) \\
a^{2}+4a+4 & = 2a^{2}+4a \\
a^{2}-4 & =0 \\
(a-2)(a+2) & =0 \\
a=2\ & \text{atau}\ a=-2
\end{align}$
Untuk $a=-2$ barisan adalah: $-2,\ 0,\ 0,\ 8$ bukan Barisan Geometri.
Untuk $a=2$ barisan adalah: $2,\ 4,\ 8,\ 16$ merupakan Barisan Geometri sehingga jumlahnya yaitu $30$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 30$
5. Soal SBMPTN 2018 Kode 527 (*Soal Lengkap)
Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio $\dfrac{1}{2}$ dan suatu barisan aritmatika yang terdiri atas tiga suku dengan beda $b$. Jumlah semua suku barisan geometri tersebut dan jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing bernilai $1$. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{15} \\
(B)\ & \dfrac{2}{15} \\
(C)\ & \dfrac{1}{5} \\
(D)\ & \dfrac{1}{3} \\
(E)\ & \dfrac{8}{15}
\end{align}$
Untuk soal ini ada penggabungan bahan antara barisan aritmatika dan barisan geometri, jadi sedikit bahan dari barisan aritmatika harus kita ketahui;
Misalkan: Barisan Geometri dengan $r=\dfrac{1}{2}$ yaitu $a,\ \dfrac{1}{2}a,\ \dfrac{1}{4}a,\ \dfrac{1}{8}a$.
$\begin{align}
a+ \dfrac{1}{2}a+ \dfrac{1}{4}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8}{8}a+ \dfrac{4}{8}a+ \dfrac{2}{8}a+ \dfrac{1}{8}a & = 1 \\
\dfrac{8+4+2+1}{8}a & = 1 \\
15a & = 8 \\
a & = \dfrac{8}{15}
\end{align}$
Misalkan $BA$ dengan $b=b$ yaitu $u_{1}-b,\ u_{1},\ u_{1}+b$.
$\begin{align}
u_{1}-b+ u_{1}+ u_{1}+b & = 1 \\
3u_{1} & = 1 \\
u_{1} & = \dfrac{1}{3}
\end{align}$
Karena $u_{1}$ Barisan Geometri sama dengan $u_{3}$ $BA$, maka
$\begin{align}
u_{1}+b & = a \\
\dfrac{1}{3}+b & = \dfrac{8}{15} \\
b & = \dfrac{8}{15}-\dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{8}{15}-\dfrac{5}{15} \\
& = \dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{1}{5}$
6. Soal SBMPTN 2018 Kode 408 (*Soal Lengkap)
Jika $-2,\ a+3,\ a-1$ membentuk barisan geometri, maka jumlah $11$ suku pertama yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 0 \\
(D)\ & 1 \\
(E)\ & 2
\end{align}$
Dari Barisan Geometri $-2,\ a+3,\ a-1$ kita peroleh;
$\begin{align}
u_{2}^{2} & = u_{1} \cdot u_{3} \\
(a+3)^{2} & = -2 \cdot (a-1) \\
a^{2}+6a+9 & = -2a+2 \\
a^{2}+8a+7 & = 0 \\
(a+1)(a+7) & = 0 \\
(a+1)=0\ & \text{atau}\ (a+7)=0 \\
a=-1\ & \text{atau}\ a=-7
\end{align}$
Untuk $a=-1$ maka Barisan Geometri: $-2,\ 2,\ -2,\ \cdots$
Jumlah $11$ suku pertama adalah
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\
S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((-1)^{11}-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{-2 \left (-1-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{4}{-2} \\
& = -2
\end{align}$
Untuk $a=-7$ maka Barisan Geometri: $-2,\ -4,\ -8,\ \cdots$
Jumlah $11$ suku pertama adalah
$\begin{align}
S_{n} & = \dfrac{a \left (r^{n}-1 \right )}{r-1} \\
S_{11} & = \dfrac{-2 \left ((2)^{11}-1 \right )}{-1-1} \\
& = \dfrac{-2 \left (2^{11}-1 \right )}{-2} \\
& = 2^{11}-1
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ -2$
7. Soal SBMPTN 2018 Kode 417 (*Soal Lengkap)
Diberikan barisan geometri $u_{n}$, dengan $u_{3}+u_{4}=4(u_{1}+u_{2})$ dan $u_{1}u_{4}=4u_{2}$. Jumlah $4$ suku pertama yang mungkin adalah...
$\begin{align}
(A)\ & -2 \\
(B)\ & -1 \\
(C)\ & 5 \\
(D)\ & 10 \\
(E)\ & 15
\end{align}$
Dari Barisan Geometri yang memenuhi $u_{3}+u_{4}=4(u_{1}+u_{2})$ dan $u_{1}u_{4}=4u_{2}$ kita peroleh;
$\begin{align}
u_{3}+u_{4} & = 4(u_{1}+u_{2}) \\
ar^{2}+ar^{3} & = 4(a+ar) \\
ar^{2}+ar^{3} & = 4a+4ar \\
r^{2}+r^{3} & = 4+4r \\
r^{3}+r^{2}-4r-4 & = 0 \\
(r+1)(r+2)(r-2) & = 0 \\
r=-1,\ r=-2,\ & \text{atau}\ r=2 \\
\end{align}$
$\begin{align}
u_{1}u_{4} & = 4u_{2} \\
a \cdot ar^{3} & = 4(ar) \\
a \cdot ar^{3} & = 4ar \\
ar^{2} & = 4
\end{align}$
Untuk $r=-1$ maka $a=4$ Barisan Geometri: $4,\ -4,\ 4,\ -4,\ \cdots$
Untuk $r=-2$ maka $a=1$ Barisan Geometri: $1,\ -2,\ 4,\ -8,\ \cdots$
Untuk $r=2$ maka $a=1$ Barisan Geometri: $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ \cdots$
Jumlah $4$ suku pertama yang mungkin adalah: $0$, $-5$ atau $15$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 15$
8. Soal SBMPTN 2017 Kode 226 (*Soal Lengkap)
Perbandingan suku ke-6 terhadap suku pertama suatu barisan geometri yaitu $\dfrac{1}{32}$. Jika jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 yaitu $15$, maka jumlah $3$ suku pertama barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 30 \\
(B)\ & 40 \\
(C)\ & 50 \\
(D)\ & 60 \\
(E)\ & 70
\end{align}$
Dari Barisan Geometri yang disampaikan pada soal, sanggup kita peroleh;
$\begin{align}
\dfrac{u_{6}}{u_{1}} & = \dfrac{1}{32} \\
\dfrac{ar^{5}}{a} & = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5} \\
r^{5} & = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{5} \\
r & = \dfrac{1}{2} \\
u_{3}+u_{4} & = 15 \\
ar^{2}+ar^{3} & = 15 \\
\dfrac{1}{4}a+\dfrac{1}{8}a & = 15 \\
\dfrac{3}{8}a & = 15 \\
a & = \dfrac{120}{3}=40
\end{align}$
Barisan geometri yaitu $40,\ 20,\ 10,\ 5, \cdots$ dan jumlah $3$ suku pertama barisan tersebut yaitu $70$.
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 70$
9. Soal UM UGM 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)
Jika tiga bilangan $x,y,\ \text{dan}\ z$ membentuk barisan geometri, maka $\dfrac{1}{x-y}- \dfrac{1}{y-z}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{x} \\
(B)\ & -\dfrac{1}{y} \\
(C)\ & \dfrac{1}{z} \\
(D)\ & \dfrac{1}{x+z} \\
(E)\ & \dfrac{1}{x-z}
\end{align}$
Tiga bilangan $x,y,z$ membentuk barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
U_{2}^{2} &= U_{3} \cdot U_{1} \\
y^{2} &= z \cdot x \\
\hline
\dfrac{1}{x-y}- \dfrac{1}{y-z} &= \dfrac{(y-z)-(x-y)}{(x-y)(y-z)} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{xy-xz-y^{2}+yz} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{xy-y^{2}-y^{2}+yz} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{xy-2y^{2}+yz} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{ y(x -2y + z)} \\
&= \dfrac{2y-x-z}{-y(2y-x-z)} \\
&= \dfrac{1}{-y}
\end{align} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ -\dfrac{1}{y}$
10. Soal UMB-PT 2014 Kode 522 (*Soal Lengkap)
Suku ke-n suatu deret geometri yaitu $u_{n}$. Jika $u_{1}+u_{2}=\dfrac{9}{2}$ dan ${}^3\!\log u_{1}+{}^3\!\log u_{2}+{}^3\!\log u_{3}=3$, maka $u_{n}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{3}{4}2^{n-1} \\
(B)\ & \dfrac{3}{4}2^{n } \\
(C)\ & \dfrac{3}{4}2^{n+1} \\
(D)\ & \dfrac{3}{4}3^{n-1} \\
(E)\ & \dfrac{3}{4}3^{n}
\end{align}$
Deret geometri $a, ar, ar^{2}, \cdots, ar^{n-1}$
$\begin{align}
u_{1}+u_{2} &= \dfrac{9}{2} \\
a+ar &= \dfrac{9}{2}
\end{align}$
$\begin{align}
{}^3\!\log u_{1}+{}^3\!\log u_{2}+{}^3\!\log u_{3} &= 3 \\
{}^3\!\log \left( u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3} \right) &= {}^3\!\log 3^{3} \\
{}^3\!\log \left( a \cdot ar \cdot ar^{2} \right) &= {}^3\!\log 3^{3} \\
{}^3\!\log \left( ar \right)^{3} &= {}^3\!\log 3^{3} \\
ar &= 3 \\
\hline
a+ar &= \dfrac{9}{2} \\
a+3 &= \dfrac{9}{2} \\
a &= \dfrac{9}{2} -3 \\
a &= \dfrac{3}{2} \\
r &= 2
\end{align}$
$\begin{align}
u_{n} &= ar^{n-1} \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot 2^{n-1} \\
&= \dfrac{3}{2} \cdot 2^{n } \cdot 2^{-1} \\
&= \dfrac{3}{4} \cdot 2^{n }
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ \dfrac{3}{4}2^{n }$
11. Soal SBMPTN 2014 Kode 631 (*Soal Lengkap)
Diketahui $p,\ x,\ y$ merupakan bilangan real dengan $x \gt 0$. Jika $p,\ x,\ y,\ \dfrac{1}{5}x^{2}$ membentuk barisan geometri, maka $p^{6}x^{-3}=\cdots$
$\begin{align}
(A)\ & 125 \\
(B)\ & 50 \\
(C)\ & 25 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 5
\end{align}$
Ciri khas barisan geometri yang kita pakai untuk menuntaskan soal di atas yaitu $U_{2}^{2}=U_{1} \cdot U_{3}$ atau $U_{3}^{2}=U_{2} \cdot U_{4}$. Sehingga untuk barisan $p,\ x,\ y,\ \dfrac{1}{5}x^{2}$, berlaku:
$\begin{align}
U_{2}^{2} &= U_{1} \cdot U_{3} \\
x^{2} &= py \\
y &= \dfrac{x^{2}}{p} \\
\hline
U_{3}^{2} &= U_{2} \cdot U_{4} \\
y^{2} &= \dfrac{1}{5}x^{2} \cdot x \\
\left( \dfrac{x^{2}}{p} \right) ^{2} &= \dfrac{1}{5}x^{3} \\
\dfrac{x^{4}}{p^{2}} &= \dfrac{1}{5}x^{3} \\
\dfrac{x^{4}}{\dfrac{1}{5}x^{3}} &= p^{2} \\
5x &= p^{2} \\
p^{2} x^{-1} &= 5 \\
\left( p^{2} x^{-1} \right)^3 &= 5^{3} \\
p^{6} x^{-3} &= 125
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ 125$
12. Soal SBMPTN 2014 Kode 622 (*Soal Lengkap)
Diketahui $u_{1}+u_{2}+\cdots$ yaitu deret geometri dengan $u_{1}=x^{-2}$, $u_{5}=x^{2}$ dan $u_{6}=8$, maka nilai $u_{7}$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 9 \\
(C)\ & 16 \\
(D)\ & 27 \\
(E)\ & 32
\end{align}$
Dari deret geometri $a+ar+ar^{2}+ \cdots+ ar^{n-1}$, dimana $u_{1}=x^{-2}$, $u_{5}=ar^{4}=x^{2}$ dan $u_{6}=ar^{5}=8$ berlaku:
$\begin{array}{c|c|cc}
a = x^{-2} & ar^{5} = 8 \\
ar^{4} = x^{2} & x^{-2} \cdot x^{5} = 8 \\
x^{-2} \cdot r^{4} = x^{2} & x^{3} = 8 \\
r^{4} = x^{2} \cdot x^{2} & x = 2 =r \\
r^{4} = x^{4} & U_{7} = U_{6} \cdot r \\
r = x & U_{7} = 8 \cdot 2 =16 \\
\end{array} $
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 16$
13. Soal SIMAK UI 2013 Kode 333 (*Soal Lengkap)
Diketahui bilangan $a,\ b,\ c$ membentuk barisan geometri. Bilangan $a,\ b,\ c-2$ membentuk barisan aritmetika dan bilangan $a,\ b+2,\ c+10$ membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang mungkin untuk $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{14}{9} \\
(B)\ & \dfrac{20}{9} \\
(C)\ & \dfrac{32}{9} \\
(D)\ & \dfrac{40}{9} \\
(E)\ & \dfrac{80}{9}
\end{align}$
Untuk soal ini ada penggabungan bahan antara barisan aritmetika dan barisan geometri, jadi sedikit bahan dari barisan aritmetika harus kita ketahui;
- Dari barisan geometri $a,\ b,\ c$ kita peroleh $b^{2}=ac\ \cdots \text{pers.(1)}$
- Dari barisan aritmetika $a,\ b,\ c-2$ kita peroleh $2b=a+c-2\ \cdots \text{pers.(2)}$
- Dari barisan geometri $a,\ b+2,\ c+10$ kita peroleh $(b+2)^{2}=a(c+10)\ \cdots \text{pers.(3)}$
Jika kita subsitusi $\text{pers.}(1)$ dan $(2)$ ke $\text{pers.}(3)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
(b+2)^{2} & = a(c+10) \\
b^{2}+4b+4 & = a c+10a \\
ac+2(a+c-2)+4 & = a c+10a \\
2 a+2c-4+4 & = 10a \\
a+ c & = 5a \\
c & = 4a\ \cdots\ \text{pers.(4)} \\
2b & = a+ c-2 \\
2b & = a+ 4a-2 \\
2b+2 & = 5a \\
a & = \dfrac{2b+2}{5}\ \cdots \text{pers.(5)}
\end{align}$
$\text{pers.}(4)$ dan $(5)$ kita substitusikan ke $\text{pers.}(1)$, sehingga kita peroleh:
$\begin{align}
b^{2} & = ac \\
b^{2} & = a \left( 4a \right) \\
b^{2} & = 4a^{2} \\
b^{2} & = 4\left( \dfrac{2b+2}{5} \right)^{2} \\
b^{2} & = 4\left( \dfrac{4b^{2}+8b+4}{25} \right) \\
25b^{2} & = 16b^{2}+32b+16 \\
9b^{2}-32b-16 & = 0
\end{align}$
Jumlah semua nilai $b$ yang mungkin yaitu $b_{1}+b_{2}=-\dfrac{-32}{9}=\dfrac{32}{9}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ \dfrac{32}{9}$
14. Soal SIMAK UI 2013 Kode 331 (*Soal Lengkap)
Diketahui bahwa $n$ yaitu bilangan asli. Misalkan $S(n)$ menyatakan jumlah setiap digit dari $n$ (secagai contoh: $n=1234$. $S(1234)=1+2+3+4=10$), maka nilai $S\left( S(n) \right)$ yang memenuhi persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$ adalah...
$\begin{align}
(1)\ & 2 \\
(2)\ & 5 \\
(3)\ & 8 \\
(4)\ & 20
\end{align}$
Untuk soal ini rencana mau tidak diketik, sebab tidak termasuk barisan aritmetika atau barisan geometri. Tetapi sebab termasuk kategori soal HOTS kita tampilkan pada barisan aritmetika dan barisan geometri;
Dari persamaan $n+S(n)+S\left( S(n) \right)=2013$;
- $n \gt S(n) \gt S\left( S(n) \right)$, menurut ketidaksamaan ini biar mendapat hasil penjumlahan $2013$ maka $n$ yaitu bilangan $4$ angka dan kurang dari $2013$
- Jika $1000 \geq n \leq 1999$, maka $S(n)_{max}=S(1999)=1+9+9+9=28$ dan $S \left( S(n) \right)_{max}=S(28)=2+8=10$
n+S(n)+S\left( S(n) \right) & \leq n + 28 +10 \\
2013 & \leq n + 38 \\
2013-38 & \leq n \\
1975 & \leq n \\
1975 & \leq n \lt 2013
\end{align}$
Dari batasan nilai $n$ di atas kita coba lakukan uji nilai $n$;
| UJI NILAI | |||
|---|---|---|---|
| $n$ | $S(n)$ | $S \left( S(n) \right)$ | $n+S(n)+S\left( S(n) \right)$ |
| $1975$ | $1+9+7+5=22$ | $2+2=4$ | $1975+22+4=2001$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $1979$ | $1+9+7+9=26$ | $2+6=8$ | $1979+26+8=2013$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $1985$ | $1+9+8+5=23$ | $2+3=5$ | $1985+23+5=2013$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $1991$ | $1+9+9+1=20$ | $2+0=2$ | $1991+20+2=2013$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $2003$ | $2+0+0+3=5$ | $5=5$ | $2003+5+5=2013$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(A)\ (1)\ (2)\ (3)$
15. Soal SBMPTN 2013 Kode 127 (*Soal Lengkap)
Diketahui $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ berturut-turut yaitu suku ke-2, ke-3 dan ke-4 suatu barisan geometri dengan $b \gt 0$, Jika $\dfrac{ac}{2b+3}=1$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{5}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \dfrac{7}{2}
\end{align}$
Barisan $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ yaitu barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
b^{2} &= ac \\
\dfrac{ac}{2b+3} &= 1 \\
ac &= 2b+3 \\
\hline
b^{2} &= 2b+3 \\
b^{2}-2b-3 &= 0 \\
(b-3)(b+1) &= 0 \\
b=3\ \ b=-1 &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(D)\ 3$
16. Soal SBMPTN 2013 Kode 124 (*Soal Lengkap)
Diketahui $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ berturut-turut yaitu suku ke-2, ke-3 dan ke-4 suatu barisan geometri dengan $b \gt 0$, Jika $\dfrac{ac}{b+2}=1$, maka nilai $b$ adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 1 \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & \dfrac{5}{2} \\
(D)\ & 3 \\
(E)\ & \dfrac{7}{2}
\end{align}$
Barisan $a,\ b,\ \text{dan}\ c$ yaitu barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
b^{2} &= ac \\
\dfrac{ac}{b+2} &= 1 \\
ac &= b+2 \\
\hline
b^{2} &= b+2 \\
b^{2}- b-2 &= 0 \\
(b-2)(b+1) &= 0 \\
b=2\ \ b=-1 &
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 2$
17. Soal SBMPTN 2013 Kode 121 (*Soal Lengkap)
Hasil kali $5$ suku pertama suatu berisan geometri yaitu $32$. Jika jumlah suku ketiga dan suku keempat barisan tersebut yaitu $6$, maka suku keenam barisan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & \dfrac{1}{8} \\
(B)\ & 2 \\
(C)\ & 3 \\
(D)\ & 8 \\
(E)\ & 16
\end{align}$
Hasil kali $5$ suku pertama suatu berisan geometri yaitu $32$, sehingga berlaku:
$\begin{align}
a \cdot ar \cdot ar^{2} \cdot ar^{3} \cdot ar^{4} &= 32 \\
a^{5}r^{10} &= 32 \\
\left( a r^{2} \right)^{5} &= 2^{5} \\
a r^{2} &= 2 \\
\hline
U_{3}+U_{4} &= 6 \\
ar^{2}+ar^{3} &= 6 \\
ar^{2}(1+r) &= 6 \\
2(1+r) &= 6 \\
r &= 2 \\
\hline
a r^{2} &= 2 \\
a (4) &= 2 \\
a &= \dfrac{1}{2} \\
U_{6} &= a r^{5} \\
&= \dfrac{1}{2} \cdot (2)^{5} \\
&= (2)^{4}=16
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 16$
18. Soal SNMPTN 2012 Kode 223 (*Soal Lengkap)
Jika $a$ yaitu suku pertama, $r$ yaitu rasio, dan $S_{n}=3 \left( 2^{n+1}-2 \right)$ yaitu jumlah $n$ suku pertama deret geometri, maka nilai $a+r$ adalah..
$\begin{align}
(A)\ & 4 \\
(B)\ & 5 \\
(C)\ & 6 \\
(D)\ & 7 \\
(E)\ & 8
\end{align}$
$S_{n}=3 \left( 2^{n+1}-2 \right)$ yaitu jumlah $n$ suku pertama deret geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
S_{1} &= 3 \left( 2^{(1)+1}-2 \right) \\
U_{1} &= 6 \\
\hline
S_{2} &= 3 \left( 2^{(2)+1}-2 \right) \\
U_{1}+U_{2} &= 18 \\
U_{2} &= 12 \\
\hline
S_{3} &= 3 \left( 2^{(3)+1}-2 \right) \\
U_{1}+U_{2}+U_{3} &= 42 \\
U_{3} &= 24 \\
\hline
r &= \dfrac{12}{6}=2 \\
a+r &= 6+2 \\
&= 8
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(E)\ 8$
19. Soal SNMPTN 2012 Kode 122 (*Soal Lengkap)
Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $6$. Jika bilangan yang terbesar ditambah $12$, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 26 \\
(B)\ & 27 \\
(C)\ & 28 \\
(D)\ & 29 \\
(E)\ & 30
\end{align}$
Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $6$, Misal bilangan itu yaitu $a,\ a+6,\ a+12$ dan bila $a+12+12$ barisan $a,\ a+6,\ a+12+12$ yaitu barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
(a+6)^{2} &= a(a+12+12) \\
a^{2}+12a+36 &= a^{2}+24a \\
12a+36-24a &= 0 \\
-12a &= -36 \\
a &= 3
\end{align}$
Jumlah bilangan adalah
$\begin{align}
a+a+6+a+12 &= 3a+18 \\
&= 3(2)+18 \\ &= 27
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 27$
20. Soal SNMPTN 2011 Kode 171 (*Soal Lengkap)
Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $16$. Jika bilangan yang terkecil ditambah $7$ dan bilangan yang terbesar ditambah $2$, maka diperoleh barisan geometri. Jumlah tiga bilangan tersebut adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 56 \\
(B)\ & 54 \\
(C)\ & 52 \\
(D)\ & 50 \\
(E)\ & 48
\end{align}$
Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda $16$, Misal bilangan itu yaitu $a,\ a+16,\ a+32$ dan barisan bermetamorfosis $a+7,\ a+16,\ a+32+2$ yaitu barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
(a+16)^{2} &= (a+7)(a+34) \\
a^{2}+32a+256 &= a^{2}+41a+238 \\
32a-41a+256-238 &= 0 \\
-9a+18 &= 0 \\
-9a &= -18 \\
a &= 2
\end{align}$
Jumlah bilangan adalah:
$\begin{align}
a+a+16+a+32 &= 3a+48 \\
&= 3(2)+48 \\
&= 54
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(B)\ 54$
21. Soal SNMPTN 2011 Kode 854 (*Soal Lengkap)
Jika $a,\ b,\ c,\ d,\ e$ membentuk barisan geometri dan $a \times b \times c \times d \times e=128$, maka di antara kelima suku barisan itu yang sanggup ditentukan nilainya yaitu suku ke...
$\begin{align}
(A)\ & pertama \\
(B)\ & kedua \\
(C)\ & ketiga \\
(D)\ & keempat \\
(E)\ & kelima
\end{align}$
Lima bilangan membentuk barisan geometri, sehingga berlaku:
$\begin{align}
a \times b \times c \times d \times e &= 128 \\
a \times ar \times ar^{2} \times ar^{3} \times ar^{4} &= 128 \\
a^{5}r^{10} &= 128 \\
\left( a r^{2} \right)^{5} &= 128 \\
a r^{2} &= \sqrt[5]{128} \\
U_{3} &= \sqrt[5]{128}
\end{align}$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ ketiga$
22. Soal UNBK Matematika IPA 2019 (*Soal Lengkap)
Seorang peneliti melaksanakan pengamatan terhadap basil tertentu. Setiap $\dfrac{1}{2}$ hari basil membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat $2$ bakteri. Jika setiap $2$ hari $\dfrac{1}{4}$ dari jumlah basil mati, banyak basil sesudah tiga hari adalah...
$\begin{align}
(A)\ & 48\ \text{bakteri} \\
(B)\ & 64\ \text{bakteri} \\
(C)\ & 96\ \text{bakteri} \\
(D)\ & 128\ \text{bakteri} \\
(E)\ & 192\ \text{bakteri}
\end{align}$
Pertumbuhan basil yang diamati pada soal di atas menggunakan konsep deret geometri dengan $r=2$. Untuk menuntaskan soal di atas sanggup dipakai rumus suku ke-n barisan geometri yaitu $U_{n}=ar^{n-1}$.
Tetapi sebab yang diminta banyak basil dalam waktu tiga hari, kita kerjakan secara manual;
- Hari Pertama: $2 \rightarrow 4 \rightarrow 8$
- Hari Kedua: $8 \rightarrow 16 \rightarrow 32$
Bakteri mati $\dfrac{1}{4}$, sehingga tinggal $32-8=24$ - Hari Ketiga: $24 \rightarrow 48 \rightarrow 96$
$\therefore$ Pilihan yang sesuai yaitu $(C)\ 96$
Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras- lembar balasan evaluasi harian matematika,
- lembar balasan evaluasi simpulan semester matematika,
- presentasi hasil diskusi matematika atau
- pembahasan quiz matematika di kelas.
Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊
Video pilihan khusus untuk Anda 💗 Gurunya Super Kreatif, Mengerjakan Perkalian Kaprikornus Kreatif;
EmoticonEmoticon