Contoh Soal Terapan Turunan [Masalah Pengoptimuman] + Penyelesaiannya

Nomor 1

Soal: Seorang petani bermaksud memagari tiga sangkar persegi panjang berdampingan yang identik dengan luas keseluruhan 300 meter persegi. Tentukan panjang dan lebar setiap sangkar sehingga pagar kawat yang dibutuhkan sedikit mungkin.

Jawab:

Misalkan: Gambar tiga sangkar yang identik, misal x dan y yaitu ukuran satu kandang.

Diketahui luas keseluruhan sangkar yaitu 300 meter persegi, sehingga

3xy = 300

y = (300/3x) = (100/x)

Misalkan lagi, K yaitu panjang kawat pembuat pagar tiga sangkar yang identik, maka:

K = 6x + 4y = 6x + 4(100/x) = 6x + (400/x)

Untuk memilih nilai minimum:

$K'(x)=6-\frac{400}{x^{2}}=\frac{6x^{2}-400}{x^{2}}$

K'(x) = 0 bila

$6x^{2}=400\rightarrow 3x^{2}=200\rightarrow x^{2}=\frac{200}{3}\rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{200}{3}}$

Karena x >= 0, maka:

$x=\sqrt{{\frac{200}{3}}}$

Ini membuktikan bahwa $x=\sqrt{{\frac{200}{3}}}$ yaitu satu-satunya bilangan kritis dari fungsi K. Jika $0<x<\sqrt{{\frac{200}{3}}}$ maka K'(x) > 0, dan bila $x>\sqrt{\frac{200}{3}}$ maka K'(x) < 0. Ini berarti K mencapai minimum mutlak di $x=\sqrt{\frac{200}{3}}$

Jika $x=\sqrt{\frac{200}{3}}$ maka:

$y=\frac{100}{\sqrt{\frac{200}{3}}}=\frac{100\sqrt{3}}{\sqrt{200}}=\frac{100\sqrt{3}}{10\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Makara ukuran setiap sangkar yaitu :

$\sqrt{\frac{200}{3}}\times \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Nomor 2

Soal: Penerimaan (T) dan pengeluaran (K) pengusaha kerupuk adalah:

$T(x)=1500x-4x^{2}, K(x)=x^{2}+500x+20000$

Tentukan berapa banyak paket kerupuk yang harus diproduksi sehingga laba pengusaha tersebut maksimum.

Catatan: Keuntungan = Penerimaan - Pengeluaran

Jawab:

Keuntungan = Penerimaan - Pengeluaran. Sehingga keungtungan pengusaha tersebut adalah:

$U(x)=T(x)-K(x)=(1500x-4x^{2})-(x^{2}+500x+20000)$
$=1000x-5x^{2}-20000$

Bilangan kritis fungsi U adalah:

$U'(x)=0 \rightarrow 1000-10x=0\rightarrow x=100$

x = 100 merupakan satu-satunya bilangan kritis.

Cek nilai maksimum:

Karena x = 100 yaitu satu-satunya bilangan kritis, lalu jikalau x < 100 maka U'(x)>0 dan bila x > 100 maka U'(x) < 0, maka U(100) merupakan nilai maksimum mutlak. Makara semoga diperoleh laba maksimum, kerupuk yang harus diproduksi yaitu 100 paket.

Nomor 3

Soal: Virus flu burung menyerang suatu komunitas tertentu sedemikian sehingga sesudah t bulan dari ditemukannya virus tersebut, P% populasi terinfeksi dengan

$P(t)=\frac{10t^{2}}{(1+t^{2})^2}$

Tentukan t sehingga presentasi populasi (P) yang terinfeksi mencapai maksimum dan tentukan nilai maksimum tersebut.

Jawab:

$P(t)=\frac{10t^{2}}{(1+t^{2})^2}$
$P'(t)=\frac{20t(1+t^{2})^{2}-10t^{2}(2)(1+t^{2})(2t)}{(1+t^{2})^4}$
$=\frac{(1+t^{2})[20t(1+t^{2})-40t^{3}]}{(1+t^{2})^4}$
$=\frac{20t-20t^{3}}{(1+t^{2})^3}$
$=\frac{20t(1-t^{2})}{(1+t^{2})^3}$

P'(t) = 0 untuk t = 0, t = 1 atau t = -1. Karena t > 0 maka bilangan kritis fungsi P yaitu t = 1. Perhatikan bahwa P fungsi kontinu dengan hanya satu bilangan kritis untuk t > 0, dan

                        ++++       - - - -

Tanda P'     --------------------------

                    0              1

maka P mencapai maksimum mutlak di t = 1 dengan nilai maksimumnya P(1) = 10/4 = 2,5 %

Nomor 4

Soal: Seorang simpatisan partai politik akan melekat poster partainya pada tembok sebuah gedung tinggi. Pada jarak 8 meter di depan gedung tersebut terdapat pagar setinggi 1 meter. Simpatisan tersebut akan menciptakan tangga yang menghubungkan jalan di luar pagar dengan tembok tinggi tersebut. Tentukan panjang minimu tangga yang dibutuhkan simpatisan tersebut.

Jawab:

Misalkan l yaitu panjang tangga. Maka:

$l^{2}=y^{2}+(8+x)^{2 }$
$=\left ( \frac{8+x}{x} \right )^{2}+(8+x)^{2}$
$=\left ( \frac{8}{x}+1 \right )^{2}+(8+x)^{2}$

Dari segitiga sebangun diperoleh:

$\frac{y}{l}=\frac{8+x}{x}$

Misalkan p(x) = l^2 maka:

$p(x)=\left ( \frac{8}{x}+1 \right )^{2}+(8+x)^{2}$
$p'(x)=2x+\frac{1}{x^{3}}(-16x-128)+1$
$=\frac{2x^{4}-16x-128+16x^{3}}{x^{3}}$
$=\frac{2(x+8)(x^{3}-8)}{x^{3}}$

p'(x) = 0 maka x = -8 (tidak memenuhi alasannya yaitu negatif) atau x = 2

Jadi, jikalau x = 2 merupakan satu-satunya bilangan kritis dari fungsi p.

Perhatiakan bahwa:

 p'(x) < 0 untuk x < 2 dan

p'(x) > 0 bila x > 2

Sehingga p mencapai minimum global/ mutlak di x = 2, maka:

$y=\frac{10}{2}=5$

$l^{2}=y^{2}+(8+x)^{2}=125\rightarrow l=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$

l merupakan panjang tangga minimum yang dibutuhkan simpatisan tersebut.

Nomor 5

Soal: Suatu kotak tertutup berbentuk balok dengan volume 400 cm kubik memiliki bantalan berbentuk persegi (bujur sangkar). Harga materi untuk menciptakan bab tutup dan bab bantalan kotak yaitu 1000 rupiah per cm persegi, sedangkan harga materi untuk bab untuk bab dinding (samping) yaitu 540 rupiah per cm persegi. Tentukan ukuran kotak tersebut semoga biaya materi yang dibutuhkan minimum.

Jawab:

Misalkan:

x yaitu panjang sisi alas

h yaitu tinggi balok

V yaitu volume balok

Maka:

$V =x^{2}h\Rightarrow 400=x^{2}h\Rightarrow h=\frac{400}{x^{2}}$

Misalkan biaya yang harus dikeluarkan untuk menciptakan kotak yaitu B(x), maka:

$B(x)=1000(2x^{2})+540(4x\frac{400}{x^{2}})=2000x^{2}+\frac{864000}{x}$
$B'(x) = 4000x-\frac{864000}{x^{2}}=\frac{4000x^{3}-864000}{x^{3}}$

dan bila B'(x) = 0 maka x = 6

Makara x = 6 merupakan satu-satunya bilangan kritis fungsi B. Jika:

x < 6 maka B'(x) < 0

x > 6 maka B'(x) > 0

sehingga B(6) merupakan nilai minimum global dari fungsi B.

Jika x = 6 cm maka h = 400/36. Sehingga ukuran kotak yaitu sisi bantalan 6 cm dan tinggi 400/36 cm.

Demikian Contoh Soal Terapan Turunan [Masalah Pengoptimuman] + Penyelesaiannya

Semoga Bermanfaat

Sumber http://easy-matematika.blogspot.com