Contoh Soal Dan Pembahasan Uji Konvergensi Deret (Series Convergence Tests)

Di bawah ini terdapat beberapa soal mengenai pembuktian uji konvergensi deret atau dikenal dengan Series Convergence Test. Silakan disimak beberapa pola soal uji konvergensi deret berikut,

Soal 1. Buktikan $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n}$ Konvergen!

Pembahasan:
Dalam pertaksamaan berlaku,
$0 < \dfrac{1}{n^2+n} < \dfrac{1}{n^2}$ , dalam $n \in \mathbb{N}$
Karena
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$ konvergen maka sanggup disimpulkan bahwasanya,
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$ juga merupakan deret konvergen.

Soal 2. Buktikan $\displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k \ln k}$ merupakan deret divergen

Pembahasan:
Pembuktian dilakukan dengan uji integral dalam menunjukan divergen sebuah deret.
Misal $f(k) = \dfrac{1}{k \ln k} $ kontinu pada interval $[2, \infty)$.

Bentuk integralnya sanggup ditulis menjadi
$\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k \ln k} dk= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k} dk$

Kemudian subtitusi $u = \ln k$ artinya $du = \dfrac{1}{k} dk$
$\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k} dk= \int \dfrac{1}{u} du = \ln u$

Subtitusi ulang nilai u dan didapatkan
$\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k} dk = \ln(\ln k)$

Sehingga sanggup kita ditulis
$\displaystyle \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k} dk = \lim_{b \to \infty} [\ln(\ln k)]_{2}^{b} = \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left[\ln(\ln b) - \ln(\ln 2)\right] = \infty$
(Bila b diperbesar hingga tak hingga, maka $\ln b$ akan menjadi besar menuju tak hingga.
Jadi, deret tersebut terbukti divergen.

Soal 3.  Buktikan $ \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n}$ Konvergen

Pembahasan:
Misal$ x_n = \dfrac{n!}{n^n} dan x_{n+1} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} $
Artinya
 $\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \dfrac{n^n}{n!}$
$ = \dfrac{(n+1)n^n}{(n+1)^n(n+1)} = \dfrac{n^n}{(n+1)^n}$
 $= \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n = \dfrac{1}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n} =\dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n}$
Limit Euler ada pada bentuk penyebut yakni
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = e$
Jadi
$ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n} = \dfrac{1}{e} = L$
Karena L < 1, sesuai Teorema Uji Rasio,
$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n}$ ialah konvergen.


Soal 4. Tunjukan bahwa deret \displaystyle $\sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$ konvergen.

Pembahasan:
Akan dilakukan uji integral untuk menunjukkan deret tersebut divergen.
Misal $f(k) = \dfrac{1}{k^2}$ kontinu pada interval$ [2, \infty)$.

Analisis Integralnya,
$\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2} dk= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k^2} dk$
$= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{k}\right]_{2}^{b}$
$= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left(-\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2}$
Sebab nilai limitnya ada maka $ \displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$ deret tersebut ialah konvergen.

Soal 5. Tunjukkan sebetulnya deret $ \displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$ konvergen.

Pembahasan:
Akan dipakai uji rasio,
Misal $x_n = \dfrac{n}{2^n} dan x_{n+1} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}}$
Artinya,
$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{\dfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\dfrac{n}{2^n}} = \dfrac{2^n}{2^{n+1}} \times \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)$
Terlihat bahwasanya
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = \dfrac{1}{2} = L$
Sebab L < 1, sesuai Teorema Uji Rasio, $\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n} $ ialah deretkonvergen.
Sumber http://www.marthamatika.com/